Магма (алгебра)

В абстрактной алгебре магма , бинар , ^[1] или, реже, группоид — это базовый вид алгебраической структуры . В частности, магма состоит из множества, снабженного единственной бинарной операцией , которая должна быть замкнута по определению. Никакие другие свойства не налагаются.

История и терминология

Термин группоид был введен в 1927 году Генрихом Брандтом, описывающим его группоид Брандта . Затем этот термин был присвоен Б. А. Хаусманном и Ойстейном Оре (1937) ^[2] в том смысле (множества с бинарной операцией), который используется в этой статье. В нескольких обзорах последующих статей в Zentralblatt Брандт категорически не согласился с этой перегрузкой терминологии. Группоид Брандта является группоидом в том смысле, который используется в теории категорий, но не в том смысле, который используется Хаусманном и Оре. Тем не менее, влиятельные книги по теории полугрупп, включая Клиффорда и Престона (1961) и Хауи (1995), используют группоид в том смысле, который используют Хаусманн и Оре. Холлингс (2014) пишет, что термин группоид «возможно, чаще всего используется в современной математике» в том смысле, который ему придан в теории категорий. ^[3]

Согласно Бергману и Хаускнехту (1996): «Не существует общепринятого слова для множества с необязательно ассоциативной бинарной операцией. Слово группоид используется многими специалистами по универсальной алгебре, но специалисты по теории категорий и смежным областям решительно возражают против такого использования, поскольку они используют то же самое слово для обозначения «категории, в которой все морфизмы обратимы». Термин магма использовался Серром [Алгебры Ли и группы Ли, 1965]». ^[4] Он также появляется в «Элементах математики» Бурбаки , Алгебра, главы 1–3, 1970. [ ^5]

Определение

Магма — это множество M , сопоставленное с операцией •, которая отправляет любые два элемента a , b ∈ M другому элементу, a • b ∈ M . Символ • — это общий заполнитель для правильно определенной операции. Чтобы считаться магмой, множество и операция ( M , •) должны удовлетворять следующему требованию (известному как свойство магмы или замыкания ):

Для всех a , b из M результат операции a • b также принадлежит M.

А в математической записи:

a,b\in M\implies a\cdot b\in M.

Если • вместо этого является частичной операцией , то ( M , •) называется частичной магмой ^[6] или, чаще, частичным группоидом . ^[6]^[7]

Морфизм магм

Морфизм магм — это функция f : M → N , которая отображает магму ( M , •) в магму ( N , ∗) , сохраняющую бинарную операцию:

f ( x • y ) = f ( x ) ∗ f ( y ).

Например, если M равно положительным действительным числам , а * — среднему геометрическому , N — действительной числовой оси, а • — среднему арифметическому , то логарифм f является морфизмом магмы ( M , *) в ( N , •).

доказательство:

\log {\sqrt {xy}}\ =\ {\frac {\log x+\log y}{2}}

Обратите внимание, что эти коммутативные магмы не ассоциативны; и у них нет элемента тождества . Этот морфизм магм используется в экономике с 1863 года, когда У. Стэнли Джевонс рассчитал уровень инфляции в 39 товарах в Англии в своей работе «Серьезное падение стоимости золота установлено» , стр. 7.

Обозначения и комбинаторика

Операция магмы может применяться многократно, и в общем, неассоциативном случае порядок имеет значение, что обозначается скобками. Также операция • часто опускается и обозначается сопоставлением:

(а • (б • в)) • г \equiv (а (бв)) г

Для сокращения количества скобок часто используется сокращение, в котором внутренние операции и пары скобок опускаются, заменяясь просто сопоставлением: $xy • z \equiv (x • y) • z$ . Например, приведенное выше выражение сокращается до следующего выражения, все еще содержащего скобки:

(а • бв) г

Способом полностью избежать использования скобок является префиксная запись , в которой то же самое выражение будет записано $•• a • bcd$ . Другой способ, знакомый программистам, — постфиксная запись ( обратная польская запись ), в которой то же самое выражение будет записано $abc •• d •$ , в котором порядок выполнения просто слева направо (без каррирования ).

Множество всех возможных строк, состоящих из символов, обозначающих элементы магмы, и наборов сбалансированных скобок, называется языком Дика . Общее количество различных способов записи $n$ применений оператора магмы задается каталонским числом $C n$ . Так, например, $C 2 = 2$ , что является просто утверждением, что $(ab) c$ и $a (bc)$ являются единственными двумя способами спаривания трех элементов магмы с двумя операциями. Менее тривиально, $C 3 = 5$ : $((ab) c) d$ , $(a (bc)) d$ , $(ab)(cd)$ , $a ((bc) d)$ и $a (b (cd))$ .

Имеется $n n 2$ магм с $n$ элементами, поэтому имеется 1, 1, 16, 19683,4 294 967 296 , ... (последовательность A002489 в OEIS ) магмы с элементами 0, 1, 2, 3, 4, .... Соответствующие номера неизоморфных магм : 1, 1, 10, 3330,178 981 952 , ... (последовательность A001329 в OEIS ), а числа одновременно неизоморфных и неантиизоморфных магм составляют 1, 1, 7, 1734,89 521 056 , ... (последовательность A001424 в OEIS ). ^[8]

Свободная магма

Свободная магма M _X на множестве X — это «наиболее общая возможная» магма, сгенерированная X (т. е. на генераторы не накладываются никакие отношения или аксиомы; см. свободный объект ). Бинарная операция на M _X формируется путем заключения каждого из двух операндов в скобки и сопоставления их в том же порядке. Например:

а • б = (а)(б),

а • (а • б) = (а)((а)(б)),

(а • а) • б = ((а)(а))(б).

M _X можно описать как набор неассоциативных слов на X с сохранением скобок. ^[9]

Его также можно рассматривать, используя термины, привычные в информатике , как магму полных двоичных деревьев с листьями, помеченными элементами X. Операция заключается в соединении деревьев в корне.

Свободная магма обладает универсальным свойством , таким что если f : X → N — функция из X в любую магму N , то существует единственное расширение f до морфизма магм f ′

f ′ : M _X → N .

Типы магмы

Магмы не часто изучаются как таковые; вместо этого существует несколько различных видов магмы, в зависимости от того, какие аксиомы должна удовлетворять операция. Обычно изучаемые типы магмы включают:

Квазигруппа : магма, в которойвсегда возможно разделение .
- Цикл : Квазигруппа с единичным элементом .
Полугруппа : Магма, где операция ассоциативна .
- Моноид : полугруппа с единичным элементом.
Группа : Магма с обратным, ассоциативным и единичным элементом.

Обратите внимание, что и делимость, и обратимость подразумевают свойство сокращения .

Магмы с коммутативностью

Коммутативная магма : Магма с коммутативностью.
Коммутативный моноид : моноид с коммутативностью.
Абелева группа : группа с коммутативностью.

Классификация по свойствам

Магма $(S, •)$ с $x, y, u, z$ ∈ $S$ называется

Медиальный: Если он удовлетворяет тождеству $xy • uz \equiv xu • yz$
Левый полумедиальный: Если он удовлетворяет тождеству $xx • yz \equiv xy • xz$
Правая полумедиальная: Если он удовлетворяет тождеству $yz • xx \equiv yx • zx$
Полумедиальный: Если это и левая, и правая полумедиальная
Левый распределительный: Если он удовлетворяет тождеству $x • yz \equiv xy • xz$
Право распределительное: Если он удовлетворяет тождеству $yz • x \equiv yx • zx$
Автодистрибьютор: Если он является как левым, так и правым распределительным
Коммутативный: Если он удовлетворяет тождеству $xy \equiv yx$
Идемпотент: Если он удовлетворяет тождеству $xx \equiv x$
Унипотентный: Если он удовлетворяет тождеству $xx \equiv yy$
Нулевой потенциал: Если он удовлетворяет тождествам $xx • y \equiv xx \equiv y • xx$ ^[10]
Альтернатива: Если он удовлетворяет тождествам $xx • y \equiv x • xy$ и $x • yy \equiv xy • y$
Ассоциативный: Если субмагма, созданная каким-либо элементом, ассоциативна
Гибкий: если $ху • х \equiv х • ух$
Ассоциативный: Если он удовлетворяет тождеству $x • yz \equiv xy • z$ , то он называется полугруппой.
Левый унар: Если он удовлетворяет тождеству $xy \equiv xz$
Правильный унар: Если он удовлетворяет тождеству $yx \equiv zx$
Полугруппа с нулевым умножением, или нулевая полугруппа: Если он удовлетворяет тождеству $xy \equiv uv$
Унитал: Если у него есть элемент идентичности
Левый - отменяющий: Если для всех $x, y, z$ соотношение $xy = xz$ подразумевает $y = z$
Право-сократительный: Если для всех $x, y, z$ соотношение $yx = zx$ влечет $y = z$
Отменяющий: Если он одновременно является и правосократительным, и левосократительным
Полугруппа с левыми нулями: Если это полугруппа и она удовлетворяет тождеству $xy \equiv x$
Полугруппа с правыми нулями: Если это полугруппа и она удовлетворяет тождеству $yx \equiv x$
Тримедиальный: Если любая тройка (не обязательно отдельных) элементов образует медиальную субмагму
Энтропийный: Если это гомоморфное изображение медиальной магмы отмены . ^[11]
Центральный: Если он удовлетворяет тождеству $xy • yz \equiv y$

Количество магм, удовлетворяющих заданным свойствам

Категория магм

Категория магм, обозначаемая Mag , — это категория , объектами которой являются магмы, а морфизмами — гомоморфизмы магм. Категория Mag имеет прямые произведения , и существует функтор включения : Set → Med ↪ Mag как тривиальные магмы, с операциями, заданными проекцией $x T y = y$ .

Важным свойством является то, что инъективный эндоморфизм может быть расширен до автоморфизма расширения магмы , просто копредела ( константной последовательности) эндоморфизма .

Поскольку синглтон $({*}, *)$ является конечным объектом Mag , и поскольку Mag является алгебраическим , Mag является точечным и полным . ^[12]

Смотрите также

Категория магмы
Универсальная алгебра
Система компьютерной алгебры Magma , названная в честь объекта данной статьи.
Коммутативная магма
Алгебраические структуры, все аксиомы которых являются тождествами
Группоидная алгебра
Зал набор

Ссылки

^ Бергман, Клиффорд (2011), Универсальная алгебра: основы и избранные темы, CRC Press, ISBN 978-1-4398-5130-2
^ Хаусманн, BA; Оре, Эйстейн (октябрь 1937), «Теория квазигрупп», American Journal of Mathematics , 59 (4): 983–1004, doi :10.2307/2371362, JSTOR 2371362.
^ Холлингс, Кристофер (2014), Математика через железный занавес: История алгебраической теории полугрупп, Американское математическое общество, стр. 142–143, ISBN 978-1-4704-1493-1.
^ Бергман, Джордж М.; Хаускнехт, Адам О. (1996), Когруппы и кокольца в категориях ассоциативных колец, Американское математическое общество, стр. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7.
^ Бурбаки, Н. (1998) [1970], «Алгебраические структуры: §1.1 Законы композиции: Определение 1», Алгебра I: Главы 1–3 , Springer, стр. 1, ISBN 978-3-540-64243-5.
^ аб Мюллер-Хойссен, Фолькерт; Палло, Жан Марсель; Сташефф, Джим, ред. (2012), Ассоциэдры, Решетки Тамари и родственные структуры: Tamari Memorial Festschrift, Springer, стр. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9.
^ Евсеев, А.Е. (1988), «Обзор частичных группоидов», в книге Сильвера, Бена (ред.), Девятнадцать статей по алгебраическим полугруппам , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3115-1.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Группоид». Математический мир .
^ Роуэн, Луис Халле (2008), «Определение 21B.1.», Высшая алгебра: некоммутативный взгляд , Высшие исследования по математике , Американское математическое общество , стр. 321, ISBN 978-0-8218-8408-9.
^ Кепка, Т.; Немец, П. (1996), «Простые сбалансированные группоиды» (PDF) , Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Математика , 35 (1): 53–60..
^ Ежек, Ярослав; Кепка, Томаш (1981), «Свободные энтропийные группоиды» (PDF) , Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae , 22 (2): 223–233, MR 0620359.
^ Борсе, Фрэнсис; Борн, Доминик (2004). Мальцев, протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории. Springer. стр. 7, 19. ISBN 1-4020-1961-0.

Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Магма», Энциклопедия математики , EMS Press
Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Группоид», Энциклопедия математики , EMS Press
Хазевинкель, М. (2001) [1994], "Свободная магма", Энциклопедия математики , EMS Press
Вайсштейн, Эрик В. «Группоид». Математический мир .

Дальнейшее чтение

Брук, Ричард Хьюберт (1971), Обзор бинарных систем (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3