Уравнение Гольдмана

Обобщение уравнения Нернста для мембранного потенциала

Уравнение напряжения Гольдмана-Ходжкина-Каца , иногда называемое уравнением Гольдмана , используется в физиологии клеточных мембран для определения потенциала покоя на клеточной мембране с учетом всех ионов, проникающих через эту мембрану.

Первооткрывателями этого явления являются Дэвид Э. Голдман из Колумбийского университета и лауреаты Нобелевской премии по медицине Алан Ллойд Ходжкин и Бернард Кац .

Уравнение для одновалентных ионов

Уравнение напряжения GHK для одновалентных положительных и отрицательных ионов : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle E_{m}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {\sum _{i}^{n}P_{M_{i}^{+}}[M_{i}^{+}]_{\mathrm {out} }+\sum _{j}^{m}P_{A_{j}^{-}}[A_{j}^{-}]_{\mathrm {in} }}{\sum _{i}^{n}P_{M_{i}^{+}}[M_{i}^{+}]_{\mathrm {in} }+\sum _{j}^{m}P_{A_{j}^{-}}[A_{j}^{-}]_{\mathrm {out} }}}\right)}}$

Если рассматривать мембрану, разделяющую два -раствора, это приводит к следующему: ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle \mathrm {K} _{x}\mathrm {Na} _{1-x}\mathrm {Cl} }$

${\displaystyle E_{m,\mathrm {K} _{x}\mathrm {\text{Na}} _{1-x}\mathrm {Cl} }={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }+P_{\text{K}}[{\text{K}}^{+}]_{\mathrm {out} }+P_{\text{Cl}}[{\text{Cl}}^{-}]_{\mathrm {in} }}{P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }+P_{\text{K}}[{\text{K}}^{+}]_{\mathrm {in} }+P_{\text{Cl}}[{\text{Cl}}^{-}]_{\mathrm {out} }}}\right)}}$

Он похож на Нернста , но имеет термин для каждого проникающего иона:

${\displaystyle E_{m,{\text{Na}}}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }}{P_{\text{Na}}[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {out} }}{[{\text{Na}}^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}}$

• ${\displaystyle E_{m}}$= мембранный потенциал (в вольтах , что эквивалентно джоулям на кулон )
• ${\displaystyle P_{\mathrm {ion} }}$= селективность для этого иона (в метрах в секунду)
• ${\displaystyle [\mathrm {ion} ]_{\mathrm {out} }}$= внеклеточная концентрация этого иона (в молях на кубический метр, чтобы соответствовать другим единицам СИ ) ^[4]
• ${\displaystyle [\mathrm {ion} ]_{\mathrm {in} }}$= внутриклеточная концентрация этого иона (в молях на кубический метр) ^[4]
• ${\displaystyle R}$= постоянная идеального газа (джоули на кельвин на моль) ^[4]
• ${\displaystyle T}$= температура в Кельвинах ^[4]
• ${\displaystyle F}$= постоянная Фарадея (кулоны на моль)

${\displaystyle {\frac {RT}{F}}}$составляет примерно 26,7 мВ при температуре тела человека (37 °С); при учете формулы изменения основания между натуральным логарифмом ln и логарифмом с основанием 10 оно становится значением, часто используемым в нейробиологии. ${\displaystyle ([\log _{10}\exp(1)]^{-1}=\ln(10)=2.30258...)}$ ${\displaystyle 26.7\,\mathrm {mV} \cdot 2.303=61.5\,\mathrm {mV} }$

${\displaystyle E_{X}=61.5\,\mathrm {mV} \cdot \log {\left({\frac {[X^{+}]_{\mathrm {out} }}{[X^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}=-61.5\,\mathrm {mV} \cdot \log {\left({\frac {[X^{-}]_{\mathrm {out} }}{[X^{-}]_{\mathrm {in} }}}\right)}}$

Заряд иона определяет знак вклада мембранного потенциала. Во время потенциала действия, хотя мембранный потенциал изменяется примерно на 100 мВ, концентрации ионов внутри и снаружи клетки существенно не меняются. Они всегда очень близки к соответствующим концентрациям, когда мембрана находится в состоянии покоя.

Вычисление первого члена

Используя , , (предполагая температуру тела) и тот факт, что один вольт равен одному джоулю энергии на кулон заряда, уравнение ${\displaystyle R\approx {\frac {8.3\ \mathrm {J} }{\mathrm {K} \cdot \mathrm {mol} }}}$ ${\displaystyle F\approx {\frac {9.6\times 10^{4}\ \mathrm {J} }{\mathrm {mol} \cdot \mathrm {V} }}}$ ${\displaystyle T=37\ ^{\circ }\mathrm {C} =310\ \mathrm {K} }$

${\displaystyle E_{X}={\frac {RT}{zF}}\ln {\frac {X_{o}}{X_{i}}}}$

можно свести к

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{X}&\approx {\frac {0.0267\ \mathrm {V} }{z}}\ln {\frac {X_{o}}{X_{i}}}\\&={\frac {26.7\ \mathrm {mV} }{z}}\ln {\frac {X_{o}}{X_{i}}}\\&\approx {\frac {61.5\ \mathrm {mV} }{z}}\log {\frac {X_{o}}{X_{i}}}&{\text{ since }}\ln 10\approx 2.303\end{aligned}}}$

что представляет собой уравнение Нернста .

Вывод

Уравнение Гольдмана направлено на определение напряжения Em _на мембране. ^[5] Для описания системы используется декартова система координат, при этом направление z перпендикулярно мембране. Предполагая, что система симметрична в направлениях x и y (вокруг и вдоль аксона соответственно), необходимо учитывать только направление z ; таким образом, напряжение Em представляет собой интеграл z _- компоненты электрического поля на мембране.

Согласно модели Гольдмана, на движение ионов через проницаемую мембрану влияют только два фактора: среднее электрическое поле и разница в концентрации ионов с одной стороны мембраны на другую. Электрическое поле предполагается постоянным поперек мембраны, поэтому его можно положить равным Е _м / л , где L — толщина мембраны. Для данного иона, обозначенного A, с валентностью n _A , его поток j _A — другими словами, количество ионов, пересекающих мембрану за время и на единицу площади мембраны, — определяется формулой

${\displaystyle j_{\mathrm {A} }=-D_{\mathrm {A} }\left({\frac {d\left[\mathrm {A} \right]}{dz}}-{\frac {n_{\mathrm {A} }F}{RT}}{\frac {E_{m}}{L}}\left[\mathrm {A} \right]\right)}$

Первое слагаемое соответствует закону диффузии Фика , который дает поток за счет диффузии вниз по градиенту концентрации , т. е. от высокой концентрации к низкой. Константа D _A представляет собой константу диффузии иона A. Второе слагаемое отражает поток электрического поля, который линейно возрастает с увеличением электрического поля; Формально это [A], умноженное на скорость дрейфа ионов, причем скорость дрейфа выражается с использованием соотношения Стокса-Эйнштейна, примененного к электрофоретической подвижности . Константами здесь являются валентность заряда n _A иона A (например, +1 для K ⁺ , +2 для Ca ²⁺ и −1 для Cl ⁻ ), температура T (в кельвинах ), молярная газовая постоянная R , и Фарадея F , который представляет собой полный заряд моля электронов .

Это ОДУ первого порядка формы y' = ay + b , где y = [A] и y' = d[A]/d z ; интегрируя обе части от z =0 до z = L с граничными условиями [A](0) = [A] _in и [A]( L ) = [A] _out , можно получить решение

${\displaystyle j_{\mathrm {A} }=\mu n_{\mathrm {A} }P_{\mathrm {A} }{\frac {\left[\mathrm {A} \right]_{\mathrm {out} }-\left[\mathrm {A} \right]_{\mathrm {in} }e^{n_{\mathrm {A} }\mu }}{1-e^{n_{\mathrm {A} }\mu }}}}$

где μ — безразмерное число

${\displaystyle \mu ={\frac {FE_{m}}{RT}}}$

и PA — ионная проницаемость, определяемая здесь _как

${\displaystyle P_{\mathrm {A} }={\frac {D_{\mathrm {A} }}{L}}}$

Плотность электрического тока J _A равна заряду q _A иона, умноженному на поток j _A

${\displaystyle J_{A}=q_{\mathrm {A} }j_{\mathrm {A} }}$

Плотность тока имеет единицы измерения (Ампер/м ² ). Молярный поток имеет единицы измерения (моль/(см ² )). Таким образом, чтобы получить плотность тока из молярного потока, нужно умножить его на постоянную Фарадея F (кулоны/моль). F затем отменит уравнение ниже. Поскольку валентность уже учтена выше, заряд q _A каждого иона в приведенном выше уравнении следует интерпретировать как +1 или -1 в зависимости от полярности иона.

Такой ток связан с каждым типом ионов, которые могут пересекать мембрану; это связано с тем, что каждому типу ионов потребуется отдельный мембранный потенциал для баланса диффузии, но мембранный потенциал может быть только один. По предположению, при напряжении Гольдмана Em полная плотность тока равна нулю _.

${\displaystyle J_{tot}=\sum _{A}J_{A}=0}$

(Хотя ток для каждого типа ионов, рассматриваемый здесь, отличен от нуля, в мембране есть и другие насосы, например Na ⁺ /K ⁺ -АТФаза , которые здесь не рассматриваются, которые служат для балансировки тока каждого отдельного иона, так что концентрации ионов с обеих сторон мембраны не меняются со временем в равновесии.) Если все ионы одновалентны, то есть если все n _A равны +1 или -1, это уравнение можно записать

${\displaystyle w-ve^{\mu }=0}$

решением которого является уравнение Гольдмана

${\displaystyle {\frac {FE_{m}}{RT}}=\mu =\ln {\frac {w}{v}}}$

где

${\displaystyle w=\sum _{\mathrm {cations\ C} }P_{\mathrm {C} }\left[\mathrm {C} ^{+}\right]_{\mathrm {out} }+\sum _{\mathrm {anions\ A} }P_{\mathrm {A} }\left[\mathrm {A} ^{-}\right]_{\mathrm {in} }}$

${\displaystyle v=\sum _{\mathrm {cations\ C} }P_{\mathrm {C} }\left[\mathrm {C} ^{+}\right]_{\mathrm {in} }+\sum _{\mathrm {anions\ A} }P_{\mathrm {A} }\left[\mathrm {A} ^{-}\right]_{\mathrm {out} }}$

Если рассматривать двухвалентные ионы, такие как кальций , появляются такие термины, как e ^{2μ , который представляет собой} квадрат e ^μ ; в этом случае формулу уравнения Гольдмана можно решить с помощью квадратичной формулы .

Смотрите также

• Биоэлектроника
• Теория кабеля
• Уравнение тока GHK
• Модель Хиндмарша – Роуза
• Модель Ходжкина – Хаксли
• Модель Морриса – Лекара
• Уравнение Нернста
• Сальтаторная проводимость

Рекомендации

1. Эндерле, Джон (01 января 2005 г.), Эндерле, Джон Д.; Бланшар, Сьюзен М.; Бронзино, Джозеф Д. (ред.), «Биоэлектрические явления», Введение в биомедицинскую инженерию (второе издание) , Биомедицинская инженерия, Бостон: Academic Press, стр. 627–691, doi : 10.1016/b978-0-12-238662- 6.50013-6, ISBN 978-0-12-238662-6, получено 23 октября 2020 г.
2. Ройсс, Луис (1 января 2008 г.), Альперн, Роберт Дж.; Хеберт, Стивен К. (ред.), «Глава 2 - Механизмы транспорта ионов через клеточные мембраны и эпителий», «Почка» Селдина и Гибиша (четвертое издание) , Сан-Диего: Academic Press, стр. 35–56, doi : 10.1016. /b978-012088488-9.50005-x, ISBN 978-0-12-088488-9, получено 23 октября 2020 г.
3. Эндерле, Джон Д. (01 января 2012 г.), Эндерле, Джон Д.; Бронзино, Джозеф Д. (ред.), «Глава 12 – Биоэлектрические явления», Введение в биомедицинскую инженерию (третье издание) , Биомедицинская инженерия, Бостон: Academic Press, стр. 747–815, doi : 10.1016/b978-0-12 -374979-6.00012-5, ISBN 978-0-12-374979-6, получено 23 октября 2020 г.
4. Бхадра, Нарендра (01.01.2015), Килгор, Кевин (редактор), «2 - Физиологические принципы электростимуляции», Имплантируемые нейропротезы для восстановления функции , Серия публикаций Woodhead по биоматериалам, Woodhead Publishing, стр. 13– 43, номер домена : 10.1016/b978-1-78242-101-6.00002-1, ISBN 978-1-78242-101-6, получено 23 октября 2020 г.
5. Юнге Д. (1981). Нервное и мышечное возбуждение (2-е изд.). Сандерленд, Массачусетс: Sinauer Associates. стр. 33–37. ISBN 0-87893-410-3.

Внешние ссылки

• Подпороговые мембранные явления Включает хорошо объясненный вывод уравнения Гольдмана-Ходжкина-Каца.
• Симулятор уравнений Нернста/Голдмана. Архивировано 8 августа 2010 г. в Wayback Machine.
• Калькулятор уравнения Гольдмана-Ходжкина-Каца
• Интерактивный Java-апплет Нернста/Голдмана. Мембранное напряжение рассчитывается в интерактивном режиме по мере изменения количества ионов внутри и снаружи клетки.
• Потенциал, импеданс и выпрямление в мембранах Голдмана (1943).