Ферми-газ

Физическая модель газов, состоящих из множества невзаимодействующих одинаковых фермионов

Ферми -газ — это идеализированная модель, ансамбль множества невзаимодействующих фермионов . Фермионы — это частицы , которые подчиняются статистике Ферми-Дирака , такие как электроны , протоны и нейтроны , и, в общем, частицы с полуцелым спином . Эта статистика определяет распределение фермионов по энергии в ферми-газе в тепловом равновесии и характеризуется их плотностью числа , температурой и набором доступных энергетических состояний. Модель названа в честь итальянского физика Энрико Ферми . ^{[1] [2]}

Эта физическая модель полезна для некоторых систем со многими фермионами. Некоторыми ключевыми примерами являются поведение носителей заряда в металле , нуклонов в атомном ядре , нейтронов в нейтронной звезде и электронов в белом карлике .

Описание

Идеальный ферми-газ или свободный ферми-газ — это физическая модель , предполагающая совокупность невзаимодействующих фермионов в постоянной потенциальной яме . Фермионы — это элементарные или составные частицы с полуцелым спином, что соответствует статистике Ферми-Дирака . Эквивалентная модель для частиц с целым спином называется бозе-газом (ансамблем невзаимодействующих бозонов ). При достаточно низкой плотности числа частиц и высокой температуре и ферми-газ, и бозе-газ ведут себя как классический идеальный газ . ^[3]

Согласно принципу Паули , ни одно квантовое состояние не может быть занято более чем одним фермионом с одинаковым набором квантовых чисел . Таким образом, невзаимодействующий ферми-газ, в отличие от бозе-газа, концентрирует небольшое количество частиц на энергию. Таким образом, ферми-газу запрещено конденсироваться в конденсат Бозе-Эйнштейна , хотя слабо взаимодействующие ферми-газы могут образовывать куперовскую пару и конденсат (также известный как режим кроссовера BCS -BEC). ^[4] Полная энергия ферми-газа при абсолютном нуле больше, чем сумма одночастичных основных состояний , потому что принцип Паули подразумевает своего рода взаимодействие или давление, которое удерживает фермионы разделенными и движущимися. По этой причине давление ферми-газа не равно нулю даже при нулевой температуре, в отличие от давления классического идеального газа. Например, это так называемое давление вырождения стабилизирует нейтронную звезду (ферми-газ нейтронов) или звезду белого карлика (ферми-газ электронов) против внутреннего притяжения силы тяжести , которое якобы могло бы коллапсировать звезду в черную дыру . Только когда звезда достаточно массивна, чтобы преодолеть давление вырождения, она может коллапсировать в сингулярность.

Можно определить температуру Ферми, ниже которой газ можно считать вырожденным (его давление почти исключительно вытекает из принципа Паули). Эта температура зависит от массы фермионов и плотности энергетических состояний .

Основное предположение модели свободных электронов для описания делокализованных электронов в металле можно вывести из ферми-газа. Поскольку из-за эффекта экранирования взаимодействиями пренебрегают , задача рассмотрения равновесных свойств и динамики идеального ферми-газа сводится к изучению поведения одиночных независимых частиц. В этих системах температура Ферми обычно составляет многие тысячи Кельвинов , поэтому в человеческих приложениях электронный газ можно считать вырожденным. Максимальная энергия фермионов при нулевой температуре называется энергией Ферми . Энергетическая поверхность Ферми в обратном пространстве известна как поверхность Ферми .

Модель почти свободных электронов адаптирует модель ферми-газа для рассмотрения кристаллической структуры металлов и полупроводников , где электроны в кристаллической решетке заменяются блоховскими электронами с соответствующим кристаллическим импульсом . Таким образом, периодические системы все еще относительно послушны, и модель формирует отправную точку для более продвинутых теорий, касающихся взаимодействий, например, с использованием теории возмущений .

1D однородный газ

Одномерная бесконечная квадратная яма длиной L представляет собой модель одномерного ящика с потенциальной энергией:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Это стандартная модельная система в квантовой механике, для которой хорошо известно решение для одной частицы. Поскольку потенциал внутри ящика однороден, эту модель называют одномерным однородным газом ^[5] , хотя фактический профиль плотности газа может иметь узлы и пучности, когда общее количество частиц мало.

Уровни помечены одним квантовым числом n , а энергии определяются как:

$${\displaystyle E_{n}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}.}$$

фиксации калибровкипостоянная Планка ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \hbar }$

Для N фермионов со спином - 1/2 в ящике не более двух частиц могут иметь одинаковую энергию, т. е. две частицы могут иметь энергию , две другие частицы могут иметь энергию и так далее. Две частицы с одинаковой энергией имеют спин 1 ⁄ 2 (спин вверх) или − 1 ⁄ 2 (спин вниз), что приводит к двум состояниям на каждом энергетическом уровне. В конфигурации, для которой полная энергия наименьшая (основное состояние), все энергетические уровни до n  =  N /2 заняты, а все более высокие уровни пусты. ${\textstyle E_{1}}$ ${\textstyle E_{2}}$

Определяя ссылку для энергии Ферми как , энергия Ферми, следовательно, определяется выражением ${\displaystyle E_{0}}$

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{({\text{1D}})}=E_{n}-E_{0}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor \right)^{2},}$$

функция полаnN ${\textstyle \left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor }$

Термодинамический предел

В термодинамическом пределе общее число частиц N настолько велико, что квантовое число n можно рассматривать как непрерывную переменную. В этом случае общий профиль плотности чисел в ящике действительно однороден.

Число квантовых состояний в диапазоне составляет: ${\displaystyle n_{1}<n<n_{1}+dn}$

$${\displaystyle D_{n}(n_{1})\,dn=2\,dn\,.}$$

Без ограничения общности энергия нулевой точки выбирается равной нулю, что дает следующий результат:

$${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}\implies dE={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n\,dn={\frac {\hbar \pi }{L}}{\sqrt {\frac {2E}{m}}}dn\,.}$$

Таким образом, в диапазоне:

$${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{1}^{2}<E<E_{1}+dE\,,}$$

$${\displaystyle D_{n}(n_{1})\,dn=2{\frac {dE}{dE/dn}}={\frac {2}{{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n}}\,dE\equiv D(E_{1})\,dE\,.}$$

Здесь степень вырождения равна:

$${\displaystyle D(E)={\frac {2}{dE/dn}}={\frac {2L}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$$

А плотность состояний равна:

$${\displaystyle g(E)\equiv {\frac {1}{L}}D(E)={\frac {2}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$$

В современной литературе ^[5] вышеперечисленное иногда еще называют «плотностью состояний». Однако отличается от коэффициента объема системы (что в данном случае 1D). ${\displaystyle D(E)}$ ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle D(E)}$ ${\displaystyle L}$

На основе следующей формулы:

$${\displaystyle \int _{0}^{E_{\mathrm {F} }}D(E)\,dE=N\,,}$$

энергия Ферми в термодинамическом пределе может быть рассчитана как:

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{({\text{1D}})}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {N}{2}}\right)^{2}\,.}$$

3D однородный газ

Модель атомного ядра, показывающая его как компактный пучок двух типов нуклонов : протонов (красный) и нейтронов (синий). В первом приближении ядро ​​можно рассматривать как состоящее из невзаимодействующих протонов и нейтронных газов.

Трехмерный изотропный и нерелятивистский однородный случай ферми-газа известен как ферми-сфера .

Трехмерная бесконечная квадратная яма (т.е. кубический ящик со стороной L ) имеет потенциальную энергию

$${\displaystyle V(x,y,z)={\begin{cases}0,&-{\frac {L}{2}}<x,y,z<{\frac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Состояния теперь помечены тремя квантовыми числами n _x , ny _y и n _z . Энергии отдельных частиц равны

$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,,}$$

n _xnyn _z. вырожденные уровни энергии ${\displaystyle E_{211}=E_{121}=E_{112}}$

Термодинамический предел

Когда ящик содержит _N невзаимодействующих фермионов со спином ½, интересно вычислить энергию в термодинамическом пределе, где N настолько велико, что квантовые числа n _x , ny , n _z можно рассматривать как непрерывные переменные.

С вектором каждое квантовое состояние соответствует точке в «n-пространстве» с энергией ${\displaystyle \mathbf {n} =(n_{x},n_{y},n_{z})}$

$${\displaystyle E_{\mathbf {n} }=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}|\mathbf {n} |^{2}\,}$$

С обозначением квадрата обычной евклидовой длины . Число состояний с энергией меньше E _F  +   E ₀ равно количеству состояний, лежащих внутри сферы радиуса в области n-пространства, где n _x , ny _y , n _z положительны. В основном состоянии это число равно числу фермионов в системе: ${\displaystyle |\mathbf {n} |^{2}}$ ${\displaystyle |\mathbf {n} |={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}}$ ${\displaystyle |\mathbf {n} _{\mathrm {F} }|}$

$${\displaystyle N=2\times {\frac {1}{8}}\times {\frac {4}{3}}\pi n_{\mathrm {F} }^{3}}$$

Свободные фермионы, занимающие состояния с наименьшей энергией, образуют сферу в обратном пространстве . Поверхность этой сферы является поверхностью Ферми .

Коэффициент два выражает два спиновых состояния, а коэффициент 1/8 выражает долю сферы, которая лежит в области, где все n положительны.

$${\displaystyle n_{\mathrm {F} }=\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{1/3}}$$

Ферми

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{\mathrm {F} }^{2}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{2/3}}$$

В результате получается связь между энергией Ферми и числом частиц в объёме (когда L ² заменяется на V ^2/3 ):

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3}}$

Это также энергия частицы с самой высокой энергией ( th-й частицы), превышающей энергию нулевой точки . Частица имеет энергию ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle N'}$

$${\displaystyle E_{N'}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N'}{V}}\right)^{2/3}\,=E_{0}+E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N'}}$$

Полная энергия ферми-сферы фермионов (которые занимают все энергетические состояния внутри ферми-сферы) определяется выражением: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle E_{\rm {T}}=NE_{0}+\int _{0}^{N}E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N'}\,dN'=\left({\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }+E_{0}\right)N}$$

Следовательно, средняя энергия на частицу определяется выражением:

$${\displaystyle E_{\mathrm {av} }=E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }}$$

Плотность штатов

Плотность состояний (ПСО) ферми-газа в трехмерном измерении

Для трехмерного однородного ферми-газа с фермионами со спином ½ количество частиц как функция энергии получается путем замены энергии Ферми переменной энергией : ${\textstyle N(E)}$ ${\textstyle (E-E_{0})}$

$${\displaystyle N(E)={\frac {V}{3\pi ^{2}}}\left[{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-E_{0})\right]^{3/2},}$$

из которого можно получить плотность состояний (количество энергетических состояний на энергию в объеме) . Его можно рассчитать, дифференцируя количество частиц по энергии: ${\displaystyle g(E)}$

$${\displaystyle g(E)={\frac {1}{V}}{\frac {\partial N(E)}{\partial E}}={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E-E_{0}}}.}$$

Этот результат обеспечивает альтернативный способ расчета полной энергии ферми-сферы фермионов (которые занимают все энергетические состояния внутри ферми-сферы): ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{T}&=\int _{0}^{N}E\mathrm {d} N(E)=EN(E){\big |}_{0}^{N}-\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{F}}N(E)\mathrm {d} E\\&=(E_{0}+E_{F})N-\int _{0}^{E_{F}}N(E)\mathrm {d} (E-E_{0})\\&=(E_{0}+E_{F})N-{\frac {2}{5}}E_{F}N(E_{F})=\left(E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }\right)N\end{aligned}}}$$

Термодинамические величины

Давление вырождения

Кривые зависимости давления от температуры классических и квантовых идеальных газов (ферми-газ, бозе-газ ) в трех измерениях. Отталкивание Паули в фермионах (таких как электроны) придает им дополнительное давление по сравнению с эквивалентным классическим газом, особенно при низкой температуре.

Используя первый закон термодинамики , эту внутреннюю энергию можно выразить как давление, то есть

$${\displaystyle P=-{\frac {\partial E_{\rm {T}}}{\partial V}}={\frac {2}{5}}{\frac {N}{V}}E_{\mathrm {F} }={\frac {(3\pi ^{2})^{2/3}\hbar ^{2}}{5m}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{5/3},}$$

давление вырождениявырожденной материей

Стандартные звезды избегают коллапса, уравновешивая тепловое давление ( плазмы и излучения) и гравитационные силы. В конце жизни звезды, когда тепловые процессы ослабевают, некоторые звезды могут стать белыми карликами, которые противостоят гравитации только за счет давления электронного вырождения . Используя газ Ферми в качестве модели, можно рассчитать предел Чандрасекара , то есть максимальную массу, которую может приобрести любая звезда (без значительного термического давления) перед коллапсом в черную дыру или нейтронную звезду. Последняя представляет собой звезду, состоящую в основном из нейтронов, коллапс которой также предотвращается за счет давления нейтронного вырождения.

В случае металлов давление электронного вырождения способствует сжимаемости или объемному модулю материала.

Химический потенциал

Предполагая, что концентрация фермионов не меняется с температурой, тогда полный химический потенциал µ (уровень Ферми) трехмерного идеального ферми-газа связан с энергией Ферми EF при нулевой температуре разложением Зоммерфельда ₍ при условии ): ${\displaystyle k_{\rm {B}}T\ll E_{\mathrm {F} }}$

$${\displaystyle \mu (T)=E_{0}+E_{\mathrm {F} }\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{4}+\cdots \right],}$$

Ттемпература^{[6] [7]}

Следовательно, внутренний химический потенциал µ - E ₀ примерно равен энергии Ферми при температурах, значительно меньших характеристической температуры Ферми T _F . Эта характерная температура для металла составляет порядка 10 ⁵ К , следовательно, при комнатной температуре (300 К) энергия Ферми и внутренний химический потенциал по существу эквивалентны.

Типичные значения

Металлы

В рамках модели свободных электронов можно считать, что электроны в металле образуют однородный ферми-газ. Числовая плотность электронов проводимости в металлах колеблется примерно от 10 ²⁸ до 10 ²⁹ электронов на м ³ , что также является типичной плотностью атомов в обычном твердом веществе. Эта числовая плотность дает энергию Ферми порядка: ${\displaystyle N/V}$

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left(3\pi ^{2}\ 10^{28\ \sim \ 29}\ \mathrm {m^{-3}} \right)^{2/3}\approx 2\ \sim \ 10\ \mathrm {eV} ,}$$

m _eмасса покоя электрона^[8]6СолнцаT _F

Белые карлики

Звезды, известные как белые карлики, имеют массу, сравнимую с Солнцем , но имеют примерно сотую часть его радиуса. Высокие плотности означают, что электроны больше не связаны с отдельными ядрами и вместо этого образуют вырожденный электронный газ. Плотность электронов у белого карлика порядка 10 ³⁶ электронов/м ³ . Это означает, что их энергия Ферми равна:

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(10^{36})}{1\ \mathrm {m^{3}} }}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{5}\ \mathrm {eV} =0.3\ \mathrm {MeV} }$$

Ядро

Другой типичный пример — частицы в ядре атома. Радиус ядра примерно равен:

$${\displaystyle R=\left(1.25\times 10^{-15}\mathrm {m} \right)\times A^{1/3}}$$

Ануклонов

Таким образом, плотность нуклонов в ядре равна:

$${\displaystyle \rho ={\frac {A}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\approx 1.2\times 10^{44}\ \mathrm {m^{-3}} }$$

Эту плотность необходимо разделить на два, поскольку энергия Ферми применима только к фермионам одного и того же типа. Наличие нейтронов не влияет на энергию Ферми протонов в ядре, и наоборот.

Энергия Ферми ядра примерно равна:

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\rm {p}}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(6\times 10^{43})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{7}\ \mathrm {eV} =30\ \mathrm {MeV} ,}$$

m _p

Радиус ядра допускает отклонения от упомянутого выше значения, поэтому типичное значение энергии Ферми обычно дается как 38 МэВ .

Однородный газ произвольных размеров

Плотность штатов

Используя объемный интеграл по измерениям, плотность состояний равна: ${\textstyle d}$

$${\displaystyle g^{(d)}(E)=g_{s}\int {\frac {\mathrm {d} ^{d}\mathbf {k} }{(2\pi )^{d}}}\delta \left(E-E_{0}-{\frac {\hbar ^{2}|\mathbf {k} |^{2}}{2m}}\right)=g_{s}\ \left({\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{d/2}{\frac {(E-E_{0})^{d/2-1}}{\Gamma (d/2)}}}$$

Энергия Ферми получается путем поиска плотности числа частиц:

$${\displaystyle \rho ={\frac {N}{V}}=\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{\mathrm {F} }^{(d)}}g^{(d)}(E)\,dE}$$

Получить:

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{(d)}={\frac {2\pi \hbar ^{2}}{m}}\left({\tfrac {1}{g_{s}}}\Gamma \left({\tfrac {d}{2}}+1\right){\frac {N}{V}}\right)^{2/d}}$$

d ${\textstyle V}$ ${\textstyle g_{s}}$ ${\textstyle g_{s}=2}$

Частный результат получается при , где плотность состояний становится постоянной (не зависит от энергии): ${\displaystyle d=2}$

$${\displaystyle g^{(2\mathrm {D} )}(E)={\frac {g_{s}}{2}}{\frac {m}{\pi \hbar ^{2}}}.}$$

Ферми-газ в гармонической ловушке

Потенциал гармонической ловушки :

$${\displaystyle V(x,y,z)={\frac {1}{2}}m\omega _{x}^{2}x^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{y}^{2}y^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{z}^{2}z^{2}}$$

представляет собой модельную систему, имеющую множество приложений ^[5] в современной физике. Плотность состояний (или, точнее, степень вырождения) для данного вида спина равна:

$${\displaystyle g(E)={\frac {E^{2}}{2(\hbar \omega _{\text{ho}})^{3}}}\,,}$$

где – частота гармонических колебаний. ${\displaystyle \omega _{\text{ho}}={\sqrt[{3}]{\omega _{x}\omega _{y}\omega _{z}}}}$

Энергия Ферми для данного вида спина равна:

$${\displaystyle E_{\rm {F}}=(6N)^{1/3}\hbar \omega _{\text{ho}}\,.}$$

Соответствующие величины Ферми

В современной литературе часто встречаются несколько полезных величин, связанных с энергией Ферми.

Температура Ферми определяется как , где – постоянная Больцмана . Температуру Ферми можно рассматривать как температуру, при которой тепловые эффекты сравнимы с квантовыми эффектами, связанными со статистикой Ферми. ^[9] Температура Ферми для металла на пару порядков выше комнатной температуры. Другими величинами, определяемыми в этом контексте, являются импульс Ферми и скорость Ферми ^[10] , которые представляют собой импульс и групповую скорость соответственно фермиона на поверхности Ферми . Импульс Ферми также можно описать как , где – радиус сферы Ферми и называется волновым вектором Ферми . ^[11] ${\textstyle T_{\mathrm {F} }={\frac {E_{\mathrm {F} }}{k_{\rm {B}}}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\textstyle p_{\mathrm {F} }={\sqrt {2mE_{\mathrm {F} }}}}$ ${\textstyle v_{\mathrm {F} }={\frac {p_{\mathrm {F} }}{m}}}$ ${\displaystyle p_{\mathrm {F} }=\hbar k_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle k_{\mathrm {F} }}$

Обратите внимание, что эти величины не определены четко в случаях, когда поверхность Ферми несферическая.

Обработка при конечной температуре

Большой канонический ансамбль

Большинство приведенных выше расчетов точны при нулевой температуре, но остаются хорошими приближениями для температур ниже температуры Ферми. Для остальных термодинамических переменных необходимо написать термодинамический потенциал . Для ансамбля идентичных фермионов лучший способ получить потенциал — это использовать большой канонический ансамбль с фиксированной температурой, объемом и химическим потенциалом µ . Причина кроется в принципе исключения Паули, поскольку числа заполнения каждого квантового состояния задаются либо 1, либо 0 (либо есть электрон, занимающий это состояние, либо нет), поэтому (большую) статистическую сумму можно записать как ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(T,V,\mu )=\sum _{\{q\}}e^{-\beta (E_{q}-\mu N_{q})}=\prod _{q}\sum _{n_{q}=0}^{1}e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )n_{q}}=\prod _{q}\left(1+e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )}\right),}$

где , индексирует ансамбли всех возможных микросостояний, которые дают одинаковую полную энергию и количество частиц , - это энергия одной частицы состояния (она учитывается дважды, если энергия состояния вырождена) и , ее заселенность. Таким образом, великий потенциал записывается как ${\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\textstyle E_{q}=\sum _{q}\varepsilon _{q}n_{q}}$ ${\textstyle N_{q}=\sum _{q}n_{q}}$ ${\textstyle \varepsilon _{q}}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle n_{q}=0,1}$

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\ln \left({\mathcal {Z}}\right)=-k_{\rm {B}}T\sum _{q}\ln \left(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon _{q})}\right).}$

Тот же результат может быть получен в каноническом и микроканоническом ансамбле , поскольку результат каждого ансамбля должен давать одно и то же значение на термодинамическом пределе . Здесь рекомендуется использовать большой канонический ансамбль , поскольку он позволяет избежать использования комбинаторики и факториалов . ${\textstyle (N/V\rightarrow \infty )}$

Как обсуждалось в предыдущих разделах, в макроскопическом пределе мы можем использовать непрерывное приближение ( приближение Томаса – Ферми ), чтобы преобразовать эту сумму в интеграл:

$${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon )\ln \left(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon )}\right)\,d\varepsilon }$$

D ( ε )

Связь с распределением Ферми-Дирака

Большой потенциал связан с числом частиц при конечной температуре следующим образом

$${\displaystyle N=-\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\mathrm {d} \varepsilon }$$

$${\displaystyle {\mathcal {f}}(x)={\frac {1}{e^{x}+1}}}$$

распределение Ферми-Дирака

Аналогично, полная внутренняя энергия равна

$${\displaystyle U=\Omega -T\left({\frac {\partial \Omega }{\partial T}}\right)_{V,\mu }-\mu \left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}\!\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\varepsilon \,d\varepsilon .}$$

Точное решение для степенной плотности состояний

Многие интересующие нас системы имеют общую плотность состояний степенного вида:

$${\displaystyle D(\varepsilon )=Vg(\varepsilon )={\frac {Vg_{0}}{\Gamma (\alpha )}}(\varepsilon -\varepsilon _{0})^{\alpha -1},\qquad \varepsilon \geq \varepsilon _{0}}$$

g ₀αε ₀d

• α = d /2 для нерелятивистских частиц в d -мерном ящике,
• α = d для нерелятивистских частиц в d -мерной гармонической потенциальной яме,
• α = d для гиперрелятивистских частиц в d -мерном ящике.

Для такой степенной плотности состояний большой потенциальный интеграл равен: ^[12]

$${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-Vg_{0}(k_{\rm {B}}T)^{\alpha +1}F_{\alpha }\left({\frac {\mu -\varepsilon _{0}}{k_{\rm {B}}T}}\right),}$$

полный интеграл Ферми–Диракаполилогарифму ${\displaystyle F_{\alpha }(x)}$

Расширения модели

Релятивистский ферми-газ

Отношения радиус-масса для модельного белого карлика, релятивистское соотношение против нерелятивистского. Предел Чандрасекара обозначается как M _Ch .

В статье рассмотрен только случай, когда частицы имеют параболическую связь между энергией и импульсом, как это имеет место в нерелятивистской механике. Для частиц с энергией, близкой к их соответствующей массе покоя , применимы уравнения специальной теории относительности . Где энергия одной частицы определяется выражением:

$${\displaystyle E={\sqrt {(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}}.}$$

Для этой системы энергия Ферми определяется выражением:

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\sqrt {(p_{\mathrm {F} }c)^{2}+(mc^{2})^{2}}}-mc^{2}\approx p_{\mathrm {F} }c,}$$

ультрарелятивистском пределе^[13] ${\displaystyle \approx }$

$${\displaystyle p_{\mathrm {F} }=\hbar \left({\frac {1}{g_{s}}}6\pi ^{2}{\frac {N}{V}}\right)^{1/3}.}$$

Релятивистская модель ферми-газа используется также для описания массивных белых карликов, близких к пределу Чандрасекара . Для ультрарелятивистского случая давление вырождения пропорционально . ${\displaystyle (N/V)^{4/3}}$

Ферми-жидкость

В 1956 году Лев Ландау разработал теорию ферми-жидкости , в которой рассмотрел случай ферми-жидкости, т. е. системы с отталкивающими, но не обязательно малыми взаимодействиями между фермионами. Теория показывает, что термодинамические свойства идеального ферми-газа и ферми-жидкости не сильно различаются. Можно показать, что ферми-жидкость эквивалентна ферми-газу, состоящему из коллективных возбуждений или квазичастиц , каждая из которых имеет различную эффективную массу и магнитный момент .

Смотрите также

• Бозе-газ
• Фермионный конденсат
• Газ в коробке
• желе
• Двумерный электронный газ

Рекомендации

1. Ферми, Э. (1 ноября 1926). «Цвет идеальных атомных газов» (PDF) . Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 36 (11–12): 902–912. Бибкод : 1926ZPhy...36..902F. дои : 10.1007/BF01400221. ISSN  0044-3328. S2CID  123334672. Архивировано из оригинала (PDF) 6 апреля 2019 г.
2. Заннони, Альберто (1999). «О квантовании одноатомного идеального газа». arXiv : cond-mat/9912229 . В этой статье дан английский перевод оригинальной работы Энрико Ферми по квантованию одноатомного идеального газа.
3. Швабль, Франц (9 марта 2013 г.). Статистическая механика. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-04702-6.
4. Регал, Калифорния; Грейнер, М.; Джин, DS (28 января 2004 г.). «Наблюдение резонансной конденсации пар фермионных атомов». Письма о физических отзывах . 92 (4): 040403. arXiv : cond-mat/0401554 . Бибкод : 2004PhRvL..92d0403R. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.040403. PMID  14995356. S2CID  10799388.
5. Джорджини, Стефано; Питаевский Лев П.; Стрингари, Сандро (2 октября 2008 г.). «Теория ультрахолодных атомных ферми-газов». Обзоры современной физики . 80 (4): 1215–1274. arXiv : 0706.3360 . Бибкод : 2008РвМП...80.1215Г. doi : 10.1103/RevModPhys.80.1215. S2CID  117755089.
6. Келли, Джеймс Дж. (1996). «Статистическая механика идеальных ферми-систем» (PDF) . Автономный университет Мадрида . Архивировано из оригинала (PDF) 12 апреля 2018 г. Проверено 15 марта 2018 г.
7. «Вырожденные идеальные ферми-газы» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 19 сентября 2008 г. Проверено 13 апреля 2014 г.
8. Нейв, Род. «Энергии Ферми, температуры Ферми и скорости Ферми». Гиперфизика . Проверено 21 марта 2018 г.
9. Торре, Чарльз (21 апреля 2015 г.). «PHYS 3700: Введение в квантовую статистическую термодинамику» (PDF) . Университет штата Юта . Проверено 21 марта 2018 г.
10. Нейв, Род. «Уровень Ферми и функция Ферми». Гиперфизика . Проверено 21 марта 2018 г.
11. Эшкрофт, Нил В.; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела . Холт, Райнхарт и Уинстон . ISBN 978-0-03-083993-1.
12. Бланделл (2006). «Глава 30: Квантовые газы и конденсаты». Понятия теплофизики . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780198567707.
13. Грейнер, Уолтер ; Нейзе, Людвиг; Штекер, Хорст (1995). Термодинамика и статистическая механика. Классическая теоретическая физика. Спрингер, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. стр. 341–386. дои : 10.1007/978-1-4612-0827-3_14. ISBN 9780387942995.

дальнейшее чтение

• Нил В. Эшкрофт и Н. Дэвид Мермин , Физика твердого тела (Harcourt: Орландо, 1976).
• Чарльз Киттель , Введение в физику твердого тела , 1-е изд. 1953 - 8-е изд. 2005, ISBN 0-471-41526-X