F-распределение

Непрерывное распределение вероятностей

В теории вероятностей и статистике F - распределение или F -отношение , также известное как F - распределение Снедекора или распределение Фишера-Снедекора (в честь Рональда Фишера и Джорджа Снедекора ), представляет собой непрерывное распределение вероятностей , которое часто возникает как нулевое распределение. тестовой статистики , особенно в дисперсионном анализе (ANOVA) и других F -тестах . ^{[2] [3] [4] [5]}

Определение

F -распределение со _{степенями свободы} d 1 и d ₂ представляет собой распределение

${\displaystyle X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}}$

где и – независимые случайные величины с распределениями хи-квадрат с соответствующими степенями свободы и . ${\textstyle S_{1}}$ ${\textstyle S_{2}}$ ${\textstyle d_{1}}$ ${\textstyle d_{2}}$

Можно показать, что функция плотности вероятности (pdf) для X определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}}$

для реального x > 0. Вот бета -функция . Во многих приложениях параметры d ₁ и d ₂ являются целыми положительными числами , но распределение четко определено для положительных действительных значений этих параметров. ${\displaystyle \mathrm {B} }$

Кумулятивная функция распределения равна

${\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}$

где I — регуляризованная неполная бета-функция .

Ожидание, дисперсия и другие подробности о F( d ₁ , d ₂ ) приведены во врезке; для d ₂  > 8 избыточный эксцесс равен

${\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}$

k - й момент распределения F( d ₁ , d ₂ ) существует и конечен только тогда, когда 2 k < d ₂ и он равен

${\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.}$^[6]

F - распределение — это особая параметризация простого бета-распределения , которое также называют бета-распределением второго рода.

Характеристическая функция неправильно указана во многих стандартных ссылках (например, ^[3] ). Правильное выражение ^[7] :

${\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma \left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}$

где U ( a , b , z ) — вырожденная гипергеометрическая функция второго рода.

Характеристика

Случайная переменная F -распределения с параметрами возникает как соотношение двух соответственно масштабированных переменных хи-квадрат : ^[8] ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

${\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$

где

• ${\displaystyle U_{1}}$и имеют распределения хи-квадрат со степенями свободы и соответственно, и ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$
• ${\displaystyle U_{1}}$и являются независимыми . ${\displaystyle U_{2}}$

В тех случаях, когда используется F -распределение, например, при дисперсионном анализе , независимость от него может быть продемонстрирована путем применения теоремы Кокрана . ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$

Эквивалентно, случайная величина F -распределения также может быть записана

${\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}},}$

где и , — сумма квадратов случайных величин из нормального распределения , а — сумма квадратов случайных величин из нормального распределения . ^{[ обсудить ] [ нужна ссылка ]} ${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}$ ${\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}$ ${\displaystyle S_{1}^{2}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2})}$ ${\displaystyle S_{2}^{2}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2})}$

Таким образом, в частотном контексте масштабированное F -распределение дает вероятность , причем само F -распределение без какого-либо масштабирования применяется там, где принимается равным . Это контекст, в котором F -распределение чаще всего появляется в F -тестах : где нулевая гипотеза состоит в том, что две независимые нормальные дисперсии равны, а затем исследуются наблюдаемые суммы некоторых правильно выбранных квадратов, чтобы увидеть, является ли их соотношение статистически значимым. несовместимо с этой нулевой гипотезой. ${\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

Величина имеет такое же распределение в байесовской статистике, если в качестве априорных вероятностей и принимается неинформативный априор Джеффриса , инвариантный к масштабированию . ^[9] В этом контексте масштабированное F -распределение, таким образом, дает апостериорную вероятность , где наблюдаемые суммы и теперь считаются известными. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$ ${\displaystyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}$ ${\displaystyle s_{1}^{2}}$ ${\displaystyle s_{2}^{2}}$

Свойства и связанные дистрибутивы

• Если и ( распределение хи-квадрат ) независимы , то ${\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}$ ${\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$
• Если ( Гамма-распределение ) независимы, то ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$
• Если ( бета-распределение ), то ${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$ ${\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$
• Эквивалентно, если , то . ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$
• Если , то имеет бета-простое распределение : . ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}$ ${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}$
• If then имеет распределение хи-квадрат ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}$ ${\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}$
• ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$эквивалентно масштабированному Т-квадратному распределению Хотеллинга . ${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}$
• Если тогда . ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}$
• Если — t-распределение Стьюдента — то: ${\displaystyle X\sim t_{(n)}}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end{aligned}}}$$
• F -распределение является частным случаем распределения Пирсона 6-го типа.
• Если и независимы, с Лапласом( , b ) , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y\sim }$
  $${\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}$$
• Если то ( z-распределение Фишера ) ${\displaystyle X\sim F(n,m)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$
• Нецентральное F -распределение упрощается до F -распределения , если . ${\displaystyle \lambda =0}$
• Дважды нецентральное F -распределение упрощается до F -распределения, если ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}$
• Если – квантиль p для и – квантиль для , то ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}$ ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}$
  $${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}$$
• F -распределение является примером распределения отношений.
• W -распределение ^[10] является уникальной параметризацией F-распределения.

Смотрите также

• Бета-простое распределение
• Распределение хи-квадрат
• Чау-тест
• Гамма-распределение
• Распределение Хотеллинга Т-квадрат
• Лямбда-распределение Уилкса
• Распределение желаний
• Модифицированное полунормальное распределение ^[11] с PDF-файлом задается как , где обозначает пси-функцию Фокса–Райта . ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

Рекомендации

1. Лазо, А.В.; Рэти, П. (1978). «Об энтропии непрерывных вероятностных распределений». Транзакции IEEE по теории информации . IEEE. 24 (1): 120–122. дои : 10.1109/тит.1978.1055832.
2. Джонсон, Норман Ллойд; Сэмюэл Коц; Н. Балакришнан (1995). Непрерывные одномерные распределения, Том 2 (второе издание, раздел 27) . Уайли. ISBN 0-471-58494-0.
3. Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 26». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 946. ИСБН 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
4. НИСТ (2006). Справочник по инженерной статистике - Распределение F
5. Настроение, Александр; Франклин А. Грейбилл; Дуэйн К. Боэс (1974). Введение в теорию статистики (Третье изд.). МакГроу-Хилл. стр. 246–249. ISBN 0-07-042864-6.
6. Табога, Марко. «Распределение F».
7. Филлипс, PCB (1982) «Истинная характеристическая функция распределения F», Biometrika , 69: 261–264 JSTOR  2335882.
8. М. Х. ДеГрут (1986), Вероятность и статистика (2-е изд.), Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-11366-X , стр. 500 
9. GEP Box и GC Tiao (1973), Байесовский вывод в статистическом анализе , Аддисон-Уэсли. п. 110
10. Махмуди, Амин; Джавед, Саад Ахмед (октябрь 2022 г.). «Вероятностный подход к многоэтапной оценке поставщиков: измерение уровня уверенности в порядково-приоритетном подходе». Групповое решение и переговоры . 31 (5): 1051–1096. дои : 10.1007/s10726-022-09790-1. ISSN  0926-2644. ПМК 9409630 . ПМИД  36042813. 
11. Сунь, Цзинчао; Конг, Майинг; Пал, Субхадип (22 июня 2021 г.). «Модифицированное полунормальное распределение: свойства и эффективная схема выборки» (PDF) . Коммуникации в статистике - теория и методы . 52 (5): 1591–1613. дои : 10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.

Внешние ссылки

• Таблица критических значений F-распределения
• Самое раннее использование некоторых слов математики: статья о F-распределении содержит краткую историю.
• Бесплатный калькулятор для F-тестирования