LC-контур

Электрическая «резонаторная» цепь, состоящая из индуктивных и емкостных элементов без сопротивления.

LC-контур , также называемый резонансным контуром , контуром резервуара или настроенным контуром , представляет собой электрическую цепь , состоящую из катушки индуктивности , обозначенной буквой L, и конденсатора , обозначенной буквой C, соединенных вместе. Цепь может действовать как электрический резонатор , электрический аналог камертона , запасающий энергию, колеблющуюся на резонансной частоте цепи .

• 
  Схема LC-цепи
• 
  LC-контур (слева) , состоящий из ферритовой катушки и конденсатора, используемый в качестве настроенного контура в приемнике радиочасов .
• 
  Выходной резонансный контур коротковолнового радиопередатчика

LC-контуры используются либо для генерации сигналов на определенной частоте, либо для выделения сигнала на определенной частоте из более сложного сигнала; эта функция называется полосовым фильтром . Они являются ключевыми компонентами во многих электронных устройствах, в частности, в радиооборудовании, используются в таких схемах, как генераторы , фильтры , тюнеры и частотные смесители .

LC-цепь является идеализированной моделью, поскольку она предполагает отсутствие рассеивания энергии из-за сопротивления . Любая практическая реализация LC-цепи всегда будет включать потери, возникающие из-за небольшого, но ненулевого сопротивления внутри компонентов и соединительных проводов. Целью LC-цепи обычно является колебание с минимальным затуханием , поэтому сопротивление делается как можно меньше. Хотя ни одна практическая цепь не лишена потерь, тем не менее, полезно изучить эту идеальную форму цепи, чтобы обрести понимание и физическую интуицию. Для модели цепи, включающей сопротивление, см. RLC-цепь .

Терминология

Двухэлементная LC-цепь, описанная выше, является простейшим типом индукторно-конденсаторной сети (или LC-сети ). Ее также называют LC-цепью второго порядка ^{[1] [2],} чтобы отличать ее от более сложных (более высокого порядка) LC-сетей с большим количеством индуктивностей и конденсаторов. Такие LC-цепи с более чем двумя реактивными сопротивлениями могут иметь более одной резонансной частоты .

Порядок сети — это порядок рациональной функции, описывающей сеть в комплексной частотной переменной s . Обычно порядок равен числу элементов L и C в цепи и в любом случае не может превышать это число.

Операция

Анимированная диаграмма, демонстрирующая работу настроенного контура (LC-контура). Конденсатор C хранит энергию в своем электрическом поле E , а индуктор L хранит энергию в своем магнитном поле B ( зеленый ) . Анимация показывает контур в прогрессивных точках колебания. Колебания замедляются; в реальном настроенном контуре заряд может колебаться вперед и назад от тысяч до миллиардов раз в секунду.

LC-контур, колеблющийся на своей собственной резонансной частоте , может хранить электрическую энергию . Смотрите анимацию. Конденсатор хранит энергию в электрическом поле ( E ) между его пластинами в зависимости от напряжения на нем, а индуктор хранит энергию в своем магнитном поле ( B ) в зависимости от тока через него.

Если индуктор подключен к заряженному конденсатору, напряжение на конденсаторе будет вызывать ток через индуктор, создавая вокруг него магнитное поле. Напряжение на конденсаторе падает до нуля, поскольку заряд расходуется потоком тока. В этот момент энергия, запасенная в магнитном поле катушки, индуцирует напряжение на катушке, поскольку индукторы противодействуют изменениям тока. Это индуцированное напряжение заставляет ток начинать перезаряжать конденсатор напряжением противоположной полярности по отношению к его первоначальному заряду. Из-за закона Фарадея , ЭДС , которая вызывает ток, вызвана уменьшением магнитного поля, таким образом, энергия, необходимая для зарядки конденсатора, извлекается из магнитного поля. Когда магнитное поле полностью рассеивается, ток прекращается, и заряд снова будет сохраняться в конденсаторе с противоположной полярностью, как и раньше. Затем цикл начнется снова, с током, текущим в противоположном направлении через индуктор.

Заряд течет вперед и назад между пластинами конденсатора через индуктор. Энергия колеблется вперед и назад между конденсатором и индуктором до тех пор, пока (если не пополняется из внешней цепи) внутреннее сопротивление не заставит колебания затухнуть. Действие настроенного контура, известное математически как гармонический осциллятор , похоже на маятник, качающийся вперед и назад, или на воду, плещущуюся вперед и назад в баке; по этой причине контур также называется контуром резервуара . ^[3] Собственная частота (то есть частота, с которой он будет колебаться, будучи изолированным от любой другой системы, как описано выше) определяется значениями емкости и индуктивности. В большинстве случаев настроенный контур является частью более крупного контура, который применяет к нему переменный ток , возбуждая непрерывные колебания. Если частота приложенного тока является собственной резонансной частотой контура ( собственная частота ниже), возникнет резонанс , и небольшой возбуждающий ток может возбудить колебательные напряжения и токи большой амплитуды. В типичных настроенных контурах электронного оборудования колебания очень быстрые, от тысяч до миллиардов раз в секунду. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle f_{0}\,}$

Эффект резонанса

Резонанс возникает, когда LC-контур возбуждается от внешнего источника с угловой частотой ω _0, при которой индуктивное и емкостное сопротивления равны по величине. Частота, при которой это равенство выполняется для конкретного контура, называется резонансной частотой. Резонансная частота LC-контура равна

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$

где L — индуктивность в генри , а C — емкость в фарадах . Угловая частота ω ₀ имеет единицы радианы в секунду.

Эквивалентная частота в единицах герц составляет

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.}$

Приложения

Резонансный эффект LC-контура имеет множество важных применений в системах обработки сигналов и связи.

• Наиболее распространенное применение контуров резонанса — настройка радиопередатчиков и приемников. Например, при настройке радиоприемника на определенную станцию ​​LC-контуры устанавливаются в резонанс для этой конкретной несущей частоты .
• Последовательный резонансный контур обеспечивает усиление напряжения .
• Параллельный резонансный контур обеспечивает усиление тока .
• Параллельный резонансный контур может быть использован в качестве нагрузочного сопротивления в выходных цепях усилителей ВЧ. Благодаря высокому сопротивлению усиление усилителя максимально на резонансной частоте.
• При индукционном нагреве используются как параллельные, так и последовательные резонансные контуры .

LC-цепи ведут себя как электронные резонаторы , которые являются ключевым компонентом во многих приложениях:

• Усилители
• Осцилляторы
• Фильтры
• Тюнеры
• Смесители
• Дискриминатор Фостера–Сили
• Бесконтактные карты
• Графические планшеты
• Электронное наблюдение за товарами (метки безопасности)

Решение во временной области

Законы Кирхгофа

По закону Кирхгофа напряжение V _C на конденсаторе плюс напряжение V _L на катушке индуктивности должны быть равны нулю:

${\displaystyle V_{C}+V_{L}=0.}$

Аналогично, по закону Кирхгофа , ток через конденсатор равен току через катушку индуктивности:

${\displaystyle I_{C}=I_{L}.}$

Из определяющих соотношений для элементов схемы мы также знаем, что

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=L{\frac {\mathrm {d} I_{L}}{\mathrm {d} t}},\\I_{C}(t)&=C{\frac {\mathrm {d} V_{C}}{\mathrm {d} t}}.\end{aligned}}}$

Дифференциальное уравнение

Перестановка и подстановка дает дифференциальное уравнение второго порядка

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {1}{LC}}I(t)=0.}$

Параметр ω ₀ , резонансная угловая частота , определяется как

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.}$

Используя это, можно упростить дифференциальное уравнение:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0.}$

Соответствующее преобразование Лапласа имеет вид

${\displaystyle s^{2}+\omega _{0}^{2}=0,}$

таким образом

${\displaystyle s=\pm j\omega _{0},}$

где j — мнимая единица .

Решение

Таким образом, полное решение дифференциального уравнения имеет вид

${\displaystyle I(t)=Ae^{+j\omega _{0}t}+Be^{-j\omega _{0}t}}$

и может быть решено для A и B, учитывая начальные условия. Поскольку экспонента является комплексной , решение представляет собой синусоидальный переменный ток . Поскольку электрический ток I является физической величиной, он должен быть действительным. В результате можно показать, что константы A и B должны быть комплексно сопряженными :

${\displaystyle A=B^{*}.}$

Теперь пусть

${\displaystyle A={\frac {I_{0}}{2}}e^{+j\phi }.}$

Поэтому,

${\displaystyle B={\frac {I_{0}}{2}}e^{-j\phi }.}$

Далее мы можем использовать формулу Эйлера для получения действительной синусоиды с амплитудой I ₀ , угловой частотой ω ₀ = ⁠1/√ ЛК⁠ , и фазовый угол . ${\displaystyle \phi }$

Таким образом, полученное решение становится

${\displaystyle I(t)=I_{0}\cos \left(\omega _{0}t+\phi \right),}$

${\displaystyle V_{L}(t)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \left(\omega _{0}t+\phi \right).}$

Начальные условия

Начальные условия, которые удовлетворяли бы этому результату, следующие:

${\displaystyle I(0)=I_{0}\cos \phi ,}$

${\displaystyle V_{L}(0)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{t=0}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \phi .}$

Последовательная цепь

Последовательная LC-цепь

В последовательной конфигурации LC-цепи катушка индуктивности (L) и конденсатор (C) соединены последовательно, как показано здесь. Общее напряжение V на открытых клеммах — это просто сумма напряжения на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе. Ток I в положительной клемме цепи равен току как через конденсатор, так и через катушку индуктивности.

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{L}+V_{C},\\I&=I_{L}=I_{C}.\end{aligned}}}$

Резонанс

Индуктивное сопротивление увеличивается с ростом частоты, тогда как емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты (определяемой здесь как положительное число). На одной конкретной частоте эти два реактивных сопротивления равны, а напряжения на них равны и противоположны по знаку; эта частота называется резонансной частотой f ₀ для данной цепи. ${\displaystyle \ X_{\mathsf {L}}=\omega L\ }$ ${\displaystyle \ X_{\mathsf {C}}={\frac {1}{\ \omega C\ }}\ }$  

Следовательно, при резонансе,

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{\mathsf {L}}&=X_{\mathsf {C}}\ ,\\\omega L&={\frac {1}{\ \omega C\ }}~.\end{aligned}}}$

Решая относительно ω , имеем

${\displaystyle \omega =\omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

которая определяется как резонансная угловая частота контура. Преобразуя угловую частоту (в радианах в секунду) в частоту (в герцах ), получаем

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{\ 2\pi \ }}={\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

и

${\displaystyle X_{{\mathsf {L}}0}=X_{{\mathsf {C}}0}={\sqrt {{\frac {\ L\ }{C}}\;}}}$

в . ${\displaystyle \omega _{0}}$

В последовательной конфигурации X _C и X _L компенсируют друг друга. В реальных, а не идеализированных компонентах ток противодействует, в основном, сопротивлению обмоток катушки. Таким образом, ток, подаваемый в последовательный резонансный контур, максимален при резонансе.

• В пределе при f → f ₀ ток максимален. Сопротивление цепи минимально. В этом состоянии цепь называется акцепторной цепью ^[4]  
• При   f   <   f ₀  ,   X _L ≪ X _C  ; следовательно, цепь является емкостной.
• При   f   >   f ₀  ,   X _L ≫ X _C  ; следовательно, цепь является индуктивной.

Сопротивление

В последовательной конфигурации резонанс возникает, когда комплексное электрическое сопротивление цепи приближается к нулю.

Сначала рассмотрим импеданс последовательной LC-цепи. Общий импеданс определяется суммой индуктивного и емкостного импедансов:

${\displaystyle Z=Z_{\mathsf {L}}+Z_{\mathsf {C}}~.}$

Запишем индуктивное сопротивление как  Z _L = jωL  и емкостное сопротивление как  Z _C = ⁠1/ j ω C ⁠  и подстановка дает

${\displaystyle Z(\omega )=j\omega L+{\frac {1}{\ j\omega C\ }}~.}$

Записывая это выражение под общим знаменателем, получаем

${\displaystyle Z(\omega )=j\left({\frac {\ \omega ^{2}LC-1\ }{\omega C}}\right)~.}$

Наконец, определим собственную угловую частоту как

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

сопротивление становится

${\displaystyle Z(\omega )=j\ L\ \left({\frac {\ \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}\ }{\omega }}\right)=j\ \omega _{0}L\ \left({\frac {\omega }{\ \omega _{0}\ }}-{\frac {\ \omega _{0}\ }{\omega }}\right)=j\ {\frac {1}{\ \omega _{0}C\ }}\left({\frac {\omega }{\ \omega _{0}\ }}-{\frac {\ \omega _{0}\ }{\omega }}\right)\ ,}$

где дает реактивное сопротивление индуктора при резонансе. ${\displaystyle \,\omega _{0}L\ \,}$

Числитель подразумевает, что в пределе ω → ± ω ₀ общее сопротивление  Z  будет равно нулю, а в противном случае не равно нулю. Поэтому последовательная LC-цепь, соединенная последовательно с нагрузкой, будет действовать как полосовой фильтр, имеющий нулевое сопротивление на резонансной частоте LC-цепи.  

Параллельная цепь

Параллельная LC-цепь

Когда индуктор (L) и конденсатор (C) соединены параллельно, как показано здесь, напряжение V на открытых клеммах равно как напряжению на индукторе, так и напряжению на конденсаторе. Полный ток I, текущий в положительный вывод цепи, равен сумме тока, текущего через индуктор, и тока, текущего через конденсатор:

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{\mathsf {L}}=V_{\mathsf {C}}\ ,\\I&=I_{\mathsf {L}}+I_{\mathsf {C}}~.\end{aligned}}}$

Резонанс

Когда X _L равен X _C , токи двух ветвей равны и противоположны. Они компенсируют друг друга, давая минимальный ток в основной линии (в принципе, нулевой ток). Однако между конденсатором и индуктором циркулирует большой ток. В принципе, этот циркулирующий ток бесконечен, но в действительности ограничен сопротивлением в цепи, в частности сопротивлением в обмотках индуктора. Поскольку общий ток минимален, в этом состоянии общий импеданс максимален.

Резонансная частота определяется выражением

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{\ 2\pi \ }}={\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\;}}\ }}~.}$

Любой ток ветви не минимален при резонансе, но каждый из них задается отдельно путем деления напряжения источника ( V ) на реактивное сопротивление ( Z ). Следовательно,   I = ⁠ В /З⁠  , согласнозакону Ома.

• При   f ₀  ток линии минимален. Общее сопротивление максимально. В этом состоянии цепь называется режекторной цепью . ^[5]
• Ниже   f ₀  цепь является индуктивной.
• Выше   f ₀  цепь становится емкостной.

Сопротивление

Тот же анализ можно применить к параллельной LC-цепи. Тогда общее сопротивление определяется как

${\displaystyle Z={\frac {\ Z_{\mathsf {L}}Z_{\mathsf {C}}\ }{Z_{\mathsf {L}}+Z_{\mathsf {C}}}}\ ,}$

и после подстановки Z _L = j ω L и Z _C = ⁠1/ j ω C ⁠ и упрощение, дает

${\displaystyle Z(\omega )=-j\cdot {\frac {\omega L}{\ \omega ^{2}LC-1\ }}~.}$

С использованием

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

это еще больше упрощает

${\displaystyle Z(\omega )=-j\ \left({\frac {1}{\ C\ }}\right)\left({\frac {\omega }{\ \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\right)=+j\ {\frac {1}{\ \omega _{0}C\left({\tfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\ }}=+j\ {\frac {\omega _{0}L}{\ \left({\tfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\ }}~.}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle \lim _{\omega \to \omega _{0}}Z(\omega )=\infty \ ,}$

но для всех других значений ω импеданс конечен.

Таким образом, параллельный LC-контур, подключенный последовательно с нагрузкой, будет действовать как полосовой фильтр, имеющий бесконечное сопротивление на резонансной частоте LC-контура, в то время как параллельный LC-контур, подключенный параллельно нагрузке, будет действовать как полосовой фильтр .

решение Лапласа

Цепь LC можно решить с помощью преобразования Лапласа .

Начнем с определения соотношения между током и напряжением на конденсаторе и катушке индуктивности обычным способом:

${\displaystyle v_{\mathrm {C} }(t)=v(t)\ ,~}$ ${\displaystyle i(t)=C\ {\frac {\mathrm {d} \ v_{\mathrm {C} }}{\mathrm {d} t}}\ ,~}$и ${\displaystyle ~v_{\mathrm {L} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}\;.}$

Затем, применяя законы Кирхгофа, мы можем прийти к дифференциальным уравнениям, определяющим систему

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{\mathrm {L} }(t)+v_{\mathrm {C} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}+v=L\ C\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}\ v}{\mathrm {d} t^{2}}}+v\;.}$

С начальными условиями и ${\displaystyle \ v(0)=v_{0}\ }$ ${\displaystyle \ i(0)=i_{0}=C\cdot v'(0)=C\cdot v'_{0}\;.}$

Приводя следующие определения,

${\displaystyle \omega _{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {L\ C\ }}}}~}$и ${\displaystyle ~f(t)\equiv \omega _{0}^{2}\ v_{\mathrm {in} }(t)}$

дает

${\displaystyle f(t)={\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\;.}$

Теперь применим преобразование Лапласа.

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} \left[\ f(t)\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} \left[\ {\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\ \right]\,,}$

${\displaystyle F(s)=s^{2}\ V(s)-s\ v_{0}-v'_{0}+\omega _{0}^{2}\ V(s)\;.}$

Преобразование Лапласа превратило наше дифференциальное уравнение в алгебраическое уравнение. Решение для V в области s (частотной области) намного проще, а именно.

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}+v'_{0}+F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}}$

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\,,}$

Которую можно преобразовать обратно во временную область с помощью обратного преобразования Лапласа:

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ V(s)\ \right]}$

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

Для второго слагаемого необходима эквивалентная дробь : ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+v'_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

Для второго слагаемого необходима эквивалентная дробь : ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\ \omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]}$

Окончательный член зависит от точной формы входного напряжения. Два распространенных случая — это ступенчатая функция Хевисайда и синусоида . Для ступенчатой ​​функции Хевисайда мы получаем

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=M\ u(t)\,,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}{\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]~=~\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ M\ {\frac {1}{\ s\ (s^{2}+\omega _{0}^{2})\ }}\ \right]~=~M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\,,}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\ \cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)+M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\;.}$

Для случая синусоидальной функции на входе получаем:

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=U\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\Rightarrow V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\,}$

где — амплитуда и частота приложенной функции. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \omega _{f}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Используя метод частичных дробей:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {A+Bs}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ +{\frac {C+Ds}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Упрощение с обеих сторон

${\displaystyle 1=(A+Bs)(\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+(C+Ds)(\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=(A\ s^{2}+\ A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ B\ s^{3}+\ B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+\ C\ s^{2}+\ C\ \omega _{0}^{2}\ +\ D\ s^{3}+\ D\ s\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=s^{3}(B\ +\ D\ )+s^{2}(A\ +\ C)+s(B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2})+(A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2})}$

Решаем уравнение относительно A, B и C:

${\displaystyle A+C=0\Rightarrow C=-A}$

${\displaystyle A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2}=1\Rightarrow A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\ A\ \omega _{0}^{2}=1}$

${\displaystyle \Rightarrow A\ ={\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle \Rightarrow C\ =-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle B+C=0}$

${\displaystyle B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\ B\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ (\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2})=0}$

${\displaystyle \Rightarrow B=0,\ D=0}$

Подставим значения A, B и C:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}+{\frac {-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Выделим константу и воспользуемся эквивалентными дробями для корректировки отсутствия числителя:

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\left({\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}-{\frac {\omega _{f}}{\omega _{f}(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right)\right]\,}$

Выполним обратное преобразование Лапласа над каждым слагаемым:

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left(\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {1}{\omega _{0}}}{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)={\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;,}$

Используя начальные условия в решении Лапласа:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+{\frac {\omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;.}$

История

Первое доказательство того, что конденсатор и катушка индуктивности могут производить электрические колебания, было обнаружено в 1826 году французским ученым Феликсом Савари . ^{[6] [7]} Он обнаружил, что когда лейденская банка разряжалась через провод, намотанный вокруг железной иглы, иногда игла оставалась намагниченной в одном направлении, а иногда в противоположном. Он правильно сделал вывод, что это было вызвано затухающим колебательным разрядным током в проводе, который менял намагниченность иглы туда и обратно, пока он не становился слишком малым, чтобы оказывать эффект, оставляя иглу намагниченной в случайном направлении. Американский физик Джозеф Генри повторил эксперимент Савари в 1842 году и пришел к тому же выводу, по-видимому, независимо. ^{[8] [9]}

Ирландский ученый Уильям Томсон (лорд Кельвин) в 1853 году математически показал, что разряд лейденской банки через индуктивность должен быть колебательным, и вывел его резонансную частоту. ^{[6] [8] [9]} Британский исследователь радио Оливер Лодж , разряжая большую батарею лейденских банок через длинный провод, создал настроенный контур с его резонансной частотой в звуковом диапазоне, который производил музыкальный тон от искры при разряде. ^[8] В 1857 году немецкий физик Беренд Вильгельм Феддерсен сфотографировал искру, произведенную резонансным контуром лейденской банки во вращающемся зеркале, предоставив визуальное доказательство колебаний. ^{[6] [8] [9]} В 1868 году шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл рассчитал эффект приложения переменного тока к контуру с индуктивностью и емкостью, показав, что отклик максимален на резонансной частоте. ^[6] Первый пример кривой электрического резонанса был опубликован в 1887 году немецким физиком Генрихом Герцем в его пионерской статье об открытии радиоволн, показывающей длину искры, которую можно получить с помощью его детекторов с искровым зазором LC-резонатора, как функцию частоты. ^[6]

Одной из первых демонстраций резонанса между настроенными контурами был эксперимент Лоджа с «синтоническими банками» около 1889 года. ^{[6] [8]} Он поместил два резонансных контура рядом друг с другом, каждый из которых состоял из лейденской банки, соединенной с регулируемой одновитковой катушкой с искровым зазором. Когда высокое напряжение от индукционной катушки было подано на один настроенный контур, создавая искры и, таким образом, колебательные токи, искры возбуждались в другом настроенном контуре только тогда, когда контуры были настроены на резонанс. Лодж и некоторые английские ученые предпочитали термин « синтония » для этого эффекта, но в конечном итоге термин « резонанс » прижился. ^[6] Первое практическое использование LC-контуров было в 1890-х годах в радиопередатчиках с искровым зазором , чтобы позволить приемнику и передатчику быть настроенными на одну и ту же частоту. Первый патент на радиосистему, которая позволяла настраиваться, был подан Лоджем в 1897 году, хотя первые практические системы были изобретены в 1900 году итальянским пионером радио Гульельмо Маркони . ^[6]

Смотрите также

• RL-цепь
• RC-цепь
• RLC-цепь

Ссылки

1. Макаров, Сергей Н.; Людвиг, Рейнхольд; Битар, Стивен Дж. (2016). Практическая электротехника. Springer. С. X-483. ISBN 9783319211732.
2. Дорф, Ричард К.; Свобода, Джеймс А. (2010). Введение в электрические цепи, 8-е изд. John Wiley and Sons. стр. 368. ISBN 9780470521571.
3. Рао, Б. Висвесвара и др. (2012). Анализ электронных цепей. Индия: Pearson Education India. стр. 13.6. ISBN 978-9332511743.
4. "Что такое акцепторная схема?". qsstudy.com . Физика.].
5. "rejector circuit". Oxford Dictionaries. English . Архивировано из оригинала 20 сентября 2018 года . Получено 20 сентября 2018 года .
6. Бланчард, Джулиан (октябрь 1941 г.). «История электрического резонанса». Bell System Technical Journal . 20 (4). США: American Telephone & Telegraph Co.: 415–433. doi :10.1002/j.1538-7305.1941.tb03608.x. S2CID  51669988. Получено 29.03.2011 .
7. Савари, Феликс (1827). «Воспоминания о чувстве». Annales de Chimie et de Physique . 34 . Париж: Массон: 5–37.
8. Кимбалл, Артур Лаланн (1917). Учебник физики для колледжей (2-е изд.). Нью-Йорк: Henry Hold. С. 516–517.
9. Huurdeman, Антон А. (2003). Всемирная история телекоммуникаций. США: Wiley-IEEE. стр. 199–200. ISBN 0-471-20505-2.

Внешние ссылки

• Электрический маятник Тони Купхалдта — классическая история о работе танка LC
• Еще одним прекрасным ресурсом LC является то, как параллельная LC-цепь хранит энергию.