Точка Лагранжа

Точки равновесия вблизи двух вращающихся тел.

Точки Лагранжа в системе Солнце–Земля (не в масштабе). Это вид с севера, так что орбита Земли вращается против часовой стрелки.

Контурный график эффективного потенциала гравитации и центробежной силы системы двух тел во вращающейся системе отсчета. Стрелки указывают нисходящие градиенты потенциала вокруг пяти точек Лагранжа, к ним ( красный ) и от них ( синий ). Как ни странно, точки L ₄ и L ₅ являются высшими точками потенциала. В самих точках эти силы уравновешены.

Пример космического корабля Солнце-Земля L2.
  WMAP  ·   Земля

В небесной механике точки Лагранжа ( / l ə ˈ ɡ r ɑː n dʒ / ; также точки Лагранжа или точки либрации ) — точки равновесия для объектов малой массы, находящихся под гравитационным воздействием двух массивных орбитальных тел. Математически это предполагает решение ограниченной задачи трех тел . ^[1]

Обычно два массивных тела оказывают в какой-то точке несбалансированную гравитационную силу, изменяя орбиту всего, что находится в этой точке. В точках Лагранжа силы гравитации двух больших тел и центробежная сила уравновешивают друг друга. ^[2] Это может сделать точки Лагранжа отличным местом для размещения спутников, поскольку поправки на орбиту и, следовательно, потребности в топливе, необходимые для поддержания желаемой орбиты, сводятся к минимуму.

Для любой комбинации двух орбитальных тел существует пять точек Лагранжа, от L1 _до L5 _, и все они находятся в плоскости орбит двух больших тел. Существует пять точек Лагранжа для системы Солнце-Земля и пять различных точек Лагранжа для системы Земля-Луна. L ₁ , L ₂ и L ₃ находятся на линии, проходящей через центры двух больших тел, а каждая из L ₄ и L ₅ действует как третья вершина равностороннего треугольника , образованного центрами двух больших тел.

Когда соотношение масс двух тел достаточно велико, точки L ₄ и L ₅ являются стабильными точками, что означает, что объекты могут вращаться вокруг них и что они имеют тенденцию притягивать объекты к себе. На некоторых планетах есть троянские астероиды вблизи их точек L ₄ и L ₅ по отношению к Солнцу; На Юпитере имеется более миллиона таких троянов.

Некоторые точки Лагранжа используются для исследования космоса. Двумя важными точками Лагранжа в системе Солнце-Земля являются L ₁ между Солнцем и Землей и L ₂ на одной линии на противоположной стороне Земли; оба находятся далеко за пределами орбиты Луны. В настоящее время искусственный спутник под названием Deep Space Climate Observatory (DSCOVR) расположен на L ₁ и предназначен для изучения солнечного ветра, идущего к Земле от Солнца, и для мониторинга климата Земли путем получения изображений и отправки их обратно. ^[3] Космический телескоп Джеймса Уэбба , мощная инфракрасная космическая обсерватория, расположен в точке L ₂ . ^[4] Это позволяет большому солнцезащитному экрану спутника защищать телескоп от света и тепла Солнца, Земли и Луны.

Более ранний телескоп «Гайя» Европейского космического агентства и недавно запущенный им «Евклид » также занимают орбиты вокруг _L2 . Гея сохраняет более узкую орбиту Лиссажу вокруг L ₂ , а Евклид следует по гало-орбите, аналогичной JWST. Каждая из космических обсерваторий получает выгоду от того, что находится достаточно далеко от тени Земли, чтобы использовать солнечные панели для получения энергии, от отсутствия необходимости в большом количестве энергии или топлива для поддержания станции, от отсутствия воздействия магнитосферы Земли и от наличия прямой линии связи. взгляд на Землю для передачи данных.

История

Три коллинеарные точки Лагранжа (L ₁ , L ₂ , L ₃ ) были открыты швейцарским математиком Леонардом Эйлером около 1750 года, за десять лет до того, как уроженец Италии Жозеф-Луи Лагранж открыл оставшиеся две. ^{[5] [6]}

В 1772 году Лагранж опубликовал «Очерк задачи трёх тел ». В первой главе он рассмотрел общую задачу трех тел. Исходя из этого, во второй главе он продемонстрировал два специальных решения с постоянной моделью , коллинеарное и равностороннее, для любых трех масс с круговыми орбитами . ^[7]

точки Лагранжа

Пять точек Лагранжа помечены и определены следующим образом:

Л 1 балл

Точка L ₁ лежит на линии, определенной между двумя большими массами M ₁ и M ₂ . Это точка, в которой гравитационное притяжение М ₂ и М ₁ объединяются, создавая равновесие. Объект, который вращается вокруг Солнца ближе , чем Земля , обычно имеет более короткий период обращения, чем Земля, но при этом игнорируется эффект гравитационного притяжения Земли. Если объект находится непосредственно между Землей и Солнцем, то гравитация Земли частично противодействует притяжению Солнца к объекту, увеличивая период обращения объекта. Чем ближе к Земле находится объект, тем сильнее этот эффект. В точке L ₁ период обращения объекта становится в точности равным периоду обращения Земли. L ₁ находится на расстоянии около 1,5 миллиона километров, или 0,01 а.е. , от Земли в направлении Солнца. ^[1]

Л 2 точка

Точка L ₂ лежит на линии, проходящей через две большие массы, за меньшей из двух. Здесь объединенные гравитационные силы двух больших масс уравновешивают центробежную силу, действующую на тело в точке L ₂ . На противоположной стороне Земли от Солнца период обращения объекта обычно больше, чем у Земли. Дополнительное притяжение земной гравитации уменьшает период обращения объекта, и в точке L ₂ этот орбитальный период становится равным земному. Как и L ₁ , L ₂ находится на расстоянии около 1,5 миллиона километров или 0,01 а.е. от Земли (от Солнца). Примером космического корабля на L ₂ является космический телескоп Джеймса Уэбба , предназначенный для работы вблизи системы Земля-Солнце L ₂ . ^[8] Более ранние примеры включают микроволновый зонд анизотропии Уилкинсона и его преемник «Планк» .

Л 3 точка

Точка L ₃ лежит на линии, определяемой двумя большими массами, за пределами большей из двух. В системе Солнце-Земля точка L ₃ находится на противоположной стороне Солнца, немного за пределами орбиты Земли и немного дальше от центра Солнца, чем Земля. Такое расположение происходит потому, что на Солнце также влияет гравитация Земли и поэтому он вращается вокруг барицентра двух тел , который находится глубоко внутри тела Солнца. Объект, находящийся на расстоянии Земли от Солнца, будет иметь орбитальный период в один год, если учитывать только гравитацию Солнца. Но объект, находящийся на противоположной стороне Солнца от Земли и прямо на одной линии с обоими, «чувствует», что гравитация Земли немного добавляется к гравитации Солнца, и поэтому должен вращаться немного дальше от барицентра Земли и Солнца, чтобы иметь одинаковую 1- годовой период. Именно в точке L ₃ совместное притяжение Земли и Солнца заставляет объект вращаться по орбите с тем же периодом, что и Земля, фактически вращаясь вокруг массы Земля + Солнце с барицентром Земля-Солнце в одном из фокусов его орбиты.

L 4 и L 5 баллов

Гравитационные ускорения на L ₄

Точки L ₄ и L ₅ лежат в третьих вершинах двух равносторонних треугольников в плоскости орбиты, общим основанием которых является линия между центрами двух масс, так что точка лежит на 60° впереди (L ₄ ) или позади (L ₅ ) меньшая масса относительно ее орбиты вокруг большей массы.

Стабильность

Треугольные точки (L ₄ и L ₅ ) являются устойчивыми состояниями равновесия при условии, что соотношениеМ ₁/М ₂больше 24,96. ^{[примечание 1]} Это относится к системе Солнце-Земля, системе Солнце-Юпитер и, в меньшей степени, к системе Земля-Луна. Когда тело в этих точках возмущается, оно удаляется от точки, но фактор, противоположный тому, который увеличивается или уменьшается в результате возмущения (либо сила тяжести, либо скорость, вызванная угловым моментом), также будет увеличиваться или уменьшаться, искривляя траекторию объекта. на стабильную орбиту в форме фасоли вокруг точки (как видно в вращающейся системе отсчета). ^[9]

Точки L1 _, L2 _и L3 _{являются} положениями неустойчивого равновесия . Любой объект, вращающийся в точках L1 _, L2 _или L3, _будет иметь тенденцию выпадать с орбиты; поэтому там редко можно найти природные объекты, и космические корабли, населяющие эти районы, должны использовать небольшое, но критическое время пребывания на станции , чтобы сохранять свое положение.

Природные объекты в точках Лагранжа

Из-за естественной стабильности L ₄ и L ₅ естественные объекты обычно находятся на орбитах этих точек Лагранжа планетных систем. Объекты, населяющие эти точки, обычно называются « троянами » или «троянскими астероидами». Название происходит от названий, которые были даны астероидам, обнаруженным на орбите вокруг Солнца – точек Юпитера L ₄ и L ₅ , которые были взяты из мифологических персонажей, появляющихся в « Илиаде » Гомера , эпической поэме , действие которой происходит во время Троянской войны . Астероиды в точке L ₄ , впереди Юпитера, названы в честь греческих персонажей «Илиады» и называются « греческим лагерем ». Те, что находятся в точке L ₅ , названы в честь троянских персонажей и называются « троянским лагерем ». Оба лагеря считаются типами троянских тел.

Поскольку Солнце и Юпитер являются двумя самыми массивными объектами в Солнечной системе, известно больше троянов Солнце-Юпитер, чем о любой другой паре тел. Однако в точках Лагранжа других орбитальных систем известно меньшее количество объектов:

• Точки Солнце–Земля L ₄ и L ₅ содержат межпланетную пыль и как минимум два астероида: 2010 TK 7 и 2020 XL 5 . ^{[10] [11] [12]}
• Точки Земля-Луна L ₄ и L ₅ содержат скопления межпланетной пыли , известные как облака Кордылевского . ^{[13] [14]} Стабильность в этих конкретных точках значительно осложняется гравитационным воздействием Солнца. ^[15]
• Точки Солнце- Нептун L ₄ и L ₅ содержат несколько десятков известных объектов — троянов Нептуна . ^[16]
• Марс имеет четыре принятых марсианских трояна : 5261 Eureka , 1999 UJ 7 , 1998 VF 31 и 2007 NS 2 .
• Спутник Сатурна Тетис имеет два меньших спутника Сатурна в точках L ₄ и L ₅ , Телесто и Калипсо . Другой спутник Сатурна, Диона , также имеет две коорбитали Лагранжа: Елена в точке L ₄ и Полидевк в точке L ₅ . Спутники движутся по азимуту вокруг точек Лагранжа, при этом Полидевк описывает наибольшие отклонения, удаляясь до 32 ° от точки Сатурн-Диона L ₅ .
• Одна из версий гипотезы гигантского удара постулирует, что объект по имени Тейя сформировался в точке Солнце-Земля L ₄ или L ₅ и врезался в Землю после дестабилизации ее орбиты, образовав Луну. ^[17]
• В двойных звездах вершина полости Роша расположена в точке _L1 ; если одна из звезд выйдет за пределы своей полости Роша, то она потеряет вещество в пользу своей звезды-компаньона , что известно как переполнение полости Роша . ^[18]

Объекты, находящиеся на подковообразных орбитах , иногда ошибочно называют троянами, но не занимают точки Лагранжа. Известные объекты на подковообразных орбитах включают 3753 Круитне с Землей, а также спутники Сатурна Эпиметей и Янус .

Физико-математические детали

Визуализация взаимосвязи между точками Лагранжа (красные) планеты (синие), вращающейся вокруг звезды (желтые) против часовой стрелки, и эффективным потенциалом в плоскости, содержащей орбиту (серая модель резинового листа с фиолетовыми контурами равного потенциала). ^[19]
Нажмите, чтобы увидеть анимацию.

Точки Лагранжа — это постоянные решения ограниченной задачи трёх тел . Например, если два массивных тела обращаются по орбитам вокруг своего общего барицентра , то в пространстве существует пять положений, где третье тело сравнительно незначительной массы может быть размещено так, чтобы сохранять свое положение относительно двух массивных тел. Это происходит потому, что объединенные гравитационные силы двух массивных тел обеспечивают точную центростремительную силу, необходимую для поддержания кругового движения , соответствующего их орбитальному движению.

В качестве альтернативы, если смотреть во вращающейся системе отсчета , которая соответствует угловой скорости двух тел, вращающихся по одной орбите, в точках Лагранжа объединенные гравитационные поля двух массивных тел уравновешивают центробежную псевдосилу , позволяя меньшему третьему телу оставаться неподвижным ( в этом кадре) по отношению к первым двум.

Л 1

Местоположение L ₁ является решением следующего уравнения, в котором гравитация обеспечивает центростремительную силу:

$${\displaystyle {\frac {M_{1}}{(R-r)^{2}}}-{\frac {M_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}R-r\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$

r₁RM ₁M ₂₁rдействительный кореньфункции пятой степени

$${\displaystyle x^{5}+(\mu -3)x^{4}+(3-2\mu )x^{3}-(\mu )x^{2}+(2\mu )x-\mu =0}$$

$${\displaystyle \mu ={\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}}$$

М ₂

$${\displaystyle x={\frac {r}{R}}}$$

М ₂М ₁₁₂rсферы Хилла.

$${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{3}}}}$$

Мы также можем написать это как:

$${\displaystyle {\frac {M_{2}}{r^{3}}}\approx 3{\frac {M_{1}}{R^{3}}}}$$

приливное₁₂

$${\displaystyle \rho _{2}(d_{2}/r)^{3}\approx 3\rho _{1}(d_{1}/R)^{3}}$$

₁₂ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

Это расстояние можно описать как такое, что орбитальный период , соответствующий круговой орбите с этим расстоянием в виде радиуса вокруг M ₂ в отсутствие M ₁ , равен периоду обращения M ₂ вокруг M ₁ , разделенному на √ 3 ≈ 1,73:

$${\displaystyle T_{s,M_{2}}(r)={\frac {T_{M_{2},M_{1}}(R)}{\sqrt {3}}}.}$$

Л 2

Точка Лагранжа L ₂ для системы Солнце – Земля

Местоположение L ₂ является решением следующего уравнения, где гравитация обеспечивает центростремительную силу:

$${\displaystyle {\frac {M_{1}}{(R+r)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}R+r\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$

₁

$${\displaystyle x^{5}+x^{4}(3-\mu )+x^{3}(3-2\mu )-x^{2}(\mu )-x(2\mu )-\mu =0}$$

Опять же, если масса меньшего объекта ( M ₂ ) намного меньше массы большего объекта ( M ₁ ), тогда L ₂ примерно равен радиусу сферы Хилла , определяемому формулой:

$${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{3}}}}$$

Те же замечания о приливном влиянии и видимом размере применимы, что и к точке L ₁ . Например, угловой радиус Солнца, если смотреть со стороны L ₂ , равен arcsin(695,5 × 10 ³ /151,1 × 10 ⁶ ) ≈ 0,264°, тогда как у Земли это arcsin(6371/1,5 × 10 ⁶ ) ≈ 0,242°. Глядя в сторону Солнца со стороны L ₂ , можно увидеть кольцевое затмение . Космическому кораблю, такому как «Гайя» , необходимо следовать по орбите Лиссажу или гало-орбите вокруг L ₂ , чтобы его солнечные панели получали полное солнце.

Л 3

Местоположение L ₃ является решением следующего уравнения, где гравитация обеспечивает центростремительную силу:

$${\displaystyle {\frac {M_{1}}{\left(R-r\right)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{\left(2R-r\right)^{2}}}=\left({\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}R+R-r\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$

M ₁M ₂R,₁₂r₃RrМ ₂М ₁^[20]

$${\displaystyle r\approx R{\frac {7}{12}}\mu .}$$

Таким образом, расстояние от L ₃ до большего объекта меньше, чем расстояние между двумя объектами (хотя расстояние между L ₃ и барицентром больше, чем расстояние между меньшим объектом и барицентром).

Л 4 и Л 5

Причина, по которой эти точки находятся в равновесии, заключается в том, что в точках L ₄ и L ₅ расстояния до двух масс равны. Соответственно, гравитационные силы двух массивных тел находятся в том же соотношении, что и массы двух тел, и поэтому результирующая сила действует через барицентр системы ; кроме того, геометрия треугольника гарантирует, что результирующее ускорение будет относиться к расстоянию от барицентра в том же соотношении , что и для двух массивных тел. Поскольку барицентр является одновременно центром масс и центром вращения системы трех тел, эта результирующая сила является именно той, которая необходима для удержания меньшего тела в точке Лагранжа в орбитальном равновесии с двумя другими большими телами системы (действительно, третье тело должно иметь незначительную массу). Общая треугольная конфигурация была открыта Лагранжем, работавшим над задачей трёх тел .

Радиальное ускорение

Радиальное ускорение a объекта на орбите в точке вдоль линии, проходящей через оба тела, определяется выражением:

$${\displaystyle a=-{\frac {GM_{1}}{r^{2}}}\operatorname {sgn}(r)+{\frac {GM_{2}}{(R-r)^{2}}}\operatorname {sgn}(R-r)+{\frac {G{\bigl (}(M_{1}+M_{2})r-M_{2}R{\bigr )}}{R^{3}}}}$$

rM ₁xфункция xM ₁М ₂₃₁₂

Чистое радиальное ускорение точки, вращающейся вдоль линии Земля – Луна.

Стабильность

STL 3D-модель потенциала Роша двух вращающихся тел, представленная наполовину в виде поверхности, наполовину в виде сетки.

Хотя точки L ₁ , L ₂ и L ₃ номинально нестабильны, вокруг этих точек в системе трех тел существуют квазистабильные периодические орбиты, называемые гало-орбитами . Полная динамическая система из n тел, такая как Солнечная система, не содержит этих периодических орбит, но содержит квазипериодические (т.е. ограниченные, но не точно повторяющиеся) орбиты, следующие траекториям кривой Лиссажу . Эти квазипериодические орбиты Лиссажу — это то, что до сих пор использовалось большинством космических миссий с точкой Лагранжа. Хотя они не совсем стабильны, скромные усилия по удержанию станции удерживают космический корабль на желаемой орбите Лиссажу в течение длительного времени.

Для миссий Солнце-Земля-L ₁ предпочтительнее, чтобы космический корабль находился на орбите Лиссажу большой амплитуды (100 000–200 000 км или 62 000–124 000 миль) вокруг L ₁ , чем оставаться на L ₁ , потому что линия между Солнцем и Земля увеличила солнечное вмешательство в связь Земля-космический корабль. Точно так же орбита Лиссажу с большой амплитудой вокруг L ₂ удерживает зонд от тени Земли и, следовательно, обеспечивает непрерывное освещение его солнечных панелей.

Точки L4 и L5 стабильны при условии, что масса первичного тела (например, Земли) как минимум в 25 ^{[примечание 1]} превышает массу вторичного тела (например, Луны), ^{[21] [22]} Земля более чем в 81 раз превышает массу Луны (Луна составляет 1,23% массы Земли ^[23] ). Хотя точки L ₄ и L ₅ находятся на вершине «холма», как на приведенном выше графике контура эффективного потенциала, они, тем не менее, стабильны. Причиной устойчивости является эффект второго порядка: по мере удаления тела от точного положения Лагранжа ускорение Кориолиса (которое зависит от скорости вращающегося объекта и не может быть смоделировано в виде контурной карты) ^[22] искривляет траекторию. в путь вокруг точки (а не от нее). ^{[22] [24]} Поскольку источником стабильности является сила Кориолиса, результирующие орбиты могут быть стабильными, но обычно они не плоские, а «трехмерные»: они лежат на искривленной поверхности, пересекающей плоскость эклиптики. Почковидные орбиты, обычно показанные вложенными вокруг L ₄ и L _5, представляют собой проекции орбит на плоскость (например, эклиптику), а не полные трехмерные орбиты.

Ценности Солнечной системы

Солнце-планета указывает на точки Лагранжа в масштабе (щелкните, чтобы получить более четкие точки).

В этой таблице приведены примеры значений L ₁ , L ₂ и L ₃ в Солнечной системе. Расчеты предполагают, что два тела вращаются по идеальному кругу с расстоянием, равным большой полуоси, и поблизости нет других тел. Расстояния измеряются от центра масс большего тела (но см. барицентр , особенно в случае Луны и Юпитера), при этом L ₃ показывает отрицательное направление. Столбцы с процентами показывают расстояние от орбиты по сравнению с большой полуосью. Например , для Луны L ₁326 400  км от центра Земли, что составляет 84,9% расстояния Земля-Луна или 15,1% «перед» (в направлении Земли от) Луны; Л ₂ находится448 900  км от центра Земли, что составляет 116,8% расстояния Земля-Луна или 16,8% за пределами Луны; и L ₃ находится−381 700  км от центра Земли, что составляет 99,3% расстояния Земля-Луна или 0,7084% внутри (к Земле) «отрицательного» положения Луны.

Приложения для космических полетов

Солнце–Земля

Спутник ACE на орбите вокруг Солнца–Земли L ₁

Космический телескоп «Гайя» ( желтый) и «Джеймс Уэбб » (синий) вращается вокруг Солнца–Земли L _2.

Солнце-Земля Л ₁ предназначена для проведения наблюдений системы Солнце-Земля. Объекты здесь никогда не затеняются Землей или Луной, и, наблюдая за Землей, всегда смотрите на освещенное солнцем полушарие. Первой миссией этого типа была миссия International Sun Earth Explorer 3 (ISEE-3) 1978 года, которая использовалась в качестве межпланетного средства раннего предупреждения о солнечных возмущениях. ^[25] С июня 2015 года DSCOVR вращается вокруг точки L ₁ . И наоборот, он также полезен для космических солнечных телескопов , поскольку обеспечивает непрерывный обзор Солнца, и любая космическая погода (включая солнечный ветер и выбросы корональной массы ) достигает L ₁ примерно за час до Земли. Солнечные и гелиосферные миссии, в настоящее время расположенные вокруг L ₁ , включают Солнечную и гелиосферную обсерваторию , Wind , Aditya-L1 Mission и Advanced Composition Explorer . Запланированные миссии включают межзвездное картографирование и зонд ускорения (IMAP) и NEO Surveyor .

Солнце-Земля L ₂ — хорошее место для космических обсерваторий. Поскольку объект вокруг L ₂ будет сохранять одно и то же относительное положение относительно Солнца и Земли, экранирование и калибровка намного проще. Однако он находится немного за пределами досягаемости тени Земли ^[26] , поэтому солнечное излучение не полностью блокируется в L ₂ . Космический корабль обычно вращается вокруг L ₂ , избегая частичных затмений Солнца для поддержания постоянной температуры. Из мест вблизи L ₂ Солнце, Земля и Луна находятся на небе относительно близко друг к другу; это означает, что большой солнцезащитный козырек с телескопом на темной стороне может позволить телескопу пассивно охлаждаться примерно до 50 К – это особенно полезно для инфракрасной астрономии и наблюдений космического микроволнового фона . Космический телескоп Джеймса Уэбба был выведен на гало-орбиту около L ₂ 24 января 2022 года.

Солнце–Земля L ₁ и L ₂ являются седловыми точками и экспоненциально нестабильны с постоянной времени примерно 23 дня. Спутники в этих точках уйдут через несколько месяцев, если не будет произведена корректировка курса. ^[9]

Солнце – Земля L ₃ было популярным местом для размещения « Противоземли » в научной фантастике и комиксах , несмотря на то, что существование планетарного тела в этом месте считалось невозможным, когда-то орбитальная механика и возмущения существование планет на орбитах друг друга стало понятно задолго до космической эры; влияние тела размером с Землю на другие планеты не осталось бы незамеченным, как и тот факт, что фокусы орбитального эллипса Земли не оказались бы в ожидаемых местах из-за массы противоземли. Однако Солнце-Земля L ₃ представляет собой слабую седловую точку и экспоненциально нестабильна с постоянной времени примерно 150 лет. ^[9] Более того, она не могла содержать природный объект, большой или маленький, в течение очень долгого времени, поскольку гравитационные силы других планет сильнее, чем у Земли (например, Венера проходит в пределах 0,3  а.е. от этой L ₃ каждые 20 месяцев). ). ^{[ нужна цитата ]}

Космический корабль, вращающийся вокруг Солнца-Земли L ₃ , сможет внимательно следить за эволюцией активных областей солнечных пятен до того, как они займут геоэффективное положение, так что Центр прогнозирования космической погоды NOAA сможет выдавать раннее предупреждение за семь дней . Более того, спутник L ₃ вблизи Солнца-Земли обеспечит очень важные наблюдения не только для прогнозов Земли, но и для поддержки дальнего космоса (прогнозы Марса и пилотируемые полеты к околоземным астероидам ). В 2010 году были изучены траектории перелета космических аппаратов к Солнце-Земле L ₃ и рассмотрено несколько проектов. ^[27]

Земля–Луна

Земля-Луна L ₁ обеспечивает сравнительно легкий доступ к лунной и околоземной орбитам с минимальным изменением скорости, и это дает преимущество для размещения обитаемой космической станции , предназначенной для транспортировки грузов и персонала на Луну и обратно. Миссия SMART-1 ^[28] прошла через точку Лагранжа L ₁ 11 ноября 2004 г. и вошла в зону доминирования гравитационного влияния Луны .

Земля-Луна L ₂ использовалась для спутника связи , охватывающего обратную сторону Луны, например, Queqiao , запущенного в 2018 году ^[29] , и была бы «идеальным местом» для склада топлива в рамках предлагаемого хранилища на базе космическая транспортная архитектура. ^[30]

Земля–Луна L ₄ и L ₅ — места расположения пылевых облаков Кордылевского . ^[31] Название Общества L5 происходит от точек Лагранжа L4 и L5 в системе Земля-Луна, предложенных в качестве мест для их огромных вращающихся космических сред обитания. Обе позиции также предлагаются для спутников связи, покрывающих Луну, подобно спутникам связи на геостационарной орбите, покрывающим Землю. ^{[32] [33]}

Солнце–Венера

Ученые из Фонда B612 ^[34] планировали использовать точку L ₃ Венеры для позиционирования запланированного телескопа Sentinel , целью которого было оглянуться на орбиту Земли и составить каталог околоземных астероидов . ^[35]

Солнце–Марс

В 2017 году на конференции НАСА обсуждалась идея размещения магнитного дипольного щита в точке L ₁ Солнце-Марс для использования в качестве искусственной магнитосферы Марса. ^[36] Идея состоит в том, что это защитит атмосферу планеты от солнечной радиации и солнечных ветров.

Смотрите также

• Астрономический портал
• Портал космических полетов

• Коорбитальная конфигурация
• Задача трех тел Эйлера
• Гегеншайн
• Межпланетная транспортная сеть
• Клемперер розетка
• L ₅ Общество
• Колонизация точки Лагранжа
• Лагранжева механика
• Список объектов в точках Лагранжа
• Лунный космический лифт
• Эффект Оберта

Заметки с пояснениями

1. На самом деле (25 + 3 √ 69 )/2 ≈24.959 935 7944 (последовательность A230242 в OEIS )

Рекомендации

1. Корниш, Нил Дж. (1998). «Точки Лагранжа» (PDF) . WMAP Образование и пропаганда. Архивировано из оригинала (PDF) 7 сентября 2015 г. Проверено 15 декабря 2015 г.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Очки Лагранжа». Мир физики Эрика Вайсштейна .
3. "DSCOVR: Подробно" . Исследование Солнечной системы НАСА . НАСА . Проверено 27 октября 2021 г.
4. «Об Орбите». НАСА . Проверено 1 января 2022 г.
5. Кун, Ван Санг; Ло, Мартин В .; Марсден, Джерролд Э .; Росс, Шейн Д. (2006). Динамические системы, задача трех тел и проектирование космических полетов. п. 9. Архивировано из оригинала 27 мая 2008 г. Проверено 9 июня 2008 г.(16 МБ)
6. Эйлер, Леонард (1765). De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentium (PDF) .
7. Лагранж, Жозеф-Луи (1867–92). «Том 6, Глава II: Очерк проблемы трех корпусов». Ouvres de Lagrange (на французском языке). Готье-Виллар. стр. 229–334.
8. "Орбита L2" . Научный институт космического телескопа. Архивировано из оригинала 3 февраля 2014 года . Проверено 28 августа 2016 г.
9. «Точки Лагранжа» (PDF) . НАСА. 1998., Нил Дж. Корниш, при участии Джереми Гудмана
10. Чой, Чарльз К. (27 июля 2011 г.). «Наконец-то обнаружен первый астероид-спутник Земли». Space.com .
11. «НАСА - Мудрая миссия НАСА обнаружила первый троянский астероид, разделяющий орбиту Земли» . www.nasa.gov .
12. Хуэй, Ман-То; Вигерт, Пол А .; Толен, Дэвид Дж .; Фёринг, Дора (ноябрь 2021 г.). «Второй земной троян 2020 XL5». Письма астрофизического журнала . 922 (2): Л25. arXiv : 2111.05058 . Бибкод : 2021ApJ...922L..25H. дои : 10.3847/2041-8213/ac37bf . S2CID  243860678.
13. Слиз-Балог, Юдит; Барта, Андраш; Хорват, Габор (2018). «Небесная механика и поляризационная оптика пылевого облака Кордылевского в точке Лагранжа L5 Земля-Луна - Часть I. Трехмерное небесно-механическое моделирование формирования пылевого облака». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 480 (4): 5550–5559. arXiv : 1910.07466 . Бибкод : 2018MNRAS.480.5550S. дои : 10.1093/mnras/sty2049.
14. Слиз-Балог, Юдит; Барта, Андраш; Хорват, Габор (2019). «Небесная механика и поляризационная оптика пылевого облака Кордылевского в точке Лагранжа L5 Земля-Луна. Часть II. Поляриметрические наблюдения с визуализацией: новые доказательства существования пылевого облака Кордылевского». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 482 (1): 762–770. arXiv : 1910.07471 . Бибкод : 2019MNRAS.482..762S. дои : 10.1093/mnras/sty2630 .
15. Фрейтас, Роберт; Вальдес, Франциско (1980). «Поиск природных или искусственных объектов, расположенных в точках либрации Земли и Луны». Икар . 42 (3): 442–447. Бибкод : 1980Icar...42..442F. дои : 10.1016/0019-1035(80)90106-2.
16. «Список троянов Нептуна». Центр малых планет. Архивировано из оригинала 25 июля 2011 г. Проверено 27 октября 2010 г.
17. Бельбруно, Эдвард ; Готт III, Дж. Ричард (2005). «Откуда взялась Луна?». Астрономический журнал . 129 (3): 1724–1745. arXiv : astro-ph/0405372 . Бибкод : 2005AJ....129.1724B. дои : 10.1086/427539. S2CID  12983980.
18. Сепински, Джереми Ф.; Виллемс, Барт; Калогера, Вики (май 2007 г.). «Эвипотенциальные поверхности и точки Лагранжа в несинхронных, эксцентрических двойных и планетарных системах». Астрофизический журнал . 660 (2): 1624–1635. arXiv : astro-ph/0612508 . Бибкод : 2007ApJ...660.1624S. дои : 10.1086/513736. S2CID  15519581.
19. Сеидов, Закир Ф. (1 марта 2004 г.). «Проблема Роша: немного аналитики». Астрофизический журнал . 603 (1): 283–284. arXiv : astro-ph/0311272 . Бибкод : 2004ApJ...603..283S. дои : 10.1086/381315. S2CID  16724058.
20. «Уидналл, Лекция L18 — Исследование окрестности: ограниченная задача трех тел» (PDF) .
21. Фицпатрик, Ричард. «Устойчивость точек Лагранжа». Ньютоновская динамика . Техасский университет.
22. Гринспен, Томас (7 января 2014 г.). «Устойчивость точек Лагранжа, L4 и L5» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 18 апреля 2018 г. Проверено 28 февраля 2018 г.
23. Питьева, Елена В .; Стэндиш, Э. Майлз (1 апреля 2009 г.). «Предложения по массам трех крупнейших астероидов, соотношению масс Луны и Земли и астрономической единице». Небесная механика и динамическая астрономия . 103 (4): 365–372. Бибкод : 2009CeMDA.103..365P. дои : 10.1007/s10569-009-9203-8. S2CID  121374703.
24. Каколичи, Джанна Николь и др., «Стабильность точек Лагранжа: космический телескоп Джеймса Уэбба», Университет Аризоны. Проверено 17 сентября 2018 г.
25. "ISEE-3/ICE". Исследование Солнечной системы . НАСА. Архивировано из оригинала 20 июля 2015 года . Проверено 8 августа 2015 г.
26. Угловой размер Солнца на расстоянии 1 а.е. + 1,5 миллиона километров: 31,6 ', угловой размер Земли на расстоянии 1,5 миллиона километров: 29,3 '
27. Тантардини, Марко; Фантино, Елена; Рен, Юань; Пергола, Пьерпаоло; Гомес, Жерар; Масдемонт, Хосеп Дж. (2010). «Траектории космического корабля к точке L3 задачи трех тел Солнце-Земля» (PDF) . Небесная механика и динамическая астрономия . 108 (3): 215–232. Бибкод : 2010CeMDA.108..215T. doi : 10.1007/s10569-010-9299-x. S2CID  121179935.
28. SMART-1: Курс на захват Луны | Moon Today - ваш ежедневный источник новостей о Луне. Архивировано 2 ноября 2005 г. на Wayback Machine.
29. Джонс, Эндрю (14 июня 2018 г.). «Спутник-ретранслятор «Чанъэ-4» выходит на гало-орбиту вокруг Земли-Луны L2, микроспутник на лунной орбите». Космические новости .
30. Зеглер, Фрэнк; Каттер, Бернард (02 сентября 2010 г.). «Переход к архитектуре космического транспорта на базе депо» (PDF) . Конференция и выставка AIAA SPACE 2010 . АААА. п. 4. Архивировано из оригинала (PDF) 24 июня 2014 г. Проверено 25 января 2011 г. L ₂ находится в глубоком космосе, вдали от любой поверхности планеты, и, следовательно, тепловая, микрометеороидная и атомарная кислородная среда значительно превосходят условия на НОО. Термодинамического стаза и продления срока службы оборудования гораздо легче добиться без этих суровых условий, наблюдаемых на НОО. L ₂ — это не просто отличные ворота, это прекрасное место для хранения топлива. ... Л ₂ — идеальное место для хранения топлива и грузов: здесь тесно, высокоэнергично и холодно. Что еще более важно, это позволяет непрерывно перемещать топливо со складов на околоземной орбите, тем самым уменьшая их размер и эффективно сводя к минимуму штрафы за выкипание на околоземной орбите.
31. Кордылевский, Казимеж (1961). «Photographische Untersuchungen des Librationspunktes L5 im System Erde-Mond». Acta Astronomica, Vol. 11, с.165 . Том. 11. с. 165. Бибкод : 1961АсА....11..165К.
32. Хорниг, Андреас (1 мая 2022 г.). «TYCHO: Поддержка исследования Луны с постоянным экипажем с помощью высокоскоростной оптической связи отовсюду». ЕКА .
33. Хорниг, Андреас (06 октября 2013 г.). «Миссия TYCHO к точке либрации Земли-Луны EML-4 @ IAC 2013». МАК2013 .
34. «B612 изучает миссии малых спутников по поиску околоземных объектов» . SpaceNews.com . 20 июня 2017 г.
35. "Миссия Sentinel". Фонд B612. Архивировано из оригинала 30 июня 2012 года . Проверено 1 февраля 2014 г.
36. «НАСА предлагает магнитный щит для защиты атмосферы Марса» . физ.орг .

Внешние ссылки

• Жозеф-Луи, граф Лагранж, из «Œuvres» , том 6, «Essai sur le Problème des Trois Corps» — эссе (PDF); источник Том 6 (Просмотр)
  • «Очерк задачи трех тел» Ж.-Л. Лагранж, перевод вышеизложенного, на сайте merlyn.demon.co.uk. Архивировано 23 июня 2019 г. на Wayback Machine .
• Размышления о motu corporum coelestium — Леонард Эйлер — транскрипция и перевод на сайте merlyn.demon.co.uk. Архивировано 3 августа 2020 г. на Wayback Machine .
• Что такое точки Лагранжа? — страница Европейского космического агентства с хорошей анимацией.
• Объяснение точек Лагранжа — Нил Дж. Корниш
• Объяснение НАСА, также приписываемое Нилу Дж. Корнишу.
• Объяснение точек Лагранжа — Джон Баэз
• Геометрия и расчет точек Лагранжа — Дж. Р. Стоктон.
• Расположение точек Лагранжа с приближениями - Дэвид Питер Стерн.
• Онлайн-калькулятор для расчета точного положения 5 точек Лагранжа для любой системы двух тел — Тони Данн
• Астрономический состав - Эп. 76: «Точки Лагранжа» Фрейзера Кейна и Памелы Л. Гей.
• Пять пунктов Лагранжа, Нил Деграсс Тайсон
• Земля, обнаружен одинокий троян
• См. подраздел «Точки Лагранжа и гало-орбиты» в разделе «Геосинхронная переходная орбита» в НАСА: Основы космических полетов, глава 5.