Кляйнианская группа

В математике Клейнинова группа — это дискретная подгруппа группы сохраняющих ориентацию изометрий гиперболического 3-пространства $H 3$ . Последняя, отождествляемая с $PSL(2, C)$ , представляет собой факторгруппу комплексных матриц 2 на 2 определителя 1 по их центру , которая состоит из единичной матрицы и ее произведения на $-1$ . $PSL(2,$ $C$ $)$ имеет естественное представление как сохраняющие ориентацию конформные преобразования сферы Римана и как сохраняющие ориентацию конформные преобразования открытого единичного шара $B$ $3$ в $R$ $3$ . Группа преобразований Мёбиуса также связана с не сохраняющей ориентацию группой изометрий $H$ $3$ , $PGL(2,$ $C$ $)$ . Итак, клейнову группу можно рассматривать как дискретную подгруппу , действующую в одном из этих пространств.

История

Теория общих клейнианских групп была основана Феликсом Кляйном (1883) и Анри Пуанкаре (1883), которые назвали их в честь Феликса Кляйна . Частный случай групп Шоттки был изучен несколькими годами ранее, в 1877 году, Шоттки.

Определения

Одно из современных определений клейнианской группы — это группа, которая действует на трехмерном шаре как дискретная группа гиперболических изометрий. Гиперболическое трехмерное пространство имеет естественную границу; в модели шара это можно отождествить с 2-сферой. Мы называем ее сферой на бесконечности и обозначаем ее . Гиперболическая изометрия продолжается до конформного гомеоморфизма сферы на бесконечности (и наоборот, каждый конформный гомеоморфизм сферы на бесконечности однозначно продолжается до гиперболической изометрии на шаре посредством расширения Пуанкаре. Стандартным результатом комплексного анализа является то, что конформные гомеоморфизмы на бесконечности сферой Римана являются в точности преобразования Мёбиуса , которые в дальнейшем можно идентифицировать как элементы проективной линейной группы PGL(2, C ). Таким образом, клейнову группу можно также определить как подгруппу Γ группы PGL(2, C ). Классически Клейнинова группа должна была действовать должным образом разрывно на непустом открытом подмножестве сферы Римана, но современное использование допускает любую дискретную подгруппу. $B^{3}$ $S_{\infty }^{2}$

Если Γ изоморфна фундаментальной группе гиперболического 3-многообразия , то фактор-пространство H ³ /Γ становится клейновой моделью многообразия. Многие авторы используют термины Кляйнианская модель и Кляйнианская группа как синонимы, заменяя одно другим. $\pi _{1}$

Дискретность подразумевает, что точки внутри гиперболического трехмерного пространства имеют конечные стабилизаторы и дискретные орбиты относительно группы Γ. С другой стороны, орбита Γ p точки p обычно накапливается на границе замкнутого шара . ${\bar {B}}^{3}$

Множество точек накопления Γ p в называется предельным множеством Γ и обычно обозначается . Дополнение называется областью разрыва , обычным множеством или регулярным множеством . Из теоремы Альфорса о конечности следует, что если группа конечно порождена, то она является орбифолдом римановой поверхности конечного типа. $S_{\infty }^{2}$ $\Lambda (\Gamma )$ $\Omega (\Gamma )=S_{\infty }^{2}-\Lambda (\Gamma )$ $\Omega (\Gamma )/\Gamma$

Единичный шар B ³ с его конформной структурой является моделью Пуанкаре гиперболического 3-пространства . Когда мы думаем об этом метрически, с метрикой

ds^{2}={\frac {4\,\left|dx\right|^{2}}{\left(1-|x|^{2}\right)^{2}}}

это модель трехмерного гиперболического пространства H ³ . При этой идентификации набор конформных собственных отображений B ³ становится набором изометрий (т.е. сохраняющих расстояние отображений) H ^{3 .}Такие карты ограничиваются конформными собственными отображениями , которые являются преобразованиями Мёбиуса . Существуют изоморфизмы $S_{\infty }^{2}$

\operatorname {Mob} (S_{\infty }^{2})\cong \operatorname {Conf} (B^{3})\cong \operatorname {Isom} (\mathbf {H} ^{3}).

Все подгруппы этих групп, состоящие из преобразований , сохраняющих ориентацию, изоморфны группе проективных матриц: PSL(2, C ) посредством обычного отождествления единичной сферы с комплексной проективной прямой P ¹ ( C ).

Вариации

Существуют некоторые варианты определения клейниевой группы: иногда допускается, чтобы клейнивы группы были подгруппами PSL(2, C ).2 (т. е. PSL(2, C ), расширенной комплексными сопряжениями), другими словами, имеют элементы, меняющие ориентацию, и иногда предполагается, что они конечно порождены , а иногда требуется, чтобы они действовали должным образом разрывно на непустом открытом подмножестве сферы Римана.

Типы

Клейнова группа называется конечного типа , если ее область разрыва имеет конечное число орбит компонент относительно действия группы, а фактор каждой компоненты по ее стабилизатору представляет собой компактную риманову поверхность с конечным числом удаленных точек и накрытие разветвлено в конечном числе точек.
Клейнова группа называется конечно порожденной, если она имеет конечное число образующих. Теорема Альфорса о конечности утверждает, что такая группа имеет конечный тип.
Клейнова группа Γ имеет конечный кообъем , если H ³ /Γ имеет конечный объем. Любая клейнова группа конечного кообъема конечно порождена.
Клейнова группа называется геометрически конечной , если она имеет фундаментальный многогранник (в гиперболическом трехмерном пространстве) с конечным числом сторон. Альфорс показал, что если предельным множеством является не вся сфера Римана, то оно имеет меру 0.
Клейнинова группа Γ называется арифметической, если она соизмерима с групповой нормой 1 элементами порядка алгебры кватернионов A , разветвленной во всех вещественных местах над числовым полем k ровно с одной комплексной точкой. Арифметические клейновы группы имеют конечный кообъем.
Клейнова группа Γ называется кокомпактной , если H ³ /Γ компактна или, что то же самое, SL(2, C )/Γ компактна. Кокомпактные клейновы группы имеют конечный кообъем.
Клейнова группа называется топологически ручной, если она конечно порождена и ее гиперболическое многообразие гомеоморфно внутренности компактного многообразия с краем.
Клейнинова группа называется геометрически ручной, если ее концы либо геометрически конечны, либо просто вырождены (Thurston 1980).
Клейнинова группа называется типом 1, если предельным множеством является вся сфера Римана, и типом 2 в противном случае.

Примеры

Маскит разрезает пространство модулей клейновских групп.

Группы Бьянки

Группа Бьянки — это клейнова группа вида PSL(2, O _d ), где — кольцо целых чисел мнимого квадратичного поля для da положительного целого числа без квадратов . ${\mathcal {O}}_{d}$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$

Элементарные и приводимые клейновы группы

Клейнинова группа называется элементарной, если ее предельное множество конечно, и в этом случае предельное множество имеет 0, 1 или 2 точки. Примеры элементарных клейновых групп включают конечные клейновы группы (с пустым предельным множеством) и бесконечные циклические клейновы группы.

Клейнинова группа называется приводимой, если все ее элементы имеют общую неподвижную точку на сфере Римана. Приводимые клейновы группы элементарны, но некоторые элементарные конечные клейновы группы неприводимы.

Фуксовы группы

Любая фуксова группа (дискретная подгруппа PSL(2, R )) является клейновой группой, и наоборот, любая клейнова группа, сохраняющая действительную прямую (в своем действии на сферу Римана), является фуксовой группой. В более общем смысле, каждая клейнинова группа, сохраняющая круг или прямую линию в сфере Римана, сопряжена фуксовой группе.

Группы Кебе

Фактором клейновой группы G называется максимальная подгруппа H , обладающая следующими свойствами:
- H имеет односвязную инвариантную компоненту D
- Сопряженный элемент h из H конформной биекцией является параболическим или эллиптическим тогда и только тогда, когда h таков.
- Любой параболический элемент G , фиксирующий граничную точку D , находится в H .
Клейнинова группа называется группой Кебе, если все ее факторы элементарны или фуксовы.

Квазифуксовы группы

Клейнива группа, сохраняющая жорданову кривую, называется квазифуксовой группой . Когда кривая Жордана представляет собой круг или прямую линию, они просто сопряжены фуксовым группам при конформных преобразованиях. Конечно порожденные квазифуксовы группы сопряжены с фуксовыми группами при квазиконформных преобразованиях. Предельное множество содержится в инвариантной жордановой кривой, и если оно равно жордановой кривой, то группа называется группой первого рода , в противном случае — второго рода .

Группы Шоттки

Пусть C _i — граничные круги конечного набора непересекающихся замкнутых дисков. Группа, порожденная инверсией в каждом круге, имеет предельное множество Кантора , а фактор H ³ / G является зеркальным орбифолдом с подстилающим пространством в виде шара. Он покрыт двойной ручкой ; соответствующая подгруппа индекса 2 является клейновой группой, называемой группой Шоттки .

Кристаллографические группы

Пусть T — периодическая мозаика гиперболического трехмерного пространства. Группа симметрий мозаики является клейновой группой.

Фундаментальные группы гиперболических 3-многообразий

Фундаментальная группа любого ориентированного гиперболического трехмерного многообразия является клейновой группой. Есть много таких примеров, таких как дополнение к узлу восьмерки или пространство Зейферта-Вебера . И наоборот, если клейниева группа не имеет нетривиальных периодических элементов, то она является фундаментальной группой гиперболического трехмерного многообразия.

Вырожденные клейновы группы

Клейнова группа называется вырожденной, если она не является элементарной и ее предельное множество односвязно. Такие группы можно построить, взяв подходящий предел квазифуксовых групп, такой, что один из двух компонентов регулярных точек сжимается до пустого множества; эти группы называются одновырожденными . Если обе компоненты регулярного множества сжимаются до пустого множества, то предельное множество становится кривой, заполняющей пространство, и группа называется дважды вырожденной . Существование вырожденных клейниевых групп было впервые косвенно показано Берсом (1970), а первый явный пример был найден Йоргенсеном. Кэннон и Терстон (2007) привели примеры дважды вырожденных групп и кривых заполнения пространства, связанных с псевдоаносовскими отображениями .

Смотрите также

Внешние ссылки

Изображение предельного множества квазифуксовой группы из (Fricke & Klein 1897, стр. 418).
Изображение предельного множества клейнианской группы из (Fricke & Klein 1897, стр. 440). Это была одна из первых фотографий лимит-сета. Компьютерный рисунок того же предельного набора.
Анимации предельных множеств клейниевой группы
Изображения Макмаллена, связанные с кляйнианскими группами
Вайсштейн, Эрик В. «Кляйнианская группа». Математический мир .