Кольцо эндоморфизма

Алгебра эндоморфизмов абелевой группы

В математике эндоморфизмы абелевой группы X образуют кольцо . Это кольцо называется кольцом эндоморфизмов X и обозначается End( X ); множество всех гомоморфизмов X в себя. Добавление эндоморфизмов возникает естественным образом поточечным образом , а умножение — через композицию эндоморфизмов . Используя эти операции, множество эндоморфизмов абелевой группы образует (унитальное) кольцо с нулевым отображением в качестве аддитивного тождества и отображением тождества в качестве мультипликативного тождества . ^{[1] [2]} ${\textstyle 0:x\mapsto 0}$ ${\textstyle 1:x\mapsto x}$

Вовлеченные функции ограничены тем, что определяется как гомоморфизм в контексте, который зависит от категории рассматриваемого объекта. Кольцо эндоморфизмов, следовательно, кодирует несколько внутренних свойств объекта. Поскольку кольцо эндоморфизмов часто является алгеброй над некоторым кольцом R, это также может быть названо алгеброй эндоморфизмов .

Абелева группа — это то же самое, что и модуль над кольцом целых чисел , который является исходным объектом в категории колец . Аналогичным образом, если R — любое коммутативное кольцо , эндоморфизмы R -модуля образуют алгебру над R по тем же аксиомам и выводу. В частности, если R — поле , его модули M являются векторными пространствами , а кольцо эндоморфизмов каждого из них является алгеброй над полем R.

Описание

Пусть ( A , +) — абелева группа, и мы рассмотрим гомоморфизмы групп из A в A . Тогда сложение двух таких гомоморфизмов может быть определено поточечно, чтобы произвести другой гомоморфизм групп. Явно, если даны два таких гомоморфизма f и g , сумма f и g является гомоморфизмом f + g  : x ↦ f ( x ) + g ( x ) . При этой операции End( A ) является абелевой группой. С дополнительной операцией композиции гомоморфизмов End( A ) является кольцом с мультипликативным тождеством. Эта композиция явно имеет вид fg  : x ↦ f ( g ( x )) . Мультипликативный тождество является тождественным гомоморфизмом на A . Аддитивные обратные являются поточечными обратными.

Если множество A не образует абелеву группу, то приведенная выше конструкция не обязательно является корректно определенной, поскольку в этом случае сумма двух гомоморфизмов не обязательно является гомоморфизмом. ^[3] Однако замыкание множества эндоморфизмов при указанных выше операциях является каноническим примером почти-кольца, которое не является кольцом.

Характеристики

• Кольца эндоморфизмов всегда имеют аддитивные и мультипликативные тождества , соответственно нулевое отображение и тождественное отображение .
• Кольца эндоморфизмов ассоциативны , но обычно некоммутативны .
• Если модуль простой , то его кольцо эндоморфизмов является телом ( иногда это называют леммой Шура ). ^[4]
• Модуль неразложим тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов не содержит нетривиальных идемпотентных элементов . ^[5] Если модуль является инъективным модулем , то неразложимость эквивалентна тому, что кольцо эндоморфизмов является локальным кольцом . ^[6]
• Для полупростого модуля кольцо эндоморфизмов является регулярным кольцом фон Неймана .
• Кольцо эндоморфизмов ненулевого правого цепного модуля имеет один или два максимальных правых идеала. Если модуль артинов, нётеров, проективный или инъективный, то кольцо эндоморфизмов имеет единственный максимальный идеал, так что оно является локальным кольцом.
• Кольцо эндоморфизмов артинова однородного модуля является локальным кольцом. ^[7]
• Кольцо эндоморфизмов модуля с конечной композиционной длиной является полупримарным кольцом .
• Кольцо эндоморфизмов непрерывного модуля или дискретного модуля является чистым кольцом . ^[8]
• Если модуль R конечно порожден и проективен (то есть является прогенератором ), то кольцо эндоморфизмов модуля и R разделяют все инвариантные свойства Мориты. Фундаментальный результат теории Мориты заключается в том, что все кольца, эквивалентные R, возникают как кольца эндоморфизмов прогенераторов.

Примеры

• В категории R - модулей кольцо эндоморфизмов R - модуля M будет использовать только гомоморфизмы R - модуля , которые обычно являются собственным подмножеством гомоморфизмов абелевой группы. ^[9] Когда M является конечно порождённым проективным модулем , кольцо эндоморфизмов является центральным для эквивалентности Мориты категорий модулей.
• Для любой абелевой группы , , поскольку любая матрица из имеет естественную структуру гомоморфизма следующим образом: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))\cong \operatorname {End} (A^{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))}$ ${\displaystyle A^{n}}$

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi _{11}&\cdots &\varphi _{1n}\\\vdots &&\vdots \\\varphi _{n1}&\cdots &\varphi _{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{1i}(a_{i})\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}\varphi _{ni}(a_{i})\end{pmatrix}}.}$

Этот изоморфизм можно использовать для построения множества некоммутативных колец эндоморфизмов. Например: , поскольку . ${\displaystyle \operatorname {End} (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} )\cong \mathrm {M} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

Кроме того, когда является полем, существует канонический изоморфизм , так что , то есть кольцо эндоморфизмов -векторного пространства отождествляется с кольцом матриц размера n на n с элементами в . ^[10] В более общем смысле, алгебра эндоморфизмов свободного модуля естественным образом является матрицей размера n на n с элементами в кольце . ${\displaystyle R=K}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (K)\cong K}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (K^{n})\cong \mathrm {M} _{n}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M=R^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$

• В качестве частного примера последнего пункта, для любого кольца R с единицей, End ( R _R ) = R , где элементы R действуют на R левым умножением.
• В общем случае кольца эндоморфизмов можно определить для объектов любой предаддитивной категории .

Примечания

1. Фрейли 1976, стр. 211
2. Пассман 1991, стр. 4–5
3. Даммит и Фут, стр. 347
4. Якобсон 2009, стр. 118
5. Якобсон 2009, стр. 111, Предложение 3.1
6. Висбауэр 1991, стр. 163
7. Висбауэр 1991, стр. 263
8. Камилло и др. 2006
9. Абелевы группы можно также рассматривать как модули над кольцом целых чисел.
10. Дрозд и Кириченко 1994, стр. 23–31.

Ссылки

• Камилло, ВП; Хурана, Д.; Лам, ТИ; Николсон, В.К.; Чжоу, И. (2006), «Непрерывные модули чисты», Журнал алгебры , 304 (1): 94–111, doi :10.1016/j.jalgebra.2006.06.032, ISSN  0021-8693, MR  2255822
• Дрозд, Ю. А.; Кириченко, В. В. (1994), Конечномерные алгебры , Берлин: Springer-Verlag, ISBN. 3-540-53380-X
• Даммит, Дэвид; Фут, Ричард, Алгебра
• Фрейли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• «Кольцо эндоморфизмов», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Якобсон, Натан (2009), Основы алгебры , т. 2 (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47187-7
• Пассман, Дональд С. (1991), Курс теории колец, Пасифик Гроув: Уодсворт и Брукс/Коул, ISBN 0-534-13776-8
• Висбауэр, Роберт (1991), Основы теории модулей и колец, Алгебра, логика и приложения, т. 3 (пересмотренное и переведенное с немецкого издания 1988 г.), Филадельфия, Пенсильвания: Gordon and Breach Science Publishers, стр. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, г-н  1144522Справочник для изучения и исследования