Сжатие карт

В линейной алгебре сжатое отображение , также называемое сжатым преобразованием , представляет собой тип линейного отображения , которое сохраняет евклидову область областей в декартовой плоскости , но не является отображением вращения или сдвига .

Для фиксированного положительного действительного числа $a$ отображение

(x,y)\mapsto (ax,y/a)

— отображение сжатия с параметром $a$ . С

\{(u,v)\,:\,uv =\mathrm {константа} \}

является гиперболой , если $u = ax$ и $v = y / a$ , то $uv = xy$ и точки образа отображения сжатия лежат на той же гиперболе, что и $(x, y)$ . По этой причине естественно думать о сжатии как о гиперболическом вращении , как это сделал Эмиль Борель в 1914 году ^[1] по аналогии с круговыми вращениями , которые сохраняют круги.

Логарифм и гиперболический угол

Картирование сжатия создает основу для развития концепции логарифмов. Проблема нахождения площади , ограниченной гиперболой (например, $xy = 1),$ является задачей квадратуры . Решение, найденное Грегуаром де Сент-Винсентом и Альфонсом Антонио де Сарасой в 1647 году, потребовало использования функции натурального логарифма — новой концепции. Некоторое понимание логарифмов можно получить благодаря гиперболическим секторам , которые переставляются с помощью карт сжатия, сохраняя при этом свою площадь. Площадь гиперболического сектора принимается как мера гиперболического угла, связанного с сектором. Концепция гиперболического угла совершенно независима от обычного кругового угла , но разделяет с ним свойство инвариантности: тогда как круговой угол инвариантен при вращении, гиперболический угол инвариантен при отображении сжатия. И круговой, и гиперболический угол порождают инвариантные меры , но относительно разных групп преобразований. Гиперболические функции , которые принимают в качестве аргумента гиперболический угол, выполняют роль, которую круговые функции играют с аргументом кругового угла. ^[2]

Теория групп

В 1688 году, задолго до абстрактной теории групп , отображение сжатия было описано Евклидом Спейделлом в терминах того времени: «Из квадрата и бесконечной компании овалов на поверхности, каждый из которых равен этому квадрату, рождается кривая, которая должна иметь те же свойства или свойства, что и любая гипербола, вписанная в прямоугольный конус». ^[3]

Если $r$ и $s$ — положительные действительные числа, композиция их отображений сжатия является отображением сжатия их произведения. Следовательно, совокупность отображений сжатия образует однопараметрическую группу , изоморфную мультипликативной группе положительных действительных чисел . Аддитивный взгляд на эту группу возникает при рассмотрении гиперболических секторов и их гиперболических углов.

С точки зрения классических групп , группа сжимающих отображений — это $SO + (1,1)$ , единичный компонент неопределенной ортогональной группы вещественных матриц размера 2×2, сохраняющих квадратичную форму $u 2 - v 2$ . Это эквивалентно сохранению формы $xy$ посредством замены базиса

x=u+v,\quad y=uv\,,

и геометрически соответствует сохранению гипербол. Перспектива группы отображений сжатия как гиперболического вращения аналогична интерпретации группы $SO(2)$ (связного компонента определенной ортогональной группы ), сохраняющей квадратичную форму $x 2 + y 2$ , как кругового вращения .

Обратите внимание, что обозначение « $SO +$ » соответствует тому, что отражения

u\mapsto -u,\quad v\mapsto -v

не допускаются, хотя и сохраняют форму (в терминах $x$ и $y$ это $x \mapsto y, y \mapsto x$ и $x \mapsto - x, y \mapsto - y)$ ; дополнительный « $+$ » в гиперболическом случае (по сравнению с круговым случаем) необходим для указания единичного компонента, поскольку группа $O(1,1)$ имеет $4$ компонента связности , а группа $O(2)$ — $2$ компонента: $SO (1,1)$ имеет $2$ компонента, а $SO(2) —$ только 1. Тот факт, что преобразования сжатия сохраняют площадь и ориентацию, соответствует включению подгрупп $SO \subset SL$ – в данном случае $SO(1,1) \subset SL( 2)$ – подгруппы гиперболических вращений в специальной линейной группе преобразований, сохраняющих площадь и ориентацию ( форма объёма ). На языке преобразований Мёбиуса преобразования сжатия представляют собой гиперболические элементы в классификации элементов .

Геометрическое преобразование называется конформным, если оно сохраняет углы. Гиперболический угол определяется с использованием площади под y = 1/ x . Поскольку отображения сжатия сохраняют области преобразованных регионов, такие как гиперболические сектора , угловая мера секторов сохраняется. Таким образом, отображения сжатия конформны в смысле сохранения гиперболического угла.

Приложения

Здесь некоторые приложения обобщены с историческими ссылками.

Релятивистское пространство-время

Геометрия пространства-времени обычно разрабатывается следующим образом: Выберите (0,0) для «здесь и сейчас» в пространстве-времени. Свет, излучаемый влево и вправо через это центральное событие, отслеживает две линии в пространстве-времени, линии, которые можно использовать для определения координат событий вдали от (0,0). Траектории с меньшей скоростью отслеживаются ближе к исходной временной шкале (0, t ). Любую такую скорость можно рассматривать как нулевую скорость при отображении сжатия, называемом усилением Лоренца . Это понимание следует из изучения умножения расщепленных комплексных чисел и диагонального базиса , который соответствует паре светлых линий. Формально сжатие сохраняет гиперболическую метрику, выраженную в форме xy ; в другой системе координат. Это применение в теории относительности было отмечено в 1912 году Уилсоном и Льюисом, ^[4] Вернером Греубом, ^[5] и Луисом Кауфманом . ^[6] Кроме того, форма отображения сжатия преобразований Лоренца использовалась Густавом Герглотцем (1909/10) ^[7] при обсуждении жесткости Борна и была популяризирована Вольфгангом Риндлером в его учебнике по теории относительности, который использовал ее в своей демонстрации их характерное свойство. ^[8]

Термин «преобразование сжатия» использовался в этом контексте в статье, связывающей группу Лоренца с исчислением Джонса в оптике. ^[9]

Угловой поток

В гидродинамике одно из фундаментальных движений несжимаемого потока связано с раздвоением потока, набегающего на неподвижную стенку. Если представить стену осью y = 0 и взять параметр r = exp( t ), где t — время, то отображение сжатия с параметром r, примененным к начальному состоянию жидкости, создаст поток с бифуркацией слева и справа от оси x = 0. Та же модель дает плавную сходимость , когда время движется назад. Действительно, площадь любого гиперболического сектора инвариантна относительно сжатия.

Для другого подхода к потоку с гиперболическими линиями тока см. Потенциальный поток § Степенные законы с n = 2 .

В 1989 году Оттино ^[10] описал «линейный изохорный двумерный поток» как

v_{1}=Gx_{2}\quad v_{2}=KGx_{1}

где K лежит в интервале [−1, 1]. Линии тока следуют за кривыми

x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {константа}

поэтому отрицательное значение K соответствует эллипсу , а положительное K - гиперболе, причем прямоугольный случай отображения сжатия соответствует K = 1.

Стокер и Хосой ^[11] описали свой подход к угловому потоку следующим образом:

мы предлагаем альтернативную формулировку для учета угловой геометрии, основанную на использовании гиперболических координат, которая обеспечивает существенный аналитический прогресс в определении течения на границе Плато и прикрепленных жидкостных потоках. Рассмотрим область течения, образующую угол π /2 и ограниченную слева и снизу плоскостями симметрии.

Затем Стокер и Хосой вспоминают рассуждения Моффата ^[12] о «потоке в углу между жесткими границами, вызванном произвольным возмущением на большом расстоянии». По мнению Стокера и Хосои,

Для свободной жидкости в квадратном углу (антисимметричная) функция тока Моффатта... [указывает], что гиперболические координаты действительно являются естественным выбором для описания этих потоков.

Мост к трансцендентам

Свойство сохранения площади отображения сжатия применяется для установления основы натурального логарифма трансцендентных функций и его обратной экспоненциальной функции :

Определение: Сектор( a,b ) — это гиперболический сектор, полученный с помощью центральных лучей, ведущих к ( a , 1/ a ) и ( b , 1/ b ).

Лемма: Если bc = ad , то существует отображение сжатия, которое перемещает сектор ( a,b ) в сектор ( c,d ).

Доказательство: возьмем параметр r = c / a так, чтобы ( u,v ) = ( rx , y / r ) переводил ( a , 1/ a ) в ( c , 1/ c ) и ( b , 1/ b ) в ( д , 1/ д ).

Теорема ( Грегуар де Сен-Винсент, 1647 г.) Если bc = ad , то квадратура гиперболы xy = 1 относительно асимптоты имеет равные площади между a и b по сравнению с площадью между c и d .

Доказательство: сложение аргументов и вычитание треугольников площадью 1 ⁄ 2 , один треугольник равен {(0,0), (0,1), (1,1)}, показывает, что площадь гиперболического сектора равна площади вдоль асимптоты. . Тогда теорема следует из леммы.

Теорема ( Альфонс Антонио де Сараса, 1649 г.) По мере того, как площадь, измеренная относительно асимптоты, увеличивается в арифметической прогрессии, проекции на асимптоту увеличиваются в геометрической последовательности. Таким образом, площади образуют логарифмы показателя асимптоты.

Например, для стандартного позиционного угла, который проходит от (1, 1) до ( x , 1/ x ), можно спросить: «Когда гиперболический угол равен единице?» Ответ — трансцендентное число x = e .

Сжатие с r = e перемещает единичный угол к единице между ( e , 1/ e ) и ( ee , 1/ ee ), что стягивает сектор также с областью один. Геометрическая прогрессия

е , е ² , е ³ , ..., ен , ^...

соответствует асимптотическому показателю, достигнутому при каждой сумме площадей

1,2,3, ..., н ,...

который представляет собой прототип типичной арифметической прогрессии A + nd , где A = 0 и d = 1 .

Преобразование лжи

Следуя исследованиям Пьера Оссиана Бонне (1867) поверхностей постоянной кривизны, Софус Ли (1879) нашел способ получить новые псевдосферические поверхности из известных. Такие поверхности удовлетворяют уравнению Синус-Гордон :

{\frac {d^{2}\Theta {ds\ d\sigma }} = K\sin \Theta,

где – асимптотические координаты двух главных касательных кривых и соответствующий им угол. Ли показал, что если является решением уравнения Синус-Гордон, то следующее отображение сжатия (теперь известное как преобразование Ли ^[13] ) указывает на другие решения этого уравнения: ^[14] $(s,\sigma)$ $\Тета$ $\Theta =f(s,\sigma)$

\Theta =f\left(ms,\ {\frac {\sigma {m}}\right).

Ли (1883) заметил его связь с двумя другими преобразованиями псевдосферических поверхностей: ^[15]Преобразование Беклунда ( введенное Альбертом Виктором Беклундом в 1883 году) можно рассматривать как комбинацию преобразования Ли с преобразованием Бьянки (введенным Луиджи Бьянки в 1879.) Такие преобразования псевдосферических поверхностей подробно обсуждались в лекциях по дифференциальной геометрии Гастона Дарбу (1894), ^[16] Луиджи Бьянки (1894), ^[17] или Лютера Пфалера Эйзенхарта (1909). ^[18]

Известно, что преобразования Ли (или отображения сжатия) соответствуют повышениям Лоренца в терминах координат светового конуса , как указано Тернгом и Уленбеком (2000): ^[13]

Софус Ли заметил, что SGE [уравнение Синус-Гордон] инвариантно относительно преобразований Лоренца. В асимптотических координатах, соответствующих координатам светового конуса, преобразование Лоренца равно . $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$

Это можно представить следующим образом:

{\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\ \hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\ beta {1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end {матрица}}

где k соответствует доплеровскому фактору в k -исчислении Бонди , η — быстрота .

Смотрите также

Викискладе есть медиафайлы, связанные со сжатием (геометрией) .