Теодор Франкель (17 июня 1929 – 5 августа 2017) [1] был математиком, который представил теорему Андреотти–Франкеля и гипотезу Франкеля .
Франкель получил докторскую степень. из Калифорнийского университета в Беркли в 1955 году. Его научным руководителем был Харли Фландерс . [2] Почетный профессор математики Калифорнийского университета в Сан-Диего , Франкель долгое время был членом Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси . Он известен своими работами в области глобальной дифференциальной геометрии , теории Морса и теории относительности . Он поступил на математический факультет Калифорнийского университета в Сан-Диего в 1965 году, после работы на факультетах Стэнфордского университета и Университета Брауна .
В 1930-х годах Джон Синг установил то, что сейчас известно как теорема Синга , применив вторую формулу вариации длины дуги к минимальному контуру. Франкель адаптировал метод Синга к объектам более высокой размерности. Как следствие, он смог доказать, что, когда на замкнутом многообразии задана риманова метрика положительной кривизны , любые два вполне геодезических компактных подмногообразия должны пересекаться, если их размеры достаточно велики. Идея состоит в том, чтобы применить метод Синджа к минимизирующей геодезической между двумя подмногообразиями. Используя тот же подход, Франкель доказал, что комплексные подмногообразия кэлерова многообразия положительной кривизны должны пересекаться, если их размерности достаточно велики. Эти результаты позже были расширены Сэмюэлем Голдбергом и Шошичи Кобаяши , чтобы обеспечить положительность голоморфной бисекционной кривизны. [3]
Вдохновленные работой Рене Тома , Франкель и Альдо Андреотти дали новое доказательство теоремы Лефшеца о гиперплоскости, используя теорию Морса . Суть аргумента заключается в том алгебраическом факте, что собственные значения вещественной части комплексной квадратичной формы должны встречаться парами вида ± z . Это становится актуальным в контексте теоремы Лефшеца, если рассматривать функцию Морса, определяемую расстоянием до фиксированной точки. Анализу второго порядка в критических точках непосредственно помогает приведенный выше алгебраический анализ, а явления исчезновения гомологии следуют через неравенства Морса . [4]
Учитывая векторное поле Киллинга , для которого соответствующая однопараметрическая группа изометрий действует голоморфными отображениями , Франкель использовал формулу Картана , чтобы показать, что внутреннее произведение векторного поля с формой Кэлера замкнуто. Предполагая, что первое число Бетти равно нулю, теорема де Рама применяется для построения функции, критические точки которой совпадают с нулями векторного поля. Анализ второго порядка в критических точках показывает, что множество нулей векторного поля представляет собой невырожденное критическое многообразие функции. Следуя развитию Раулем Боттом теории Морса для критических многообразий, Франкель смог установить, что числа Бетти многообразия полностью кодируются числами Бетти критических многообразий вместе с индексом его функции Морса вдоль этих многообразий. Эти идеи Франкеля позже были важны для работ Майкла Атьи и Найджела Хитчина , среди других. [5] [6]
Статьи
Учебники