Функция Фейгенбаума

Концепция в динамических системах

При изучении динамических систем термин «функция Фейгенбаума» использовался для описания двух различных функций, введенных физиком Митчеллом Фейгенбаумом : ^[1]

• решение функционального уравнения Фейгенбаума-Цвитановича ; и
• масштабирующая функция, описывающая покрытия аттрактора логистической карты

Идея

Путь к хаосу через удвоение периода

На логистической карте,

у нас есть функция , и мы хотим изучить, что происходит, когда мы итерируем карту много раз. Карта может попасть в фиксированную точку , фиксированный цикл или хаос. Когда карта попадает в устойчивый фиксированный цикл длины , мы обнаружим, что график и график пересекаются в точках, а наклон графика ограничен в этих пересечениях. ${\displaystyle f_{r}(x)=rx(1-x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{r}^{n}}$ ${\displaystyle x\mapsto x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{r}^{n}}$ ${\displaystyle (-1,+1)}$

Например, когда , мы имеем единственное пересечение с наклоном, ограниченным в , что указывает на то, что это устойчивая единственная неподвижная точка. ${\displaystyle r=3.0}$ ${\displaystyle (-1,+1)}$

При увеличении до значения, превышающего , точка пересечения разделяется на две, что является удвоением периода. Например, при , есть три точки пересечения, средняя из которых нестабильна, а две другие стабильны. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=3.0}$ ${\displaystyle r=3.4}$

По мере приближения происходит еще одно удвоение периода таким же образом. Удвоения периода происходят все чаще и чаще, пока в определенный момент удвоения периода не станут бесконечными, и карта не станет хаотичной. Это путь удвоения периода к хаосу . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=3.45}$ ${\displaystyle r\approx 3.56994567}$

Предел масштабирования

Приближение к пределу масштабирования по мере приближения снизу. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$

В точке хаоса , когда мы повторяем удвоения периодов , графики кажутся похожими друг на друга, за исключением того, что они сжимаются к середине и поворачиваются на 180 градусов, сходясь к фракталу. ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$ ${\displaystyle f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots }$

Глядя на изображения, можно заметить, что в точке хаоса кривая выглядит как фрактал. Более того, по мере того, как мы повторяем удвоения периодов , графики кажутся похожими друг на друга, за исключением того, что они сжимаются к середине и поворачиваются на 180 градусов. ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$ ${\displaystyle f_{r^{*}}^{\infty }}$ ${\displaystyle f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots }$

Это подсказывает нам предел масштабирования: если мы многократно удваиваем функцию, а затем увеличиваем ее на для определенной константы : тогда в пределе мы получим функцию, которая удовлетворяет . Далее, по мере того, как интервалы удвоения периода становятся все короче и короче, отношение между двумя интервалами удвоения периода сходится к пределу, первой константе Фейгенбаума . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x)=-\alpha g(g(-x/\alpha ))}$ ${\displaystyle \delta =4.6692016\cdots }$

При неправильных значениях коэффициента масштабирования карта не сходится к пределу, но при она сходится. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$

В точке хаоса , когда мы повторяем итерацию функционального уравнения с , мы обнаруживаем, что отображение действительно сходится к пределу. ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$ ${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$ ${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$

Константу можно численно найти, перебрав множество возможных значений. Для неправильных значений карта не сходится к пределу, но когда она равна , она сходится. Это вторая константа Фейгенбаума. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$

Хаотический режим

В хаотическом режиме пределом итераций карты становятся хаотические темные полосы, перемежаемые нехаотическими светлыми полосами. ${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$

В хаотическом режиме пределом итераций карты становятся хаотические темные полосы, перемежаемые нехаотическими светлыми полосами. ${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$

Другие ограничения масштабирования

При приближении к , мы имеем еще один подход к хаосу с удвоением периода, но на этот раз с периодами 3, 6, 12, ... Это снова имеет те же константы Фейгенбаума . Предел также является той же функцией. Это пример универсальности . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\approx 3.8494344}$ ${\displaystyle \delta ,\alpha }$ ${\textstyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$

Логистическая карта, приближающаяся снизу к пределу масштабирования хаоса с удвоением периода . На пределе это имеет ту же форму, что и , поскольку все пути к хаосу с удвоением периода одинаковы (универсальность). ${\displaystyle r^{*}=3.84943\dots }$ ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$

Мы также можем рассмотреть путь утроения периода к хаосу, выбрав последовательность из , такую, что является наименьшим значением в окне периода бифуркационной диаграммы. Например, у нас есть , с пределом . Это имеет другую пару констант Фейгенбаума . ^[2] И сходится к неподвижной точке к В качестве другого примера, период-4-pling имеет пару констант Фейгенбаума, отличную от пары удвоения периода, хотя период-4-pling достигается двумя удвоениями периода. Подробно определим такой, что является наименьшим значением в окне периода бифуркационной диаграммы. Тогда у нас есть , с пределом . Это имеет другую пару констант Фейгенбаума . ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots }$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle 3^{n}}$ ${\displaystyle r_{1}=3.8284,r_{2}=3.85361,\dots }$ ${\displaystyle r_{\infty }=3.854077963\dots }$ ${\displaystyle \delta =55.26\dots ,\alpha =9.277\dots }$ ${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$ $${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(f(-x/\alpha )))}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots }$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle 4^{n}}$ ${\displaystyle r_{1}=3.960102,r_{2}=3.9615554,\dots }$ ${\displaystyle r_{\infty }=3.96155658717\dots }$ ${\displaystyle \delta =981.6\dots ,\alpha =38.82\dots }$

В общем, каждый путь к хаосу с умножением периодов имеет свою собственную пару констант Фейгенбаума. Фактически, обычно их больше одной. Например, для 7-периодного пути существует по крайней мере 9 различных пар констант Фейгенбаума. ^[2]

В общем случае , и соотношение становится точным, когда оба числа увеличиваются до бесконечности: . ${\textstyle 3\delta \approx 2\alpha ^{2}}$ ${\displaystyle \lim \delta /\alpha ^{2}=2/3}$

Функциональное уравнение Фейгенбаума-Цвитановича

Это функциональное уравнение возникает при изучении одномерных отображений, которые в качестве функции параметра проходят каскад удвоения периода. Открытое Митчеллом Фейгенбаумом и Предрагом Цвитановичем ^[3] , уравнение является математическим выражением универсальности удвоения периода. Оно определяет функцию g и параметр α соотношением

${\displaystyle g(x)=-\alpha g(g(-x/\alpha ))}$

с начальными условиями Для частного вида решения с квадратичной зависимостью решения вблизи x = 0, α = 2,5029... — одна из констант Фейгенбаума . $${\displaystyle {\begin{cases}g(0)=1,\\g'(0)=0,\\g''(0)<0.\end{cases}}}$$

Степенной ряд приблизительно равен ^[4] ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g(x)=1-1.52763x^{2}+0.104815x^{4}+0.026705x^{6}+O(x^{8})}$$

Перенормировка

Функция Фейгенбаума может быть получена с помощью аргумента перенормировки . ^[5]

Функция Фейгенбаума удовлетворяет ^[6] для любого отображения на действительной прямой в начале хаоса. $${\displaystyle g(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{F^{\left(2^{n}\right)}(0)}}F^{\left(2^{n}\right)}\left(xF^{\left(2^{n}\right)}(0)\right)}$$ ${\displaystyle F}$

Функция масштабирования

Масштабирующая функция Фейгенбаума дает полное описание аттрактора логистического отображения в конце каскада удвоения периода. Аттрактор представляет собой множество Кантора , и, как и множество Кантора средней трети, его можно покрыть конечным набором сегментов, каждый из которых больше минимального размера d _n . Для фиксированного d _n набор сегментов образует покрытие Δ _n аттрактора. Отношение сегментов из двух последовательных покрытий, Δ _n и Δ _{n +1,} можно расположить так, чтобы аппроксимировать функцию σ , масштабирующую функцию Фейгенбаума.

Смотрите также

• Логистическая карта
• Функция презентации

Примечания

1. Фейгенбаум, М.Дж. (1976) «Универсальность в сложной дискретной динамике», Теоретический отдел Лос-Аламоса, Годовой отчет 1975-1976 гг.
2. Delbourgo, R.; Hart, W.; Kenny, BG (1985-01-01). "Зависимость универсальных констант от периода умножения в нелинейных отображениях". Physical Review A. 31 ( 1): 514–516. Bibcode :1985PhRvA..31..514D. doi :10.1103/PhysRevA.31.514. ISSN  0556-2791.
3. В сноске на стр. 46 работы Фейгенбаума (1978) говорится: «Это точное уравнение было открыто П. Цвитановичем во время обсуждения и в сотрудничестве с автором».
4. Iii, Oscar E. Lanford (май 1982 г.). «Компьютерное доказательство гипотез Фейгенбаума». Бюллетень (новая серия) Американского математического общества . 6 (3): 427–434. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X . ISSN  0273-0979.
5. Фельдман, Дэвид П. (2019). Хаос и динамические системы. Принстон. ISBN 978-0-691-18939-0. OCLC  1103440222.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
6. Weisstein, Eric W. "Функция Фейгенбаума". mathworld.wolfram.com . Получено 2023-05-07 .

Библиография

• Фейгенбаум, М. (1978). «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований». Журнал статистической физики . 19 (1): 25–52. Bibcode :1978JSP....19...25F. CiteSeerX  10.1.1.418.9339 . doi :10.1007/BF01020332. MR  0501179. S2CID  124498882.
• Фейгенбаум, М. (1979). «Универсальные метрические свойства нелинейных преобразований». Журнал статистической физики . 21 (6): 669–706. Bibcode :1979JSP....21..669F. CiteSeerX  10.1.1.418.7733 . doi :10.1007/BF01107909. MR  0555919. S2CID  17956295.
• Фейгенбаум, Митчелл Дж. (1980). «Переход к апериодическому поведению в турбулентных системах». Сообщения по математической физике . 77 (1): 65–86. Bibcode :1980CMaPh..77...65F. doi :10.1007/BF01205039. S2CID  18314876.
• Эпштейн, Х.; Ласку, Дж. (1981). «Свойства аналитичности функции Фейгенбаума». Commun. Math. Phys . 81 (3): 437–453. Bibcode :1981CMaPh..81..437E. doi :10.1007/BF01209078. S2CID  119924349.
• Фейгенбаум, Митчелл Дж. (1983). «Универсальное поведение в нелинейных системах». Physica . 7D (1–3): 16–39. Bibcode :1983PhyD....7...16F. doi :10.1016/0167-2789(83)90112-4.Связанный как порядок в хаосе, Труды Международной конференции по порядку и хаосу, состоявшейся в Центре нелинейных исследований, Лос-Аламос, Нью-Мексико 87545, США, 24–28 мая 1982 г. , ред. Дэвид Кэмпбелл, Харви Роуз; Северная Голландия, Амстердам ISBN 0-444-86727-9 . 
• Ланфорд III, Оскар Э. (1982). «Компьютерное доказательство гипотез Фейгенбаума». Bull. Am. Math. Soc . 6 (3): 427–434. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X . MR  0648529.
• Кампанино, М.; Эпштейн, Х.; Рюэль, Д. (1982). «О функциональном уравнении Фейгенбаума ». Топология . 21 (2): 125–129. doi :10.1016/0040-9383(82)90001-5. MR  0641996. ${\displaystyle g\circ g(\lambda x)+\lambda g(x)=0}$
• Lanford III, Oscar E. (1984). «Более короткое доказательство существования неподвижной точки Фейгенбаума». Commun. Math. Phys . 96 (4): 521–538. Bibcode :1984CMaPh..96..521L. CiteSeerX  10.1.1.434.1465 . doi :10.1007/BF01212533. S2CID  121613330.
• Эпштейн, Х. (1986). "Новые доказательства существования функций Фейгенбаума" (PDF) . Commun. Math. Phys . 106 (3): 395–426. Bibcode :1986CMaPh.106..395E. doi :10.1007/BF01207254. S2CID  119901937.
• Экман, Жан-Пьер ; Виттвер, Питер (1987). «Полное доказательство гипотез Фейгенбаума». J. Stat. Phys . 46 (3/4): 455. Bibcode : 1987JSP....46..455E. doi : 10.1007/BF01013368. MR  0883539. S2CID  121353606.
• Стивенсон, Джон; Ван, Йонг (1991). «Связи между решениями уравнения Фейгенбаума». Appl. Math. Lett . 4 (3): 37–39. doi : 10.1016/0893-9659(91)90031-P . MR  1101871.
• Стивенсон, Джон; Ван, Йонг (1991). «Соотношения между собственными функциями, связанными с решениями уравнения Фейгенбаума». Appl. Math. Lett . 4 (3): 53–56. doi : 10.1016/0893-9659(91)90035-T . MR  1101875.
• Бриггс, Кит (1991). «Точное вычисление констант Фейгенбаума». Math. Comp . 57 (195): 435–439. Bibcode :1991MaCom..57..435B. doi : 10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6 . MR  1079009.
• Цыгвинцев Алексей Владимирович; Местел, Бен Д.; Обалдестин, Эндрю Х. (2002). «Цепные дроби и решения уравнения Фейгенбаума-Цвитановича». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 334 (8): 683–688. дои : 10.1016/S1631-073X(02)02330-0.
• Матар, Ричард Дж. (2010). «Представление ряда Чебышева функции удвоения периода Фейгенбаума». arXiv : 1008.4608 [math.DS].
• Варин, В. П. (2011). «Спектральные свойства оператора удвоения периода». Препринт ИПМ . 9. arXiv : 1202.4672 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Фейгенбаума». Математический мир .