Закон Дарси

Уравнение, описывающее течение жидкости через пористую среду

Закон Дарси — это уравнение, описывающее течение жидкости через пористую среду . Закон был сформулирован Генри Дарси на основе результатов экспериментов ^[1] по течению воды через пласты песка , составляющих основу гидрогеологии — раздела наук о Земле . Он аналогичен закону Ома в электростатике, линейно связывающему объемный расход жидкости с разницей гидравлического напора (которая часто просто пропорциональна разнице давлений) через гидравлическую проводимость .

Фон

Закон Дарси был впервые определен экспериментально Дарси, но с тех пор был выведен из уравнений Навье – Стокса с помощью методов гомогенизации . ^[2] Он аналогичен закону Фурье в области теплопроводности , закону Ома в области электрических сетей и закону Фика в теории диффузии .

Одним из применений закона Дарси является анализ потока воды через водоносный горизонт ; Закон Дарси вместе с уравнением сохранения массы упрощается до уравнения потока подземных вод , одного из основных соотношений гидрогеологии .

Моррис Маскат первым ^[3] уточнил уравнение Дарси для однофазного потока, включив вязкость в однофазное уравнение Дарси. Понятно, что вязким жидкостям труднее проникать через пористую среду, чем менее вязким жидкостям. Это изменение сделало его подходящим для исследователей нефтяной промышленности. Основываясь на экспериментальных результатах своих коллег Вайкоффа и Ботсета, Маскат и Мерес также обобщили закон Дарси на многофазный поток воды, нефти и газа в пористой среде нефтяного пласта . Обобщенные уравнения многофазного потока, предложенные Маскатом и другими, обеспечивают аналитическую основу для разработки месторождений , которая существует и по сей день.

Описание

Схема, показывающая определения и направления закона Дарси. А – площадь поперечного сечения (м ² ) цилиндра. Q — расход (м ³ /с) жидкости, протекающей через площадь А. Поток жидкости через А равен q = Q/A. L – длина цилиндра. Δp знак равно п _выход - п _вход знак равно п _б - п _а . = Δp/L = гидравлический градиент, приложенный между точками a и b. ${\displaystyle \nabla p}$

Закон Дарси, уточненный Моррисом Маскатом , в отсутствие гравитационных сил и в однородно проницаемой среде, определяется простым соотношением пропорциональности между мгновенным потоком (единицы : м ³ /с, единицы : м ² , единицы : м/с) через пористую среду , проницаемость среды, динамическая вязкость жидкости и перепад давления на заданном расстоянии в виде ${\displaystyle q=Q/A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Delta p}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle q=-{\frac {k}{\mu L}}\Delta p}$$

Это уравнение для однофазного (жидкостного) потока является определяющим уравнением абсолютной проницаемости (однофазной проницаемости).

На диаграмме справа поток или расход на единицу площади определяется в единицах , проницаемость в единицах , площадь поперечного сечения в единицах , общий перепад давления в единицах , динамическая вязкость в единицах и длина выборки в единицах . Некоторые из этих параметров используются в альтернативных определениях ниже. Отрицательный знак используется в определении потока в соответствии со стандартным физическим соглашением, согласно которому жидкости текут из областей высокого давления в области низкого давления. Обратите внимание, что высоту подъема необходимо учитывать, если входное и выходное отверстия находятся на разной высоте. Если изменение давления отрицательное, то поток будет в положительном направлении x . Было несколько предложений относительно основного уравнения абсолютной проницаемости, и наиболее известным из них, вероятно, является уравнение Козени (также называемое уравнением Козени-Кармана ). ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathrm {(m/s)} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {(m^{2})} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {(m^{2})} }$ ${\displaystyle \Delta p=p_{b}-p_{a}}$ ${\displaystyle \mathrm {(Pa)} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathrm {(Pa\cdot s)} }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathrm {(m)} }$

Интегральная форма закона Дарси определяется следующим образом:

$${\displaystyle Q={\frac {kA}{\mu L}}\,{\Delta p}}$$

Q³общий расходзакон Стевина

$${\displaystyle p=\rho gh}$$

$${\displaystyle Q={\frac {kAg}{\nu L}}\,{\Delta h}}$$

кинематическая вязкостьгидравлическая проводимость равна:

${\displaystyle K={\frac {k\rho g}{\mu }}={\frac {kg}{\nu }}.}$

Обратите внимание, что величина или , часто называемая потоком Дарси или скоростью Дарси, не является скоростью, с которой жидкость движется через поры. Скорость потока ( u ) связана с потоком ( q ) пористостью ( φ ) и принимает вид ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Q/A}$

${\displaystyle u={\frac {q}{\varphi }}\,.}$

Закон Дарси представляет собой простое математическое утверждение, которое аккуратно суммирует несколько известных свойств, которые проявляют подземные воды , текущие в водоносных горизонтах, в том числе:

• если градиента давления на расстоянии нет, течения не возникает (это гидростатические условия),
• если есть градиент давления, поток будет происходить от высокого давления к низкому (противоположному направлению увеличения градиента - отсюда отрицательный знак в законе Дарси),
• чем больше градиент давления (через тот же материал пласта), тем больше скорость разгрузки и
• Скорость истечения жидкости часто будет разной — через разные материалы пласта (или даже через один и тот же материал, в другом направлении) — даже если в обоих случаях существует одинаковый градиент давления.

Графической иллюстрацией использования уравнения установившегося потока подземных вод (основанного на законе Дарси и сохранении массы) является строительство водоводов для количественной оценки количества подземных вод , текущих под плотиной .

Закон Дарси справедлив только для медленного вязкого течения; однако большинство случаев течения подземных вод подпадают под эту категорию. Обычно любой поток с числом Рейнольдса меньше единицы явно является ламинарным, и было бы справедливо применить закон Дарси. Экспериментальные испытания показали, что режимы течения с числами Рейнольдса до 10 все же могут быть дарсовскими, как и в случае с потоком подземных вод. Число Рейнольдса (безразмерный параметр) для течения пористой среды обычно выражается как

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {ud}{\nu }}\,,}$

где ν — кинематическая вязкость воды , u — удельный расход (а не скорость пор — в единицах длины за время), _{d 30} — репрезентативный диаметр зерна для пористой среды (стандартный выбор — d30, который равен 30 % проходного размера по результатам гранулометрического анализа с использованием сит — с единицами длины).

Вывод

Для стационарного, ползущего, несжимаемого течения, т.е.Д ( ρу _я )/Дт≈ 0 уравнение Навье – Стокса упрощается до уравнения Стокса , которое, если пренебречь объемным членом, имеет вид:

${\displaystyle \mu \nabla ^{2}u_{i}-\partial _{i}p=0\,,}$

где µ — вязкость, ui _— скорость в направлении i , а p — давление. Предполагая, что вязкая сила сопротивления линейно зависит от скорости, мы можем написать:

${\displaystyle -\left(k^{-1}\right)_{ij}\mu \varphi u_{j}-\partial _{i}p=0\,,}$

где φ – пористость , а kij _– тензор проницаемости второго порядка. Это дает скорость в направлении n ,

${\displaystyle k_{ni}\left(k^{-1}\right)_{ij}u_{j}=\delta _{nj}u_{j}=u_{n}=-{\frac {k_{ni}}{\varphi \mu }}\partial _{i}p\,,}$

что дает закон Дарси для объемной плотности потока в направлении n ,

${\displaystyle q_{n}=-{\frac {k_{ni}}{\mu }}\,\partial _{i}p\,.}$

В изотропных пористых средах недиагональные элементы в тензоре проницаемости равны нулю, k _ij = 0 для i ≠ j , а диагональные элементы идентичны, k _ii = k , а общая форма получается, как показано ниже, что позволяет определить скорость потока жидкости путем решения системы уравнений в заданной области. ^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {q}}=-{\frac {k}{\mu }}\,{\boldsymbol {\nabla }}p\,.}$

Приведенное выше уравнение является основным уравнением течения однофазной жидкости в пористой среде.

Использование в нефтяном машиностроении

Другой вывод закона Дарси широко используется в нефтяной инженерии для определения потока через проницаемые среды — самый простой из них относится к одномерному, однородному пласту горной породы с одной жидкой фазой и постоянной вязкостью жидкости .

Почти все нефтяные пласты имеют водную зону ниже нефтяного отрога, а некоторые имеют также газовую шапку над нефтяным отрогом. При падении пластового давления в связи с добычей нефти вода поступает в нефтяную зону снизу, а газ – в нефтяную зону сверху (при наличии газовой шапки), и мы получаем одновременное течение и несмешивающееся перемешивание всех флюидных фаз в нефтяная зона. Оператор нефтяного месторождения также может закачивать воду (и/или газ) для улучшения добычи нефти. Поэтому нефтяная промышленность использует обобщенное уравнение Дарси для многофазного потока, разработанное Маскатом и др. Поскольку имя Дарси настолько широко распространено и прочно связано с течением в пористых средах, уравнение многофазного потока обозначается как закон Дарси для многофазного потока или обобщенное уравнение (или закон) Дарси, или просто уравнение (или закон) Дарси, или просто уравнение потока, если контекст говорит, что в тексте обсуждается многофазное уравнение Маската и других. Многофазный поток в нефтяных и газовых пластах — это обширная тема, и одна из многих статей на эту тему — закон Дарси для многофазного потока .

Использование в заваривании кофе

В ряде работ закон Дарси использовался для моделирования физики заваривания кофе в кофеварке , в частности, того, как горячая вода просачивается через кофейный помол под давлением, начиная с статьи Варламова и Балестрино 2001 года ^[5] и заканчивая статьей 2007 года. статья Джанино, ^[6] статья Наварини и др. 2008 г., ^[7] и статья У. Кинга 2008 г. ^[8] В статьях либо для упрощения проницаемость кофе будет считаться постоянной, либо будут измеряться изменения в процессе заваривания.

Дополнительные формы

Дифференциальное выражение

Закон Дарси можно выразить в самом общем виде так:

${\displaystyle \mathbf {q} =-K\nabla h}$

где q — вектор объемного потока жидкости в определенной точке среды, h — общий гидравлический напор , а K — тензор гидравлической проводимости в этой точке. Гидравлическую проводимость часто можно аппроксимировать скаляром . (Обратите внимание на аналогию с законом Ома в электростатике. Вектор потока аналогичен плотности тока, напор аналогичен напряжению, а гидравлическая проводимость аналогична электропроводности.)

Квадратичный закон

Для течений в пористой среде с числами Рейнольдса , превышающими примерно от 1 до 10, инерционные эффекты также могут стать значительными. Иногда к уравнению Дарси добавляют инерционный член, известный как член Форхгеймера . Этот термин способен объяснить нелинейное поведение разницы давления в зависимости от данных расхода. ^[9]

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}=-{\frac {\mu }{k}}q-{\frac {\rho }{k_{1}}}q^{2}\,,}$

где дополнительный член k ₁ известен как инерционная проницаемость, в единицах длины . ${\displaystyle \mathrm {(m)} }$

Поток в середине пласта из песчаника настолько медленный, что уравнение Форхгеймера обычно не требуется, но поток газа в газодобывающую скважину может быть достаточно высоким, чтобы оправдать использование уравнения Форхгеймера. В этом случае расчеты притока скважины, а не ячейки сетки 3D-модели, основаны на уравнении Форххаймера. В результате в формуле производительности притока появляется дополнительный скин, зависящий от скорости.

Некоторые карбонатные коллекторы имеют множество трещин, и уравнение Дарси для многофазного потока обобщается, чтобы управлять как потоком в трещинах, так и потоком в матрице (т.е. в традиционной пористой породе). Неровная поверхность стенок трещин и высокая скорость потока в трещинах могут оправдать использование уравнения Форхгеймера.

Поправка на газы в тонкодисперсных средах (диффузия Кнудсена или эффект Клинкенберга)

Для потока газа с малыми характерными размерами (например, очень мелкий песок, нанопористые структуры и т. д.) взаимодействия частиц со стенками становятся более частыми, что приводит к дополнительному трению о стенку (трению Кнудсена). Для течения в этой области, где присутствуют как вязкое трение , так и трение Кнудсена , необходимо использовать новую формулировку. Кнудсен представил полуэмпирическую модель течения в переходном режиме, основанную на его экспериментах на небольших капиллярах. ^{[10] [11]} Для пористой среды уравнение Кнудсена можно записать в виде ^[11]

${\displaystyle N=-\left({\frac {k}{\mu }}{\frac {p_{a}+p_{b}}{2}}+D_{\mathrm {K} }^{\mathrm {eff} }\right){\frac {1}{R_{\mathrm {g} }T}}{\frac {p_{\mathrm {b} }-p_{\mathrm {a} }}{L}}\,,}$

где N – молярный поток, R _g – газовая постоянная, T – температура, D^эфф
_К– эффективный коэффициент диффузии Кнудсена пористой среды. Модель также может быть получена на основе модели бинарного трения (BFM), основанной на первых принципах. ^{[12] [13]} Дифференциальное уравнение переходного течения в пористых средах на основе BFM имеет вид ^[12]

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}=-R_{\mathrm {g} }T\left({\frac {kp}{\mu }}+D_{\mathrm {K} }\right)^{-1}N\,.}$

Это уравнение справедливо как для капилляров , так и для пористых сред. Терминология эффекта Кнудсена и коэффициента диффузии Кнудсена более распространена в машиностроении и химической технологии . В геологической и нефтехимической технике этот эффект известен как эффект Клинкенберга . Используя определение молярного потока, приведенное выше уравнение можно переписать как

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}=-R_{\mathrm {g} }T\left({\frac {kp}{\mu }}+D_{\mathrm {K} }\right)^{-1}{\dfrac {p}{R_{\mathrm {g} }T}}q\,.}$

Это уравнение можно преобразовать в следующее уравнение

${\displaystyle q=-{\frac {k}{\mu }}\left(1+{\frac {D_{\mathrm {K} }\mu }{k}}{\frac {1}{p}}\right){\frac {\partial p}{\partial x}}\,.}$

Сравнивая это уравнение с традиционным законом Дарси, можно дать новую формулировку:

${\displaystyle q=-{\frac {k^{\mathrm {eff} }}{\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\,,}$

где

${\displaystyle k^{\mathrm {eff} }=k\left(1+{\frac {D_{\mathrm {K} }\mu }{k}}{\frac {1}{p}}\right)\,.}$

Это эквивалентно формулировке эффективной проницаемости, предложенной Клинкенбергом: ^[14]

${\displaystyle k^{\mathrm {eff} }=k\left(1+{\frac {b}{p}}\right)\,.}$

где b известен как параметр Клинкенберга, который зависит от структуры газа и пористой среды. Это вполне очевидно, если сравнить приведенные выше формулировки. Параметр Клинкенберга b зависит от проницаемости, коэффициента диффузии Кнудсена и вязкости (т.е. свойств как газа, так и пористой среды).

Закон Дарси для коротких временных масштабов

Для очень коротких временных масштабов к закону Дарси можно добавить производную потока по времени, что приводит к действительным решениям при очень малых временах (в теплопередаче это называется модифицированной формой закона Фурье ),

${\displaystyle \tau {\frac {\partial q}{\partial t}}+q=-k\nabla h\,,}$

где τ — очень маленькая постоянная времени, которая приводит это уравнение к нормальной форме закона Дарси в «нормальные» времена (> наносекунд ). Основная причина этого заключается в том, что регулярное уравнение потока грунтовых вод ( уравнение диффузии ) приводит к сингулярностям на границах постоянного напора в очень короткие моменты времени. Эта форма является более строгой с математической точки зрения, но приводит к гиперболическому уравнению потока подземных вод, которое сложнее решить и которое полезно только в очень короткие промежутки времени, обычно выходящее за рамки практического использования.

Форма Бринкмана закона Дарси.

Еще одним расширением традиционной формы закона Дарси является член Бринкмана, который используется для учета переходного потока между границами (введенный Бринкманом в 1949 году ^[15] ),

${\displaystyle -\beta \nabla ^{2}q+q=-{\frac {k}{\mu }}\nabla p\,,}$

где β — коэффициент эффективной вязкости . Этот поправочный член учитывает течение через среду, где зерна среды сами по себе пористые, но их сложно использовать, и ими обычно пренебрегают.

Справедливость закона Дарси

Закон Дарси справедлив для ламинарного течения через отложения . В мелкозернистых отложениях размеры пустот невелики, поэтому течение ламинарное. Крупнозернистые отложения также ведут себя аналогичным образом, но в очень крупнозернистых отложениях поток может быть турбулентным . ^[16] Следовательно, закон Дарси не всегда справедлив в таких отложениях. Для потока через коммерческие круглые трубы поток является ламинарным, когда число Рейнольдса меньше 2000, и турбулентным, когда оно больше 4000, но в некоторых отложениях было обнаружено, что поток является ламинарным, когда значение числа Рейнольдса меньше 1. ^[17 ]

Смотрите также

• Дарси — единица проницаемости жидкости .
• Гидрогеология
• Уравнение потока подземных вод
• Математическая модель
• Уравнения мазута

Рекомендации

1. Дарси, Х. (1856). Публичные фонтаны города Дижон . Париж: Дальмонт.
2. Уитакер, С. (1986). «Ток в пористых средах I: теоретический вывод закона Дарси». Транспорт в пористых средах . 1 :3–25. дои : 10.1007/BF01036523. S2CID  121904058.
3. Прочтите «Мемориальные почести: Том 14» на NAP.edu. 2011. дои : 10.17226/12884. ISBN 978-0-309-15218-1.
4. Адаптация пористой среды для контролируемого капиллярного потока Журнал коллоидной и интерфейсной науки 539 (2019) 379–387
5. А. Варламов и Г. Балестрино, «La fisica di un buon caffè», Il Nuovo Saggiatore 17 3–4 , 59–66, 2001 г.
6. Джанино, Кончетто. Экспериментальный анализ итальянского кофейника «мока». Американский журнал физики (2007)
7. «Экспериментальное исследование экстракции кофе под давлением пара в кофеварке с плитой» Л. Наварини, Э. Нобиле, Ф. Пинто, А. Шери, Ф. Сугги-Ливерани.
8. Кинг, Уоррен. «Физика эспрессо-машины с плитой». Американский журнал физики (2008)
9. Бежан, А. (1984). Конвекционная теплопередача . Джон Уайли и сыновья.
10. Каннингем, RE; Уильямс, RJJ (1980). Диффузия в газах и пористых средах . Нью-Йорк: Пленум Пресс.
11. Кэрриги, Н.; Пант, LM; Митра, СК; Секанелл, М. (2013). «Коэффициент диффузии по Кнудсену и проницаемость газодиффузионных слоев с микропористым покрытием из пемфц для различных загрузок политетрафторэтилена». Журнал Электрохимического общества . 160 (2): F81–89. дои : 10.1149/2.036302jes.
12. Пант, LM; Митра, СК; Секанелл, М. (2012). «Измерения абсолютной проницаемости и диффузии по Кнудсену в газодиффузионных слоях PEMFC и микропористых слоях». Журнал источников энергии . 206 : 153–160. дои : 10.1016/j.jpowsour.2012.01.099.
13. Керкхоф, П. (1996). «Модифицированная модель Максвелла – Стефана для транспорта через инертные мембраны: модель бинарного трения». Журнал химической инженерии и журнал биохимической инженерии . 64 (3): 319–343. дои : 10.1016/S0923-0467(96)03134-X.
14. Клинкенберг, LJ (1941). «Проницаемость пористых сред для жидкостей и газов». Практика бурения и добычи . Американский институт нефти. стр. 200–213.
15. Бринкман, ХК (1949). «Расчет вязкой силы, действующей текущей жидкостью на плотный рой частиц». Прикладные научные исследования . 1 : 27–34. CiteSeerX 10.1.1.454.3769 . дои : 10.1007/BF02120313. 
16. Джин, Ю.; Ут, М.-Ф.; Кузнецов А.В.; Хервиг, Х. (2 февраля 2015 г.). «Численное исследование возможности макроскопической турбулентности в пористых средах: исследование прямого численного моделирования». Журнал механики жидкости . 766 : 76–103. Бибкод : 2015JFM...766...76J. дои : 10.1017/jfm.2015.9. S2CID  119946306.
17. Арора, КР (1989). Механика грунтов и устройство фундаментов . Стандартные издатели.