Концепция общей теории относительности
Действие Эйнштейна -Гильберта в общей теории относительности — это действие , которое приводит к уравнениям поля Эйнштейна посредством принципа стационарного действия . С метрической сигнатурой (− + + +) гравитационная часть действия задается как [1]
![{\displaystyle S={1 \over 2\kappa }\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – определитель матрицы метрического тензора , – скаляр Риччи , – гравитационная постоянная Эйнштейна ( – гравитационная постоянная , – скорость света в вакууме). Если оно сходится, то интеграл берется по всему пространству-времени . Если оно не сходится, оно больше не является четко определенным, а модифицированное определение, в котором интегрируется по сколь угодно большим, относительно компактным областям, по-прежнему дает уравнение Эйнштейна как уравнение Эйлера-Лагранжа действия Эйнштейна-Гильберта. Действие было предложено [2] Дэвидом Гильбертом в 1915 году как часть применения им вариационного принципа к комбинации гравитации и электромагнетизма. [3] : 119 ![{\displaystyle g=\det(g_ {\mu \nu})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \kappa =8\pi Gc^{-4}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle с}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обсуждение
Вывод уравнений движения на основе действия имеет ряд преимуществ. Во-первых, это позволяет легко объединить общую теорию относительности с другими классическими теориями поля (такими как теория Максвелла ), которые также формулируются в терминах действия. При этом вывод идентифицирует естественного кандидата на роль исходного термина, связывающего метрику с полями материи. Более того, симметрия действия позволяет легко идентифицировать сохраняющиеся величины с помощью теоремы Нётер .
В общей теории относительности обычно предполагается, что действие является функционалом метрики (и полей материи), а связь задается связью Леви-Чивита . Формулировка общей теории относительности Палатини предполагает , что метрика и связь независимы и варьируются относительно обеих независимо, что позволяет включать поля фермионной материи с нецелым спином.
Уравнения Эйнштейна в присутствии материи задаются путем добавления действия материи к действию Эйнштейна – Гильберта.
Вывод уравнений поля Эйнштейна
Предположим, что полное действие теории определяется членом Эйнштейна–Гильберта плюс членом, описывающим любые поля материи, встречающиеся в теории.![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тогда принцип стационарного действия говорит нам, что для восстановления физического закона мы должны потребовать, чтобы изменение этого действия по отношению к обратной метрике было равно нулю, что дает
.
Поскольку это уравнение должно выполняться для любого изменения , из него следует, что![{\displaystyle \delta g^{\mu \nu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
— уравнение движения метрического поля. Правая часть этого уравнения (по определению) пропорциональна тензору энергии-импульса , [4]
.
Для вычисления левой части уравнения нам нужны вариации скаляра Риччи и определителя метрики. Их можно получить с помощью стандартных расчетов из учебников, таких как приведенный ниже, который в значительной степени основан на расчете, приведенном в Carroll (2004). [5]![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Вариация скаляра Риччи
Изменение скаляра Риччи следует из изменения тензора кривизны Римана , а затем и тензора кривизны Риччи .
Первый шаг отражен в тождестве Палатини.
.
Тогда , используя правило произведения, изменение скаляра Риччи становится![{\displaystyle R=g^{\sigma \nu }R_ {\sigma \nu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+g^{\sigma \nu }\delta R_ {\sigma \nu }\\ &=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+\nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^ {\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _ {\mu \sigma }^{\mu }\right),\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где мы также использовали метрическую совместимость и переименовали индексы суммирования в последнем члене.![{\displaystyle \nabla _{\sigma }g^{\mu \nu }=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\rho,\nu)\rightarrow (\mu,\rho)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
При умножении на этот член становится полной производной , поскольку для любого вектора и любой тензорной плотности мы имеем ![{\displaystyle {\sqrt {-g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\sqrt {-g}}\,A^{\lambda }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
или .![{\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\nabla _ {\mu }A^{\mu }=\nabla _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{ \mu }\right)=\partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{\mu }\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
По теореме Стокса это дает граничный член только при интегрировании. Граничный член вообще не равен нулю, поскольку подынтегральная функция зависит не только от своих частных производных, но и от них ; Подробности см. в статье «Граничный термин Гиббонса – Хокинга – Йорка» . Однако когда вариация метрики обращается в нуль в окрестности границы или когда граница отсутствует, этот член не дает вклада в вариацию действия. Таким образом, мы можем забыть об этом члене и просто получить![{\displaystyle \delta g^{\mu \nu},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial _ {\lambda }\,\delta g^{\mu \nu } \equiv \delta \,\partial _ {\lambda }g^{\mu \nu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta g^{\mu \nu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
на мероприятиях не по закрытию границы.
Изменение определителя
Формула Якоби , правило дифференцирования определителя , дает:
,
или можно преобразовать в систему координат, где есть диагональ, а затем применить правило произведения, чтобы дифференцировать произведение факторов на главной диагонали. Используя это, мы получаем![{\displaystyle g_ {\mu \nu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {-g}}}}\delta g={\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left (g_ {\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В последнем равенстве мы использовали тот факт, что
![{\displaystyle g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu } = -g^{\mu \nu }\delta g_ {\mu \nu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
которое следует из правила дифференцирования обратной матрицы
.
Таким образом, мы заключаем, что
Уравнение движения
Теперь, когда в нашем распоряжении есть все необходимые вариации, мы можем подставить ( 3 ) и ( 4 ) в уравнение движения ( 2 ) метрического поля, чтобы получить
что представляет собой уравнения поля Эйнштейна , и
![{\displaystyle \kappa = {\frac {8\pi G}{c^{4}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
был выбран таким образом, что нерелятивистский предел дает обычную форму закона гравитации Ньютона , где – гравитационная постоянная ( подробности см. здесь ).![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Космологическая постоянная
Когда космологическая постоянная Λ включена в лагранжиан , действие:
![{\displaystyle S=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}(R-2\Lambda)+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\ sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Взяв вариации относительно обратной метрики:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&=\int \left[{\frac {\sqrt {-g}}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\ mu \nu }}}+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\ frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\sqrt {-g}}{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }{\ frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{4}x\ \&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{2 \kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\ frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {{\mathcal {L} }_ {\mathrm {M} }}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right] \delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Используя принцип действия :
![{\displaystyle 0=\delta S={\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R} 2\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{ \frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \ nu }}}+{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {{\mathcal {L }}_{\mathrm {M} }}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Объединив это выражение с результатами, полученными ранее:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}&=R_{\mu \nu }\\{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}&={\frac {-g_{\mu \nu }} 2}}\\T_{\mu \nu }&={\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g_{\mu \nu }-2{\frac {\delta {\mathcal {L} }_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Мы можем получить:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2\kappa }}R_{\mu \nu }+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}+\left({\frac {\delta {\ mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }{\frac {-g_{ \mu \nu }}{2}}\right)&=0\\R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }+\kappa \left(2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\mathcal { L}}_{\mathrm {M} }g_{\mu \nu }\right)&=0\\R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }-\kappa T_{\mu \nu }&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
При , выражение принимает вид уравнений поля с космологической постоянной :![{\textstyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_ {\mu \nu }R+\Lambda g_ {\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c ^{4}}}T_{\mu \nu }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Примечания
- ^ Фейнман, Ричард П. (1995). Фейнмановские лекции по гравитации . Аддисон-Уэсли. п. 136, экв. (10.1.2). ISBN 0-201-62734-5.
- ^ Гильберт, Дэвид (1915), «Die Grundlagen der Physik» [Основы физики], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком языке), 3 : 395–407
- ^ Мехра, Джагдиш (1987). «Эйнштейн, Гильберт и теория гравитации». В Мехре, Джагдиш (ред.). Представление физика о природе (Переиздание). Дордрехт: Рейдель. ISBN 978-90-277-2536-3.
- ^ Блау, Матиас (27 июля 2020 г.), Конспект лекций по общей теории относительности (PDF) , стр. 196
- ^ Кэрролл, Шон М. (2004), Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности , Сан-Франциско: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-8053-8732-2
Библиография
- Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип. С .; Уиллер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
- Уолд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности , Издательство Чикагского университета, ISBN 978-0-226-87033-5
- Кэрролл, Шон М. (2004), Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности , Сан-Франциско: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-8053-8732-2
- Гильберт, Д. (1915) Die Grundlagen der Physik (немецкий оригинал бесплатно) (английский перевод за 25 долларов), Konigl. Гезелл. д. Висс. Геттинген, Нахр. Матем.-Физ. кл. 395-407
- Соколов, Д.Д. (2001) [1994], «Космологическая константа», Математическая энциклопедия , EMS Press
- Фейнман, Ричард П. (1995), Фейнмановские лекции по гравитации , Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-62734-5
- Кристофер М. Хирата, лекция 33: Лагранжева формулировка ОТО (27 апреля 2012 г.).