Плотность штатов

Количество доступных физических состояний на единицу энергии

В физике конденсированного состояния плотность состояний ( DOS ) системы описывает количество разрешенных режимов или состояний на единицу энергетического диапазона. Плотность состояний определяется как , где – число состояний в системе объёма , энергии которых лежат в диапазоне от до . Математически оно представляется как распределение с помощью функции плотности вероятности и обычно представляет собой среднее значение по пространственным и временным областям различных состояний, занимаемых системой. Плотность состояний напрямую связана с дисперсионными соотношениями свойств системы. Высокий DOS на определенном энергетическом уровне означает, что многие состояния доступны для оккупации. ${\displaystyle D(E)=N(E)/V}$ ${\displaystyle N(E)\delta E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E+\delta E}$

В общем случае плотность состояний материи непрерывна. Однако в изолированных системах , таких как атомы или молекулы в газовой фазе, распределение плотности дискретно , как спектральная плотность . Локальные вариации, чаще всего возникающие из-за искажений исходной системы, часто называют локальными плотностями состояний (LDOS).

Введение

В квантово-механических системах волны или волноподобные частицы могут занимать моды или состояния с длинами волн и направлениями распространения, определяемыми системой. Например, в некоторых системах межатомное расстояние и атомный заряд материала могут позволять существовать только электронам определенной длины волны. В других системах кристаллическая структура материала может позволять волнам распространяться в одном направлении, подавляя распространение волн в другом направлении. Часто разрешены только определенные состояния. Таким образом, может случиться так, что на определенном энергетическом уровне доступно множество состояний, в то время как на других энергетических уровнях нет доступных состояний.

Если посмотреть на плотность состояний электронов на краю зоны между валентной зоной и зоной проводимости в полупроводнике, то для электрона в зоне проводимости увеличение энергии электрона делает больше состояний доступными для заполнения. Альтернативно, плотность состояний является прерывистой для определенного интервала энергии, что означает, что электронам не доступны состояния, которые они могли бы занять в запрещенной зоне материала. Это условие также означает, что электрон на краю зоны проводимости должен потерять как минимум энергию запрещенной зоны материала, чтобы перейти в другое состояние в валентной зоне.

Это определяет, является ли материал изолятором или металлом в измерении распространения. Результат количества состояний в зоне также полезен для прогнозирования свойств проводимости. Например, в одномерной кристаллической структуре нечетное число электронов на атом приводит к наполовину заполненной верхней зоне; на уровне Ферми находятся свободные электроны, в результате чего получается металл. С другой стороны, четное число электронов заполняет ровно целое число зон, оставляя остальные пустыми. Если тогда уровень Ферми находится в заполненной запрещенной зоне между самым высоким занятым состоянием и самым низким пустым состоянием, материал будет изолятором или полупроводником .

В зависимости от квантово-механической системы плотность состояний может быть рассчитана для электронов , фотонов или фононов и может быть задана как функция либо энергии, либо волнового вектора k . Чтобы преобразовать DOS как функцию энергии и DOS как функцию волнового вектора, необходимо знать специфическое для системы соотношение дисперсии энергии между E и k .

В общем, топологические свойства системы, такие как зонная структура, оказывают большое влияние на свойства плотности состояний. Наиболее известные системы, такие как нейтронное вещество в нейтронных звездах и свободные электронные газы в металлах (примеры вырожденного вещества и ферми-газа ), имеют трехмерную евклидову топологию . Менее знакомые системы, такие как двумерные электронные газы (2DEG) в графитовых слоях и система квантового эффекта Холла в устройствах типа MOSFET , имеют двумерную евклидову топологию. Еще менее известны углеродные нанотрубки , квантовая проволока и жидкость Латтинжера с их одномерной топологией. Системы с 1D и 2D топологиями, вероятно, станут более распространенными, если предположить, что развитие нанотехнологий и материаловедения продолжится.

Определение

Плотность состояний, связанных с объемом V и N счетными уровнями энергии, определяется как:

$${\displaystyle D(E)={\frac {1}{V}}\,\sum _{i=1}^{N}\delta (E-E({\mathbf {k} }_{i})).}$$

${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (\Delta k)^{d}=({2\pi }/{L})^{d}}$ ${\displaystyle L\to \infty }$

$${\displaystyle D(E):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {\mathrm {d} ^{d}k}{(2\pi )^{d}}}\cdot \delta (E-E(\mathbf {k} )),}$$

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

Для изотропных одномерных систем с параболической дисперсией энергии плотность состояний равна . В двух измерениях плотность состояний постоянна , а в трех измерениях она становится . ${\textstyle D_{1D}(E)={\tfrac {1}{2\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}}$ ${\displaystyle D_{2D}={\tfrac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}}$ ${\displaystyle D_{3D}(E)={\tfrac {m}{2\pi ^{2}\hbar ^{3}}}(2mE)^{1/2}}$

Эквивалентно, плотность состояний также можно понимать как производную микроканонической статистической суммы (то есть общего числа состояний с энергией меньше ) по энергии: ${\displaystyle Z_{m}(E)}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}.}$$

Число состояний с энергией (степенью вырождения) определяется выражением: ${\displaystyle E'}$

$${\displaystyle g\left(E'\right)=\lim _{\Delta E\to 0}\int _{E'}^{E'+\Delta E}D(E)\,\mathrm {d} E=\lim _{\Delta E\to 0}D\left(E'\right)\Delta E,}$$

Симметрия

Первая зона Бриллюэна решетки FCC , усеченный октаэдр , с метками симметрии для линий и точек высокой симметрии.

Существует большое разнообразие систем и типов состояний, для которых можно выполнить расчеты DOS.

Некоторые системы конденсированного состояния обладают структурной симметрией в микроскопическом масштабе, которую можно использовать для упрощения расчета их плотностей состояний. В сферически-симметричных системах интегралы от функций одномерны, поскольку все переменные в расчете зависят только от радиального параметра дисперсионного уравнения. Жидкости , стекла и аморфные твердые тела являются примерами симметричной системы, дисперсионные соотношения которой обладают вращательной симметрией.

Октаэдр.

Измерения на порошках или поликристаллических образцах требуют оценки и расчета функций и интегралов по всей области , чаще всего зоне Бриллюэна , дисперсионных соотношений интересующей системы. Иногда симметрия системы высока, что приводит к многократному появлению формы функций, описывающих дисперсионные соотношения системы, во всей области действия дисперсионного уравнения. В таких случаях усилия по расчету DOS могут быть значительно уменьшены, если расчет ограничен уменьшенной зоной или фундаментальной областью . ^[1] Зона Бриллюэна гранецентрированной кубической решетки (ГЦК) на рисунке справа имеет 48-кратную симметрию точечной группы Oh _с полной октаэдрической симметрией . Такая конфигурация означает, что интегрирование по всей области зоны Бриллюэна может быть сведено к 48-й части всей зоны Бриллюэна. Как показывает периодическая таблица кристаллической структуры , существует множество элементов с кристаллической структурой FCC, таких как алмаз , кремний и платина , а их зоны Бриллюэна и дисперсионные соотношения имеют 48-кратную симметрию. Двумя другими известными кристаллическими структурами являются объемно-центрированная кубическая решетка (BCC) и гексагональные закрытые упакованные структуры (HCP) с кубической и гексагональной решетками соответственно. Структура ОЦК имеет 24-кратную пиритоэдрическую симметрию точечной группы Th _. Структура ГПУ имеет 12-кратную призматическую диэдральную симметрию точечной группы D _3h . Полный список свойств симметрии точечной группы можно найти в таблицах символов точечных групп .

В целом DOS легче рассчитать, когда симметрия системы выше, а количество топологических размерностей дисперсионного уравнения меньше. DOS дисперсионных соотношений с вращательной симметрией часто можно рассчитать аналитически. Этот результат удачен, поскольку многие материалы, представляющие практический интерес, такие как сталь и кремний, обладают высокой симметрией.

В анизотропных конденсированных системах, таких как монокристалл соединения, плотность состояний может быть разной в одном кристаллографическом направлении, чем в другом. Из-за этого анизотропную плотность состояний становится сложнее визуализировать, и могут потребоваться такие методы, как расчет DOS только для определенных точек или направлений или расчет проецируемой плотности состояний (PDOS) для определенной ориентации кристалла.

k -пространственные топологии

Рисунок 1: Сферическая поверхность в k -пространстве для электронов в трех измерениях.

Плотность состояний зависит от размерных ограничений самого объекта. В системе, описываемой тремя ортогональными параметрами (3-мерное измерение), единицами DOS являются [Энергия] ⁻¹ [Объем] ⁻¹ , в двумерной системе единицами DOS являются [Энергия] ⁻¹ [Площадь] ^−1. , в одномерной системе единицами DOS являются [Энергия] ⁻¹ [Длина] ⁻¹ . Указанный объем — это объем k -пространства; пространство, ограниченное поверхностью постоянной энергии системы, полученной посредством дисперсионного соотношения , которое связывает E с k . Пример трехмерного k -пространства приведен на рис. 1. Видно, что размерность системы ограничивает импульс частиц внутри системы.

Плотность состояний волнового вектора (сфера)

Расчет для DOS начинается с подсчета N разрешенных состояний при определенном k , которые содержатся в пределах [ k , k + d k ] внутри объема системы. Эта процедура выполняется путем дифференцирования всего объема k-пространства в n-мерностях при произвольном k относительно k . Объем, площадь или длина в 3-, 2- или 1-мерном сферическом k- пространстве выражаются выражением ${\displaystyle \Omega _{n,k}}$

$${\displaystyle \Omega _{n}(k)=c_{n}k^{n}}$$

для n -мерного k -пространства с топологически определенными константами

$${\displaystyle c_{1}=2,\ c_{2}=\pi ,\ c_{3}={\frac {4\pi }{3}}}$$

k

Согласно этой схеме плотность состояний волнового вектора N путем дифференцирования по k выражается выражением ${\displaystyle \Omega _{n,k}}$

$${\displaystyle N_{n}(k)={\frac {\mathrm {d} \Omega _{n}(k)}{\mathrm {d} k}}=n\;c_{n}\;k^{n-1}}$$

1-, 2- и 3-мерная плотность состояний волнового вектора для линии, диска или сферы явно записывается как

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{1}(k)&=2\\N_{2}(k)&=2\pi k\\N_{3}(k)&=4\pi k^{2}\end{aligned}}}$$

Одно состояние достаточно велико, чтобы содержать частицы с длиной волны λ. Длина волны связана с k посредством соотношения.

$${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$$

В квантовой системе длина λ будет зависеть от характерного расстояния системы L, удерживающей частицы. Наконец, плотность состояний N умножается на коэффициент , где s — постоянный коэффициент вырождения, учитывающий внутренние степени свободы, обусловленные такими физическими явлениями, как спин или поляризация. Если такого явления нет, то . V _k — это объем в k-пространстве, волновые векторы которого меньше наименьших возможных волновых векторов, определяемых характерным расстоянием системы. ${\displaystyle s/V_{k}}$ ${\displaystyle s=1}$

Плотность энергетических состояний

Чтобы завершить расчет для DOS, найдите количество состояний на единицу объема выборки при энергии внутри интервала . Общий вид DOS системы задается как ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle [E,E+\mathrm {d} E]}$

$${\displaystyle D_{n}\left(E\right)={\frac {\mathrm {d} \Omega _{n}(E)}{\mathrm {d} E}}}$$

только к монотонно возрастающимсферически симметричнымDE,функциюk^{[2] [3]} ${\displaystyle E(k)}$ ${\displaystyle E(k)}$ ${\displaystyle \Omega _{n}(k)}$ ${\displaystyle \Omega _{n}(E)}$

Дисперсионные соотношения

Закон дисперсии электронов в твердом теле задается электронной зонной структурой .

Кинетическая энергия частицы зависит от величины и направления волнового вектора k , свойств частицы и среды, в которой частица движется. Например, кинетическая энергия электрона в ферми -газе определяется выражением

$${\displaystyle E=E_{0}+{\frac {\left(\hbar k\right)^{2}}{2m}}\ ,}$$

где m — масса электрона . Дисперсионное соотношение представляет собой сферически-симметричную параболу и постоянно возрастает, поэтому DOS можно легко рассчитать.

Рисунок 2: Закон дисперсии фононов моноатомной цепочки.

Для продольных фононов в цепочке атомов закон дисперсии кинетической энергии в одномерном k- пространстве, как показано на рисунке 2, определяется выражением

$${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|}$$

${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k_{\text{F}}/m}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k_{\text{F}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k\ll \pi /a}$

$${\displaystyle E=\hbar \omega _{0}ka}$$

Когда энергия ${\displaystyle k\approx \pi /a}$

$${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left|\cos \left({\frac {\pi -ka}{2}}\right)\right|}$$

С помощью преобразования и малого это отношение можно преобразовать в ${\displaystyle q=k-\pi /a}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left[1-\left({\frac {qa}{2}}\right)^{2}\right]}$$

Изотропные дисперсионные соотношения

Два упомянутых здесь примера можно выразить так:

$${\displaystyle E=E_{0}+c_{k}k^{p}}$$

Это выражение является своего рода дисперсионным соотношением , поскольку оно связывает два волновых свойства и является изотропным, поскольку в выражении фигурирует только длина, а не направление волнового вектора. Величина волнового вектора связана с энергией следующим образом:

$${\displaystyle k=\left({\frac {E-E_{0}}{c_{k}}}\right)^{{1}/{p}},}$$

Соответственно, объем n-мерного k -пространства, содержащего волновые векторы, меньшие k , равен:

$${\displaystyle \Omega _{n}(k)=c_{n}k^{n}}$$

Замена изотропного энергетического соотношения дает объем занятых состояний

$${\displaystyle \Omega _{n}(E)={\frac {c_{n}}{{c_{k}}^{\frac {n}{p}}}}\left(E-E_{0}\right)^{{n}/{p}},}$$

Дифференцирование этого объема по энергии дает выражение для ПЭС изотропного дисперсионного уравнения

$${\displaystyle D_{n}\left(E\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} E}}\Omega _{n}(E)={\frac {nc_{n}}{p{c_{k}}^{\frac {n}{p}}}}\left(E-E_{0}\right)^{{\frac {n}{p}}-1}}$$

Параболическая дисперсия

Рисунок 3: DOS свободных электронов в 3-мерном k-пространстве

В случае параболического закона дисперсии ( p = 2), который применяется к свободным электронам в ферми-газе, результирующая плотность состояний для электронов в n-мерных системах равна ${\displaystyle D_{n}\left(E\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}\left(E\right)&={\frac {1}{2{\sqrt {c_{k}\left(E-E_{0}\right)}}}}\\[1ex]D_{2}\left(E\right)&={\frac {\pi }{2c_{k}}}\\[1ex]D_{3}\left(E\right)&=\pi {\sqrt {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{3}}}}\,.\end{aligned}}}$$

для , с для . ${\displaystyle E>E_{0}}$ ${\displaystyle D(E)=0}$ ${\displaystyle E<E_{0}}$

В одномерных системах DOS расходится в нижней части полосы и падает до . В двумерных системах DOS оказывается независимой от . Наконец, для трехмерных систем DOS возрастает как квадратный корень из энергии. ^[4] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle E}$

С учетом префактора выражение для 3D DOS имеет вид ${\displaystyle s/V_{k}}$

$${\displaystyle N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}},}$$

где – полный объем, включая 2-кратное спиновое вырождение. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N(E-E_{0})}$

Линейная дисперсия

В случае линейной зависимости ( p = 1), например, применимой к фотонам , акустическим фононам или некоторым особым видам электронных зон в твердом теле, DOS в 1, 2 и 3-мерных системах связана с энергией как :

$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}\left(E\right)&={\frac {1}{c_{k}}}\\[1ex]D_{2}\left(E\right)&=2\pi {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{2}}}\\[1ex]D_{3}\left(E\right)&=4\pi {\frac {\left(E-E_{0}\right)^{2}}{c_{k}^{3}}}\end{aligned}}}$$

Функции распределения

Плотность состояний играет важную роль в кинетической теории твердого тела . Произведение плотности состояний и функции распределения вероятностей представляет собой количество занятых состояний в единице объема при заданной энергии для системы, находящейся в тепловом равновесии. Эта величина широко используется для исследования различных физических свойств материи. Ниже приведены примеры с использованием двух общих функций распределения того, как применение функции распределения к плотности состояний может привести к появлению физических свойств.

Рисунок 4:  Распределение вероятностей Ферми-Дирака,  плотность состояний и  их продукт для полупроводника. Нижний зеленый лепесток отображает энергию дырок и, таким образом, используется в качестве функции распределения. ${\displaystyle f(-x)}$

Статистика Ферми-Дирака : Функция распределения вероятностей Ферми-Дирака, рис. 4, используется для определения вероятности того, что фермион займет определенное квантовое состояние в системе, находящейся в тепловом равновесии. Фермионы — это частицы, подчиняющиеся принципу запрета Паули (например, электроны, протоны, нейтроны). Функцию распределения можно записать как

$${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}.}$$

${\displaystyle \mu }$– химический потенциал (также обозначаемый как EF _и называемый уровнем Ферми , когда T = 0), – постоянная Больцмана и – температура. На рис. 4 показано, как произведение функции распределения Ферми-Дирака и трехмерной плотности состояний полупроводника может дать представление о физических свойствах, таких как концентрация носителей заряда и ширина запрещенной зоны. ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ ${\displaystyle T}$

Статистика Бозе-Эйнштейна : функция распределения вероятностей Бозе-Эйнштейна используется для определения вероятности того, что бозон займет определенное квантовое состояние в системе, находящейся в тепловом равновесии. Бозоны — это частицы, которые не подчиняются принципу Паули (например, фононы и фотоны). Функцию распределения можно записать как

$${\displaystyle f_{\mathrm {BE} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\text{B}}T}}\right)-1}}.}$$

Из этих двух распределений можно рассчитать такие свойства, как внутренняя энергия единицы объема , число частиц , удельная теплоемкость и теплопроводность . Соотношения между этими свойствами и произведением плотности состояний и распределения вероятностей, обозначающего плотность состояний через вместо , имеют вид ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle D(E)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\int E\,f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E\\[1ex]N&=V\int f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E\\[1ex]c&={\frac {\partial }{\partial T}}\int E\,f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E\\[1ex]k&={\frac {1}{d}}{\frac {\partial }{\partial T}}\int Ef(E)\,g(E)\,\nu (E)\,\Lambda (E)\,\mathrm {d} E\end{aligned}}}$$

${\displaystyle d}$— размерность, — скорость звука и — средняя длина свободного пробега . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Lambda }$

Приложения

Плотность состояний появляется во многих областях физики и помогает объяснить ряд квантово-механических явлений.

Квантование

Расчет плотности состояний для малых структур показывает, что распределение электронов меняется с уменьшением размерности. Для квантовых проводов DOS для определенных энергий фактически становится выше, чем DOS для объемных полупроводников, а для квантовых точек электроны квантоваются до определенных энергий.

Фотонные кристаллы

Плотностью состояний фотонов можно манипулировать, используя периодические структуры с масштабами длины порядка длины волны света. Некоторые структуры могут полностью подавлять распространение света определенных цветов (энергий), создавая фотонную запрещенную зону: DOS равна нулю для этих энергий фотонов. Другие структуры могут препятствовать распространению света только в определенных направлениях, создавая зеркала, волноводы и полости. Такие периодические структуры известны как фотонные кристаллы . ^{[5] [6] [7] [8]} В наноструктурированных средах концепция локальной плотности состояний (LDOS) часто более актуальна, чем концепция DOS, поскольку DOS значительно варьируется от точки к точке.

Численный расчет

Интересные системы вообще сложны, например соединения, биомолекулы, полимеры и т. д. Из-за сложности этих систем аналитический расчет плотности состояний в большинстве случаев невозможен. Компьютерное моделирование предлагает набор алгоритмов для оценки плотности состояний с высокой точностью. Один из этих алгоритмов называется алгоритмом Ванга и Ландау . ^[9]

В рамках схемы Ванга и Ландау требуются любые предварительные знания о плотности состояний. Поступают следующим образом: функция стоимости (например, энергии) системы дискретизируется. Каждый раз, когда достигается интервал i , гистограмма плотности состояний обновляется на ${\displaystyle g(i)}$

$${\displaystyle g(i)\rightarrow g(i)+f}$$

f

$${\displaystyle f_{n+1}\rightarrow {\frac {1}{2}}f_{n}}$$

nn. ${\displaystyle f_{n}<10^{-8}}$

Алгоритм Ванга и Ландау имеет некоторые преимущества перед другими распространенными алгоритмами, такими как мультиканоническое моделирование и параллельное регулирование . Например, плотность состояний получается как основной продукт моделирования. Кроме того, моделирование Ванга и Ландау полностью не зависит от температуры. Эта функция позволяет вычислять плотность состояний систем с очень грубым энергетическим ландшафтом, таких как белки. ^[10]

Математически плотность состояний выражается в виде башни покрывающих карт. ^[11]

Локальная плотность состояний

Важной особенностью определения DOS является то, что его можно распространить на любую систему. Одним из его свойств является трансляционная инвариантность, означающая, что плотность состояний однородна и одинакова в каждой точке системы. Но это всего лишь частный случай, и LDOS дает более широкое описание с неоднородной плотностью состояний в системе.

Концепция

Локальная плотность состояний (LDOS) описывает плотность состояний с пространственным разрешением. В материаловедении, например, этот термин полезен при интерпретации данных сканирующего туннельного микроскопа (СТМ), поскольку этот метод способен отображать электронные плотности состояний с атомным разрешением. В соответствии с кристаллической структурой эту величину можно предсказать с помощью вычислительных методов, например, с помощью теории функционала плотности .

Общее определение

В локальной плотности состояний вклад каждого состояния взвешивается плотностью его волновой функции в точке. становится ${\displaystyle N(E)}$ ${\displaystyle n(E,x)}$

$${\displaystyle n(E,x)=\sum _{j}|\phi _{j}(x)|^{2}\delta (E-\varepsilon _{j})}$$

Фактор означает, что каждый штат вносит больший вклад в регионы с высокой плотностью населения. Усреднение этого выражения восстановит обычную формулу для DOS. LDOS полезен в неоднородных системах, где содержится больше информации, чем в одиночку. ${\displaystyle |\phi _{j}(x)|^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n(E,x)}$ ${\displaystyle n(E)}$

Для одномерной системы со стенкой синусоидальные волны дают

$${\displaystyle n_{1D}(E,x)={\frac {2}{\pi \hbar }}{\sqrt {\frac {2m}{E}}}\sin ^{2}{kx}}$$

где . ${\textstyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$

В трехмерной системе с выражением ${\displaystyle x>0}$

$${\displaystyle n_{3D}(E,x)=\left(1-{\frac {\sin {2kx}}{2kx}}\right)n_{3D}(E)}$$

Фактически, мы можем обобщить локальную плотность состояний дальше:

$${\displaystyle n(E,x,x')=\sum _{j}\phi _{j}(x)\phi _{j}^{*}(x')\delta (E-\varepsilon _{j})}$$

это называется спектральной функцией , и это функция, в которой каждая волновая функция находится отдельно в своей переменной. В более продвинутой теории это связано с функциями Грина и обеспечивает компактное представление некоторых результатов, таких как оптическое поглощение .

Пространственно разрешенная локальная плотность состояний. Последовательность изображений с различным смещением затвора в нанопроводном МОП-транзисторе при смещении стока {{{1}}} Обратите внимание на ограниченные уровни энергии, когда они движутся с увеличением смещения затвора.

Твердотельные устройства

LDOS можно использовать для получения прибыли от твердотельного устройства. Например, рисунок справа иллюстрирует LDOS транзистора при его включении и выключении в баллистическом моделировании. LDOS имеет четкую границу в истоке и стоке, что соответствует положению края зоны. В канале DOS увеличивается по мере увеличения напряжения на затворе и снижения потенциального барьера.

Оптика и фотоника

В оптике и фотонике понятие локальной плотности состояний относится к состояниям, которые может занять фотон. Для света его обычно измеряют методами флуоресценции, методами сканирования ближнего поля или методами катодолюминесценции. Различные фотонные структуры имеют разное поведение LDOS с разными последствиями для спонтанного излучения. В фотонных кристаллах ожидается околонулевая LDOS, подавляющая спонтанное излучение. ^[12] Аналогичное усиление LDOS ожидается и в плазмонной полости. ^[13] Однако в неупорядоченных фотонных наноструктурах LDOS ведут себя иначе. Они колеблются в пространстве в зависимости от своей статистики и пропорциональны силе рассеяния структур. ^[14] Кроме того, связь со средней длиной свободного пробега рассеяния тривиальна, поскольку на LDOS все еще могут сильно влиять короткие детали сильных нарушений в форме сильного Парселловского усиления излучения. ^[15] и, наконец, для плазмонного беспорядка этот эффект гораздо сильнее для флуктуаций LDOS, поскольку его можно наблюдать как сильную ближнепольную локализацию. ^[16]

Смотрите также

• Эффективная масса (физика твердого тела)
• Структура группы
• теория возмущений k·p
• Полупроводник
• Электрическая проводимость
• Валентная зона
• Модель Кронига – Пенни
• Модель жесткой привязки
• Приближение формы для кексов
• Путеводитель Бритни Спирс по физике полупроводников

Рекомендации

1. Уолтер Эшли Харрисон (1989). Электронная структура и свойства твердых тел. Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-66021-9.
2. Выборочная плотность расчета состояний
3. "Еще один расчет плотности состояний" . Архивировано из оригинала 16 мая 2008 г. Проверено 22 мая 2008 г.
4. Чарльз Киттель (1996). Введение в физику твердого тела (7-е изд.). Уайли. Уравнение (37), с. 216. ИСБН 978-0-471-11181-8.
5. Яблонович, Э. (1987). «Заторможенное спонтанное излучение в физике твердого тела и электронике». Физ. Преподобный Летт . 58 (20): 2059–2062. Бибкод : 1987PhRvL..58.2059Y. doi : 10.1103/PhysRevLett.58.2059 . ПМИД  10034639.
6. Джон, Саджив; Ван, Цзянь (1990). «Квантовая электродинамика вблизи фотонной запрещенной зоны: связанные состояния фотонов и одетый атом». Физ. Преподобный Летт . 64 (20): 2418–2421. Бибкод : 1990PhRvL..64.2418J. doi : 10.1103/PhysRevLett.64.2418. ПМИД  10041707.
7. Лодал, П.; ван Дрил, А.Ф.; Николаев, И. (2004). «Управление динамикой спонтанного излучения квантовых точек фотонными кристаллами». Природа . 430 (1): 654–657. Бибкод : 2004Natur.430..654L. дои : 10.1038/nature02772. hdl : 1874/16698 . PMID  15295594. S2CID  4334567.
8. Фудзита, Масаюки; Такахаси, Сигэки; Танака, Ёсинори; Асано, Такаши; Нода, Сусуму (2005). «Одновременное торможение и перераспределение спонтанного излучения света в фотонных кристаллах». Наука . 308 (5726): 1296–1298. Бибкод : 2005Sci...308.1296F. дои : 10.1126/science.1110417. PMID  15919989. S2CID  30116866.
9. Ван, Фугао; Ландау, Д.П. (2001). «Эффективный многодиапазонный алгоритм случайного блуждания для расчета плотности состояний». Физ. Преподобный Летт . 86 (10): 2050–2053. arXiv : cond-mat/0011174 . Бибкод : 2001PhRvL..86.2050W. doi :10.1103/PhysRevLett.86.2050. PMID  11289852. S2CID  2941153.
10. Охеда, П.; Гарсия, М. (2010). «Нарушение электрического поля нативной конформации белка бета-листа и создание спиральной структуры». Биофизический журнал . 99 (2): 595–599. Бибкод : 2010BpJ....99..595O. дои : 10.1016/j.bpj.2010.04.040. ПМК 2905109 . ПМИД  20643079. 
11. Адачи Т. и Сунада. Т (1993). «Плотность состояний в спектральной геометрии состояний в спектральной геометрии». Комментарий. Математика. Хелв . 68 : 480–493. дои : 10.1007/BF02565831. S2CID  120828817.
12. Сприк, Р.; ван Тиггелен, бакалавр; Лагендейк, А. (1996). «Плотность состояний в спектральной геометрии состояний в спектральной геометрии». Еврофиз. Летт . 35 (4): 265–270. doi : 10.1209/epl/i1996-00564-y. S2CID  250854036.
13. Фарахани, Дж. Н.; Пол, Д.В.; Эйслер, Х.-Дж.; Хехт, Б. (2005). «Одиночная квантовая точка, соединенная со сканирующей оптической антенной: настраиваемый суперэмиттер». Физ. Преподобный Летт . 95 (1): 017402. Бибкод : 2005PhRvL..95a7402F. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.017402. ПМИД  16090656.
14. Бировосуто, М.; Скипетров С.; Вос, В.; Моск, А. (2010). «Наблюдение пространственных флуктуаций локальной плотности состояний в случайных фотонных средах». Физ. Преподобный Летт . 105 (1): 013904. arXiv : 1002.3186 . Бибкод : 2010PhRvL.105a3904B. doi :10.1103/PhysRevLett.105.013904. PMID  20867448. S2CID  25044558.
15. Сапиенца, Р.; Бондарев П.; Пьерра, Р.; Хабер, Б.; Карминати, Р.; ван Хюлст, НФ (2011). «Статистика длинного хвоста фактора Перселла в неупорядоченных средах, вызванных ближнепольными взаимодействиями». Физ. Преподобный Летт . 106 (16): 163902. Бибкод : 2011PhRvL.106p3902S. doi : 10.1103/PhysRevLett.106.163902. ПМИД  21599367.
16. Крахмальников, В.; Кастанье, Э.; Де Уайльд, Ю.; Карминати, Р. (2010). «Статистика длинного хвоста фактора Перселла в неупорядоченных средах, вызванных ближнепольными взаимодействиями». Физ. Преподобный Летт . 105 (18): 183901. arXiv : 1007.3691 . doi : 10.1103/PhysRevLett.105.183901. PMID  21231105. S2CID  15590513.

дальнейшее чтение

• Чен, банда. Наномасштабный транспорт и преобразование энергии. Нью-Йорк: Оксфорд, 2005 г.
• Стритман, Бен Г. и Санджай Банерджи. Твердотельные электронные устройства. Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 2000.
• Мюллер, Ричард С. и Теодор И. Каминс. Электроника устройств для интегральных схем. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, 2003.
• Киттель, Чарльз и Герберт Кремер. Теплофизика. Нью-Йорк: WH Freeman and Company, 1980.
• Сзе, Саймон М. Физика полупроводниковых приборов. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, 1981.

Внешние ссылки

• Онлайн-лекция: ECE 606. Лекция 8: Плотность состояний М. Алама.
• Ученые пролили свет на светящиеся материалы Как измерить фотонный LDOS