Гиперболический угол

В геометрии гиперболический угол — действительное число , определяемое площадью соответствующего гиперболического сектора xy = 1 в квадранте I декартовой плоскости . Гиперболический угол параметризует единичную гиперболу , координатами которой являются гиперболические функции . В математике гиперболический угол является инвариантной мерой , поскольку он сохраняется при гиперболическом вращении .

Гипербола xy = 1 имеет прямоугольную форму с большой полуосью , что аналогично величине кругового угла , соответствующего площади кругового сектора в круге с радиусом . ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$

Гиперболический угол используется в качестве независимой переменной для гиперболических функций sinh, cosh и tanh, поскольку эти функции могут быть основаны на гиперболических аналогиях с соответствующими круговыми тригонометрическими функциями, если рассматривать гиперболический угол как определение гиперболического треугольника . Таким образом , параметр становится одним из наиболее полезных при исчислении действительных переменных.

Определение

Рассмотрим прямоугольную гиперболу и (по соглашению) уделим особое внимание ветви . $\textstyle \{(x, {\frac {1}{x}}):x>0\}$ $x>1$

Сначала определите:

Гиперболический угол в стандартном положении — это угол между лучом to и лучом to , где . $(0,0)$ $(1,1)$ $\textstyle (x, {\frac {1}{x}})$ $x>1$
Величина этого угла есть площадь соответствующего гиперболического сектора , которая оказывается равна . $\operatorname {ln} x$

Обратите внимание, что из-за роли натурального логарифма :

В отличие от кругового угла, гиперболический угол неограничен (поскольку он неограничен); это связано с тем, что гармонический ряд неограничен. $\operatorname {ln} x$
Формула величины угла предполагает, что при гиперболический угол должен быть отрицательным. Это отражает тот факт, что, как определено, угол направлен . $0<x<1$

Наконец, расширите определение гиперболического угла до угла, образуемого любым интервалом гиперболы. Пусть положительные действительные числа такие, что и , так что и являются точками на гиперболе и определяют интервал на ней. Затем отображение сжатия сопоставляет угол со стандартным углом положения . По результату Грегуара де Сен-Венсана гиперболические сектора, определяемые этими углами, имеют одинаковую площадь, которую принимают за величину угла. Эта величина . ${\ displaystyle a, b, c, d}$ $ab=cd=1$ $c>a>1$ ${\ displaystyle (a, b)}$ ${\ displaystyle (c, d)}$ $xy=1$ $\textstyle е:(x,y)\to (bx,ay)$ ${\ displaystyle \ угол \! \ влево ((a, b), (0,0), (c, d) \ вправо)}$ ${\ Displaystyle \ угол \! \ влево ((1,1), (0,0), (BC, объявление) \ вправо)}$ $\operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a$

Сравнение с круговым углом

Единичный круг имеет круговой сектор площадью половину окружного угла в радианах. Аналогично, единичная гипербола имеет гиперболический сектор площадью половину гиперболического угла. $x^{2}+y^{2}=1$ $x^{2}-y^{2}=1$

Существует также проективное разрешение между круговым и гиперболическим случаями: обе кривые представляют собой конические сечения и, следовательно, рассматриваются как проективные диапазоны в проективной геометрии . Учитывая исходную точку в одном из этих диапазонов, другие точки соответствуют углам. Основная для науки идея сложения углов соответствует сложению точек на одном из этих диапазонов следующим образом:

Круговые углы можно охарактеризовать геометрически тем свойством, что если две хорды P ₀P ₁ и P ₀P ₂ стягивают углы L ₁ и L ₂ в центре окружности, то их сумма L ₁ + L ₂ представляет собой угол, стянутый хордой. P ₀Q , где P ₀Q должен быть параллелен P ₁P ₂ .

Эту же конструкцию можно применить и к гиперболе. Если P ₀ считается точкой (1, 1) , P ₁ — точкой ( x ₁ , 1/ x ₁ ) , а P ₂ — точкой ( x ₂ , 1/ x ₂ ) , то условие параллельности требует, чтобы Q — точка ( x ₁x ₂ , 1/ x ₁ 1/ x ₂ ) . Таким образом, имеет смысл определить гиперболический угол от P ₀ до произвольной точки кривой как логарифмическую функцию значения x в этой точке . ^[1]^[2]

В то время как в евклидовой геометрии равномерное движение в направлении, ортогональном лучу из начала координат, очерчивает окружность, в псевдоевклидовой плоскости , постоянно перемещающееся ортогонально лучу из начала координат, очерчивается гипербола. В евклидовом пространстве кратное заданному углу прослеживает равные расстояния по окружности, а по гиперболической линии — экспоненциальные расстояния. ^[3]

И круговой, и гиперболический угол являются примерами инвариантной меры . Дуги с угловой величиной на окружности порождают меру на определенных измеримых множествах на окружности, величина которой не меняется при повороте или вращении окружности . Для гиперболы поворот осуществляется с помощью отображения сжатия , а величины гиперболических углов остаются неизменными, когда плоскость сжимается с помощью отображения

( Икс , y ) ↦ ( rx , y / r ), при этом r > 0 .

Связь с линейным элементом Минковского

Существует также любопытная связь с гиперболическим углом и метрикой, определенной в пространстве Минковского. Точно так же, как двумерная евклидова геометрия определяет свой линейный элемент как

ds_{e}^{2}=dx^{2}+dy^{2},

линейный элемент в пространстве Минковского равен ^[4]

ds_{m}^{2}=dx^{2}-dy^{2}.

Рассмотрим кривую, погруженную в двумерное евклидово пространство:

x=f(t),y=g(t).

Где параметр представляет собой действительное число, которое находится между и ( ). Длина дуги этой кривой в евклидовом пространстве вычисляется как: $т$ $а$ $б$ $a\leqslant t<b$

S=\int _{a}^{b}ds_{e}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right) ^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt.

Если определяет единичный круг, единственным параметризованным решением этого уравнения является и . Пусть , вычисление длины дуги дает . Теперь выполняем ту же процедуру, за исключением замены евклидова элемента на элемент линии Минковского: $x^{2}+y^{2}=1$ $x=\cos t$ $y=\sin t$ $0\leqslant t<\theta$ $S$ $S=\theta$

S=\int _{a}^{b}ds_{m}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right) ^{2}-\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt,

и определили «единичную» гиперболу как с соответствующим параметризованным набором решений и , и, используя (гиперболический угол), мы приходим к результату . Другими словами, это означает, что точно так же, как круговой угол может быть определен как длина дуги дуги на единичной окружности, опирающейся на тот же угол с использованием евклидовой метрики, гиперболический угол - это длина дуги на «единице». гипербола, стянутая гиперболическим углом с использованием метрики, определенной Минковским. $y^{2}-x^{2}=1$ $y=\cosh t$ $x=\sinh t$ $0\leqslant t<\eta$ $S=\eta$

История

Квадратура гиперболы — это оценка площади гиперболического сектора . Можно показать, что она равна соответствующей площади относительно асимптоты . Квадратура была впервые выполнена Грегуаром де Сен-Винсентом в 1647 году в Opus геометрическом квадратуре circuli etsectionum coni . Как выразился историк,

[ Он составил] квадратуру гиперболы к ее асимптотам и показал, что с увеличением площади в арифметическом ряду абсциссы увеличиваются в геометрическом ряду . ^[5]

А. А. де Сараса интерпретировал квадратуру как логарифм , и поэтому геометрически определенный натуральный логарифм (или «гиперболический логарифм») понимается как площадь под y = 1/ x справа от x = 1 . В качестве примера трансцендентной функции логарифм более известен, чем его мотиватор — гиперболический угол. Тем не менее, гиперболический угол играет роль, когда теорема Сен-Винсента дополняется отображением сжатия .

Круговая тригонометрия была расширена до гиперболы Огастесом Де Морганом в его учебнике «Тригонометрия и двойная алгебра» . ^[6] В 1878 году У.К. Клиффорд использовал гиперболический угол для параметризации единичной гиперболы , описывая ее как «квазигармоническое движение ».

В 1894 году Александр Макфарлейн опубликовал в своей книге « Статьи по космическому анализу » свое эссе «Воображаемое алгебры», в котором гиперболические углы использовались для создания гиперболических версоров . ^[7] В следующем году Бюллетень Американского математического общества опубликовал описание гиперболических функций Меллена В. Хаскелла . ^[8]

Когда Людвик Зильберштейн написал в 1914 году свой популярный учебник по новой теории относительности , он использовал концепцию быстроты , основанную на гиперболическом угле a , где tanh a = v / c , отношение скорости v к скорости света . Он написал:

Кажется, стоит упомянуть, что единице быстроты соответствует огромная скорость, составляющая 3/4 скорости света; точнее, мы имеем v = (0,7616) c для a = 1 .

[...] скорость a = 1 , [...] следовательно, будет представлять скорость 0,76 c , которая немного превышает скорость света в воде.

Зильберштейн также использует концепцию угла параллелизма Лобачевского Π( a ), чтобы получить cos Π( a ) = v / c . ^[9]

Воображаемый круговой угол

Гиперболический угол часто представляется как мнимое число , поэтому гиперболические функции cosh и sinh могут быть представлены через круговые функции. Но в евклидовой плоскости мы могли бы попеременно считать меры круговых углов мнимыми, а меры гиперболических углов — действительными скалярами, и ${\textstyle \cos ix=\cosh x}$ ${\ textstyle \ грех ix = я \ син х,}$ ${\textstyle \cosh ix=\cos x}$ ${\ textstyle \ sinh ix = я \ sin x.}$

Эти отношения можно понять с точки зрения показательной функции , которую для сложного аргумента можно разбить на четную и нечетную части соответственно . Затем ${\текстовый стиль г}$ ${\textstyle \cosh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}+e^{-z})}$ ${\textstyle \sinh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z}),}$

е^{z}=\cosh z+\sinh z=\cos(iz)-i\sin(iz),

или если аргумент разделен на действительную и мнимую части, экспоненту можно разбить на произведение масштабирования и вращения. ${\textstyle z=x+iy,}$ ${\textstyle е^{x}}$ ${\textstyle е^{iy},}$

e^{x+iy}=e^{x}e^{iy} = (\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y).

Как бесконечный ряд ,

{\begin{alignedat}{3}e^{z}&=\,\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+z+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\cosh z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\sinh z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=z+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}+\dots \\\cos z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=1-{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}-\dots \\i\sin z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=i\left(z-{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}-\dots \right)\\\end{alignedat}}

Бесконечный ряд для косинуса получается из cosh путем превращения его в знакопеременный ряд , а ряд для синуса получается из преобразования sinh в знакопеременный ряд.

Смотрите также

Трансцендентный угол

Примечания

^ Бьорн Фельсагер, Зазеркалье - Взгляд на двойную геометрию Евклида, геометрию Минковского. Архивировано 16 июля 2011 г. в Wayback Machine , ICME-10, Копенгаген, 2004 г.; стр.14. См. также листы с примерами [1]. Архивировано 6 января 2009 г. в Wayback Machine. [2] Архивировано 21 ноября 2008 г. в Wayback Machine . Исследуются параллели Минковского некоторых стандартных евклидовых результатов.
^ Виктор Прасолов и Юрий Соловьев (1997) Эллиптические функции и эллиптические интегралы , страница 1, Переводы математических монографий, том 170, Американское математическое общество
^ Гиперболическая геометрия, стр. 5–6, рис. 15.1.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Метрика Минковского». mathworld.wolfram.com .
^ Дэвид Юджин Смит (1925) История математики , стр. 424,5 т. 1
^ Огастес Де Морган (1849) Тригонометрия и двойная алгебра, Глава VI: «О связи общей и гиперболической тригонометрии»
^ Александр Макфарлейн (1894) Статьи по космическому анализу, Б. Вестерман, Нью-Йорк
^ Меллен В. Хаскелл (1895) О введении понятия гиперболических функций. Бюллетень Американского математического общества 1 (6): 155–9.
^ Людвик Зильберштейн (1914) Теория относительности, стр. 180–1, через Интернет-архив.