Глоссарий теории тензоров

Это глоссарий теории тензоров . Для изложения теории тензоров с разных точек зрения см.:

Для получения информации об истории абстрактной теории см. также полилинейную алгебру .

Классическая нотация

исчисление Риччи: Самая ранняя основа теории тензоров – обозначение индекса тензора. ^[1]

Порядок тензора: Компоненты тензора относительно базиса представляют собой индексированный массив. Порядок тензора — это количество необходимых индексов. В некоторых текстах порядок тензора может обозначаться термином степень или ранг .

Ранг тензора: Ранг тензора — это минимальное число тензоров ранга один, которые необходимо просуммировать для получения тензора. Тензор ранга один может быть определен как выражаемый как внешнее произведение числа ненулевых векторов, необходимых для получения правильного порядка.

Двоичный тензор: Двоичный тензор — это тензор второго порядка, который может быть представлен в виде квадратной матрицы . В отличие от этого, диада — это , в частности, двоичный тензор ранга один.

Обозначение Эйнштейна: Эта нотация основана на понимании того, что всякий раз, когда многомерный массив содержит повторяющуюся букву индекса, интерпретация по умолчанию заключается в том, что произведение суммируется по всем допустимым значениям индекса. Например, если a _ij — матрица, то в соответствии с этим соглашением a _ii — ее след . Соглашение Эйнштейна широко используется в физических и инженерных текстах, в той мере, в какой, если суммирование не применяется, это обычно указывается явно.

дельта Кронекера

Символ Леви-Чивиты

Ковариантный тензор

Контравариантный тензор: Классическая интерпретация — по компонентам. Например, в дифференциальной форме a _i dx ⁱ компоненты a _i являются ковариантным вектором. Это означает, что все индексы нижние; контравариантный означает, что все индексы верхние .

Смешанный тензор: Это относится к любому тензору, имеющему как нижние, так и верхние индексы.

Декартов тензор: Декартовы тензоры широко используются в различных разделах механики сплошных сред , таких как механика жидкости и упругость . В классической механике сплошных сред интересующее пространство обычно представляет собой трехмерное евклидово пространство , как и касательное пространство в каждой точке. Если мы ограничим локальные координаты декартовыми координатами с тем же масштабом, центрированным в интересующей точке, метрический тензор будет дельтой Кронекера . Это означает, что нет необходимости различать ковариантные и контравариантные компоненты, и, кроме того, нет необходимости различать тензоры и плотности тензоров . Все индексы декартовых тензоров записываются как нижние индексы. Декартовы тензоры достигают значительного упрощения вычислений за счет общности и некоторого теоретического понимания.

Свертка тензора

Повышение и понижение индексов

Симметричный тензор

Антисимметричный тензор

Множественные перекрестные произведения

Алгебраическая нотация

Это позволяет избежать первоначального использования компонентов и отличается явным использованием символа тензорного произведения.

Тензорное произведение

Если v и w — векторы в векторных пространствах V и W соответственно, то

v\otimes w

является тензором в

V\otimes W.

То есть операция ⊗ является бинарной операцией , но она переносит значения в новое пространство (она в строгом смысле внешняя ). Операция ⊗ является билинейным отображением ; но к ней не применяются никакие другие условия.

Чистый тензор: Чистый тензор V ⊗ W — это тензор, имеющий вид v ⊗ w .; Его можно записать в двоичном виде a ⁱ b ^j , или, точнее, a ⁱ b ^j e _i ⊗ f _j , где e _i являются базисом для V , а f _j — базисом для W . Поэтому, если только V и W не имеют одинаковой размерности, массив компонентов не обязательно должен быть квадратным. Такие чистые тензоры не являются общими: если и V, и W имеют размерность больше 1, то будут тензоры, которые не являются чистыми, и будут нелинейные условия для тензора, которым он должен удовлетворять, чтобы быть чистым. Подробнее см. вложение Сегре .

Тензорная алгебра: В тензорной алгебре T ( V ) векторного пространства V операция становится обычной (внутренней) бинарной операцией . Следствием этого является то, что T ( V ) имеет бесконечную размерность, если только V не имеет размерность 0. Свободная алгебра на множестве X для практических целей совпадает с тензорной алгеброй на векторном пространстве с X в качестве базиса. $\otimes$

Ходж-звезда оператор

Внешняя мощность

Произведение клина является антисимметричной формой операции ⊗. Фактор-пространство T ( V ), на котором оно становится внутренней операцией, является внешней алгеброй V ; это градуированная алгебра , причем градуированная часть веса k называется k -й внешней степенью V .

Симметричная мощность, симметричная алгебра: Это инвариантный способ построения полиномиальных алгебр .

Приложения

Метрический тензор

Тензор деформации

Тензор энергии-напряжения

Теория тензорного поля

Матрица Якоби

Тензорное поле

Плотность тензора

производная Ли

Производная тензора

Дифференциальная геометрия

Абстрактная алгебра

Тензорное произведение полей: Это операция над полями, которая не всегда создает поле.

Тензорное произведение R-алгебр

модуль Клиффорда: Представление алгебры Клиффорда, дающее реализацию алгебры Клиффорда как матричной алгебры.

Тор-функторы: Это производные функторы тензорного произведения, и они играют важную роль в гомологической алгебре . Название происходит от подгруппы кручения в теории абелевых групп .

Символический метод теории инвариантов

Производная категория

Шесть операций Гротендика: Это весьма абстрактные подходы, используемые в некоторых разделах геометрии.

Спиноры

Видеть:

Группа спина

Группа спин-с

Спинор

Группа контактов

Пинорс

Спинорное поле

Убийственный спинор

Спин-коллектор

Ссылки

^ Риччи, Грегорио ; Леви-Чивита, Туллио (март 1900 г.), «Méthodes de Calcul différentiel absolu et leurs application» [Методы абсолютных дифференциальных вычислений и их приложения], Mathematische Annalen (на французском языке), 54 (1–2), Springer: 125–201, doi : 10.1007/BF01454201, S2CID 120009332

Книги

Бишоп, Р. Л .; Голдберг, С. И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое издание, Дувр, 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
Дэниелсон, Дональд А. (2003). Векторы и тензоры в инженерии и физике (2-е изд.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7.
Димитриенко, Юрий (2002). Тензорный анализ и нелинейные тензорные функции. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
Лавлок, Дэвид; Ханно Рунд (1989) [1975]. Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Дувр. ISBN 978-0-486-65840-7.
Синг, Джон Л ; Шильд, Альфред (1949). Тензорное исчисление. Dover Publications, издание 1978 года. ISBN 978-0-486-63612-2.