LF-пространство

Топологическое векторное пространство

В математике LF - пространство , также обозначаемое как ( LF )-пространство , — это топологическое векторное пространство (TVS) X , которое является локально выпуклым индуктивным пределом счетной индуктивной системы пространств Фреше . ^[1] Это означает, что X является прямым пределом прямой системы в категории локально выпуклых топологических векторных пространств, и каждое из них является пространством Фреше. Название LF означает предел пространств Фреше . ${\displaystyle (X_{n},i_{nm})}$ ${\displaystyle (X_{n},i_{nm})}$ ${\displaystyle X_{n}}$

Если каждое из связующих отображений является вложением TVS, то LF -пространство называется строгим LF -пространством . Это означает, что топология подпространства, индуцированная на X _n с помощью X _{n +1,} идентична исходной топологии на X _n . ^{[1] [2]} Некоторые авторы (например, Шефер) определяют термин « LF -пространство» как «строгое LF -пространство», поэтому при чтении математической литературы рекомендуется всегда проверять, как определяется LF -пространство. ${\displaystyle i_{nm}}$

Определение

Индуктивная/конечная/прямопредельная топология

Везде предполагается, что

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$является либо категорией топологических пространств , либо некоторой подкатегорией категории топологических векторных пространств (ТВП);
  • Если все объекты в категории имеют алгебраическую структуру, то предполагается, что все морфизмы являются гомоморфизмами для этой алгебраической структуры.
• I — непустое направленное множество ;
• X _• = ( X _i ) _{i ∈ I} — семейство объектов, вкотором ( X _i , τ _{X i} ) — топологическое пространство для каждого индекса i ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
  • Чтобы избежать возможной путаницы, τ _{X i} не следует называть «начальной топологией» X _i , поскольку термин « начальная топология » уже имеет хорошо известное определение. Топология τ _{X i} называется исходной топологией на X _i или заданной топологией X _i .
• X — это множество (и если объекты в нем также имеют алгебраические структуры, то автоматически предполагается, что X имеет любую необходимую алгебраическую структуру); ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• f _• = ( f _i ) _{i ∈ I} — это семейство отображений, где для каждого индекса i отображение имеет прототип f _i  : ( X _i , τ _{X i} ) → X. Если все объекты в категории имеют алгебраическую структуру, то эти отображения также считаются гомоморфизмами для этой алгебраической структуры.

Если она существует, то конечная топология на X в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ , также называемая копределом или индуктивной топологией в , и обозначаемая как τ _{f •} или τ _f , является наилучшей топологией на X такой, что ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ( X , τ _f ) — объект в, и ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
2. для каждого индекса i отображение f _i  : ( X _i , τ _{X i} ) → ( X , τ _f ) является непрерывным морфизмом в . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

В категории топологических пространств конечная топология всегда существует и, более того, подмножество U ⊆ X открыто (соответственно замкнуто) в ( X , τf ₎ тогда и только тогда, когда f _i ^{- 1} ( U ) открыто (соответственно замкнуто) в ( X _i , τX _{i )} для каждого индекса i .

Однако окончательная топология может не существовать в категории топологических пространств Хаусдорфа из-за требования, чтобы (X, τXf) принадлежали исходной категории _{( т.е.} принадлежали категории топологических пространств Хаусдорфа). ^[3]

Прямые системы

Предположим, что ( I , ≤) — направленное множество и что для всех индексов i ≤ j существуют (непрерывные) морфизмы в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

f _i ^j  : X _i → X _j

такой, что если i = j , то f _i ^j является тождественным отображением на X _i, а если i ≤ j ≤ k, то выполняется следующее условие совместимости :

f _i ^k = f _j ^k ∘ f _i ^j ,

где это означает, что состав

${\displaystyle X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{j}} X_{j}\xrightarrow {f_{j}^{k}} X_{k}\;\;\;\;{\text{ is equal to }}\;\;\;\;X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{k}} X_{k}.}$

Если вышеуказанные условия выполнены, то тройка, образованная наборами этих объектов, морфизмов и индексного множества

${\displaystyle \left(X_{\bullet },\left\{f_{i}^{j}\;:\;i,j\in I\;{\text{ and }}\;i\leq j\right\},I\right)}$

известна как прямая система в категории , которая направлена ​​(или индексирована ) I. Поскольку индексирующий набор I является направленным набором , прямая система называется направленной . ^[4] Карты f _i ^j называются связывающими , соединяющими или связующими картами системы. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Если индексирующий набор I понятен, то I часто опускается из приведенного выше кортежа (т.е. не записывается); то же самое верно для карт связей, если они понятны. Следовательно, часто можно увидеть запись " X _• является прямой системой", где " X _• " на самом деле представляет собой тройку с картами связей и набором индексов, которые либо определены в другом месте (например, канонические карты связей, такие как естественные включения), либо карты связей просто предполагаются существующими, но нет необходимости назначать им символы (например, карты связей не нужны для формулировки теоремы).

Прямой предел прямой системы

Для построения прямого предела общей индуктивной системы см. статью: прямой предел .

Прямые пределы инъективных систем

Если каждое из отображений связей является инъективным , то система называется инъективной . ^[4] ${\displaystyle f_{i}^{j}}$

Предположения : В случае, когда прямая система инъективна, часто предполагается без потери общности, что для всех индексов i ≤ j каждое X _i является векторным подпространством X _j (в частности, X _i отождествляется с диапазоном ) и что отображение связывания является естественным включением ${\displaystyle f_{i}^{j}}$ ${\displaystyle f_{i}^{j}}$

В^джи
_я : Xi → Xj_​​

(т.е. определяется соотношением x ↦ x ), так что топология подпространства на X _{i ,} индуцированная X _j , слабее (т.е. грубее), чем исходная (т.е. заданная) топология на X _i .

В этом случае также примите

Х  :=∪я ∈ я X _я .

Предельные отображения тогда являются естественными включениями In _i  : X _i → X. Топология прямого предела на X является окончательной топологией, индуцированной этими отображениями включения.

Если X _i имеют алгебраическую структуру, например, сложение, то для любых x , y ∈ X мы выбираем любой индекс i такой, что x , y ∈ X _{i ,} а затем определяем их сумму, используя оператор сложения X _i . То есть,

х + у  := х + _я у ,

где + _i — оператор сложения X _i . Эта сумма не зависит от выбранного индекса i .

В категории локально выпуклых топологических векторных пространств топологию на прямом пределе X инъективного направленного индуктивного предела локально выпуклых пространств можно описать, указав, что абсолютно выпуклое подмножество U множества X является окрестностью 0 тогда и только тогда, когда U ∩ X _i является абсолютно выпуклой окрестностью 0 в X _i для каждого индекса i . ^[4]

Прямые ограничения в верхней части

Прямые пределы направленных прямых систем всегда существуют в категориях множеств, топологических пространств, групп и локально выпуклых TVS. В категории топологических пространств, если каждое связывающее отображение f _i ^j является/является инъективным (соответственно сюръективным , биективным , гомеоморфным , топологическим вложением , факторным отображением ), то таковым является каждое f _i  : X _i → X . ^[3]

Проблема с прямыми пределами

Прямые пределы в категориях топологических пространств, топологических векторных пространств (TVS) и локально выпуклых TVS Хаусдорфа являются «плохо ведущими себя». ^[4] Например, прямой предел последовательности (т. е. индексированной натуральными числами) локально выпуклых ядерных пространств Фреше может не быть Хаусдорфовым (в этом случае прямой предел не существует в категории TVS Хаусдорфа). По этой причине в функциональном анализе обычно изучаются только определенные «хорошо ведущие себя» прямые системы . Такие системы включают LF -пространства. ^[4] Однако нехаусдорфовы локально выпуклые индуктивные пределы встречаются в естественных вопросах анализа. ^[4]

Строгий индуктивный предел

Если каждое из связующих отображений является вложением TVS в собственные векторные подпространства и если система направлена ​​с ее естественным порядком, то полученный предел называется строгим ( счетным ) прямым пределом . В такой ситуации мы можем предположить без потери общности, что каждое X _i является векторным подпространством X _{i +1} и что топология подпространства, индуцированная на X _i посредством X _{i +1,} идентична исходной топологии на X _i . ^[1] ${\displaystyle f_{i}^{j}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

В категории локально выпуклых топологических векторных пространств топологию на строгом индуктивном пределе пространств Фреше X можно описать, указав, что абсолютно выпуклое подмножество U является окрестностью 0 тогда и только тогда, когда U ∩ X _n является абсолютно выпуклой окрестностью 0 в X _n для каждого n .

Характеристики

Индуктивный предел в категории локально выпуклых TVS семейства борнологических (соответственно, бочонковых , квазибочонковых ) пространств обладает тем же свойством. ^[5]

LF-пространства

Каждое LF-пространство является скудным подмножеством самого себя. ^[6] Строгий индуктивный предел последовательности полных локально выпуклых пространств (таких как пространства Фреше) обязательно является полным. В частности, каждое LF-пространство является полным. ^[7] Каждое LF -пространство является бочечным и борнологическим , что вместе с полнотой подразумевает, что каждое LF-пространство является ультраборнологическим . LF-пространство , являющееся индуктивным пределом счетной последовательности отделимых пространств, является отделимым. ^[8] Пространства LF различаются , и их сильные двойственные являются борнологическими и бочечными (результат Александра Гротендика ).

Если X является строгим индуктивным пределом возрастающей последовательности пространства Фреше X _n , то подмножество B из X ограничено в X тогда и только тогда, когда существует некоторое n такое, что B является ограниченным подмножеством X _n . ^[7]

Линейное отображение из LF-пространства в другое TVS непрерывно тогда и только тогда, когда оно последовательно непрерывно . ^[9] Линейное отображение из LF-пространства X в пространство Фреше Y непрерывно тогда и только тогда, когда его график замкнут в X × Y. ^[10] Каждый ограниченный линейный оператор из LF-пространства в другое TVS непрерывен. [ ^11]

Если X является LF-пространством, определяемым последовательностью , то сильное сопряженное пространство X является пространством Фреше тогда и только тогда, когда все X _i нормируемы . ^{[12] Таким образом} , сильное сопряженное пространство LF-пространства является пространством Фреше тогда и только тогда , когда оно является LB-пространством . ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Примеры

Пространство гладких функций с компактным носителем

Типичным примером LF -пространства является, , пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на с компактным носителем. Структура LF -пространства получается путем рассмотрения последовательности компактных множеств с и для всех i, является подмножеством внутренности . Такой последовательностью могут быть шары радиуса i с центром в начале координат. Пространство бесконечно дифференцируемых функций на с компактным носителем, содержащееся в , имеет естественную структуру пространства Фреше и наследует ее структуру LF -пространства, как описано выше. Топология LF -пространства не зависит от конкретной последовательности компактных множеств . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{i}\subset \ldots \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i}K_{i}=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle K_{i+1}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(K_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle K_{i}}$

При такой структуре LF -пространство известно как пространство тестовых функций, имеющее фундаментальное значение в теории распределений . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

Прямой предел конечномерных пространств

Предположим, что для каждого положительного целого числа n , X _n  := ⁿ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и для m < n , рассмотрим X _m как векторное подпространство X _n посредством канонического вложения X _m → X _{n ,} определяемого соотношением x  := ( x ₁ , ..., x _m ) ↦ ( x ₁ , ..., x _m , 0, ..., 0) . Обозначим полученное LF-пространство через X . Поскольку любая топология TVS на X делает непрерывными включения X m _в X , последнее пространство имеет максимум среди всех топологий TVS на -векторном пространстве со счетной размерностью Гамеля . Это топология LC, связанная с семейством всех полунорм на X . Кроме того, топология индуктивного предела TVS пространства X совпадает с топологическим индуктивным пределом; то есть прямой предел конечномерных пространств X _n в категории TOP и в категории TVS совпадают. Непрерывное двойственное пространство X равно алгебраическому двойственному пространству X , то есть пространству всех последовательностей действительных значений , а слабая топология на равна сильной топологии на (т.е. ). ^[13] Фактически, это единственная топология LC на , топологическое двойственное пространство которой равно X. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }=X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Смотрите также

• DF-пространство
• Прямой предел
• Окончательная топология
• F-пространство
• LB-пространство

Цитаты

1. Шефер и Вольф 1999, стр. 55–61.
2. Хельгасон, Сигурдур (2000). Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции (переиздано с исправленным изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 398. ISBN 0-8218-2673-5.
3. Дугунджи 1966, стр. 420–435.
4. Бирстедт 1988, стр. 41–56.
5. Гротендик 1973, стр. 130–142.
6. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 435.
7. Schaefer & Wolff 1999, стр. 59–61.
8. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 436.
9. Трев 2006, стр. 141.
10. Трев 2006, стр. 173.
11. Трев 2006, стр. 142.
12. Трев 2006, стр. 201.
13. Шефер и Вольф 1999, стр. 201.

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Бирстедт, Клаус-Дитер (1988). «Введение в локально выпуклые индуктивные пределы». Функциональный анализ и приложения . Сингапур-Нью-Джерси-Гонконг: Universitätsbibliothek: 35–133 . Получено 20 сентября 2020 г.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряды Аддисона-Уэсли в математике. Том 1. Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Valdivia, Manuel (1982). Nachbin, Leopoldo (ред.). Topics in Locally Convex Spaces . Vol. 67. Amsterdam New York, NY: Elsevier Science Pub. Co. ISBN 978-0-08-087178-3. OCLC  316568534.
• Voigt, Jürgen (2020). Курс по топологическим векторным пространствам . Компактные учебники по математике. Cham: Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC  1145563701.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.