Махавира (математик)

Индийский математик IX века.

Махавира (или Махавирачарья , «Махавира Учитель») был индийским джайнским математиком IX века , возможно, родившимся в Майсуре , в Индии . ^{[1] [2] [3]} Он написал Ганита-сара-санграха ( Ganita Sara Sangraha ) или «Сборник по сути математики» в 850 году н. э. ^[4] Ему покровительствовал император Раштракута Амогхаварша . ^[4] Он отделил астрологию от математики. Это самый ранний индийский текст, полностью посвященный математике. ^[5] Он излагал те же темы, о которых спорили Арьябхата и Брахмагупта , но он выразил их более ясно. Его работа представляет собой весьма синкопированный подход к алгебре, и акцент во многих его текстах делается на разработке методов, необходимых для решения алгебраических задач. ^[6] Он пользуется большим уважением среди индийских математиков, поскольку создал терминологию для таких понятий, как равносторонний и равнобедренный треугольник; ромб; круг и полукруг. ^[7] Известность Махавиры распространилась по всей южной Индии, и его книги оказались вдохновляющими для других математиков в Южной Индии . ^[8] Она была переведена на язык телугу Павулури Малланой как Saara Sangraha Ganitamu . ^[9]

Он открыл алгебраические тождества, такие как a ³ = a ( a + b ) ( a − b ) + b ² ( a − b ) + b ³ . ^[3] Он также нашел формулу для ⁿ C _r как
[ n ( n − 1) ( n − 2) ... ( n − r + 1)] / [ r ( r − 1) ( r − 2) ... 2 * 1]. ^[10] Он разработал формулу, которая приблизительно вычисляла площадь и периметры эллипсов, и нашел методы вычисления квадрата числа и кубических корней числа. ^[11] Он утверждал, что квадратного корня из отрицательного числа не существует. ^[12] Арифметические операции, используемые в его работах, таких как Ганита-сара-санграха (Ganita Sara Sangraha), используют десятичную систему счисления и включают использование нуля . Однако он ошибочно утверждает, что число, деленное на ноль, остается неизменным. ^[13]

Правила разложения дробей

Ганита-сара-санграха Махавиры дала систематические правила для выражения дроби как суммы единичных дробей . ^[14] Это следует за использованием единичных дробей в индийской математике в ведический период, и Шульба-сутры , дающие приближение √ 2 , эквивалентное . ^[14] ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3\cdot 4}}-{\tfrac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}}$

В Ганита-сара-санграхе (GSS) второй раздел главы об арифметике называется кала-саварна-вьявахара (буквально «операция сокращения дробей»). В этом разделе бхагаджати (стихи 55–98) даны правила для следующего: ^[14]

• Чтобы выразить 1 как сумму n дробей единицы (GSS kalāsavarṇa 75, примеры в 76): ^[14]

рупамшакарашинам рупадьяс тригунита харах крамашах /
двидвитрйамшабхьястав адимачарамау пхале рупе //

Когда результат равен единице, знаменатели величин, имеющих единицу в качестве числителя, являются [числами], начинающимися с единицы и умноженными на три по порядку. Первое и последнее умножаются на два и две трети [соответственно].

${\displaystyle 1={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{3^{n-2}}}+{\frac {1}{{\frac {2}{3}}\cdot 3^{n-1}}}}$

• Чтобы выразить 1 как сумму нечетного числа дробей единицы (GSS kalāsavarṇa 77): ^[14]

${\displaystyle 1={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 1/2}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 1/2}}+\dots +{\frac {1}{(2n-1)\cdot 2n\cdot 1/2}}+{\frac {1}{2n\cdot 1/2}}}$

• Чтобы выразить единичную дробь как сумму n других дробей с заданными числителями (GSS kalāsavarṇa 78, примеры в 79): ${\displaystyle 1/q}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {a_{1}}{q(q+a_{1})}}+{\frac {a_{2}}{(q+a_{1})(q+a_{1}+a_{2})}}+\dots +{\frac {a_{n-1}}{(q+a_{1}+\dots +a_{n-2})(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}+{\frac {a_{n}}{a_{n}(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}}$

• Чтобы выразить любую дробь как сумму единичных дробей (GSS kalāsavarṇa 80, примеры в 81): ^[14] ${\displaystyle p/q}$

Выберите целое число i, такое, что является целым числом r , затем запишите ${\displaystyle {\tfrac {q+i}{p}}}$

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {1}{r}}+{\frac {i}{r\cdot q}}}$

и повторите процесс для второго члена, рекурсивно. (Обратите внимание, что если i всегда выбирается как наименьшее такое целое число, это идентично жадному алгоритму для египетских дробей .)

• Чтобы выразить дробь единицы как сумму двух других дробей единицы (GSS kalāsavarṇa 85, пример в 86): ^[14]

${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {1}{p\cdot n}}+{\frac {1}{\frac {p\cdot n}{n-1}}}}$где следует выбрать так, чтобы было целым числом (которое должно быть кратно ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\frac {p\cdot n}{n-1}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle {\frac {1}{a\cdot b}}={\frac {1}{a(a+b)}}+{\frac {1}{b(a+b)}}}$

• Чтобы выразить дробь как сумму двух других дробей с заданными числителями и (GSS kalāsavarṇa 87, пример в 88): ^[14] ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {a}{{\frac {ai+b}{p}}\cdot {\frac {q}{i}}}}+{\frac {b}{{\frac {ai+b}{p}}\cdot {\frac {q}{i}}\cdot {i}}}}$где должно быть выбрано так, чтобы делилось ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ai+b}$

Некоторые дополнительные правила были даны в Ганита-каумуди Нараяны в 14 веке. ^[14 ]

Смотрите также

• Список индийских математиков

Примечания

1. Пингри 1970.
2. О'Коннор и Робертсон 2000.
3. Tabak 2009, стр. 42.
4. Puttaswamy 2012, стр. 231.
5. Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в ... Клиффорда А. Пиковера: страница 88
6. Алгебра: множества, символы и язык мысли Джона Табака: стр.43
7. Геометрия в древней и средневековой Индии Т. А. Сарасвати Аммы: стр. 122
8. Хаяши 2013.
9. Перепись точных наук на санскрите Дэвида Пингри: стр. 388
10. Табак 2009, стр. 43.
11. Кребс 2004, стр. 132.
12. Селин 2008, стр. 1268.
13. Краткая история науки в Индии (ред.) DM Bose, SN Sen и BV Subbarayappa. Индийская национальная академия наук. 15 октября 1971 г. стр. 167.{{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
14. Кусуба 2004, стр. 497–516.

Ссылки

• Бибхутибхусан Датта и Авадхеш Нараян Сингх (1962). История индуистской математики: Справочник .
• Pingree, David (1970). "Mahāvira". Словарь научной биографии . Нью-Йорк: Charles Scribner's Sons. ISBN 978-0-684-10114-9.(Доступно онлайн, как и многие другие записи из других энциклопедий по другим Махавирам.)
• Селин, Хелайн (2008), Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах, Springer, Bibcode :2008ehst.book.....S, ISBN 978-1-4020-4559-2
• Хаяши, Такао (2013), «Махавира», Британская энциклопедия
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (2000), «Махавира», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
• Табак, Джон (2009), Алгебра: множества, символы и язык мысли, Infobase Publishing, ISBN 978-0-8160-6875-3
• Кребс, Роберт Э. (2004), Новаторские научные эксперименты, изобретения и открытия Средних веков и эпохи Возрождения, Greenwood Publishing Group, ISBN 978-0-313-32433-8
• Путтасвами, TK (2012), Математические достижения досовременных индийских математиков, Newnes, ISBN 978-0-12-397938-4
• Кусуба, Таканори (2004), «Индийские правила разложения дробей», в Чарльз Бернетт; Ян П. Хогендейк; Ким Плофкер ; и др. (ред.), Исследования по истории точных наук в честь Дэвида Пингри , Брилл , ISBN 9004132023, ISSN  0169-8729