H-теорема

В классической статистической механике H - теорема , введенная Людвигом Больцманом в 1872 году, описывает тенденцию к уменьшению величины H (определенной ниже) в почти идеальном газе молекул. ^[1] Поскольку эта величина H должна была представлять энтропию термодинамики, H -теорема была ранней демонстрацией силы статистической механики , поскольку она утверждала, что вывела второй закон термодинамики — утверждение о принципиально необратимых процессах — из обратимых процессов. микроскопическая механика. Считается, что это доказывает второй закон термодинамики ^[2]^[3]^[4] , хотя и в предположении начальных условий с низкой энтропией. ^[5]

H - теорема является естественным следствием кинетического уравнения, выведенного Больцманом и которое стало известно как уравнение Больцмана . H - теорема вызвала широкую дискуссию о ее реальных последствиях, ^[6] основными темами которых были:

Что такое энтропия? В каком смысле величина Больцмана H соответствует термодинамической энтропии?
Не слишком ли сильны предположения (особенно предположение о молекулярном хаосе ), лежащие в основе уравнения Больцмана? Когда эти предположения нарушаются?

Имя и произношение

Больцман в своей оригинальной публикации пишет символ E (как в энтропии ) для обозначения ее статистической функции . ^[1] Спустя годы Сэмюэл Хоксли Бербери , один из критиков теоремы, ^[7] написал функцию с символом H, ^[8] обозначение, которое впоследствии было принято Больцманом при ссылке на его «H- теорему». ^[9] Эти обозначения привели к некоторой путанице в отношении названия теоремы. Хотя это утверждение обычно называют « теоремой Эйча » , иногда его называют « теоремой Эта », поскольку заглавная греческая буква Эта ( Η ) неотличима от заглавной версии латинской буквы h ( H ) . ^[10] Были подняты дискуссии о том, как следует понимать этот символ, но он остается неясным из-за отсутствия письменных источников со времени появления теоремы. ^[10]^[11] Исследования типографики и работы Дж. В. Гиббса ^{[12], кажется}, поддерживают интерпретацию H как Eta . ^[13]

Определение и значение H Больцмана

Значение H определяется из функции f ( E , t ) dE , которая является функцией распределения молекул по энергии в момент времени t . Величина f ( E , t ) dE — это количество молекул, кинетическая энергия которых находится между E и E + dE . Сам H определяется как

H(t)=\int _{0}^{\infty }f(E,t)\left(\ln {\frac {f(E,t)}{\sqrt {E}}} - 1\вправо)\,dE.

Для изолированного идеального газа (с фиксированной полной энергией и фиксированным общим числом частиц) функция H минимальна, когда частицы имеют распределение Максвелла – Больцмана ; если молекулы идеального газа распределены каким-то другим образом (скажем, все имеют одинаковую кинетическую энергию), то значение H будет выше. H -теорема Больцмана , описанная в следующем разделе, показывает, что когда столкновения между молекулами разрешены, такие распределения неустойчивы и имеют тенденцию необратимо стремиться к минимальному значению H (к распределению Максвелла – Больцмана).

(Примечание к обозначениям: Первоначально Больцман использовал букву E для обозначения величины H ; в большей части литературы после Больцмана используется буква H , как здесь. Больцман также использовал символ x для обозначения кинетической энергии частицы.)

Теорема Больцмана H

Больцман рассмотрел, что происходит при столкновении двух частиц. Основной факт механики состоит в том, что при упругом столкновении двух частиц (например, твердых сфер) энергия, передаваемая между частицами, меняется в зависимости от начальных условий (угла столкновения и т. д.).

Больцман сделал ключевое предположение, известное как Stosszahlansatz ( допущение молекулярного хаоса ), что во время любого события столкновения в газе две частицы, участвующие в столкновении, имеют 1) независимо выбранные кинетические энергии из распределения, 2) независимые направления скорости, 3) независимые отправные точки. При этих предположениях и с учетом механики передачи энергии энергии частиц после столкновения будут подчиняться определенному новому случайному распределению, которое можно вычислить.

Учитывая повторяющиеся некоррелированные столкновения между любыми и всеми молекулами газа, Больцман построил свое кинетическое уравнение ( уравнение Больцмана ). Из этого кинетического уравнения естественным выводом является то, что непрерывный процесс столкновения заставляет величину H уменьшаться до тех пор, пока она не достигнет минимума.

Влияние

Хотя H -теорема Больцмана не оказалась абсолютным доказательством второго закона термодинамики, как первоначально утверждалось (см. «Критику» ниже), H -теорема привела Больцмана в последние годы XIX века к все более и более вероятностным аргументам о природа термодинамики. Вероятностный взгляд на термодинамику достиг кульминации в 1902 году с появлением Джозайи Уилларда Гиббса статистической механики для полностью общих систем (не только газов) и введением обобщенных статистических ансамблей .

Кинетическое уравнение и, в частности, предположение Больцмана о молекулярном хаосе вдохновили целое семейство уравнений Больцмана , которые до сих пор используются для моделирования движения частиц, таких как электроны в полупроводнике. Во многих случаях предположение о молекулярном хаосе очень точное, а возможность отбросить сложные корреляции между частицами значительно упрощает вычисления.

Процесс термализации можно описать с помощью H-теоремы или теоремы о релаксации. ^[14]

Критика и исключения

Ниже описано несколько примечательных причин, почему H -теорема, по крайней мере в ее первоначальной форме 1871 года, не является полностью строгой. Как впоследствии признал Больцман, стрела времени в H -теореме на самом деле не является чисто механической, а является следствием предположений о начальных условиях. ^[15]

Парадокс Лошмидта

Вскоре после того, как Больцман опубликовал свою теорему H , Иоганн Йозеф Лошмидт возразил, что невозможно вывести необратимый процесс из симметричной во времени динамики и симметричного во времени формализма. Если H со временем уменьшается в одном состоянии, то должно существовать соответствующее обратное состояние, в котором H со временем увеличивается ( парадокс Лошмидта ). Объяснение состоит в том, что уравнение Больцмана основано на предположении о « молекулярном хаосе », т.е. из лежащей в основе кинетической модели следует или, по крайней мере, согласуется с ней, что частицы считаются независимыми и некоррелированными. Оказывается, это предположение в тонком смысле нарушает симметрию обращения времени, и поэтому возникает вопрос . Как только частицам позволяют столкнуться, направления их скоростей и положения действительно становятся коррелированными (однако эти корреляции закодированы чрезвычайно сложным образом). Это показывает, что (продолжающееся) предположение о независимости не согласуется с базовой моделью частиц.

Ответ Больцмана Лошмидту заключался в том, что он признал возможность таких состояний, но отметил, что такого рода состояния настолько редки и необычны, что невозможны на практике. Больцман продолжал обострять это понятие «редкости» государств, что привело к его знаменитому уравнению, формуле энтропии 1877 года (см. формулу энтропии Больцмана ).

Спиновое эхо

В качестве демонстрации парадокса Лошмидта известным современным противоположным примером (не оригинальной H -теореме Больцмана, связанной с газом, а ее близкому аналогу) является явление спинового эха . ^[16] В эффекте спинового эха физически возможно вызвать обращение времени во взаимодействующей системе спинов.

Аналог H Больцмана для спиновой системы можно определить через распределение спиновых состояний в системе. В эксперименте спиновая система первоначально возмущается до неравновесного состояния (высокое H ), и, как предсказывает теорема H , величина H вскоре уменьшается до равновесного значения. В какой-то момент подается тщательно сконструированный электромагнитный импульс, который меняет направление движения всех спинов. Затем спины отменяют временную эволюцию, имевшую место до импульса, и через некоторое время H фактически увеличивается от равновесия (как только эволюция полностью прекращается, H снова уменьшается до минимального значения). В каком-то смысле состояния с обращением времени, отмеченные Лошмидтом, оказались не совсем непрактичными.

Рецидив Пуанкаре

В 1896 году Эрнст Цермело отметил еще одну проблему с теоремой H , которая заключалась в том, что если H системы в любой момент времени не является минимальным, то в силу рекуррентности Пуанкаре неминимальное H должно повториться (хотя и через какое-то очень долгое время). Больцман признал, что эти повторяющиеся повышения H технически могут иметь место, но отметил, что в течение длительного времени система проводит лишь небольшую часть своего времени в одном из этих повторяющихся состояний.

Второй закон термодинамики гласит, что энтропия изолированной системы всегда возрастает до максимального равновесного значения. Это строго верно только в термодинамическом пределе бесконечного числа частиц. Для конечного числа частиц всегда будут флуктуации энтропии. Например, в фиксированном объеме изолированной системы максимальная энтропия получается, когда половина частиц находится в одной половине объема, половина — в другой, но иногда на одной стороне временно окажется на несколько больше частиц, чем на другой. , и это будет означать очень небольшое уменьшение энтропии. Эти колебания энтропии таковы, что чем дольше человек ждет, тем большие колебания энтропии, вероятно, увидят в течение этого времени, а время, которое нужно ждать для данного колебания энтропии, всегда конечно, даже для колебания до минимально возможного значения. Например, можно иметь состояние чрезвычайно низкой энтропии, когда все частицы находятся в одной половине контейнера. Газ быстро достигнет равновесного значения энтропии, но через некоторое время та же самая ситуация повторится. Для практических систем, например, газа в литровом контейнере при комнатной температуре и атмосферном давлении, это время действительно огромно, во много раз превышает возраст Вселенной, и, практически говоря, такую возможность можно игнорировать.

Флуктуации H в малых системах

Поскольку H — это механически определяемая переменная, которая не сохраняется, то, как и любая другая подобная переменная (давление и т. д.), она будет демонстрировать тепловые колебания . Это означает, что H регулярно демонстрирует спонтанное увеличение от минимального значения. Технически это не является исключением из теоремы H , поскольку теорема H была предназначена только для газа с очень большим количеством частиц. Эти флуктуации заметны только тогда, когда система мала и интервал времени, в течение которого она наблюдается, не очень велик.

Если H интерпретировать как энтропию, как предполагал Больцман, то это можно рассматривать как проявление флуктуационной теоремы .

Связь с теорией информации

H является предшественником информационной энтропии Шеннона . Клод Шеннон обозначил свою меру информационной энтропии H в честь H-теоремы. ^{[17] Статья об}информационной энтропии Шеннона содержит объяснение дискретного аналога величины H , известного как информационная энтропия или информационная неопределенность (со знаком минус). Расширяя дискретную информационную энтропию до непрерывной информационной энтропии , также называемой дифференциальной энтропией , можно получить выражение в уравнении из раздела выше «Определение и значение больцмановской H» и, таким образом , лучше понять значение H.

Связь H -теоремы между информацией и энтропией играет центральную роль в недавнем споре, получившем название « Информационный парадокс черной дыры» .

H -теорема Толмена

Книга Ричарда К. Толмана «Принципы статистической механики» 1938 года посвящает целую главу изучению H- теоремы Больцмана и ее расширению в обобщенной классической статистической механике Гиббса . Следующая глава посвящена квантовомеханической версии H -теоремы.

Классическая механическая

Мы позволяем $q i$ и $p i$ быть нашими обобщенными координатами для набора частиц. Затем мы рассматриваем функцию , которая возвращает плотность вероятности частиц по состояниям в фазовом пространстве . Обратите внимание, как это можно умножить на небольшую область в фазовом пространстве, обозначенную , чтобы получить (среднее) ожидаемое количество частиц в этой области. $г$ $е$ $\delta q_{1}...\delta p_{r}$

\delta n=f(q_{1}...p_{r},t)\,\delta q_{1}\delta p_{1}...\delta q_{r}\delta p_{ р}.\,

Толман предлагает следующие уравнения для определения величины H в оригинальной H -теореме Больцмана .

H=\sum _{i}f_{i}\ln f_{i}\,\delta q_{1}\cdots \delta p_{r}

^[18]

Здесь мы суммируем по областям, на которые разделено фазовое пространство, с индексом . А в пределе для бесконечно малого объема фазового пространства мы можем записать сумму в виде интеграла. $я$ ${\ displaystyle \ delta q_ {i} \ rightarrow 0, \ delta p_ {i} \ rightarrow 0 \; \ forall \, i}$

H=\int \cdots \int f\ln f\,dq_{1}\cdots dp_{r}

^[19]

H также можно записать через количество молекул, присутствующих в каждой из ячеек.

{\begin{aligned}H&=\sum (n_{i}\ln n_{i}-n_{i}\ln \delta v_{\gamma })\\&=\sum n_{i}\ ln n_{i}+{\text{константа}}\end{aligned}}

^[20]^{[ нужны разъяснения ]}

Дополнительный способ расчета величины H :

H=-\ln P+{\text{константа}}\,

^[21]

где P — вероятность найти случайно выбранную систему из заданного микроканонического ансамбля . Наконец, это можно записать так:

H=-\ln G+{\text{константа}}\,

^[22]

где G — количество классических состояний. ^{[ нужны разъяснения ]}

Величину H также можно определить как интеграл по пространству скоростей ^{[ нужна ссылка ]} :

где P ( v ) — распределение вероятностей.

Используя уравнение Больцмана, можно доказать, что H может только уменьшаться.

Для системы N статистически независимых частиц H связана с термодинамической энтропией S через: ^[23]

S\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -VkH+{\text{constant}}

Итак, согласно H -теореме, S может только увеличиваться.

Квантово-механический

В квантовой статистической механике (которая является квантовой версией классической статистической механики) H-функция представляет собой функцию: ^[24]

{\ displaystyle H = \ sum _ {i} p_ {i} \ ln p_ {i}, \,}

где суммирование проводится по всем возможным различным состояниям системы, а p _i — вероятность того, что система может находиться в i -м состоянии.

Это тесно связано с формулой энтропии Гиббса :

S=-k\sum _{i}p_{i}\ln p_{i}\;

и мы (следуя, например, Waldram (1985), стр. 39) продолжим использовать S , а не H.

Во-первых, дифференцирование по времени дает

{\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-k\sum _{i}\left({\frac {dp_{i}}{dt}}\ln p_{i }+{\frac {dp_{i}}{dt}}\right)\\&=-k\sum _{i}{\frac {dp_{i}}{dt}}\ln p_{i}\ \\end{выровнено}}

(используя тот факт, что Σ dp _i / dt = 0, поскольку Σ p _i = 1, поэтому второй член исчезает. Позже мы увидим, что будет полезно разбить это на две суммы.)

Теперь золотое правило Ферми дает главное уравнение для средней скорости квантовых переходов из состояния α в состояние β; и из состояния β в α. (Конечно, золотое правило Ферми само по себе допускает определенные приближения, и введение этого правила вводит необратимость. По сути, это квантовая версия Stosszahlansatz Больцмана .) Для изолированной системы скачки будут вносить вклад

{\begin{aligned}{\frac {dp_{\alpha }}{dt}}&=\sum _{\beta }\nu _{\alpha \beta }(p_{\beta }-p_{\alpha })\\{\frac {dp_{\beta }}{dt}}&=\sum _{\alpha }\nu _{\alpha \beta }(p_{\alpha }-p_{\beta })\\\end{aligned}}

где обратимость динамики обеспечивает появление в обоих выражениях одной и той же константы перехода ν _αβ .

Так

{\frac {dS}{dt}}={\frac {1}{2}}k\sum _{\alpha ,\beta }\nu _{\alpha \beta }(\ln p_{\beta }-\ln p_{\alpha })(p_{\beta }-p_{\alpha }).

Два разностных члена суммирования всегда имеют один и тот же знак. Например:

{\begin{aligned}w_{\beta }<w_{\alpha }\end{aligned}}

затем

{\begin{aligned}\ln w_{\beta }<\ln w_{\alpha }\end{aligned}}

так что в целом два отрицательных знака аннулируются.

Поэтому,

\Delta S\geq 0\,

для изолированной системы.

Та же самая математика иногда используется, чтобы показать, что относительная энтропия является функцией Ляпунова марковского процесса в подробном балансе и других химических контекстах.

H -теорема Гиббса

Эволюция ансамбля классических систем в фазовом пространстве (вверху). Каждая система состоит из одной массивной частицы в одномерной потенциальной яме (красная кривая, нижний рисунок). Первоначально компактный ансамбль со временем становится закрученным.

Джозайя Уиллард Гиббс описал другой способ, которым энтропия микроскопической системы имеет тенденцию увеличиваться с течением времени. ^[25] Более поздние авторы назвали эту « H -теорему Гиббса», поскольку ее вывод напоминает вывод Больцмана. ^[26] Сам Гиббс никогда не называл это H -теоремой, и фактически его определение энтропии – и механизма увеличения – сильно отличаются от определения Больцмана. Этот раздел включен для исторической полноты.

Постановка теоремы Гиббса о производстве энтропии находится в ансамблевой статистической механике, а величина энтропии - это энтропия Гиббса (информационная энтропия), определенная через распределение вероятностей для всего состояния системы. Это контрастирует с H Больцмана , определяемым с точки зрения распределения состояний отдельных молекул внутри конкретного состояния системы.

Гиббс рассматривал движение ансамбля, который первоначально начинается с ограниченной небольшой области фазового пространства, а это означает, что состояние системы известно с достаточной точностью, хотя и не совсем точно (низкая энтропия Гиббса). Эволюция этого ансамбля во времени протекает по уравнению Лиувилля . Практически для любой реалистичной системы эволюция Лиувилля имеет тенденцию «перемешивать» ансамбль в фазовом пространстве - процесс, аналогичный смешиванию красителя в несжимаемой жидкости. ^[25] Через некоторое время ансамбль кажется растянутым по фазовому пространству, хотя на самом деле это мелкополосатый узор, при этом общий объем ансамбля (и его энтропия Гиббса) сохраняется. Уравнение Лиувилля гарантированно сохраняет энтропию Гиббса, поскольку на систему не действуют случайные процессы; в принципе, исходный ансамбль можно восстановить в любой момент, обратив движение вспять.

Таким образом, критический момент теоремы таков: если тонкая структура в взбалмошном ансамбле по какой-либо причине очень слегка размыта, то энтропия Гиббса увеличивается, и ансамбль становится равновесным. Что касается того, почему это размытие должно происходить в действительности, существует множество предполагаемых механизмов. Например, один из предполагаемых механизмов заключается в том, что фазовое пространство по какой-то причине является крупнозернистым (аналогично пикселизации при моделировании фазового пространства, показанном на рисунке). Для любой требуемой конечной степени измельчения ансамбль становится «достаточно однородным» через конечное время. Или, если система испытывает незначительное неконтролируемое взаимодействие с окружающей средой, четкая связность ансамбля будет потеряна. Эдвин Томпсон Джейнс утверждал, что размытие носит субъективный характер и просто соответствует потере знаний о состоянии системы. ^[27] В любом случае, как бы это ни произошло, увеличение энтропии Гиббса необратимо, если размытие не может быть обращено вспять.

Динамика квантового фазового пространства в том же потенциале, визуализированная с помощью распределения квазивероятностей Вигнера . Нижнее изображение показывает уравновешенное (усредненное по времени) распределение с энтропией, которая на +1,37 к выше.

Точно развивающаяся энтропия, которая не увеличивается, известна как мелкозернистая энтропия . Размытая энтропия известна как крупнозернистая энтропия .Леонард Сасскинд проводит аналогию этого различия с понятием объема волокнистого комка хлопка: ^[28] С одной стороны, объем самих волокон постоянен, но с другой стороны, существует более крупный крупнозернистый объем, соответствующий контуру. мяча.

Механизм увеличения энтропии Гиббса решает некоторые технические трудности, обнаруженные в H -теореме Больцмана: энтропия Гиббса не колеблется и не демонстрирует возврат Пуанкаре, и поэтому увеличение энтропии Гиббса, когда оно происходит, поэтому является необратимым, как и ожидалось из термодинамики. . Механизм Гиббса также одинаково хорошо применим к системам с очень малым количеством степеней свободы, таким как одночастичная система, показанная на рисунке. В той степени, в которой можно признать, что ансамбль становится размытым, подход Гиббса является более чистым доказательством второго закона термодинамики . ^[27]

К сожалению, как уже отмечали Джон фон Нейман и другие в начале разработки квантовой статистической механики , аргументы такого рода не переносятся на квантовую механику. ^[29] В квантовой механике ансамбль не может поддерживать все более тонкий процесс смешивания из-за конечномерности соответствующей части гильбертова пространства. Вместо того, чтобы все ближе и ближе сходиться к равновесному ансамблю (усредненному по времени ансамблю), как в классическом случае, матрица плотности квантовой системы будет постоянно демонстрировать эволюцию, даже показывая рецидивы. Таким образом , разработка квантовой версии H -теоремы без обращения к Stosszahlansatz существенно сложнее. ^[29]

Смотрите также

Примечания

^ аб Л. Больцманн, «Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen». Sitzungsberichte Akademie der Wissenschaften 66 (1872): 275–370.
Английский перевод: Больцманн, Л. (2003). «Дальнейшие исследования теплового равновесия молекул газа». Кинетическая теория газов . История современных физических наук. Том. 1. С. 262–349. Бибкод : 2003HMPS....1..262B. дои : 10.1142/9781848161337_0015. ISBN 978-1-86094-347-8.
^ Лесовик, ГБ; Лебедев А.В.; Садовский И.А.; Суслов М.В.; Винокур, В.М. (12 сентября 2016 г.). «H-теорема в квантовой физике». Научные отчеты . 6 : 32815. arXiv : 1407.4437 . Бибкод : 2016NatSR...632815L. дои : 10.1038/srep32815. ISSN 2045-2322. ПМК 5018848 . ПМИД 27616571.
^ «Возможно, мы нашли способ обмануть второй закон термодинамики». Популярная механика . 31 октября 2016 г. Проверено 2 ноября 2016 г.
^ Джа, Алок (1 декабря 2013 г.). «Что такое второй закон термодинамики?». Хранитель . ISSN 0261-3077 . Проверено 2 ноября 2016 г.
^ Зе, HD, и Пейдж, DN (1990). Физическая основа направления времени. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк
^ Эренфест, Пол, и Эренфест, Татьяна (1959). Концептуальные основы статистического подхода в механике. Нью-Йорк: Дувр.
^ "С.Х. Бербери". Информационный философ . Проверено 10 декабря 2018 г.
^ Бербери, Сэмюэл Хоксли (1890). «О некоторых вопросах кинетической теории газов». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 30 (185): 298–317. дои : 10.1080/14786449008620029.
^ Больцманн, Людвиг (1896). Vorlesungen Uber Gastheorie . Лейпциг: Я Тейл.
^ аб Чепмен, Сидней (май 1937 г.). «H-теорема Больцмана». Природа . 139 (3526): 931. Бибкод : 1937Natur.139..931C. дои : 10.1038/139931a0 . ISSN 1476-4687. S2CID 4100667.
^ Браш, Стивен Г. (1967). «Эта-теорема Больцмана: где доказательства?». Американский журнал физики . 35 (9): 892. Бибкод : 1967AmJPh..35..892B. дои : 10.1119/1.1974281.
^ Гиббс, Дж. Уиллард (1902). Элементарные начала статистической механики . Нью-Йорк: Шрибнер.
^ Ялмарс, Стиг (1976). «Доказательства того, что Больцман H является заглавной эта». Американский журнал физики . 45 (2): 214–215. дои : 10.1119/1.10664.
^ Рид, Джеймс С.; Эванс, Денис Дж.; Сирлз, Дебра Дж. (11 января 2012 г.). «Коммуникация: за пределами H-теоремы Больцмана: демонстрация теоремы о релаксации для немонотонного подхода к равновесию» (PDF) . Журнал химической физики . 136 (2): 021101. Бибкод : 2012JChPh.136b1101R. дои : 10.1063/1.3675847. hdl : 1885/16927 . ISSN 0021-9606. ПМИД 22260556.
^ Дж. Уффинк, «Сборник основ классической статистической физики». (2006)
^ Ротштейн, Дж. (1957). «Эксперименты по ядерному спиновому эху и основы статистической механики». Американский журнал физики . 25 (8): 510–511. Бибкод : 1957AmJPh..25..510R. дои : 10.1119/1.1934539.
^ Глейк 2011
^ Толман, 1938, стр. 135 формула 47,5
^ Толман, 1938, стр. 135 формула 47,6
^ Толман, 1938, стр. 135 формула 47,7
^ Толман, 1938, стр. 135 формула 47,8
^ Толман, 1939, стр. 136 формула 47,9
^ Хуан, 1987, стр. 79, уравнение 4.33.
^ Толман, 1938, стр. 460, формула 104.7.
^ ab Глава XII, от Гиббса, Джозайи Уилларда (1902). Элементарные начала статистической механики . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера .
^ Толман, RC (1938). Принципы статистической механики . Дуврские публикации . ISBN 9780486638966.
^ AB ET Джейнс; Гиббс против энтропии Больцмана; Американский журнал физики, 391, 1965 г.
^ Леонард Сасскинд , Лекция по статистической механике 7 (2013). Видео на YouTube .
^ аб Гольдштейн, С.; Лебовиц, Дж.Л.; Тумулка, Р.; Занги, Н. (2010). «Долговременное поведение макроскопических квантовых систем». Европейский физический журнал H . 35 (2): 173–200. arXiv : 1003.2129 . дои : 10.1140/epjh/e2010-00007-7. ISSN 2102-6459. S2CID 5953844.