Географическое расстояние

Расстояние, измеренное вдоль поверхности Земли

Вид со Швабской Юры на Альпы

Географическое расстояние или геодезическое расстояние — это расстояние , измеренное по поверхности Земли , или кратчайшая длина дуги.

Формулы в этой статье рассчитывают расстояния между точками, которые определяются географическими координатами в терминах широты и долготы . Это расстояние является элементом решения второй (обратной) геодезической задачи .

Введение

Вычисление расстояния между географическими координатами основано на некотором уровне абстракции; он не дает точного расстояния, которое недостижимо, если попытаться объяснить каждую неровность поверхности Земли. ^[1] Общие абстракции для поверхности между двумя географическими точками:

• Плоская поверхность;
• Сферическая поверхность;
• Эллипсоидальная поверхность.

Все приведенные выше абстракции игнорируют изменения высоты. Расчет расстояний, учитывающих изменения высоты относительно идеализированной поверхности, в этой статье не обсуждается.

Номенклатура

Расстояние по дуге — минимальное расстояние по поверхности сферы/эллипсоида, рассчитанное между двумя точками и . Принимая во внимание, что расстояние туннеля или длина хорды измеряется вдоль декартовой прямой. Географические координаты двух точек в виде пар (широта и долгота) равны и соответственно. Какая из двух точек обозначена как не имеет значения для расчета расстояния. ${\displaystyle D,\,\!}$ ${\displaystyle P_{1}\,\!}$ ${\displaystyle P_{2}\,\!}$ ${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$ ${\displaystyle (\phi _{1},\lambda _{1})\,\!}$ ${\displaystyle (\phi _{2},\lambda _{2}),\,\!}$ ${\displaystyle P_{1}\,\!}$

Координаты широты и долготы на картах обычно выражаются в градусах . В приведенных ниже формах формул одно или несколько значений должны быть выражены в указанных единицах для получения правильного результата. Если в качестве аргумента тригонометрической функции используются географические координаты, значения могут быть выражены в любых угловых единицах, совместимых с методом, используемым для определения значения тригонометрической функции. Многие электронные калькуляторы позволяют вычислять тригонометрические функции как в градусах, так и в радианах . Режим калькулятора должен быть совместим с единицами измерения геометрических координат.

Различия в широте и долготе обозначаются и рассчитываются следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \phi &=\phi _{2}-\phi _{1};\\\Delta \lambda &=\lambda _{2}-\lambda _{1}.\end{aligned}}\,\!}$

Не важно, будет ли результат положительным или отрицательным при использовании в формулах ниже.

«Средняя широта» обозначается и рассчитывается следующим образом:

${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }={\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}.\,\!}$

Colatitude маркируется и рассчитывается следующим образом:

Для широт, выраженных в радианах:

${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}-\phi ;\,\!}$

Для широт, выраженных в градусах:

${\displaystyle \theta =90^{\circ }-\phi .\,\!}$

Если не указано иное, радиус Земли для приведенных ниже расчетов составляет:

${\displaystyle R\,\!}$= 6 371,009 километра = 3 958,761 статутной мили = 3 440,069 морских миль .

${\displaystyle D_{\,}\!}$= Расстояние между двумя точками, измеренное вдоль поверхности Земли и в тех же единицах, что и значение, используемое для радиуса, если не указано иное.

Особенности и разрыв широты/долготы

Долгота имеет особенности на полюсах (долгота не определена) и разрыв на меридиане ± 180° . Кроме того, плоские проекции кругов постоянной широты сильно изогнуты вблизи полюсов. Следовательно, приведенные выше уравнения для дельты широты/долготы ( , ) и средней широты ( ) могут не дать ожидаемого ответа для положений вблизи полюсов или меридиана ±180°. Рассмотрим, например, значение («смещение на восток»), когда и находятся по обе стороны от меридиана ±180°, или значение («средняя широта») для двух положений ( =89°, =45°) и ( = 89°, =−135°). ${\displaystyle \Delta \phi \!}$ ${\displaystyle \Delta \lambda \!}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\!}$ ${\displaystyle \Delta \lambda \!}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{2}\!}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\!}$ ${\displaystyle \phi _{1}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\!}$ ${\displaystyle \phi _{2}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{2}\!}$

Если расчет, основанный на широте/долготе, должен быть действительным для всех положений Земли, необходимо убедиться, что разрыв и полюса обрабатываются правильно. Другое решение — использовать n -вектор вместо широты/долготы, поскольку это представление не имеет разрывов или сингулярностей.

Формулы плоской поверхности

Плоская аппроксимация поверхности Земли может быть полезна на небольших расстояниях. Точность расчета расстояний с использованием этого приближения становится все более неточной, поскольку:

• Расстояние между точками становится больше;
• Точка становится ближе к географическому полюсу.

Кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости — это декартова прямая. Теорема Пифагора используется для расчета расстояния между точками на плоскости. Даже если опустить преобразование между длинами дуги и хорды, показанное ниже, оно аппроксимирует длину дуги , в том случае, если она мала или и малы. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Delta \lambda }$ ${\displaystyle \Delta \phi }$ ${\displaystyle \phi _{\textrm {m}}}$

Даже на коротких расстояниях точность вычислений географических расстояний, предполагающих плоскую Землю, зависит от метода, с помощью которого координаты широты и долготы были спроецированы на плоскость. Проекция координат широты и долготы на плоскость — это область картографии .

Формулы, представленные в этом разделе, имеют разную степень точности.

Сферическая Земля проецируется на плоскость

Эта формула учитывает изменение расстояния между меридианами в зависимости от широты:

${\displaystyle D=R{\sqrt {(\Delta \phi )^{2}+(\cos(\phi _{\mathrm {m} })\Delta \lambda )^{2}}},}$

где:

${\displaystyle \Delta \phi \,\!}$и указаны в радианах; ${\displaystyle \Delta \lambda \,\!}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\,\!}$должны быть в единицах, совместимых с методом, используемым для определения ${\displaystyle \cos(\phi _{\mathrm {m} }).\,\!}$

Чтобы преобразовать широту или долготу в радианы, используйте

${\displaystyle 1^{\circ }=(\pi /180)\,\mathrm {radians} .}$

Это приближение очень быстрое и дает довольно точные результаты ^{на небольших расстояниях} . Кроме того, при упорядочивании местоположений по расстоянию, например, в запросе к базе данных, упорядочивание по квадрату расстояния происходит быстрее, что устраняет необходимость вычисления квадратного корня.

Эллипсоидная Земля, проецируемая на плоскость

Приведенная выше формула распространена на эллипсоидную Землю: ^[2]

${\displaystyle D={\sqrt {(M(\phi _{\mathrm {m} })\Delta \phi )^{2}+(N(\phi _{\mathrm {m} })\cos \phi _{\mathrm {m} }\Delta \lambda )^{2}}},}$

где и – меридиональный и перпендикулярный к нему, или « нормальный » , радиусы кривизны Земли . См. также « Преобразование географических координат » для ознакомления с их формулами. ${\displaystyle M\,\!}$ ${\displaystyle N\,\!}$

Формула FCC

FCC предписывает следующие формулы для расстояний, не превышающих 475 километров (295 миль): [ ^3]

${\displaystyle D={\sqrt {(K_{1}\Delta \phi )^{2}+(K_{2}\Delta \lambda )^{2}}},}$

где

${\displaystyle D\,\!}$= Расстояние в километрах;

${\displaystyle \Delta \phi \,\!}$и указаны в градусах; ${\displaystyle \Delta \lambda \,\!}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\,\!}$должны быть в единицах, совместимых с методом, используемым для определения ${\displaystyle \cos(\phi _{\mathrm {m} });\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{1}&=111.13209-0.56605\cos(2\phi _{\mathrm {m} })+0.00120\cos(4\phi _{\mathrm {m} });\\K_{2}&=111.41513\cos(\phi _{\mathrm {m} })-0.09455\cos(3\phi _{\mathrm {m} })+0.00012\cos(5\phi _{\mathrm {m} }).\end{aligned}}\,\!}$

Где и находятся в единицах километров на угловой градус. Они получены из радиусов кривизны Земли следующим образом: ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2}}$

${\displaystyle K_{1}=M(\phi _{\mathrm {m} }){\frac {\pi }{180}}\,\!}$= километры на дуговой градус разницы широт;

${\displaystyle K_{2}=\cos(\phi _{\mathrm {m} })N(\phi _{\mathrm {m} }){\frac {\pi }{180}}\,\!}$= километры на дугу градуса разницы долготы;

Обратите внимание, что выражения в формуле FCC получены в результате усечения формы разложения биномиального ряда и , установленного в опорный эллипсоид Кларка 1866 года . Для более эффективной в вычислительном отношении реализации приведенной выше формулы несколько применений косинуса можно заменить одним применением и использованием рекуррентного соотношения для полиномов Чебышева . ${\displaystyle M\,\!}$ ${\displaystyle N\,\!}$

Формула плоской Земли в полярных координатах

${\displaystyle D=R{\sqrt {\theta _{1}^{2}\;{\boldsymbol {+}}\;\theta _{2}^{2}\;\mathbf {-} \;2\theta _{1}\theta _{2}\cos(\Delta \lambda )}},}$

где значения широты указаны в радианах. Для широты, измеряемой в градусах, широта в радианах может быть рассчитана следующим образом: ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{180}}(90^{\circ }-\phi ).\,\!}$

Формулы сферической поверхности

Если кто-то готов принять возможную ошибку в 0,5%, можно использовать формулы сферической тригонометрии для сферы, которая лучше всего аппроксимирует поверхность Земли.

Кратчайшее расстояние по поверхности сферы между двумя точками на поверхности — вдоль большого круга, содержащего две точки.

В статье о расстоянии по большому кругу приведена формула для расчета кратчайшей длины арки на сфере размером с Землю. В этой статье есть пример расчета. Например, с расстояния туннеля , ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$

${\displaystyle D=2R\arcsin {\frac {D_{\textrm {t}}}{2R}}.}$

На короткие расстояния ( ), ${\displaystyle D\ll R}$

${\displaystyle D=D_{\textrm {t}}+{\frac {D_{\textrm {t}}}{24}}\left({\frac {D_{\textrm {t}}}{R}}\right)^{2}+\cdots .}$

Расстояние туннеля

Туннель между точками на Земле определяется декартовой линией, проходящей через трехмерное пространство между точками интереса. Туннельное расстояние представляет собой длину хорды большого круга и может быть рассчитано для соответствующей единичной сферы следующим образом: ${\displaystyle D_{\textrm {t}}=2R\sin {\frac {D}{2R}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {X}=\cos(\phi _{2})\cos(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\cos(\lambda _{1});\\&\Delta {Y}=\cos(\phi _{2})\sin(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\sin(\lambda _{1});\\&\Delta {Z}=\sin(\phi _{2})-\sin(\phi _{1});\\&D_{\textrm {t}}=R{\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}.\end{aligned}}}$

Или

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\textrm {t}}&=2R{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}+\left(\cos ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}-\sin ^{2}\phi _{\textrm {m}}\right)\sin ^{2}{\frac {\Delta \lambda }{2}}}}\\&=2R{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Формулы эллипсоидальной поверхности

Геодезическая на сплюснутом эллипсоиде

Эллипсоид гораздо лучше приближает поверхность Земли, чем сфера или плоская поверхность. Кратчайшее расстояние по поверхности эллипсоида между двумя точками на поверхности — вдоль геодезической . Геодезические следуют более сложными путями, чем большие круги, и, в частности, они обычно не возвращаются в исходные положения после одного оборота Земли. Это показано на рисунке справа, где f принято равным 1/50, чтобы подчеркнуть эффект. Поиск геодезической между двумя точками на Земле, так называемая обратная геодезическая задача , была в центре внимания многих математиков и геодезистов на протяжении 18 и 19 веков, при этом основные вклады внесли Клеро , ^[4] Лежандр , ^[5] Бессель . , ^[6] и Хельмерт . ^[7] Рэпп ^[8] дает хорошее резюме этой работы.

Методы расчета геодезического расстояния широко доступны в географических информационных системах , библиотеках программного обеспечения, автономных утилитах и ​​онлайн-инструментах. Наиболее широко используемый алгоритм принадлежит Винсенти ^[9] , который использует ряд с точностью до третьего порядка уплощения эллипсоида, т. е. около 0,5 мм; однако алгоритм не может сходиться для точек, которые почти противоположны . (Подробнее см. формулы Винсенти .) Этот дефект устраняется с помощью алгоритма, предложенного Карни ^[10] , который использует ряды с точностью до шестого порядка уплощения. В результате получается алгоритм с точностью до полной двойной точности, который сходится для произвольных пар точек на Земле. Этот алгоритм реализован в GeographicLib. ^[11]

Точные методы, описанные выше, возможны при проведении расчетов на компьютере. Они предназначены для обеспечения миллиметровой точности на линиях любой длины; можно использовать более простые формулы, если не нужна точность до миллиметра или если точность до миллиметра нужна, но линия короткая.

Методы короткой линии изучались несколькими исследователями. Рапп, ^[12] Гл. 6 описывает метод Пюиссана , метод Гаусса для средних широт и метод Боуринга. ^[13] Карл Хубени ^[14] получил расширенный ряд среднеширотного ряда Гаусса, представленный как поправка к ряду с плоской поверхностью.

Формула Ламберта для длинных линий

Формулы Ламберта ^[15] дают точность порядка 10 метров на тысячи километров. Сначала преобразуйте широты двух точек в уменьшенные широты . ${\displaystyle \scriptstyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta _{2}}$

${\displaystyle \tan \beta =(1-f)\tan \phi ,}$

где сплющивание .​ Затем вычислите центральный угол в радианах между двумя точками и на сфере, используя метод расстояния Большого круга ( формула хаверсина ), с долготами , одинаковыми на сфере и на сфероиде. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\beta _{1},\;\lambda _{1})}$ ${\displaystyle (\beta _{2},\;\lambda _{2})}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\;}$ ${\displaystyle \lambda _{2}\;}$

${\displaystyle P={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}\qquad Q={\frac {\beta _{2}-\beta _{1}}{2}}}$

${\displaystyle X=(\sigma -\sin \sigma ){\frac {\sin ^{2}P\cos ^{2}Q}{\cos ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}\qquad \qquad Y=(\sigma +\sin \sigma ){\frac {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q}{\sin ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}}$

${\textstyle \mathrm {distance} =a{\bigl (}\sigma -{\tfrac {f}{2}}(X+Y){\bigr )}}$

где – экваториальный радиус выбранного сфероида. ${\displaystyle a}$

На сфероиде GRS 80 формула Ламберта отклоняется на

от 0 севера от 0 запада до 40 севера 120 запада, 12,6 метра

От 0 Н 0 Вт до 40 Н 60 Вт, 6,6 метра

От 40 Н 0 Вт до 40 Н 60 Вт, 0,85 метра

Метод Гаусса для средних широт для коротких линий

Он имеет вид длины дуги, преобразованной из расстояния туннеля. Подробные формулы даны Раппом, ^[12] §6.4.

${\displaystyle D=2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\arcsin {\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\Delta \phi }{2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)}}\right)^{2}}}.}$

Метод Боуринга для коротких линий

Боуринг отображает точки в сферу радиуса R' , широта и долгота которого представлены как φ' и λ'. Определять

${\displaystyle A={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{4}\phi _{1}}},\quad B={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi _{1}}},}$

где второй квадрат эксцентриситета равен

${\displaystyle e'^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}={\frac {f(2-f)}{(1-f)^{2}}}.}$

Сферический радиус

${\displaystyle R'={\frac {\sqrt {1+e'^{2}}}{B^{2}}}a.}$

( Гауссова кривизна эллипсоида в точке φ ₁ равна 1/ R′ ² .) Сферические координаты определяются выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \phi _{1}'&={\frac {\tan \phi }{B}},\\\Delta \phi '&={\frac {\Delta \phi }{B}}{\biggl [}1+{\frac {3e'^{2}}{4B^{2}}}(\Delta \phi )\sin(2\phi _{1}+{\tfrac {2}{3}}\Delta \phi ){\biggr ]},\\\Delta \lambda '&=A\Delta \lambda ,\end{aligned}}}$

где , , , . Возникшая проблема на сфере может быть решена с использованием методов навигации по большому кругу, чтобы получить приближенные значения сфероидального расстояния и пеленга. Подробные формулы даны Раппом, ^[12] §6.5 и Боурингом. ^[13] ${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{2}-\phi _{1}}$ ${\displaystyle \Delta \phi '=\phi _{2}'-\phi _{1}'}$ ${\displaystyle \Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}}$ ${\displaystyle \Delta \lambda '=\lambda _{2}'-\lambda _{1}'}$

Коррекция высоты

Изменение высоты от топографического уровня или уровня земли до поверхности сферы или эллипсоида также меняет масштаб измерений расстояний. ^[16] Наклонное расстояние s ( длина хорды ) между двумя точками может быть уменьшено до длины дуги на поверхности эллипсоида S как: ^[17]

${\displaystyle S-s=-0.5(h_{1}+h_{2})s/R-0.5(h_{1}-h_{2})^{2}/s}$

где R оценивается по азимутальному радиусу кривизны Земли , а h - эллипсоидные высоты в каждой точке. Первый член в правой части уравнения учитывает среднюю высоту, а второй член — наклон. Дальнейшее уменьшение длины нормального участка над Землей до эллипсоидной геодезической длины часто незначительно. ^[17]

Смотрите также

• Измерение дуги
• Радиус Земли
• Сферическая Земля
• Расстояние большого круга
• Навигация по большому кругу
• Расстояние до образца грунта
• Формулы Винсенти
• Меридианная дуга
• Масштаб (карта)

Рекомендации

1. «Британское картографическое общество> Какова длина береговой линии Великобритании?». Архивировано из оригинала 22 мая 2012 г. Проверено 6 декабря 2008 г.
2. Уильямс, Э. (2002). «Навигация по сфероидальной Земле» . Проверено 28 ноября 2023 г.
3. «Опорные точки и расчеты расстояний» (PDF) . Свод федеральных правил (ежегодное издание). Название 47: Телекоммуникации . 73 (208). 1 октября 2016 года . Проверено 8 ноября 2017 г.
4. Клеро, AC (1735). «Détermination géometrique de la perpendiculaire à la méridienne tracée par M. Cassini» [Геометрическое определение перпендикуляра к меридиану, проведенного Жаком Кассини]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris 1733 (на французском языке): 406–416.
5. Лежандр, AM (1806). «Анализ треугольных трассировок на поверхности сфероида» [Анализ сфероидальных треугольников]. Mémoires de l'Institut National de France (на французском языке) (1-й семестр): 130–161.
6. Бессель, FW (2010) [1825]. «Расчет долготы и широты по геодезическим измерениям». Астрономические Нахрихтен . 331 (8). . Перевод CFF Karney & RE Deakin: 852–861. arXiv : 0908.1824 . Бибкод : 2010AN....331..852K. дои : 10.1002/asna.201011352. S2CID  118760590. Английский перевод Astron. Нахр. 4, 241–254 (1825). Ошибка. {{cite journal}}: Внешняя ссылка |postscript=( помощь )CS1 maint: postscript (link)
7. Гельмерт, Франция (1964) [1880]. Математические и физические теории высшей геодезии. Том. 1. Сент-Луис: Центр аэронавигационных карт и информации. Английский перевод книги Die Mathematischen und Physikalischen Theorieen der Höheren Geodäsie, Vol. 1 (Тойбнер, Лейпциг, 1880 г.). {{cite book}}: Внешняя ссылка |postscript=( помощь )CS1 maint: postscript (link)
8. Рэпп, Р.Х. (март 1993 г.). Геометрическая геодезия. Часть II (Технический отчет). Университет штата Огайо . Проверено 1 августа 2011 г.
9. Винсенти, Т. (апрель 1975 г.). «Прямые и обратные решения геодезических на эллипсоиде с применением вложенных уравнений» (PDF) . Обзор опроса . 23 (176): 88–93. дои : 10.1179/sre.1975.23.176.88 . Проверено 11 июля 2009 г. Приложение: Обзор обзора 23 (180): 294 (1976).{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)
10. Карни, CFF (2013). «Алгоритмы геодезических». Журнал геодезии . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Бибкод : 2013JGeod..87...43K. doi : 10.1007/s00190-012-0578-z. S2CID  119310141 (открытый доступ). Дополнения. {{cite journal}}: Внешняя ссылка |postscript=( помощь )CS1 maint: postscript (link)
11. Карни, CFF (2013). «Географическая библиотека». 1.32.
12. Рапп, Р, Х (1991). Геометрическая геодезия. Часть I (Отчет). Стартовый университет Огайо. hdl : 1811/24333.{{cite report}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
13. Боуринг, BR (1981). «Прямая и обратная задачи для коротких геодезических линий на эллипсоиде». Геодезия и картографирование . 41 (2): 135–141.
14. Хубени, К. (1954). Entwicklung der Gauss'schen Mittelbreitenformeln, Österreichische Zeitschrift für Vermessungswesen.
15. Ламберт, WD (1942). «Расстояние между двумя далеко отстоящими друг от друга точками на поверхности Земли». Академия наук Дж. Вашингтона . 32 (5): 125–130.
16. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 27 августа 2014 г. Проверено 26 августа 2014 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
17. Torge & Müller (2012) Геодезия, Де Грюйтер, стр.249

Внешние ссылки

• Онлайн-геодезический калькулятор (на основе GeographicLib).
• Интернет-геодезическая библиография.