Предел функции

Хотя функция ⁠ ⁠ ${\tfrac {\sin x}{x}}$ не определена в нуле, по мере того, как $x$ становится все ближе и ближе к нулю, ⁠ ⁠ ${\tfrac {\sin x}{x}}$ становится произвольно близкой к 1. Другими словами, предел ⁠ ⁠ ${\tfrac {\sin x}{x}},$ при приближении $x$ к нулю равен 1.

В математике предел функции — это фундаментальное понятие в исчислении и анализе, касающееся поведения этой функции вблизи определенного входного значения , которое может находиться или не находиться в области определения функции.

Ниже приведены формальные определения, впервые разработанные в начале 19 века. Неформально, функция $f$ назначает выход $f (x)$ каждому входу $x$ . Мы говорим, что функция имеет предел $L$ на входе $p$ , если $f (x)$ становится все ближе и ближе к $L$ по мере того, как $x$ приближается и приближается к $p$ . Более конкретно, выходное значение может быть сделано произвольно близким к $L ,$ если вход для $f$ взят достаточно близко к $p$ . С другой стороны, если некоторые входы, очень близкие к $p ,$ взяты для выходов, которые остаются на фиксированном расстоянии друг от друга, то мы говорим, что предела не существует .

Понятие предела имеет множество применений в современном исчислении . В частности, многие определения непрерывности используют концепцию предела: грубо говоря, функция непрерывна, если все ее пределы согласуются со значениями функции. Концепция предела также появляется в определении производной : в исчислении одной переменной это предельное значение наклона секущих к графику функции.

История

Хотя и подразумевалось в развитии исчисления 17-го и 18-го веков, современная идея предела функции восходит к Больцано , который в 1817 году ввел основы техники эпсилон-дельта (см. (ε, δ)-определение предела ниже) для определения непрерывных функций. Однако его работа не была известна при его жизни. ^[1]

В своей книге 1821 года «Cours d'analyse » Огюстен-Луи Коши обсуждал переменные величины, бесконечно малые величины и пределы и определил непрерывность, сказав, что бесконечно малое изменение $x$ обязательно производит бесконечно малое изменение $y$ , в то время как Грабинер утверждает, что он использовал строгое эпсилон-дельта определение в доказательствах. ^[2] В 1861 году Вейерштрасс впервые ввел эпсилон-дельта определение предела в той форме, в которой оно обычно записывается сегодня. ^[3] Он также ввел обозначения и ^[4] $y=f(x)$ ${\textstyle \lim }$ ${\textstyle \textstyle \lim _{x\to x_{0}}\displaystyle .}$

Современная нотация размещения стрелки под символом предела принадлежит Харди и представлена в его книге «Курс чистой математики» в 1908 году ^{. [5]}

Мотивация

Представьте себе человека, идущего по ландшафту, представленному графиком $y = f (x)$ . Его горизонтальное положение задается $x$ , во многом подобно положению, заданному картой земли или глобальной системой позиционирования . Его высота задается координатой $y$ . Предположим, что он идет к точке $x = p$ , по мере приближения к этой точке он заметит, что его высота приближается к определенному значению $L$ . Если его спросить о высоте, соответствующей $x = p$ , он ответит, что $y = L$ .

Что же тогда означает, что их высота приближается $к L$ ? Это означает, что их высота становится все ближе и ближе к $L$ — за исключением возможной небольшой ошибки в точности. Например, предположим, что мы ставим определенную цель точности для нашего путешественника: он должен оказаться в пределах десяти метров от $L$ . Они сообщают, что действительно могут оказаться в пределах десяти вертикальных метров от $L$ , утверждая, что пока они находятся в пределах пятидесяти горизонтальных метров от $p$ , их высота всегда будет в пределах десяти метров от $L$ .

Затем цель точности меняется: могут ли они приблизиться на расстояние в один вертикальный метр? Да, предположим, что они могут двигаться в пределах пяти горизонтальных метров от $p$ , их высота всегда будет оставаться в пределах одного метра от целевой высоты $L.$ Подводя итог вышеупомянутой концепции, мы можем сказать, что высота путешественника приближается $к L,$ когда его горизонтальное положение приближается к $p$ , так что для каждой целевой цели точности, какой бы малой она ни была, существует некоторая окрестность $p$ , где все (а не только некоторые) высоты соответствуют всем горизонтальным положениям, за исключением, может быть, самого горизонтального положения $p$ , в этой окрестности удовлетворяют этой цели точности.

Первоначальное неофициальное заявление теперь можно пояснить:

Предел функции

f (x)

при приближении

x

к p

представляет собой число

L

со следующим свойством: для любого целевого расстояния от

L

существует расстояние от

p,

в пределах которого значения

f (x)

остаются в пределах целевого расстояния.

На самом деле, это явное утверждение довольно близко к формальному определению предела функции со значениями в топологическом пространстве .

Конкретнее, сказать, что

$\lim _{x\to p}f(x)=L,$

это значит, что $f (x)$ можно сделать сколь угодно близким к $L$ , сделав $x$ достаточно близким, но не равным $p$ .

Следующие определения, известные как $(ε, δ)$ -определения, являются общепринятыми определениями предела функции в различных контекстах.

Функции одной переменной

( ε , δ )-определение предела

Предположим, что есть функция, определенная на действительной прямой , и есть два действительных числа $p$ и $L.$ Можно сказать, что предел $f$ , когда $x$ стремится к $p$ , равен $L$ и записывается ^[6] $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

$\lim _{x\to p}f(x)=L,$

или, в качестве альтернативы, скажем, $f (x)$ стремится к $L,$ когда $x$ стремится к $p$ , и записывается:

$f(x)\to L{\text{ as }}x\to p,$

если выполняется следующее свойство: для каждого действительного $ε > 0$ существует действительное $δ > 0$ такое, что для всех действительных $x$ 0 $< | x - p | < δ$ влечет $| f (x) - L | < ε$ . ^[6] Символически, $(\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in \mathbb {R} )\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).$

Например, мы можем сказать , что для каждого действительного $ε$ $> 0$ можно взять $δ$ $=$ $ε$ $/4$ , так что для всех действительных $x$ , если $0 < |$ $x$ $- 2$ $| <$ $δ$ , то $|$ $4$ $x$ $+ 1 - 9$ $| <$ $ε$ . $\lim _{x\to 2}(4x+1)=9$

Более общее определение применимо к функциям, определенным на подмножествах действительной прямой. Пусть $S$ будет подмножеством ⁠ ⁠ $\mathbb {R} .$ Пусть будет вещественной функцией . Пусть $p$ будет точкой такой, что существует некоторый открытый интервал $($ $a$ $,$ $b$ $),$ содержащий $p$ с Тогда говорят, что предел $f$ при приближении $x$ $к p$ равен $L$ , если: $f:S\to \mathbb {R}$ $(a,p)\cup (p,b)\subset S.$

Для каждого действительного

ε > 0

существует действительное

δ > 0

такое, что для всех x

\in (a, b)

0 < | x - p | < δ

влечет, что

| f (x) - L | < ε

Или, символически: $(\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).$

Например, мы можем сказать, потому что для каждого действительного $ε$ $> 0$ мы можем взять $δ$ $=$ $ε$ , так что для всех действительных $x$ $\geq -3$ , если $0 < |$ $x$ $- 1$ $| <$ $δ$ , то $|$ $f$ $($ $x$ $) - 2$ $| <$ $ε$ . В этом примере $S$ $= [-3, \infty)$ содержит открытые интервалы вокруг точки 1 (например, интервал (0, 2)). $\lim _{x\to 1}{\sqrt {x+3}}=2$

Здесь следует отметить, что значение предела не зависит ни от определения $f в точке$ $p$ , ни от значения $f (p)$ — если оно определено. Например, пусть поскольку для любого $ε$ $> 0$ , можно взять $δ$ $=$ $ε$ $/2$ , так что для всех действительных $x$ $\neq 1$ , если $0 < |$ $x$ $- 1$ $| <$ $δ$ , то $|$ $f$ $($ $x$ $) - 3$ $| <$ $ε$ . Обратите внимание, что здесь $f$ $(1)$ не определено. $f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.$ $\lim _{x\to 1}f(x)=3$

На самом деле, предел может существовать, в котором равно , где $int$ $S$ — это внутренняя часть $S$ , а $iso$ $S$ $c$ — это изолированные точки дополнения $S.$ В нашем предыдущем примере, где мы видим, в частности, это определение предела допускает существование предела в 1, но не в 0 или 2. $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ $\operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},$ $S=[0,1)\cup (1,2],$ $\operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),$ $\operatorname {iso} S^{c}=\{1\}.$

Буквы $ε$ и $δ$ можно понимать как «ошибка» и «расстояние». Фактически, Коши использовал $ε$ как сокращение от «ошибки» в некоторых своих работах ^[2] , хотя в своем определении непрерывности он использовал бесконечно малую величину, а не $ε$ или $δ$ (см. Cours d'Analyse ). В этих терминах ошибка ( ε ) в измерении значения на пределе может быть сделана сколь угодно малой, путем уменьшения расстояния ( δ ) до предельной точки. Как обсуждается ниже, это определение также работает для функций в более общем контексте. Идея о том, что $δ$ и $ε$ представляют расстояния, помогает предложить эти обобщения. $\alpha$

Существование и односторонние ограничения

В качестве альтернативы $x$ может приближаться к $p$ сверху (справа) или снизу (слева), в этом случае пределы можно записать как

$\lim _{x\to p^{+}}f(x)=L$

или

$\lim _{x\to p^{-}}f(x)=L$

соответственно. Если эти пределы существуют в точке p и равны там, то это можно назвать пределом f $($ $x$ $)$ в точке $p$ . [ $7$ ^] Если односторонние пределы существуют в точке $p , но не равны, то предела в точке$ $p$ нет (т. е. предел в точке $p$ не существует). Если какой-либо односторонний предел не существует в точке $p$ , то предел в точке $p$ также не существует.

Формальное определение следующее. Предел $f$ при приближении $x к$ $p$ сверху равен $L$ , если:

Для каждого

ε > 0

существует

δ > 0

такое, что всякий раз, когда

0 < x - p < δ

, мы имеем

| f (x) - L | < ε

$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<x-p<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).$

Предел f при приближении $x$ $к p$ снизу равен $L$ $,$ если:

Для каждого

ε > 0

существует

δ > 0

такое, что всякий раз, когда

0 < p - x < δ

, мы имеем

| f (x) - L | < ε

$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<p-x<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).$

$Если$ предела не существует, то колебание f в точке $p$ не равно нулю.

Более общее определение с использованием предельных точек и подмножеств

Пределы также можно определить, используя подмножества домена.

В общем случае: ^[8] Пусть будет действительной функцией, определенной на некотором Пусть $p$ будет предельной точкой некоторого — то есть $p$ является пределом некоторой последовательности элементов $T,$ отличных от $p$ . Тогда мы говорим, что предел $f$ , когда $x$ приближается $к p$ из значений в $T$ , есть $L$ , записанный, если выполняется следующее: $f:S\to \mathbb {R}$ $S\subseteq \mathbb {R} .$ $T\subset S$ $\lim _{{x\to p} \atop {x\in T}}f(x)=L$

Для каждого

ε > 0

существует

δ > 0

такое, что для всех

x \in T

0 < | x - p | < δ

влечет, что

| f (x) - L | < ε

$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).$

Обратите внимание, что $T$ может быть любым подмножеством $S$ , области определения $f$ . И предел может зависеть от выбора $T$ . Это обобщение включает в себя в качестве особых случаев пределы на интервале, а также левосторонние пределы вещественнозначных функций (например, принимая $T$ как открытый интервал вида $(-\infty, a)$ ), и правосторонние пределы (например, принимая $T$ как открытый интервал вида $(a, \infty)$ ). Оно также расширяет понятие односторонних пределов на включенные конечные точки (полу)замкнутых интервалов, поэтому функция квадратного корня может иметь предел 0, когда $x$ стремится к 0 сверху: поскольку для каждого $ε$ $> 0$ , мы можем взять $δ$ $=$ $ε$ так, что для всех $x$ $\geq 0$ , если $0 < |$ $x$ $- 0$ $| <$ $δ$ , то $|$ $f$ $($ $x$ $) - 0$ $| <$ $ε$ . $f(x)={\sqrt {x}}$ $\lim _{{x\to 0} \atop {x\in [0,\infty )}}{\sqrt {x}}=0$

Это определение позволяет определить предел в предельных точках области $S$ , если выбрано подходящее подмножество $T , имеющее ту же предельную точку.$

Примечательно, что предыдущее двустороннее определение работает на том , что является подмножеством предельных точек $S.$ $\operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},$

Например, пусть Предыдущее двустороннее определение будет работать при , но не будет работать при 0 или 2, которые являются предельными точками $S$ . $S=[0,1)\cup (1,2].$ $1\in \operatorname {iso} S^{c}=\{1\},$

Удаленные и не удаленные лимиты

Определение предела, данное здесь, не зависит от того, как (или определено ли) $f в точке$ $p$ . Бартл ^[9] называет это удаленным пределом , поскольку он исключает значение $f$ в точке $p$ . Соответствующий не удаленный предел зависит от значения $f$ в точке $p$ , если $p$ находится в области определения $f$ . Пусть будет вещественной функцией. Не удаленный предел $f$ , когда $x$ приближается к $точке p$ , равен $L$ , если $f:S\to \mathbb {R}$

Для каждого

ε > 0

существует

δ > 0

такое, что для всех

x \in S

из

| x - p | < δ

следует

| f (x) - L | < ε

$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).$

Определение то же самое, за исключением того, что окрестность $| x - p | < δ$ теперь включает точку $p$ , в отличие от удаленной окрестности $0 < | x - p | < δ$ . Это делает определение неудаляемого предела менее общим. Одним из преимуществ работы с неудаляемыми пределами является то, что они позволяют сформулировать теорему о пределах композиций без каких-либо ограничений на функции (кроме существования их неудаляемых пределов). ^[10]

Бартл ^[9] отмечает, что хотя под «пределом» некоторые авторы подразумевают именно этот неудалённый предел, наиболее популярны удалённые пределы. ^[11]

Примеры

Отсутствие одностороннего предела(ов)

Функция не имеет предела при $x$ $0$ $= 1$ (левосторонний предел не существует из-за колебательного характера функции синуса, а правосторонний предел не существует из-за асимптотического поведения обратной функции, см. рисунок), но имеет предел при каждой другой координате $x$ . $f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\[2pt]{\frac {1}{10x-10}}&{\text{ for }}x>1\end{cases}}$

Функция (она же функция Дирихле ) не имеет предела ни при какой координате $x$ . $f(x)={\begin{cases}1&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}$

Неравенство односторонних пределов

Функция имеет предел при каждой ненулевой $x-$ координате (предел равен 1 для отрицательных $x$ и равен 2 для положительных $x$ ). Предела при $x$ $= 0$ не существует (левый предел равен 1, тогда как правый предел равен 2). $f(x)={\begin{cases}1&{\text{ for }}x<0\\2&{\text{ for }}x\geq 0\end{cases}}$

Ограничения только в одной точке

Обе функции имеют предел при $x$ $= 0$ , и он равен 0. $f(x)={\begin{cases}x&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}$ $f(x)={\begin{cases}|x|&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}$

Пределы в счетном числе точек

Функция имеет предел при любой координате $x$ вида , где $n$ — любое целое число. $f(x)={\begin{cases}\sin x&x{\text{ irrational }}\\1&x{\text{ rational }}\end{cases}}$ ${\tfrac {\pi }{2}}+2n\pi ,$

Пределы, включающие бесконечность

Пределы на бесконечности

Пусть будет функцией, определенной на Предел $f$ при $x,$ стремящемся к бесконечности, равен $L$ , обозначается $f:S\to \mathbb {R}$ $S\subseteq \mathbb {R} .$

$\lim _{x\to \infty }f(x)=L,$

означает, что:

Для каждого

ε > 0

существует

c > 0

такое, что всякий раз, когда

+ x > c

, мы имеем

| f (x) - L | < ε

$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x>c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).$

Аналогично, предел $f$ при стремлении $x$ к минус бесконечности равен $L$ , обозначаемому

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=L,$

означает, что:

Для каждого

ε > 0

существует

c > 0

такое, что всякий раз, когда

x < - c

, мы имеем

| f (x) - L | < ε

$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x<-c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).$

Например, поскольку для любого $ε$ $> 0$ можно взять $c$ $= 3/$ $ε$ , то для всех действительных $x$ , если $x$ $>$ $c$ , то $|$ $f$ $($ $x$ $) - 4$ $| <$ $ε$ . $\lim _{x\to \infty }\left(-{\frac {3\sin x}{x}}+4\right)=4$

Другой пример: поскольку для любого $ε$ $> 0$ , мы можем взять $c$ $= max{1, -ln($ $ε$ $)}$ , то для всех действительных $x$ , если $x$ $< -$ $c$ , то $|$ $f$ $($ $x$ $) - 0$ $| <$ $ε$ . $\lim _{x\to -\infty }e^{x}=0$

Бесконечные пределы

Для функции, значения которой растут неограниченно, функция расходится и обычного предела не существует. Однако в этом случае можно ввести пределы с бесконечными значениями.

Пусть будет функцией, определенной на . Утверждение, что предел $f$ при $x,$ стремящемся к $p,$ равен бесконечности , обозначается $f:S\to \mathbb {R}$ $S\subseteq \mathbb {R} .$

$\lim _{x\to p}f(x)=\infty ,$

означает, что:

Для каждого

N > 0

существует

δ > 0

такое, что всякий раз, когда

0 < | x - p | < δ

, мы имеем

f (x) > N

$(\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)>N).$

Утверждение, что предел $f$ при $x,$ стремящемся к $p,$ равен минус бесконечности , обозначается

$\lim _{x\to p}f(x)=-\infty ,$

означает, что:

Для каждого

N > 0

существует

δ > 0

такое, что всякий раз, когда

0 < | x - p | < δ

, мы имеем

f (x) < - N

$(\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)<-N).$

Например, поскольку для каждого $N$ $> 0$ можно взять такое, что для всех действительных x $>$ $0$ , если $0 <$ $x$ $- 1 <$ $δ$ , то $f$ $($ $x$ $) >$ $N.$ $\lim _{x\to 1}{\frac {1}{(x-1)^{2}}}=\infty$ ${\textstyle \delta ={\tfrac {1}{{\sqrt {N}}\delta }}={\tfrac {1}{\sqrt {N}}}}$

Эти идеи можно использовать вместе для создания определений различных комбинаций, например:

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,$ или $\lim _{x\to p^{+}}f(x)=-\infty .$

Например, поскольку для каждого $N$ $> 0$ мы можем взять $δ$ $=$ $e$ $-$ $N$ такое, что для всех действительных $x$ $> 0$ , если $0 <$ $x$ $- 0 <$ $δ$ , то $f$ $($ $x$ $) < -$ $N$ . $\lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$

Пределы, включающие бесконечность, связаны с понятием асимптот .

Эти понятия предела пытаются дать интерпретацию пределов на бесконечности в метрическом пространстве. Фактически, они согласуются с топологическим пространственным определением предела, если

окрестность −∞ определяется как содержащая интервал $[-\infty, c)$ для некоторого ⁠ ⁠ $c\in \mathbb {R} ,$
окрестность ∞ определяется как содержащая интервал $(c, \infty]$ , где ⁠ ⁠ $c\in \mathbb {R} ,$ и
окрестность ⁠ ⁠ $a\in \mathbb {R}$ определяется обычным образом метрического пространства ⁠ ⁠ $\mathbb {R} .$

В этом случае ⁠ ⁠ ${\overline {\mathbb {R} }}$ является топологическим пространством и любая функция вида с подчиняется топологическому определению предела. Заметим, что с этим топологическим определением легко определить бесконечные пределы в конечных точках, которые не были определены выше в метрическом смысле. $f:X\to Y$ $X,Y\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}$

Альтернативная нотация

Многие авторы ^[12] допускают использование проективно расширенной действительной прямой в качестве способа включения бесконечных значений, а также расширенной действительной прямой . С этой записью расширенная действительная прямая задается как ⁠ ⁠ , $\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ а проективно расширенная действительная прямая — ⁠ ⁠ , $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ где окрестность ∞ представляет собой множество вида Преимущество состоит в том, что для охвата всех случаев требуется всего три определения пределов (левый, правый и центральный). Как представлено выше, для полностью строгого описания нам нужно было бы рассмотреть 15 отдельных случаев для каждой комбинации бесконечностей (пять направлений: −∞, левый, центральный, правый и +∞; три границы: −∞, конечный или +∞). Существуют также заслуживающие внимания подводные камни. Например, при работе с расширенной действительной прямой не обладает центральным пределом (что нормально): $\{x:|x|>c\}.$ $x^{-1}$

$\lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .$

Напротив, при работе с проективной действительной прямой бесконечности (подобно 0) не имеют знака, поэтому в этом контексте центральный предел существует :

$\lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0}{1 \over x}=\infty .$

На самом деле, существует множество конфликтующих формальных систем. В некоторых приложениях численного дифференцирования и интегрирования , например, удобно иметь нули со знаком . Простая причина связана с обратным, а именно, удобно считать истинным. Такие нули можно рассматривать как приближение к бесконечно малым . $\lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty ,$ $\lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0$

Пределы на бесконечности для рациональных функций

Существует три основных правила оценки пределов на бесконечности для рациональной функции (где $p$ и $q$ — многочлены): $f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}$

Если степень p больше степени $q , то предел$ $равен$ положительной или отрицательной бесконечности в зависимости от знаков старших коэффициентов;
Если степени $p$ и $q$ равны, предел равен старшему коэффициенту $p,$ делённому на старшему коэффициенту $q$ ;
Если степень $p$ меньше степени $q$ , то предел равен 0.

Если предел на бесконечности существует, он представляет собой горизонтальную асимптоту при $y = L.$ Многочлены не имеют горизонтальных асимптот; такие асимптоты могут, однако, возникать у рациональных функций.

Функции более чем одной переменной

Обычные пределы

Заметив, что $| x - p |$ представляет собой расстояние , определение предела можно распространить на функции более чем одной переменной. В случае функции, определенной на , мы определили предел следующим образом: предел $f$ при $($ $x$ $,$ $y$ $)$ стремящемся к $($ $p$ $,$ $q$ $)$ равен $L$ , записанный $f:S\times T\to \mathbb {R}$ $S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},$

$\lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=L$

если выполняется следующее условие:

Для каждого

ε > 0

существует

δ > 0

такое, что для всех

x

из

S

y

из

T

, всякий раз, когда мы имеем

|

f

(

x

,

y

) -

L

| <

ε

, ^[13]

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}

или формально: $(\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies |f(x,y)-L|<\varepsilon )).$

Вот евклидово расстояние между $($ $x$ $,$ $y$ $)$ и $($ $p$ $,$ $q$ $)$ . (На самом деле его можно заменить любой нормой $|$ $|$ $($ $x$ $,$ $y$ $) - ($ $p$ $,$ $q$ $)$ $|$ $|$ и распространить на любое количество переменных.) ${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$

Например, мы можем сказать , поскольку для любого $ε$ $> 0$ можно взять такое, что для всех действительных $x$ $\neq 0$ и действительных $y$ $\neq 0$ , если тогда $|$ $f$ $($ $x$ $,$ $y$ $) - 0$ $| <$ $ε$ . $\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}=0$ ${\textstyle \delta ={\sqrt {\varepsilon }}}$ ${\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}$

Как и в случае с одной переменной, значение $f$ в точке $(p, q)$ не имеет значения в этом определении предела.

Для существования такого многомерного предела это определение требует, чтобы значение $f$ приближалось к $L$ вдоль каждого возможного пути, приближающегося к $(p, q)$ . ^[14] В приведенном выше примере функция удовлетворяет этому условию. Это можно увидеть, рассмотрев полярные координаты , которые дают Здесь $θ$ $=$ $θ$ $($ $r$ $)$ — функция r , которая управляет формой пути, вдоль которого $f$ приближается к $($ $p$ $,$ $q$ $)$ . Поскольку $cos$ $θ$ ограничен между [−1, 1], по теореме о сэндвиче этот предел стремится к 0. $f(x,y)={\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}$ $(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\to (0,0),$ $\lim _{r\to 0}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=\lim _{r\to 0}{\frac {r^{4}\cos ^{4}\theta }{r^{2}}}=\lim _{r\to 0}r^{2}\cos ^{4}\theta .$

Напротив, функция не имеет предела в точке $(0, 0)$ . Взяв путь $($ $x$ $,$ $y$ $) = ($ $t$ $, 0) \to (0, 0)$ , мы получаем , взяв путь $($ $x$ $,$ $y$ $) = ($ $t$ $,$ $t$ $) \to (0, 0)$ , мы получаем $f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}$ $\lim _{t\to 0}f(t,0)=\lim _{t\to 0}{\frac {0}{t^{2}}}=0,$ $\lim _{t\to 0}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}}.$

Поскольку два значения не совпадают, $f$ не стремится к одному значению, когда $(x, y)$ приближается к $(0, 0)$ .

Множественные ограничения

Хотя он используется реже, существует другой тип предела для функции многих переменных, известный как множественный предел . Для функции двух переменных это двойной предел . ^[15] Пусть определено на мы говорим, что двойной предел функции $f$ , когда $x$ стремится к $p$ , а $y$ стремится к $q,$ равен $L$ , записанный $f:S\times T\to \mathbb {R}$ $S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},$

$\lim _{{x\to p} \atop {y\to q}}f(x,y)=L$

если выполняется следующее условие:

Для каждого

ε > 0

существует

δ > 0

такое, что для всех

x

S

y

T

, всякий раз, когда

0 < | x - p | < δ

0 < | y - q | < δ

, мы имеем

| f (x, y) - L | < ε

. ^[15]

Для существования такого двойного предела это определение требует, чтобы значение $f$ приближалось $к L$ по каждому возможному пути, приближающемуся к $(p, q)$ , исключая две прямые $x = p$ и $y = q$ . В результате кратный предел является более слабым понятием, чем обычный предел: если обычный предел существует и равен $L$ , то кратный предел существует и также равен $L$ . Обратное неверно: существование кратных пределов не подразумевает существование обычного предела. Рассмотрим пример , где но не существует. $f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}$ $\lim _{{x\to 0} \atop {y\to 0}}f(x,y)=1$ $\lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$

Если область определения $f$ ограничена, то два определения пределов совпадают. ^[15] $(S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),$

Множественные пределы на бесконечности

Концепция множественного предела может быть расширена до предела на бесконечности, аналогично тому, как это происходит с функцией одной переменной. Ибо мы говорим, что двойной предел $f$ , когда $x$ и $y$ стремятся к бесконечности, равен $L$ , записанный $f:S\times T\to \mathbb {R} ,$ $\lim _{{x\to \infty } \atop {y\to \infty }}f(x,y)=L$

если выполняется следующее условие:

Для каждого

ε > 0

существует

c > 0

такое, что для всех

x

из

S

y

из

T

, всякий раз, когда

x > c

y > c

, мы имеем

| f (x, y) - L | < ε

$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x>c)\land (y>c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).$

Мы говорим, что двойной предел $f,$ когда $x$ и $y$ стремятся к минус бесконечности, равен $L$ , записанный $\lim _{{x\to -\infty } \atop {y\to -\infty }}f(x,y)=L$

если выполняется следующее условие:

Для каждого

ε > 0

существует

c > 0

такое, что

x

S

y

T

, всякий раз, когда

x < - c

y < - c

, мы имеем

| f (x, y) - L | < ε

$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x<-c)\land (y<-c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).$

Точечные пределы и равномерные пределы

Пусть Вместо того, чтобы брать предел как $($ $x$ $,$ $y$ $) \to ($ $p$ $,$ $q$ $)$ , мы можем рассмотреть взятие предела только одной переменной, скажем, $x$ $\to$ $p$ , чтобы получить функцию от $y$ с одной переменной , а именно Фактически, этот процесс ограничения может быть выполнен двумя различными способами. Первый из них называется точечным пределом . Мы говорим, что точечный предел $f$ при приближении $x$ $к p$ есть $g$ , обозначаемый или $f:S\times T\to \mathbb {R} .$ $g:T\to \mathbb {R} .$ $\lim _{x\to p}f(x,y)=g(y),$ $\lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{pointwise}}.$

В качестве альтернативы мы можем сказать, $что f$ стремится к $g$ поточечно, когда $x$ приближается к $p$ , что обозначается или $f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,$ $f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{pointwise}}\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.$

Этот предел существует, если выполняется следующее:

Для каждого

ε > 0

и каждого фиксированного

y

T

существует

δ (ε, y) > 0

такое, что для всех

x

S

, когда

0 < | x - p | < δ

, мы имеем

| f (x, y) - g (y) | < ε

. ^[16]

$(\forall \varepsilon >0)\,(\forall y\in T)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).$

Здесь $δ = δ (ε, y)$ является функцией как $ε ,$ так и $y$ . Каждое $δ$ выбирается для определенной точки y $.$ Поэтому мы говорим, что предел является поточечным в $y$ . Например, имеет поточечный предел постоянной нулевой функции , потому что для каждого фиксированного $y$ предел, очевидно, равен 0. Этот аргумент неверен, если $y$ не фиксирован: если $y$ очень близко к $π$ $/2$ , значение дроби может отклоняться от 0. $f(x,y)={\frac {x}{\cos y}}$ $\lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{pointwise}}$

Это приводит к другому определению предела, а именно равномерному пределу . Мы говорим, что равномерный предел $f$ на $T,$ когда $x$ приближается $к p$ , есть $g$ , обозначаемый или ${\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),$ $\lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T.$

В качестве альтернативы мы можем сказать, $что f$ стремится к $g$ равномерно на $T,$ когда $x$ приближается $к p$ , что обозначается или $f(x,y)\rightrightarrows g(y)\;{\text{on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,$ $f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.$

Этот предел существует, если выполняется следующее:

Для каждого

ε > 0

существует

δ (ε) > 0

такое, что для всех

x

S

y

T

, всякий раз, когда

0 < | x - p | < δ

, мы имеем

| f (x, y) - g (y) | < ε

. ^[16]

$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).$

Здесь $δ = δ (ε)$ является функцией только $ε ,$ но не $y$ . Другими словами, δ равномерно применима ко всем $y$ в $T$ . Поэтому мы говорим, что предел равномерен по $y$ . Например, имеет равномерный предел постоянной нулевой функции , потому что для всех действительных $y$ $cos$ $y$ ограничен между $[-1, 1]$ . Следовательно, независимо от того, как ведет себя $y$ , мы можем использовать теорему о сэндвиче , чтобы показать, что предел равен 0. $f(x,y)=x\cos y$ $\lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{ uniformly on}}\;\mathbb {R}$

Повторяющиеся пределы

Пусть Мы можем рассмотреть взятие предела только одной переменной, скажем, $x$ $\to$ $p$ , чтобы получить функцию одной переменной от $y$ , а именно , а затем взять предел по другой переменной, а именно, $y$ $\to$ $q$ , чтобы получить число $L.$ Символически, $f:S\times T\to \mathbb {R} .$ $g:T\to \mathbb {R} ,$ $\lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)=\lim _{y\to q}g(y)=L.$

Этот предел известен как итеративный предел функции многих переменных. ^[17] Порядок взятия пределов может повлиять на результат, т.е.

$\lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)\neq \lim _{x\to p}\lim _{y\to q}f(x,y)$ в общем.

Достаточное условие равенства дается теоремой Мура-Осгуда , которая требует , чтобы предел был равномерным на $T.$ ^[18] $\lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)$

Функции на метрических пространствах

Предположим, что $M$ и $N$ являются подмножествами метрических пространств $A$ и $B$ соответственно, и $f : M \to N$ определено между $M$ и $N$ , причем $x \in M$ , $p —$ предельная точка M и $L$ $\in$ $N.$ Говорят, что предел f $при$ стремлении x к $p$ $равен$ $L$ , $и$ записывают

$\lim _{x\to p}f(x)=L$

если выполняется следующее свойство:

Для каждого

ε > 0

существует

δ > 0

такое, что для всех точек

x \in M

0 < d A (x, p) < δ

влечет

d B (f (x), L) < ε

. ^[19]

$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in M)\,(0<d_{A}(x,p)<\delta \implies d_{B}(f(x),L)<\varepsilon ).$

Опять же, обратите внимание, что $p$ не обязательно должен находиться в области определения $f$ , равно как и L не обязательно $должен$ находиться в диапазоне значений $f$ , и даже если $f (p)$ определена, она не обязательно должна быть равна $L.$

Евклидова метрика

Предел в евклидовом пространстве является прямым обобщением пределов на векторные функции . Например, мы можем рассмотреть функцию , такую что Тогда, в рамках обычной евклидовой метрики , если выполняется следующее: $f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}$ $f(x,y)=(f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y)).$ $\lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=(L_{1},L_{2},L_{3})$

Для каждого

ε > 0

существует

δ > 0

такое, что для всех

x

из

S

y

из

T

следует ^[20 ]

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }

{\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}

$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,\left(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon \right).$

В этом примере рассматриваемая функция является конечномерной векторной функцией. В этом случае предельная теорема для векторной функции гласит, что если предел каждого компонента существует, то предел векторной функции равен вектору, для каждого компонента которого взят предел: ^[20] $\lim _{(x,y)\to (p,q)}{\Bigl (}f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y){\Bigr )}=\left(\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{1}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{2}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{3}(x,y)\right).$

Манхэттенская метрика

Можно также рассмотреть пространства, отличные от евклидова. Примером может служить пространство Манхэттена. Рассмотрим такое, что Тогда, в рамках метрики Манхэттена , если выполняется следующее: $f:S\to \mathbb {R} ^{2}$ $f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x)).$ $\lim _{x\to p}f(x)=(L_{1},L_{2})$

Для каждого

ε > 0

существует

δ > 0

такое, что для всех

x

из

S

< | x - p | < δ

влечет

| f 1 - L 1 | + | f 2 - L 2 | < ε

$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f_{1}-L_{1}|+|f_{2}-L_{2}|<\varepsilon ).$

Поскольку это также конечномерная векторная функция, то предельная теорема, изложенная выше, также применима. ^[21]

Единая метрика

Наконец, мы обсудим предел в функциональном пространстве , которое имеет бесконечные измерения. Рассмотрим функцию $f (x, y)$ в функциональном пространстве. Мы хотим выяснить, как при приближении $x$ $к p$ f $($ $x$ $,$ $y$ $)$ будет стремиться к другой функции $g$ $($ $y$ $)$ , которая находится в функциональном пространстве. «Близость» в этом функциональном пространстве может быть измерена в рамках $равномерной$ метрики . ^[22] Тогда мы будем говорить, что равномерный предел $f$ на $T$ при приближении $x$ $к p$ равен $g$ и писать или $S\times T\to \mathbb {R} .$ $T\to \mathbb {R} .$ ${\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),$ $\lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T,$

если выполняется следующее:

Для каждого

ε > 0

существует

δ > 0

такое, что для всех

x

S

< | x - p | < δ

влечет

\sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .

$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).$

Фактически, можно видеть, что это определение эквивалентно определению равномерного предела многомерной функции, введенному в предыдущем разделе.

Функции в топологических пространствах

Предположим, что $X$ и $Y$ — топологические пространства , а $Y —$ хаусдорфово пространство . Пусть $p$ — предельная точка Ω $\subseteq X$ , а $L \in Y.$ Для функции $f : Ω \to Y$ говорят, что предел $f$ при стремлении $x к$ $p$ — это $L$ , что записывается как

$\lim _{x\to p}f(x)=L,$

если выполняется следующее свойство:

Для каждой открытой окрестности

V

точки

L

существует открытая окрестность

U

точки

p

такая, что

f (U \cap Ω - {p}) \subseteq V

Эту последнюю часть определения можно также сформулировать так: «существует открытая проколотая окрестность $U$ точки $p,$ такая, что $f (U \cap Ω) \subseteq V$ ».

Область определения $f$ не обязательно должна содержать $p$ . Если это так, то значение $f$ в точке $p$ не имеет значения для определения предела. В частности, если область определения $f$ равна $X - {p}$ (или всему $X$ ), то предел $f$ при $x \to p$ существует и равен $L$ , если для всех подмножеств $Ω$ из $X$ с предельной точкой $p$ предел ограничения $f$ на $Ω$ существует и равен $L$ . Иногда этот критерий используется для установления несуществования двустороннего предела функции на ⁠ ⁠ $\mathbb {R}$ путем показа того, что односторонние пределы либо не существуют, либо не согласуются. Такой взгляд является фундаментальным в области общей топологии , где пределы и непрерывность в точке определяются в терминах специальных семейств подмножеств, называемых фильтрами , или обобщенных последовательностей, известных как сети .

В качестве альтернативы требование, чтобы $Y$ было хаусдорфовым пространством, можно ослабить до предположения, что $Y$ будет общим топологическим пространством, но тогда предел функции может быть не единственным. В частности, больше нельзя говорить о пределе функции в точке, а скорее о пределе или множестве пределов в точке.

Функция непрерывна в предельной точке $p$ функции и в своей области определения тогда и только тогда, когда $f (p)$ является пределом (или, в общем случае, а ) функции $f (x)$ при стремлении $x$ к $p$ .

Существует другой тип предела функции, а именно последовательный предел . Пусть $f : X \to Y$ — отображение из топологического пространства $X$ в хаусдорфово пространство $Y$ , $p \in X —$ предельная точка $X$ и $L \in Y.$ Последовательный предел $f$ при стремлении $x$ к $p$ равен $L,$ если

Для каждой последовательности (

x n

) в

X - {p},

которая сходится к

p

, последовательность

f (x n)

сходится к

L

Если $L$ является пределом (в указанном выше смысле) f при приближении x к p, то он также является последовательным пределом, однако обратное не обязательно выполняется в общем случае. Если вдобавок X метризуемо $,$ то L $является$ $последовательным$ пределом $f$ при приближении $x$ к $p$ , если $и$ $только$ если он является пределом (в указанном выше смысле) $f$ при приближении $x$ $к p$ .

Другие характеристики

С точки зрения последовательностей

Для функций на вещественной прямой один из способов определения предела функции — через предел последовательностей. (Это определение обычно приписывают Эдуарду Гейне .) В этой постановке: тогда и только тогда, когда для всех последовательностей $x$ $n$ (при $x$ $n ,$ не равном $a$ для всех $n$ ), сходящихся к $a ,$ последовательность $f$ $($ $x$ $n$ $)$ сходится к $L . В 1916 году$ Серпинский показал , что доказательство эквивалентности этого определения и определения выше требует и эквивалентно слабой форме аксиомы выбора . Обратите внимание, что определение того, что означает для последовательности $x$ $n$ сходимость к $a ,$ требует метода эпсилон, дельта . $\lim _{x\to a}f(x)=L$

Аналогично определению Вейерштрасса, более общее определение Гейне применимо к функциям, определенным на подмножествах действительной прямой. Пусть $f$ — вещественная функция с областью определения $Dm (f)$ . Пусть $a$ — предел последовательности элементов $Dm ( f ) \ { a }.$ Тогда предел (в этом смысле) функции $f$ равен $L$ при $x,$ стремящемся $к p$ , если для каждой последовательности $x n ∈ Dm ( f ) \ { a }$ (так что для всех $n$ , $x n$ не равно $a$ ), которая сходится к $a$ , последовательность $f (x n)$ сходится к $L . Это то же самое$ , что и определение последовательного предела в предыдущем разделе, полученное путем рассмотрения подмножества $Dm (f)$ ⁠ ⁠ $\mathbb {R}$ как метрического пространства с индуцированной метрикой.

В нестандартном исчислении

В нестандартном исчислении предел функции определяется следующим образом: тогда и только тогда, когда для всех является бесконечно малым, когда $x$ $-$ $a$ является бесконечно малым. Вот гипердействительные числа , а $f*$ является естественным расширением $f$ до нестандартных действительных чисел. Кейслер доказал, что такое гипердействительное определение предела уменьшает сложность кванторов на два квантора. ^[23] С другой стороны, Хрбачек пишет, что для того, чтобы определения были действительны для всех гипердействительных чисел, они должны неявно основываться на методе ε-δ, и утверждает, что с педагогической точки зрения надежда на то, что нестандартное исчисление может быть выполнено без методов ε-δ, не может быть реализована в полной мере. ^[24] Блащик и др. подробно описывают полезность микронепрерывности в разработке прозрачного определения равномерной непрерывности и характеризуют критику Хрбачека как «сомнительный плач». ^[25] $\lim _{x\to a}f(x)=L$ $x\in \mathbb {R} ^{*},$ $f^{*}(x)-L$ $\mathbb {R} ^{*}$

С точки зрения близости

На международном математическом конгрессе 1908 года Ф. Рисс предложил альтернативный способ определения пределов и непрерывности в концепции, называемой «близостью». ^[26] Точка $x$ определяется как близкая к множеству , если для каждого $r$ $> 0$ существует точка $a$ $\in$ $A$ такая, что $|$ $x$ $-$ $a$ $| <$ $r$ . В этой постановке тогда и только тогда, когда для всех $L$ находится вблизи $f$ $($ $A$ $)$ всякий раз, когда $a$ находится вблизи $A$ . Здесь $f$ $($ $A$ $)$ — это множество Это определение также можно распространить на метрические и топологические пространства. $A\subseteq \mathbb {R}$ $\lim _{x\to a}f(x)=L$ $A\subseteq \mathbb {R} ,$ $\{f(x)|x\in A\}.$

Отношение к преемственности

Понятие предела функции очень тесно связано с понятием непрерывности. Функция $f$ называется непрерывной в точке $c$ , если она определена в точке $c$ и ее значение в точке $c$ равно пределу $f$ при приближении $x$ $к c$ :

$\lim _{x\to c}f(x)=f(c).$ Здесь мы предположили, что $c$ является предельной точкой области определения $f$ .

Характеристики

Если функция $f$ имеет вещественное значение, то предел $f$ в точке $p$ равен $L$ тогда и только тогда , когда существуют как правосторонний предел, так и левосторонний предел $f$ в точке $p$ и они равны $L.$ ^[27]

Функция $f$ непрерывна в точке p $тогда$ и только тогда, когда предел $f (x)$ при приближении $x к$ $точке p$ существует и равен $f (p)$ . Если $f : M \to N$ — функция между метрическими пространствами $M$ и $N$ , то это эквивалентно тому, что $f$ преобразует каждую последовательность в $M$ , которая сходится к точке $p ,$ в последовательность в $N$ , которая сходится к точке $f (p)$ .

Если $N$ — нормированное векторное пространство , то операция предела линейна в следующем смысле: если предел $f (x)$ при приближении $x$ $к p$ равен $L$ , а предел $g (x)$ при приближении $x$ $к p$ равен $P$ , то предел $f (x) + g (x)$ при приближении $x к$ $p$ равен $L + P.$ Если $a$ — скаляр из базового поля , то предел $af (x)$ при приближении $x к$ $p$ равен $aL$ .

Если $f$ и $g$ являются вещественными (или комплекснозначными) функциями, то взятие предела операции над $f (x)$ и $g (x)$ (например, $f + g$ , $f - g$ , $f \times g$ , $f / g$ , $f g$ ) при определенных условиях совместимо с операцией пределов $f (x)$ и $g (x)$ . Этот факт часто называют алгебраической предельной теоремой . Основное условие, необходимое для применения следующих правил, заключается в том, что пределы в правых частях уравнений существуют (другими словами, эти пределы являются конечными значениями, включая 0). Кроме того, тождество для деления требует, чтобы знаменатель в правой части был ненулевым (деление на 0 не определено), а тождество для возведения в степень требует, чтобы основание было положительным или нулевым, а показатель степени положительным (конечным).

${\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)+g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)+\lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)-g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)-\lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)\cdot g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)\cdot \lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)/g(x))&=&\displaystyle {\lim _{x\to p}f(x)/\lim _{x\to p}g(x)}\\\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)^{g(x)}&=&\displaystyle {\lim _{x\to p}f(x)^{\lim _{x\to p}g(x)}}\end{array}}$

Эти правила также действительны для односторонних пределов, включая случай, когда $p$ равно ∞ или −∞. В каждом правиле выше, когда один из пределов справа равен ∞ или −∞, предел слева иногда может все еще определяться следующими правилами.

${\begin{array}{rcl}q+\infty &=&\infty {\text{ if }}q\neq -\infty \\[8pt]q\times \infty &=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}q>0\\-\infty &{\text{if }}q<0\end{cases}}\\[6pt]\displaystyle {\frac {q}{\infty }}&=&0{\text{ if }}q\neq \infty {\text{ and }}q\neq -\infty \\[6pt]\infty ^{q}&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}q<0\\\infty &{\text{if }}q>0\end{cases}}\\[4pt]q^{\infty }&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}0<q<1\\\infty &{\text{if }}q>1\end{cases}}\\[4pt]q^{-\infty }&=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}0<q<1\\0&{\text{if }}q>1\end{cases}}\end{array}}$

(см. также Расширенная прямая действительных чисел ).

В других случаях предел слева может все еще существовать, хотя правая часть, называемая неопределенной формой , не позволяет определить результат. Это зависит от функций $f$ и $g$ . Эти неопределенные формы:

${\begin{array}{cc}\displaystyle {\frac {0}{0}}&\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\\[6pt]0\times \pm \infty &\infty +-\infty \\[8pt]\qquad 0^{0}\qquad &\qquad \infty ^{0}\qquad \\[8pt]1^{\pm \infty }\end{array}}$

См. далее правило Лопиталя и неопределенную форму .

Пределы композиций функций

В общем случае, из знания того, что и не следует , что Однако это «цепное правило» выполняется, если выполняется одно из следующих дополнительных условий: $\lim _{y\to b}f(y)=c$ $\lim _{x\to a}g(x)=b,$ $\lim _{x\to a}f(g(x))=c.$

$f (b) = c$ (то есть $f$ непрерывна в точке $b$ ), или
$g$ не принимает значения $b$ вблизи $a$ (то есть существует $δ > 0$ такое, что если $0 < | x - a | < δ$ , то $| g (x) - b | > 0$ ).

В качестве примера этого явления рассмотрим следующую функцию, которая нарушает оба дополнительных ограничения:

$f(x)=g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\neq 0\\1&{\text{if }}x=0\end{cases}}$

Поскольку значение при $f (0)$ является устранимым разрывом , для всех $a$ . Таким образом, наивное цепное правило предполагает, что предел $f$ $($ $f$ $($ $x$ $))$ равен 0. Однако это тот случай, когда и поэтому для всех $a$ . $\lim _{x\to a}f(x)=0$ $f(f(x))={\begin{cases}1&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$ $\lim _{x\to a}f(f(x))=1$

Пределы особого интереса

Рациональные функции

Для $n —$ неотрицательного целого числа и констант и $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}$ $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n},$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {a_{1}x^{n}+a_{2}x^{n-1}+a_{3}x^{n-2}+\dots +a_{n}}{b_{1}x^{n}+b_{2}x^{n-1}+b_{3}x^{n-2}+\dots +b_{n}}}={\frac {a_{1}}{b_{1}}}$

Это можно доказать, разделив числитель и знаменатель на $x n$ . Если числитель — многочлен более высокой степени, предел не существует. Если знаменатель — более высокой степени, предел равен 0.

Тригонометрические функции

${\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}&=&0\end{array}}$

Экспоненциальные функции

${\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}&=&\displaystyle \lim _{r\to \infty }\left(1+{\frac {1}{r}}\right)^{r}=e\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {c^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\ln c\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}&=&1\end{array}}$

Логарифмические функции

${\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{c}(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b\ln c}}\end{array}}$

Правило Лопиталя

Это правило использует производные для нахождения пределов неопределенных форм $0/0$ или $\pm\infty/\infty$ и применяется только к таким случаям. Другие неопределенные формы могут быть преобразованы в эту форму. Даны две функции $f (x)$ и $g (x)$ , определенные на открытом интервале $I,$ содержащем желаемую предельную точку $c$ , тогда если:

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ или и $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,$
$f$ и дифференцируемы по и $g$ $I\setminus \{c\},$
$g'(x)\neq 0$ для всех и $x\in I\setminus \{c\},$
$\lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ существует,

затем: $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.$

Обычно первое условие является наиболее важным.

Например: $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$

Суммы и интегралы

Указание бесконечной границы для суммы или интеграла является общепринятым сокращением для указания предела.

Короткий способ записи предела : Важным примером пределов сумм, подобных этим, являются ряды . $\lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)$ $\sum _{i=s}^{\infty }f(i).$

Короткий способ записать предел : $\lim _{x\to \infty }\int _{a}^{x}f(t)\;dt$ $\int _{a}^{\infty }f(t)\;dt.$

Короткий способ записать предел : $\lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt$ $\int _{-\infty }^{b}f(t)\;dt.$

Смотрите также

На Викискладе есть медиафайлы по теме Предел функции .

Обозначение «большое О» — описывает предельное поведение функции.
Правило Лопиталя – Математическое правило для оценки некоторых пределов.
Список ограничений
Предел последовательности – значение, к которому стремится бесконечная последовательность.
Предельная точка – точка кластера в топологическом пространстве
Верхний предел и нижний предел – Границы последовательности
Сеть (математика) – обобщение последовательности точек.
Нестандартное исчисление – Современное применение бесконечно малых величин
Теорема сжатия – Метод нахождения пределов в исчислении
Последующий предел – предел некоторой подпоследовательности

Примечания

^ Фельшер, Вальтер (2000), «Больцано, Коши, Эпсилон, Дельта», American Mathematical Monthly , 107 (9): 844–862, doi : 10.2307/2695743, JSTOR 2695743
^ ab Grabiner, Judith V. (1983), «Кто дал вам эпсилон? Коши и истоки строгого исчисления», American Mathematical Monthly , 90 (3): 185–194, doi :10.2307/2975545, JSTOR 2975545, собранные в Who Gave You the Epsilon?, ISBN 978-0-88385-569-0 стр. 5–13. Также доступно на: http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf
^ Синкевич, Г.И. (2017), «Historia epsylontyki», Antiquitates Mathematicae , 10 , Корнельский университет, arXiv : 1502.06942 , doi : 10.14708/am.v10i0.805
^ Бертон, Дэвид М. (1997), История математики: Введение (Третье изд.), Нью-Йорк: McGraw–Hill, стр. 558–559, ISBN 978-0-07-009465-9
↑ Миллер, Джефф (1 декабря 2004 г.), Earlyest Uses of Symbols of Calculus , получено 18 декабря 2008 г.
^ ab Swokowski, Earl W. (1979), Исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Taylor & Francis, стр. 58, ISBN 978-0-87150-268-1
^ Своковски (1979), стр. 72–73.
^ (Бартл и Шерберт 2000)
^ ab Bartle (1967)
^ Хаббард (2015)
^ Например, Апостол (1974), Курант (1924), Харди (1921), Рудин (1964), Уиттекер и Уотсон (1904) — все они под «пределом» подразумевают удаленный предел.
^ Например, Предел в Энциклопедии математики
^ Стюарт, Джеймс (2020), «Глава 14.2 Пределы и непрерывность», Многомерное исчисление (9-е изд.), Cengage Learning, стр. 952, ISBN 9780357042922
^ Стюарт (2020), стр. 953.
^ abc Zakon, Elias (2011), «Глава 4. Пределы функций и непрерывность», Математический анализ, том I , Виндзорский университет, стр. 219–220, ISBN 9781617386473
^ ab Zakon (2011), стр. 220.
^ Закон (2011), стр. 223.
^ Тейлор, Ангус Э. (2012), Общая теория функций и интегрирования , Dover Books on Mathematics Series, стр. 139–140, ISBN 9780486152141
^ Рудин, В. (1986), Принципы математического анализа, McGraw - Hill Book C, стр. 84, OCLC 962920758
^ ab Hartman, Gregory (2019), The Calculus of Vector-Valued Functions II , получено 31 октября 2022 г.
^ Закон (2011), стр. 172.
^ Рудин, В. (1986), Принципы математического анализа, McGraw - Hill Book C, стр. 150–151, OCLC 962920758
^ Кейслер, Х. Джером (2008), «Квантификаторы в пределах» (PDF) , Анджей Мостовский и фундаментальные исследования , IOS, Амстердам, стр. 151–170
^ Хрбачек, К. (2007), «Стратифицированный анализ?», в Ван Ден Берг, И.; Невес, В. (ред.), Сила нестандартного анализа , Springer
^ Bŀaszczyk, Piotr; Katz, Michael ; Sherry, David (2012), «Десять заблуждений из истории анализа и их разоблачение», Foundations of Science , 18 (1): 43–74, arXiv : 1202.4153 , doi : 10.1007/s10699-012-9285-8, S2CID 119134151
^ Ф. Рис (7 апреля 1908 г.), "Stetigkeitsbegriff und abstrakte Mengenlehre (Концепция непрерывности и абстрактная теория множеств)", Международный конгресс математиков 1908 г.
^ Своковски (1979), стр. 73.

Ссылки

Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (2-е изд.). Эддисон–Уэсли. ISBN 0-201-00288-4.
Бартл, Роберт (1967). Элементы реального анализа . Wiley.
Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (2000). Введение в реальный анализ . Wiley.
Курант, Ришар (1924). Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung (на немецком языке). Спрингер.
Харди, Г. Х. (1921). Курс чистой математики . Cambridge University Press.
Хаббард, Джон Х. (2015). Вектор исчисления, линейная алгебра и дифференциальные формы: унифицированный подход (5-е изд.). Matrix Editions.
Page, Warren; Hersh, Reuben; Selden, Annie; et al., ред. (2002). «Media Highlights». The College Mathematics . 33 (2): 147–154. JSTOR 2687124..
Рудин, Уолтер (1964). Принципы математического анализа . McGraw-Hill.
Sutherland, WA (1975). Введение в метрические и топологические пространства . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-853161-3.
Уиттекер ; Уотсон (1904). Курс современного анализа . Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

Мактьютор История Вейерштрасса.
Мактьютор История Больцано
Визуальное исчисление Лоуренса С. Хаша, Университет Теннесси (2001)