Методы решеточного Больцмана

Класс методов вычислительной гидродинамики

Методы решеточного Больцмана (LBM) , произошедшие от метода решеточных газовых автоматов (LGA) (модели Харди- Помо -Пацциса и Фриша - Хаслахера - Помо ), представляют собой класс методов вычислительной гидродинамики (CFD) для моделирования жидкости . Вместо непосредственного решения уравнений Навье-Стокса плотность жидкости на решетке моделируется с помощью процессов течения и столкновения (релаксации). ^[1] Метод универсален ^[1], поскольку модельную жидкость можно напрямую заставить имитировать обычное поведение жидкости, например сосуществование пара и жидкости, и поэтому можно моделировать такие системы жидкостей, как капли жидкости. Кроме того, жидкости в сложных средах, таких как пористые среды, можно напрямую моделировать, тогда как при наличии сложных границ другие методы CFD могут быть сложны в работе.

Компьютерное моделирование в двух измерениях с использованием метода решеточного Больцмана капли, которая сначала растягивается, а затем релаксирует до своей равновесной круглой формы.

Алгоритм

Схема векторов решетки D2Q9 для 2D-решетки Больцмана

В отличие от методов CFD, которые решают уравнения сохранения макроскопических свойств (то есть массы, импульса и энергии) численно, LBM моделирует жидкость, состоящую из фиктивных частиц, и такие частицы выполняют последовательные процессы распространения и столкновения по дискретной решетке. Благодаря своей корпускулярной природе и локальной динамике, LBM имеет несколько преимуществ по сравнению с другими традиционными методами CFD, особенно при работе со сложными границами, включении микроскопических взаимодействий и распараллеливании алгоритма. ^[2] Другая интерпретация решеточного уравнения Больцмана — это уравнение Больцмана с дискретной скоростью . Численные методы решения системы уравнений в частных производных затем приводят к дискретному отображению, которое можно интерпретировать как распространение и столкновение фиктивных частиц.

В алгоритме есть этапы столкновения и потока. Они развивают плотность жидкости для положения и времени. Поскольку жидкость находится на решетке, плотность имеет число компонентов, равное числу векторов решетки, соединенных с каждой точкой решетки. В качестве примера здесь показаны векторы решетки для простой решетки, используемой в моделировании в двух измерениях. Эта решетка обычно обозначается D2Q9 для двух измерений и девяти векторов: четыре вектора вдоль севера, востока, юга и запада, плюс четыре вектора в углы единичного квадрата, плюс вектор с обоими нулевыми компонентами. Тогда, например, вектор , т. е. он указывает строго на юг и поэтому не имеет компонента, но имеет компонент . Таким образом, один из девяти компонентов общей плотности в центральной точке решетки, , является той частью жидкости в точке, которая движется строго на юг со скоростью в единицах решетки, равной единице. ${\displaystyle \rho ({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f_{i},i=0,\ldots ,a}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{4}=(0,-1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle f_{4}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Затем следуют этапы, на которых жидкость развивается во времени: ^[1]

Шаг столкновения

${\displaystyle f_{i}^{\ast }({\vec {x}},t)=f_{i}({\vec {x}},t)+{\frac {f_{i}^{eq}({\vec {x}},t)-f_{i}({\vec {x}},t)}{\tau _{f}}}\,\!}$

что является моделью Бхатнагара Гросса и Крука (BGK) ^[3] для релаксации к равновесию посредством столкновений между молекулами жидкости. — равновесная плотность вдоль направления i при плотности тока в этом направлении, это можно выразить в приближении Тейлора (см. ниже, в Математических уравнениях для моделирования): ${\displaystyle f_{i}^{eq}({\vec {x}},t)}$

${\displaystyle f_{i}^{eq}=\omega _{i}\rho \left(1+{\frac {3{\vec {e}}_{i}{\vec {u}}}{c^{2}}}+{\frac {9({\vec {e}}_{i}{\vec {u}})^{2}}{2c^{4}}}-{\frac {3({\vec {u}})^{2}}{2c^{2}}}\right)}$

Модель предполагает, что жидкость локально релаксирует до равновесия в течение характерного временного масштаба . Этот временной масштаб определяет кинематическую вязкость , чем он больше, тем больше кинематическая вязкость. ${\displaystyle \tau _{f}}$

Шаг потоковой передачи

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i},t+\delta _{t})=f_{i}^{\ast }({\vec {x}},t)\,\!}$

Так как по определению плотность жидкости в точке времени равна , то есть она движется со скоростью за один временной шаг, то на следующем временном шаге она перетечет в точку . ${\displaystyle f_{i}^{\ast }({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ ${\displaystyle t+\delta _{t}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}}$

Преимущества

• LBM был разработан с нуля для эффективной работы на массивно-параллельных архитектурах , начиная от недорогих встроенных ПЛИС и DSP до графических процессоров и гетерогенных кластеров и суперкомпьютеров (даже с медленной сетью взаимосвязей). Он позволяет реализовать сложную физику и сложные алгоритмы. Эффективность приводит к качественно новому уровню понимания, поскольку позволяет решать проблемы, к которым ранее невозможно было приблизиться (или только с недостаточной точностью).
• Метод исходит из молекулярного описания жидкости и может напрямую включать физические термины, вытекающие из знания взаимодействия между молекулами. Поэтому он является незаменимым инструментом в фундаментальных исследованиях, поскольку он сокращает цикл между разработкой теории и формулировкой соответствующей числовой модели.
• Автоматизированная предварительная обработка данных и генерация решетки за время, составляющее малую часть от общего времени моделирования.
• Параллельный анализ данных, постобработка и оценка.
• Полностью разрешенный многофазный поток с мелкими каплями и пузырьками.
• Полностью разрешённый поток через сложные геометрические формы и пористые среды.
• Сложный, связанный поток с теплообменом и химическими реакциями.

Ограничения и развитие

Как и в случае с CFD на основе Навье–Стокса, методы LBM успешно сочетаются с решениями, учитывающими тепловые характеристики, для обеспечения возможности моделирования теплопередачи (проводимости, конвекции и излучения на основе твердых тел). Для многофазных/многокомпонентных моделей толщина интерфейса обычно велика, а отношение плотностей на интерфейсе мало по сравнению с реальными жидкостями. Недавно эта проблема была решена Юанем и Шефером, которые улучшили модели Шаня и Чена, Свифта и Хэ, Чена и Чжана. Им удалось достичь отношения плотностей 1000:1, просто изменив уравнение состояния . Было предложено применить преобразование Галилея для преодоления ограничений моделирования высокоскоростных потоков жидкости. ^[4] Быстрое развитие этого метода также позволило успешно моделировать микрофлюидику , ^[5] Однако на данный момент LBM все еще ограничен в моделировании потоков с высоким числом Кнудсена , где вместо этого используются методы Монте-Карло , а потоки с высоким числом Маха в аэродинамике все еще сложны для LBM, а последовательная термогидродинамическая схема отсутствует. ^[6]

Развитие по методу LGA

LBM произошел от метода решеточных газовых автоматов (LGA), который можно рассматривать как упрощенную фиктивную модель молекулярной динамики, в которой пространство, время и скорости частиц являются дискретными. Например, в двумерной модели FHP каждый узел решетки соединен со своими соседями 6 скоростями решетки на треугольной решетке; в узле решетки может быть либо 0, либо 1 частица, движущаяся с заданной скоростью решетки. Через определенный промежуток времени каждая частица переместится в соседний узел в своем направлении; этот процесс называется шагом распространения или потоком. Когда в один и тот же узел с разных направлений прибывает более одной частицы, они сталкиваются и изменяют свои скорости в соответствии с набором правил столкновений. Шаги потока и шаги столкновения чередуются. Подходящие правила столкновений должны сохранять число частиц (массу), импульс и энергию до и после столкновения. LGA страдают от нескольких врожденных недостатков при использовании в гидродинамических симуляциях: отсутствие инвариантности Галилея для быстрых потоков, статистический шум и плохое масштабирование числа Рейнольдса с размером решетки. Однако LGA хорошо подходят для упрощения и расширения охвата моделей диффузии реакции и молекулярной динамики .

Основной мотивацией перехода от LGA к LBM было желание удалить статистический шум путем замены булевого числа частиц в направлении решетки на его среднее по ансамблю, так называемую функцию распределения плотности. Сопровождая эту замену, дискретное правило столкновений также заменяется непрерывной функцией, известной как оператор столкновений. В разработке LBM важным упрощением является аппроксимация оператора столкновений с помощью релаксационного члена Бхатнагара-Гросса-Крука (BGK). Эта решеточная модель BGK (LBGK) делает моделирование более эффективным и обеспечивает гибкость коэффициентов переноса. С другой стороны, было показано, что схему LBM также можно рассматривать как специальную дискретизированную форму непрерывного уравнения Больцмана. Из теории Чепмена-Энскога можно восстановить определяющую непрерывность и уравнения Навье-Стокса из алгоритма LBM.

Решетки и DнВмклассификация

Модели решеточного Больцмана могут работать на различных решетках, как кубических, так и треугольных, с частицами покоя в дискретной функции распределения или без них.

Популярным способом классификации различных методов по решетке является схема D n Q m . Здесь «D n » обозначает « n измерений», а «Q m » обозначает « m скоростей». Например, D3Q15 — это трехмерная решетчатая модель Больцмана на кубической сетке с присутствующими покоящимися частицами. Каждый узел имеет форму кристалла и может доставлять частицы в 15 узлов: каждый из 6 соседних узлов, которые имеют общую поверхность, 8 соседних узлов, имеющих общий угол, и сам себя. ^[7] (Модель D3Q15 не содержит частиц, движущихся в 12 соседних узлов, которые имеют общее ребро; добавление их создаст модель «D3Q27».)

Реальные величины, такие как пространство и время, необходимо преобразовать в единицы решетки перед моделированием. Безразмерные величины, такие как число Рейнольдса , остаются прежними.

Преобразование единиц решетки

В большинстве симуляций решеточного Больцмана основная единица для расстояния между решетками, поэтому, если область длины имеет решеточные единицы по всей своей длине, единица пространства определяется просто как . Скорости в симуляциях решеточного Больцмана обычно задаются в терминах скорости звука. Таким образом, дискретная единица времени может быть задана как , где знаменатель — физическая скорость звука. ^[8] ${\displaystyle \delta _{x}\,\!}$ ${\displaystyle L\,\!}$ ${\displaystyle N\,\!}$ ${\displaystyle \delta _{x}=L/N\,\!}$ ${\displaystyle \delta _{t}={\frac {\delta _{x}}{C_{s}}}\,\!}$ ${\displaystyle C_{s}}$

Для мелкомасштабных потоков (например, наблюдаемых в механике пористых сред ) работа с истинной скоростью звука может привести к неприемлемо коротким временным шагам. Поэтому обычно число Маха решетки увеличивают до чего-то намного большего, чем реальное число Маха, и компенсируют это увеличением вязкости , чтобы сохранить число Рейнольдса . ^[9]

Моделирование смесей

Моделирование многофазных/многокомпонентных потоков всегда было проблемой для обычного CFD из-за движущихся и деформируемых интерфейсов . Что еще более важно, интерфейсы между различными фазами (жидкость и пар) или компонентами (например, нефть и вода) возникают из-за специфических взаимодействий между молекулами жидкости. Поэтому трудно реализовать такие микроскопические взаимодействия в макроскопическом уравнении Навье-Стокса. Однако в LBM кинетика частиц обеспечивает относительно простой и последовательный способ включения базовых микроскопических взаимодействий путем изменения оператора столкновения. Было разработано несколько многофазных/многокомпонентных моделей LBM. Здесь фазовые разделения генерируются автоматически из динамики частиц, и не требуется специальной обработки для манипулирования интерфейсами, как в традиционных методах CFD. Успешные приложения многофазных/многокомпонентных моделей LBM можно найти в различных сложных жидкостных системах, включая нестабильность интерфейса, динамику пузырьков / капель , смачивание на твердых поверхностях, скольжение на границе раздела и электрогидродинамические деформации капель.

Недавно была предложена решеточная модель Больцмана для моделирования горения газовой смеси, способная учитывать значительные изменения плотности в режиме низких чисел Маха. ^[10]

В этом отношении стоит отметить, что, поскольку LBM имеет дело с большим набором полей (по сравнению с обычным CFD), моделирование реактивных газовых смесей представляет некоторые дополнительные проблемы с точки зрения требований к памяти, поскольку речь идет о больших подробных механизмах горения. Эти проблемы можно решить, прибегнув к систематическим методам редукции модели. ^{[11] [12] [13]}

Термическая решетка-метод Больцмана

В настоящее время (2009) тепловой метод решетки-Больцмана (TLBM) относится к одной из трех категорий: многоскоростной подход, ^[14] пассивный скалярный подход, ^[15] и распределение тепловой энергии. ^[16]

Вывод уравнения Навье–Стокса из дискретного LBE

Начиная с дискретного решеточного уравнения Больцмана (также называемого уравнением LBGK из-за используемого оператора столкновений). Сначала мы делаем разложение в ряд Тейлора 2-го порядка относительно левой части LBE. Это выбрано вместо более простого разложения Тейлора 1-го порядка, поскольку дискретное LBE не может быть восстановлено. При выполнении разложения в ряд Тейлора 2-го порядка нулевой производный член и первый член справа будут сокращаться, оставляя только первый и второй производные члены разложения Тейлора и оператора столкновений:

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta _{t},t+\delta _{t})=f_{i}({\vec {x}},t)+{\frac {\delta _{t}}{\tau _{f}}}(f_{i}^{eq}-f_{i}).}$

Для простоты запишем как . Немного упрощенное разложение в ряд Тейлора тогда выглядит следующим образом, где «:» — двоеточие между диадами: ${\displaystyle f_{i}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\vec {e}}_{i}\cdot \nabla f_{i}+\left({\frac {1}{2}}{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{i}:\nabla \nabla f_{i}+{\vec {e}}_{i}\cdot \nabla {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial t^{2}}}\right)={\frac {1}{\tau }}(f_{i}^{eq}-f_{i}).}$

Разложив функцию распределения частиц на равновесные и неравновесные компоненты и используя разложение Чепмена-Энскога, где — число Кнудсена, можно разложить развернутую по Тейлору функцию распределения частиц по различным величинам порядка числа Кнудсена, чтобы получить правильные уравнения континуума: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle f_{i}=f_{i}^{\text{eq}}+Kf_{i}^{\text{neq}},}$

${\displaystyle f_{i}^{\text{neq}}=f_{i}^{(1)}+Kf_{i}^{(2)}+O(K^{2}).}$

Равновесные и неравновесные распределения удовлетворяют следующим соотношениям к их макроскопическим переменным (они будут использованы позже, когда распределения частиц будут иметь «правильную форму» для масштабирования от уровня частиц до макроскопического уровня):

${\displaystyle \rho =\sum _{i}f_{i}^{\text{eq}},}$

${\displaystyle \rho {\vec {u}}=\sum _{i}f_{i}^{\text{eq}}{\vec {e}}_{i},}$

${\displaystyle 0=\sum _{i}f_{i}^{(k)}\qquad {\text{for }}k=1,2,}$

${\displaystyle 0=\sum _{i}f_{i}^{(k)}{\vec {e}}_{i}.}$

Тогда разложение Чепмена-Энскога выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}=K{\frac {\partial }{\partial t_{1}}}+K^{2}{\frac {\partial }{\partial t_{2}}}\qquad {\text{for }}t_{2}({\text{diffusive time-scale}})\ll t_{1}({\text{convective time-scale}}),}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}=K{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}.}$

Подставляя расширенное равновесие и неравновесие в разложение Тейлора и разделяя на различные порядки , можно почти вывести уравнения континуума. ${\displaystyle K}$

Для заказа : ${\displaystyle K^{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{1}}}+{\vec {e}}_{i}\nabla _{1}f_{i}^{\text{eq}}=-{\frac {f_{i}^{(1)}}{\tau }}.}$

Для заказа : ${\displaystyle K^{1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}^{(1)}}{\partial t_{1}}}+{\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{2}}}+{\vec {e}}_{i}\nabla f_{i}^{(1)}+{\frac {1}{2}}{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{i}:\nabla \nabla f_{i}^{\text{eq}}+{\vec {e}}_{i}\cdot \nabla {\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{1}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{1}^{2}}}=-{\frac {f_{i}^{(2)}}{\tau }}.}$

Тогда второе уравнение можно упростить с помощью некоторой алгебры и первого уравнения, придав ему следующий вид:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{2}}}+\left(1-{\frac {1}{2\tau }}\right)\left[{\frac {\partial f_{i}^{(1)}}{\partial t_{1}}}+{\vec {e}}_{i}\nabla _{1}f_{i}^{(1)}\right]=-{\frac {f_{i}^{(2)}}{\tau }}.}$

Применяя соотношения между функциями распределения частиц и макроскопическими свойствами, полученными выше, получаем уравнения массы и импульса:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \rho {\vec {u}}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho {\vec {u}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \Pi =0.}$

Тогда тензор потока импульса имеет следующий вид: ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \Pi _{xy}=\sum _{i}{\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}\left[f_{i}^{eq}+\left(1-{\frac {1}{2\tau }}\right)f_{i}^{(1)}\right],}$

где — сокращение от квадрата суммы всех компонентов (т.е. ), а равновесное распределение частиц со вторым порядком, сопоставимым с уравнением Навье–Стокса, равно: ${\displaystyle {\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \left(\sum _{x}{\vec {e}}_{ix}\right)^{2}=\sum _{x}\sum _{y}{\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}}$

${\displaystyle f_{i}^{\text{eq}}=\omega _{i}\rho \left(1+{\frac {{\vec {e}}_{i}{\vec {u}}}{c_{s}^{2}}}+{\frac {({\vec {e}}_{i}{\vec {u}})^{2}}{2c_{s}^{4}}}-{\frac {{\vec {u}}^{2}}{2c_{s}^{2}}}\right).}$

Равновесное распределение справедливо только для малых скоростей или малых чисел Маха . Вставка равновесного распределения обратно в тензор потока приводит к:

${\displaystyle \Pi _{xy}^{(0)}=\sum _{i}{\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}f_{i}^{eq}=p\delta _{xy}+\rho u_{x}u_{y},}$

${\displaystyle \Pi _{xy}^{(1)}=\left(1-{\frac {1}{2\tau }}\right)\sum _{i}{\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}f_{i}^{(1)}=\nu \left(\nabla _{x}\left(\rho {\vec {u}}_{y}\right)+\nabla _{y}\left(\rho {\vec {u}}_{x}\right)\right).}$

Наконец, уравнение Навье–Стокса восстанавливается при условии, что изменение плотности мало:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {\vec {u}}_{x}}{\partial t}}+\nabla _{y}\cdot {\vec {u}}_{x}{\vec {u}}_{y}\right)=-\nabla _{x}p+\nu \nabla _{y}\cdot \left(\nabla _{x}\left(\rho {\vec {u}}_{y}\right)+\nabla _{y}\left(\rho {\vec {u}}_{x}\right)\right).}$

Этот вывод следует работе Чена и Дулена. ^[17]

Математические уравнения для моделирования

Непрерывное уравнение Больцмана представляет собой уравнение эволюции для функции распределения вероятностей отдельной частицы и функции распределения плотности внутренней энергии (He et al.), каждое из которых имеет вид: ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$ ${\displaystyle g({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$

${\displaystyle \partial _{t}f+({\vec {e}}\cdot \nabla )f+F\partial _{v}f=\Omega (f),}$

${\displaystyle \partial _{t}g+({\vec {e}}\cdot \nabla )g+G\partial _{v}f=\Omega (g),}$

где связано с ${\displaystyle g({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$

${\displaystyle g({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)={\frac {({\vec {e}}-{\vec {u}})^{2}}{2}}f({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t),}$

${\displaystyle F}$— внешняя сила, — интеграл столкновений, и (также обозначается в литературе как ) — микроскопическая скорость. Внешняя сила связана с температурой внешней силой соотношением ниже. Типичным тестом для модели является конвекция Рэлея–Бенара для . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\vec {e}}}$ ${\displaystyle {\vec {\xi }}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle F={\frac {{\vec {G}}\cdot ({\vec {e}}-{\vec {u}})}{RT}}f^{\text{eq}},}$

${\displaystyle {\vec {G}}=\beta g_{0}(T-T_{avg}){\vec {k}}.}$

Макроскопические переменные, такие как плотность , скорость и температура, можно вычислить как моменты функции распределения плотности: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \rho =\int f\,d{\vec {e}},}$

${\displaystyle \rho {\vec {u}}=\int {\vec {e}}f\,d{\vec {e}},}$

${\displaystyle {\frac {\rho DRT}{2}}=\rho \epsilon =\int g\,d{\vec {e}}.}$

Метод решетчатого Больцмана дискретизирует это уравнение, ограничивая пространство решеткой, а пространство скоростей — дискретным набором микроскопических скоростей (т.е. ). Микроскопические скорости в D2Q9, D3Q15 и D3Q19, например, задаются как: ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=({\vec {e}}_{ix},{\vec {e}}_{iy})}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=c\times {\begin{cases}(0,0)&i=0\\(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)&i=1,2,3,4\\(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)&i=5,6,7,8\\\end{cases}}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=c\times {\begin{cases}(0,0,0)&i=0\\(\pm 1,0,0),(0,\pm 1,0),(0,0,\pm 1)&i=1,2,...,5,6\\(\pm 1,\pm 1,\pm 1)&i=7,8,...,13,14\\\end{cases}}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=c\times {\begin{cases}(0,0,0)&i=0\\(\pm 1,0,0),(0,\pm 1,0),(0,0,\pm 1)&i=1,2,...,5,6\\(\pm 1,\pm 1,0),(\pm 1,0,\pm 1),(0,\pm 1,\pm 1)&i=7,8,...,17,18\\\end{cases}}}$

Однофазное дискретизированное уравнение Больцмана для плотности массы и плотности внутренней энергии имеет вид:

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta _{t},t+\delta _{t})-f_{i}({\vec {x}},t)+F_{i}=\Omega (f),}$

${\displaystyle g_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta _{t},t+\delta _{t})-g_{i}({\vec {x}},t)+G_{i}=\Omega (g).}$

Оператор столкновений часто аппроксимируется оператором столкновений БГК при условии, что он также удовлетворяет законам сохранения:

${\displaystyle \Omega (f)={\frac {1}{\tau _{f}}}(f_{i}^{\text{eq}}-f_{i}),}$

${\displaystyle \Omega (g)={\frac {1}{\tau _{g}}}(g_{i}^{\text{eq}}-g_{i}).}$

В операторе столкновения есть дискретная, равновесная функция распределения вероятностей частиц . В D2Q9 и D3Q19 она показана ниже для несжимаемого потока в непрерывной и дискретной форме, где D , R и T — размерность, универсальная газовая постоянная и абсолютная температура соответственно. Частичный вывод для непрерывной в дискретную форму обеспечивается посредством простого вывода до точности второго порядка. ${\displaystyle f_{i}^{\text{eq}}}$

${\displaystyle f^{\text{eq}}={\frac {\rho }{(2\pi RT)^{D/2}}}e^{-{\frac {({\vec {e}}-{\vec {u}})^{2}}{2RT}}}}$

${\displaystyle ={\frac {\rho }{(2\pi RT)^{D/2}}}e^{-{\frac {({\vec {e}})^{2}}{2RT}}}e^{{\frac {{\vec {e}}{\vec {u}}}{RT}}-{\frac {{\vec {u}}^{2}}{2RT}}}}$

${\displaystyle ={\frac {\rho }{(2\pi RT)^{D/2}}}e^{-{\frac {({\vec {e}})^{2}}{2RT}}}\left(1+{\frac {{\vec {e}}{\vec {u}}}{RT}}+{\frac {({\vec {e}}{\vec {u}})^{2}}{2(RT)^{2}}}-{\frac {{\vec {u}}^{2}}{2RT}}+...\right)}$

Сдача дает конечный результат: ${\displaystyle c={\sqrt {3RT}}}$

${\displaystyle f_{i}^{eq}=\omega _{i}\rho \left(1+{\frac {3{\vec {e}}_{i}{\vec {u}}}{c^{2}}}+{\frac {9({\vec {e}}_{i}{\vec {u}})^{2}}{2c^{4}}}-{\frac {3({\vec {u}})^{2}}{2c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle g^{eq}={\frac {\rho ({\vec {e}}-{\vec {u}})^{2}}{2(2\pi RT)^{D/2}}}e^{-{\frac {({\vec {e}}-{\vec {u}})^{2}}{2RT}}}}$

${\displaystyle \omega _{i}={\begin{cases}4/9&i=0\\1/9&i=1,2,3,4\\1/36&i=5,6,7,8\\\end{cases}}}$

${\displaystyle \omega _{i}={\begin{cases}1/3&i=0\\1/18&i=1,2,...,5,6\\1/36&i=7,8,...,17,18\\\end{cases}}}$

Поскольку уже проделана большая работа по однокомпонентному потоку, будет обсуждаться следующая TLBM. Многокомпонентная/многофазная TLBM также более интригующая и полезная, чем просто один компонент. Чтобы соответствовать текущим исследованиям, определите набор всех компонентов системы (т. е. стенки пористых сред, множественные жидкости/газы и т. д.) с элементами . ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \sigma _{j}}$

${\displaystyle f_{i}^{\sigma }({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta _{t},t+\delta _{t})-f_{i}^{\sigma }({\vec {x}},t)+F_{i}={\frac {1}{\tau _{f}^{\sigma }}}(f_{i}^{\sigma ,eq}(\rho ^{\sigma },v^{\sigma })-f_{i}^{\sigma })}$

Параметр релаксации, , связан с кинематической вязкостью , , следующим соотношением: ${\displaystyle \tau _{f}^{\sigma _{j}}\,\!}$ ${\displaystyle \nu _{f}^{\sigma _{j}}\,\!}$

${\displaystyle \nu _{f}^{\sigma _{j}}=(\tau _{f}^{\sigma _{j}}-0.5)c_{s}^{2}\delta _{t}.}$

Моменты дают локальные сохраняющиеся величины. Плотность определяется как ${\displaystyle f_{i}\,\!}$

${\displaystyle \rho =\sum _{\sigma }\sum _{i}f_{i}\,\!}$

${\displaystyle \rho \epsilon =\sum _{i}g_{i}\,\!}$

${\displaystyle \rho ^{\sigma }=\sum _{i}f_{i}^{\sigma }\,\!}$

а средневзвешенная скорость, и локальный импульс определяются как ${\displaystyle {\vec {u'}}\,\!}$

${\displaystyle {\vec {u'}}=\left(\sum _{\sigma }{\frac {\rho ^{\sigma }{\vec {u^{\sigma }}}}{\tau _{f}^{\sigma }}}\right)/\left(\sum _{\sigma }{\frac {\rho ^{\sigma }}{\tau _{f}^{\sigma }}}\right)}$

${\displaystyle \rho ^{\sigma }{\vec {u^{\sigma }}}=\sum _{i}f_{i}^{\sigma }{\vec {e}}_{i}.}$

${\displaystyle v^{\sigma }={\vec {u'}}+{\frac {\tau _{f}^{\sigma }}{\rho ^{\sigma }}}{\vec {F}}^{\sigma }}$

В приведенном выше уравнении для равновесной скорости термин представляет собой силу взаимодействия между компонентом и другими компонентами. Он по-прежнему является предметом многочисленных дискуссий, поскольку обычно является параметром настройки, который определяет, как взаимодействуют жидкость-жидкость, жидкость-газ и т. д. Франк и др. перечисляют текущие модели для этого термина силы. Обычно используемые производные — это хромодинамическая модель Гунстенсена, подход Свифта на основе свободной энергии как для систем жидкость/пар, так и для бинарных жидкостей, модель Хе на основе межмолекулярного взаимодействия, подход Инамуро и подход Ли и Лина. ^[18] ${\displaystyle v^{\sigma }\,\!}$ ${\displaystyle {\vec {F}}^{\sigma }\,\!}$

Ниже приводится общее описание , данное несколькими авторами. ^{[19] [20]} ${\displaystyle {\vec {F}}^{\sigma }\,\!}$

${\displaystyle {\vec {F}}^{\sigma }=-\psi ^{\sigma }({\vec {x}})\sum _{\sigma _{j}}H^{\sigma \sigma _{j}}({\vec {x}},{\vec {x}}')\sum _{i}\psi ^{\sigma _{j}}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}){\vec {e}}_{i}\,\!}$

${\displaystyle \psi ({\vec {x}})\,\!}$— эффективная масса, а — функция Грина, представляющая межчастичное взаимодействие с соседним сайтом. Удовлетворяя и где представляет силы отталкивания. Для D2Q9 и D3Q19 это приводит к ${\displaystyle H({\vec {x}},{\vec {x}}')\,\!}$ ${\displaystyle {\vec {x}}'\,\!}$ ${\displaystyle H({\vec {x}},{\vec {x}}')=H({\vec {x}}',{\vec {x}})\,\!}$ ${\displaystyle H({\vec {x}},{\vec {x}}')>0\,\!}$

${\displaystyle H^{\sigma \sigma _{j}}({\vec {x}},{\vec {x}}')={\begin{cases}h^{\sigma \sigma _{j}}&\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|\leq c\\0&\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|>c\\\end{cases}}}$

${\displaystyle H^{\sigma \sigma _{j}}({\vec {x}},{\vec {x}}')={\begin{cases}h^{\sigma \sigma _{j}}&\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|=c\\h^{\sigma \sigma _{j}}/2&\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|={\sqrt {2c}}\\0&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}$

Эффективная масса, предложенная Шанем и Ченом, использует следующую эффективную массу для однокомпонентной многофазной системы . Уравнение состояния также дано при условии однокомпонентности и многофазности.

${\displaystyle \psi ({\vec {x}})=\psi (\rho ^{\sigma })=\rho _{0}^{\sigma }\left[1-e^{(-\rho ^{\sigma }/\rho _{0}^{\sigma })}\right]\,\!}$

${\displaystyle p=c_{s}^{2}\rho +c_{0}h[\psi ({\vec {x}})]^{2}\,\!}$

До сих пор кажется, что и являются свободными константами для настройки, но после включения в уравнение состояния системы (УС) они должны удовлетворять термодинамическим соотношениям в критической точке, таким образом, что и . Для УС равно 3,0 для D2Q9 и D3Q19, тогда как для D3Q15 оно равно 10,0. ^[21] ${\displaystyle \rho _{0}^{\sigma }\,\!}$ ${\displaystyle h^{\sigma \sigma _{j}}\,\!}$ ${\displaystyle (\partial P/\partial {\rho })_{T}=(\partial ^{2}P/\partial {\rho ^{2}})_{T}=0\,\!}$ ${\displaystyle p=p_{c}\,\!}$ ${\displaystyle c_{0}\,\!}$

^{Позже Юань и Шефер [22]} показали , что эффективную плотность массы необходимо изменить для более точного моделирования многофазного потока. Они сравнили уравнения состояния Шаня и Чена (SC), Карнахана-Старлинга (C–S), Ван-дер-Ваальса (vdW), Редлиха-Квонга (R–K), Редлиха-Квонга Соаве (RKS) и Пенга-Робинсона (P–R). Их результаты показали, что уравнение состояния SC было недостаточным, а уравнения состояния C–S, P–R, R–K и RKS являются более точными при моделировании многофазного потока одного компонента.

Для популярных изотермических методов решеточного Больцмана это единственные сохраняющиеся величины. Тепловые модели также сохраняют энергию и, следовательно, имеют дополнительную сохраняющуюся величину:

${\displaystyle \rho \theta +\rho uu=\sum _{i}f_{i}{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{i}.}$

Неструктурированные сетки

Обычно решеточные методы Больцмана реализуются на регулярных сетках. Однако использование неструктурированной сетки может помочь в решении сложных границ; неструктурированные сетки состоят из треугольников или тетраэдров с вариациями.

Предполагая, что объем образован всеми барицентрами тетраэдров, гранями и ребрами, соединенными с вершиной , дискретная функция плотности скорости: ${\displaystyle \Omega ^{j}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}^{j}}$

${\displaystyle f_{i}({\boldsymbol {v}}^{j},t+\delta t)=f_{i}({\boldsymbol {v}}^{j},t)-\delta t\sum _{k}S_{i}^{jk}f_{i}({\boldsymbol {v}}^{k},t)-{\delta t \over \tau }\sum _{k}C^{jk}(f_{i}({\boldsymbol {v}}^{k},t)-f_{i}^{eq}({\boldsymbol {v}}^{k}))}$

где — положение вершины и ее соседей, а также: ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}^{k}}$

${\displaystyle C^{jk}={1 \over V^{j}}\int _{\Omega ^{j}}w_{k}({\boldsymbol {x}})d\Omega }$

${\displaystyle S_{i}^{jk}={1 \over V^{j}}\oint _{\partial \Omega ^{j}}({\vec {e_{i}}}{\vec {n}})w_{k}({\boldsymbol {x}})d\Omega }$

где — вес линейной интерполяции по вершинам треугольника или тетраэдра, лежащих внутри. ^[23] ${\displaystyle w_{k}({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

Приложения

В последние годы LBM показал себя мощным инструментом для решения задач в различных масштабах длины и времени. Некоторые из приложений LBM включают:

• Потоки в пористой среде ^[24]
• Биомедицинские потоки
• Науки о Земле (фильтрация почвы).
• Энергетические науки (Топливные элементы ^[25] ).

Пример реализации

Это базовая реализация LBM на сетке 100x100 с использованием Python:

#Это симулятор жидкости, использующий метод решетчатого Больцмана.#Используется D2Q9 и периодическая граница, внешняя библиотека не используется.#Он генерирует две ряби на 50,50 и 50,40.#Ссылка: Магистерская диссертация Эрленда Магнуса Виггена «Метод решеточного Больцмана и его применение в акустике».#Для Википедии по лицензии CC-BY-SA.импорт  математики#Определение некоторых утилитdef  sum ( а ): с = 0 для  е  в  а : с = с + е вернуть  с#Веса в D2Q9Веса = [ 1 / 36 , 1 / 9 , 1 / 36 , 1 / 9 ,  4 / 9 , 1 / 9 , 1 / 36 , 1 / 9 , 1 / 36 ]#Дискретные векторы скоростиДискретныеВекторыСкорости = [[ - 1 , 1 ],[ 0 , 1 ],[ 1 , 1 ], [ - 1 , 0 ],[ 0 , 0 ],[ 1 , 0 ], [ - 1 , - 1 ],[ 0 , - 1 ],[ 1 , - 1 ]]#Класс Field2Dкласс  Поле2D (): def  __init__ ( self , res  :  int ): сам . поле = [] для  b  в  диапазоне ( рез ): фм = [] для  a  в  диапазоне ( рез ): фм . добавить ([ 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ]) сам.поле.добавить ( fm [ : ] )​ сам . рез  =  рез #Это визуализирует симуляцию, может использоваться только в терминале. @статичныйметод определение  VisualizeField ( a , sc , res ): строка = "" для  u  в  диапазоне ( рез ): строка = "" для  v  в  диапазоне ( рез ): n = int ( u * a . res / res ) x = int ( v * a . res / res ) flowmomentem = a . Импульс ( n , x ) col = " \033 [38;2; {0} ; {1} ; {2} м██" . формат ( int ( 127 + sc * flowmomentem [ 0 ]), int ( 127 + sc * flowmomentem [ 1 ]), 0 ) строка = строка + столбец печать ( строка ) строкаr = строкаr + строка + " \n " Возвращаемая  строкаr #Импульс поля определение  импульса ( self , x , y ): вернуть  velocityField [ y ][ x ][ 0 ] * сумма ( self . field [ y ][ x ]), velocityField [ y ][ x ][ 1 ] * сумма ( self . field [ y ][ x ])#Разрешение симуляциирез = 100а = Поле2D ( рез )#Поле скоростиПоле скорости = []для  DummyVariable  в  диапазоне ( res ): DummyList = [] для  DummyVariable2  в  диапазоне ( res ): DummyList . добавить ([ 0 , 0 ]) velocityField.append ( DummyList [: ] )#Поле плотностиПлотностьПоле = []для  DummyVariable  в  диапазоне ( res ): DummyList = [] для  DummyVariable2  в  диапазоне ( res ): DummyList . добавить ( 1 ) DensityField . добавить ( DummyList [:])#Установить начальное условиеПлотностьПоле [ 50 ][ 50 ] = 2ПлотностьПоле [ 40 ][ 50 ] = 2#Максимальное количество шагов решенияМакс. количество шагов  =  120#Скорость звука, а именно 1/sqrt(3) ~ 0,57СкоростьЗвука = 1 / математика . квадратный корень ( 3 )#константа релаксации времениКонстантаВремениРелаксации = 0,5#Решатьдля  s  в  диапазоне ( MaxSteps ): #Столкновение Шаг df = Поле2D ( рез ) для  y  в  диапазоне ( рез ): для  x  в  диапазоне ( рез ): для  v  в  диапазоне ( 9 ): Скорость = a . поле [ y ][ x ][ v ] Первый член = Скорость #Скорость потока СкоростьПотока = ПолеСкорости [ y ][ x ] Пунктир = СкоростьПотока [ 0 ] * ДискретныеВекторыСкорости [ v ][ 0 ] + СкоростьПотока [ 1 ] * ДискретныеВекторыСкорости [ v ][ 1 ] # #Расширение Тейлора для члена равновесия Тейлор = 1 + (( Точечный ) / ( СкоростьЗвука ** 2 )) + (( Точечный ** 2 ) / ( 2 * СкоростьЗвука ** 4 )) - (( СкоростьПотока [ 0 ] ** 2 + СкоростьПотока [ 1 ] ** 2 ) / ( 2 * СкоростьЗвука ** 2 )) #Плотность тока плотность = ПолеПлотности [ y ][ x ] #Равновесие равновесие = плотность * тейлор * вес [ v ] ВторойСлагаемый = ( равновесие - скорость ) / постоянная времени релаксации df.field [ y ] [ x ] [ v ] = FirstTerm + SecondTerm #Шаг потоковой передачи для  y  в  диапазоне ( 0 , res ): для  x  в  диапазоне ( 0 , res ): для  v  в  диапазоне ( 9 ): #Цель, точка решетки, которую решает эта итерация TargetY = y + DiscreteVelocityVectors [ v ][ 1 ] TargetX = x + DiscreteVelocityVectors [ v ][ 0 ] # Периодическая граница если  TargetY  ==  res  и  TargetX  ==  res : а . поле [ TargetY - разрешение ][ TargetX - разрешение ][ v ] = df . поле [ y ][ x ][ v ] elif  TargetX  ==  res : а . поле [ TargetY ][ TargetX - res ][ v ] = df . поле [ y ][ x ][ v ] elif  TargetY  ==  res : а . поле [ ЦельY - рез ][ ЦельX ][ v ] = df . поле [ y ][ x ][ v ] elif  TargetY  ==  - 1  и  TargetX  ==  - 1 : а . поле [ ЦельY + рез ][ ЦельX + рез ][ v ] = df . поле [ y ][ x ][ v ]  elif  TargetX  ==  - 1 : а . поле [ ЦельY ][ ЦельX + рез ][ v ] = df . поле [ y ][ x ][ v ] elif  TargetY  ==  - 1 : а . поле [ ЦельY + рез ][ ЦельX ][ v ] = df . поле [ y ][ x ][ v ] еще : а . поле [ ЦельY ][ ЦельX ][ v ] = df . поле [ y ][ x ][ v ] #Рассчитать макроскопические переменные для  y  в  диапазоне ( рез ): для  x  в  диапазоне ( рез ): #Пересчитать поле плотности DensityField [ y ][ x ] = сумма ( a . field [ y ][ x ]) #Пересчитать скорость потока Скорость потока = [ 0 , 0 ] для  DummyVariable  в  диапазоне ( 9 ): СкоростьПотока [ 0 ] = СкоростьПотока [ 0 ] + ДискретныеВекторыСкорости [ ПсевдоПеременная ][ 0 ] * a . поле [ y ][ x ][ ПсевдоПеременная ] для  DummyVariable  в  диапазоне ( 9 ): СкоростьПотока [ 1 ] = СкоростьПотока [ 1 ] + ДискретныеВекторыСкорости [ ПсевдоПеременная ][ 1 ] * a . поле [ y ][ x ][ ПсевдоПеременная ] СкоростьПотока [ 0 ] = СкоростьПотока [ 0 ] / ПолеПлотности [ y ][ x ] СкоростьПотока [ 1 ] = СкоростьПотока [ 1 ] / ПолеПлотности [ y ][ x ] #Вставить в поле скорости Поле скорости [ y ][ x ] = Скорость потока #Визуализируйте Field2D.VisualizeField ( a , 128,100 )​​​​

Внешние ссылки

• Метод LBM
• Метод энтропийной решетки Больцмана (ELBM)
• dsfd.org: Веб-сайт ежегодной серии конференций DSFD (с 1986 г. по настоящее время), где обсуждаются достижения в теории и применении метода решеточного Больцмана.
• Сайт ежегодной конференции ICMMES по решеточным методам Больцмана и их приложениям

Дальнейшее чтение

• Дойч, Андреас; Сабина Дорманн (2004). Моделирование клеточного автомата формирования биологических паттернов . Birkhäuser Verlag . ISBN 978-0-8176-4281-5.
• Succi, Sauro (2001). Уравнение решеточного Больцмана для динамики жидкости и не только . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-850398-9.
• Wolf-Gladrow, Dieter (2000). Решеточно-газовые клеточные автоматы и решеточные модели Больцмана . Springer Verlag . ISBN 978-3-540-66973-9.
• Sukop, Michael C.; Daniel T. Thorne, Jr. (2007). Моделирование решеточного Больцмана: Введение для геологов и инженеров . Springer . ISBN 978-3-540-27981-5.
• Цзянь Го Чжоу (2004). Методы решеточного Больцмана для мелководных течений . Springer . ISBN 978-3-540-40746-1.
• Хе, С., Чен, С., Дулен, Г. (1998). Новая тепловая модель для метода решеточного Больцмана в пределе несжимаемости . Academic Press .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Го, З. Л.; Шу, К. (2013). Метод решеточного Больцмана и его применение в инженерии . World Scientific Publishing .
• Хуан, Х.; М. С. Сукоп; XY. Лу (2015). Многофазные решеточные методы Больцмана: теория и применение . Wiley-Blackwell . ISBN 978-1-118-97133-8.
• Крюгер, Т.; Кусумаатмая, Х.; Кузьмин А.; Шардт, О.; Сильва, Г.; Вигген, Э.М. (2017). Решетчатый метод Больцмана: принципы и практика . Спрингер Верлаг . ISBN 978-3-319-44647-9.

Примечания

1. Chen, Shiyi; Doolen, Gary D. (1998). «Метод решеточного Больцмана для потоков жидкости». Annual Review of Fluid Mechanics . 30 (1): 329–364. Bibcode : 1998AnRFM..30..329C. doi : 10.1146/annurev.fluid.30.1.329. ISSN  0066-4189.
2. Axner, L.; Bernsdorf, J.; Zeiser, T.; Lammers, P.; Linxweiler, J.; Hoekstra, AG (2008-05-01). "Оценка производительности параллельного решателя Больцмана на разреженной решетке". Journal of Computational Physics . 227 (10): 4895–4911. Bibcode : 2008JCoPh.227.4895A. doi : 10.1016/j.jcp.2008.01.013. ISSN  0021-9991.
3. Бхатнагар, ПЛ; Гросс, ЭП; Крук, М. (1954-05-01). «Модель для процессов столкновений в газах. I. Малоамплитудные процессы в заряженных и нейтральных однокомпонентных системах». Physical Review . 94 (3): 511–525. Bibcode :1954PhRv...94..511B. doi :10.1103/PhysRev.94.511. ISSN  0031-899X.
4. Амир Х. Хеджрипур, Дэвид П. Каллаган и Том Э. Балдок, Обобщенное преобразование метода решетчатого Больцмана для мелководных течений, https://doi.org/10.1080/00221686.2016.1168881
5. Чжан, Цзюньфэн (2011-01-01). «Метод решеточного Больцмана для микрофлюидики: модели и приложения». Микрофлюидика и нанофлюидика . 10 (1): 1–28. doi :10.1007/s10404-010-0624-1. ISSN  1613-4990.
6. Ту, Цзиюань; Йео, Гуань Хэн; Лю, Чаоцюнь (2018). Вычислительная гидродинамика: практический подход (третье изд.). Оксфорд; Кембридж, Массачусетс: Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-08-101127-0. OCLC  1022830545.
7. Суччи, стр. 68
8. Суччи, Приложение D (стр. 261-262)
9. Суччи, глава 8.3, с. 117-119
10. Ди Риенцо, А. Фабио; Асинари, Пьетро; Кьяваццо, Элиодоро; Прасианакис, Николаос; Манцарас, Джон (2012). «Решеточная модель Больцмана для моделирования реактивного потока» (PDF) . ЭПЛ . 98 (3): 34001. Бибкод : 2012EL.....9834001D. дои : 10.1209/0295-5075/98/34001. S2CID  121908046.
11. Кьяваццо, Элиодоро; Карлин, Илья; Горбань, Александр; Булухос, Константинос (2010). «Связь метода редукции модели с методом решеточного Больцмана для моделирования горения». Combust. Flame . 157 (10): 1833–1849. Bibcode : 2010CoFl..157.1833C. doi : 10.1016/j.combustflame.2010.06.009.
12. Кьяваццо, Элиодоро; Карлин, Илья; Горбань, Александр; Булухос, Константинос (2012). «Эффективное моделирование подробных полей горения с помощью метода решеточного Больцмана». Международный журнал численных методов для тепловых и жидкостных потоков . 21 (5): 494–517. doi :10.1108/09615531111135792. S2CID  122060895.
13. Кьяваццо, Элиодоро; Карлин, Илья; Горбань, Александр; Булухос, Константинос (2009). «Моделирование горения с помощью решеточного Больцмана и сокращенной химической кинетики». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2009 (6): P06013. Bibcode : 2009JSMTE..06..013C. doi : 10.1088/1742-5468/2009/06/P06013. S2CID  6459762.
14. Макнамара, Г., Гарсия, А. и Олдер, Б., «Гидродинамически правильная тепловая решеточная модель Больцмана», Журнал статистической физики, т. 87, № 5, стр. 1111-1121, 1997.
15. Шан, Сяовэнь (1997). «Моделирование конвекции Рэлея-Бенара с использованием метода решеточного Больцмана». Physical Review E. 55 ( 3): 2780–2788. arXiv : comp-gas/9612001 . Bibcode : 1997PhRvE..55.2780S. doi : 10.1103/PhysRevE.55.2780.
16. Хе, Сяои; Чэнь, Шии; Дулен, Гэри Д. (10 октября 1998 г.). «Новая тепловая модель для метода решеточного Больцмана в пределе несжимаемости». Журнал вычислительной физики . 146 (1): 282–300. Bibcode : 1998JCoPh.146..282H. doi : 10.1006/jcph.1998.6057.
17. Чен, С. и Дулен, Г. Д., «Метод решеточного Больцмана для потоков жидкости. Архивировано 25 февраля 2019 г. в Wayback Machine », Annual Review of Fluid Mechanics, т. 30, стр. 329–364, 1998.
18. Франк, X., Алмейда, Г., Перре, П., «Многофазный поток в сосудистой системе древесины: от микроскопического исследования до трехмерных экспериментов решеточного Больцмана», Международный журнал многофазного потока, т. 36, стр. 599-607, 2010.
19. Юань, П., Шефер, Л. , «Уравнения состояния в решеточной модели Больцмана», Физика жидкостей, т. 18, 2006.
20. Хартинг, Йенс; Чин, Джонатан; Вентуроли, Маддалена; Ковени, Питер В. (2005). «Крупномасштабное решеточное моделирование Больцмана сложных жидкостей: достижения благодаря появлению вычислительных сеток». Философские труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 363 (1833): 1895–1915. arXiv : cs/0501021 . Bibcode : 2005RSPTA.363.1895H. doi : 10.1098/rsta.2005.1618.
21. Юань, П., Шефер, Л. , «Модель двухфазного течения Больцмана с тепловой решеткой и ее применение к задачам теплопередачи — Часть 1. Теоретическая основа», Журнал гидротехники 142-150, т. 128, 2006.
22. Юань, П.; Шефер, Л. (2006). «Уравнения состояния в решеточной модели Больцмана». Физика жидкостей . 18 (4): 042101–042101–11. Bibcode : 2006PhFl...18d2101Y. doi : 10.1063/1.2187070.
23. Мишталь, Марек Кшиштоф; Эрнандес-Гарсия, Аньер; Матен, Растин; Соренсен, Хеннинг Ошольм; Матисен, Иоахим (9 сентября 2014 г.). «Детальный анализ решеточного метода Больцмана на неструктурированных сетках». arXiv : 1409.2754 [физика.flu-dyn].
24. Фу, Цзиньлун; Донг, Цзябин; Ван, Юнлян; Цзюй, Ян; Оуэн, Д. Роджер Дж.; Ли, Чэньфэн (апрель 2020 г.). «Эффект разрешения: модель коррекции ошибок для собственной проницаемости пористых сред, оцененной по методу решеточного Больцмана». Транспорт в пористых средах . 132 (3): 627–656. Bibcode : 2020TPMed.132..627F. doi : 10.1007/s11242-020-01406-z. S2CID  214648297.
25. Эспиноза, Майкен (2015). «Влияние сжатия на пористость, извилистость газовой фазы и газопроницаемость в моделируемом слое диффузии газа PEM». Международный журнал энергетических исследований . 39 (11): 1528–1536. Bibcode : 2015IJER...39.1528E. doi : 10.1002/er.3348 . S2CID  93173199.