Маршаллианская функция спроса

Микроэкономическая функция

В микроэкономике функция спроса потребителя по Маршаллу (названная в честь Альфреда Маршалла ) — это количество товара, которое они требуют, как функцию его цены, их дохода и цен других товаров, более техническое описание стандартной функции спроса . Это решение проблемы максимизации полезности , заключающейся в том, как потребитель может максимизировать свою полезность при заданном доходе и ценах. Синонимичным термином является некомпенсированная функция спроса , поскольку при росте цены потребитель не компенсируется более высоким номинальным доходом за падение своего реального дохода, в отличие от функции спроса по Хиксу . Таким образом, изменение количества спроса представляет собой комбинацию эффекта замещения и эффекта богатства . Хотя маршаллианский спрос находится в контексте теории частичного равновесия, его иногда называют вальрасовским спросом , как это используется в теории общего равновесия (названной в честь Леона Вальраса ).

Согласно задаче максимизации полезности, существуют товары с вектором цены и выбираемым вектором количества . Потребитель имеет доход , а значит, бюджетный набор доступных пакетов ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle B(p,I)=\{x:p\cdot x\leq I\},}$

где - скалярное произведение векторов цены и количества. Потребитель имеет функцию полезности ${\displaystyle p\cdot x=\sum _{i}^{L}p_{i}x_{i}}$

${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}^{L}\rightarrow \mathbb {R} .}$

Маршалловское соответствие спроса потребителя определяется как

${\displaystyle x^{*}(p,I)=\operatorname {argmax} _{x\in B(p,I)}u(x)}$

Выявленные предпочтения

Теория Маршалла предполагает, что стремление к полезности является мотивирующим фактором для потребителя, который может быть достигнут посредством потребления товаров или услуг. Величина потребительской полезности зависит от уровня потребления определенного блага, что подчиняется фундаментальной тенденции человеческой природы и описывается как закон убывающей предельной полезности .

Поскольку максимум полезности всегда существует, соответствие спроса Маршалла должно быть непустым при каждом значении, которое соответствует стандартному набору бюджета.

Уникальность

${\displaystyle x^{*}(p,I)}$называется соответствием, потому что в общем случае оно может быть задано-значным - может быть несколько различных наборов, которые достигают той же максимальной полезности. В некоторых случаях существует уникальный набор, максимизирующий полезность, для каждой ситуации цены и дохода; тогда это функция, и она называется функцией спроса Маршалла . ${\displaystyle x^{*}(p,I)}$

Если потребитель имеет строго выпуклые предпочтения и цены всех товаров строго положительны, то существует единственный набор, максимизирующий полезность. ^{[1] : 156} Чтобы доказать это, предположим от противного, что существуют два различных набора, и , которые максимизируют полезность. Тогда и одинаково предпочтительны. По определению строгой выпуклости смешанный набор строго лучше, чем . Но это противоречит оптимальности . ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle 0.5x_{1}+0.5x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

Непрерывность

Теорема максимума подразумевает, что если:

• Функция полезности непрерывна относительно , ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle x}$
• Соответствие непустое, компактнозначное и непрерывное относительно , ${\displaystyle B(p,I)}$ ${\displaystyle p,I}$

тогда — полунепрерывное сверху соответствие. Более того, если — единственное, то — непрерывная функция и . ^{[1] : 156, 506} ${\displaystyle x^{*}(p,I)}$ ${\displaystyle x^{*}(p,I)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$

В сочетании с предыдущим подразделом, если потребитель имеет строго выпуклые предпочтения, то маршаллианский спрос является уникальным и непрерывным. Напротив, если предпочтения не являются выпуклыми, то маршаллианский спрос может быть неуникальным и ненепрерывным.

Однородность

Оптимальное соответствие спроса Маршалла непрерывной функции полезности является однородной функцией степени ноль. Это означает, что для каждой константы ${\displaystyle a>0,}$

${\displaystyle x^{*}(a\cdot p,a\cdot I)=x^{*}(p,I).}$

Это интуитивно понятно. Предположим, что и измеряются в долларах. Когда , и являются абсолютно одинаковыми величинами, измеряемыми в центах. Когда цены и богатство растут на коэффициент a, покупательская модель экономического агента остается постоянной. Очевидно, что выражение в разных единицах измерения цен и дохода не должно влиять на спрос. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a=100}$ ${\displaystyle ap}$ ${\displaystyle aI}$

Кривая спроса

Теория Маршалла использует то, что кривая спроса представляет собой уменьшающуюся предельную ценность товара для отдельного человека. Теория настаивает на том, что решение потребителя о покупке зависит от получаемой полезности товара или услуги по сравнению с ценой, поскольку дополнительная полезность, которую получает потребитель, должна быть по крайней мере такой же большой, как цена. Следующее предложение предполагает, что требуемая цена равна максимальной цене, которую потребитель заплатил бы за дополнительную единицу товара или услуги. Следовательно, полезность сохраняется постоянной вдоль кривой спроса. Когда предельная полезность дохода постоянна или ее значение одинаково для всех людей в пределах кривой спроса на рынке, создание чистой выгоды от приобретенных единиц или потребительского излишка возможно путем сложения цен спроса.

Точка пересечения «Цены» и «Предельной полезности = Спроса» показывает оптимальный уровень потребления индивида.

Примеры

В следующих примерах есть два товара: 1 и 2.

1. Функция полезности имеет форму Кобба–Дугласа :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }.}$

Ограниченная оптимизация приводит к маршалловской функции спроса:

${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {\alpha I}{(\alpha +\beta )p_{1}}},{\frac {\beta I}{(\alpha +\beta )p_{2}}}\right).}$

2. Функция полезности представляет собой функцию полезности CES :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\left[{\frac {x_{1}^{\delta }}{\delta }}+{\frac {x_{2}^{\delta }}{\delta }}\right]^{\frac {1}{\delta }}.}$

Затем ${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {Ip_{1}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}},{\frac {Ip_{2}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}}\right),\quad {\text{with}}\quad \epsilon ={\frac {\delta }{\delta -1}}.}$

В обоих случаях предпочтения строго выпуклы, спрос уникален, а функция спроса непрерывна.

3. Функция полезности имеет линейную форму :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}.}$

Функция полезности является лишь слабо выпуклой, и действительно, спрос не является уникальным: когда потребитель может разделить свой доход в произвольных соотношениях между типами продуктов 1 и 2 и получить ту же полезность. ${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$

4. Функция полезности демонстрирует неубывающую предельную норму замещения:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{\alpha }+x_{2}^{\alpha }),\quad {\text{with}}\quad \alpha >1.}$

Функция полезности не является выпуклой, и действительно спрос не является непрерывным: когда , потребитель требует только продукт 1, а когда , потребитель требует только продукт 2 (когда соответствие спроса содержит два различных набора: либо купить только продукт 1, либо купить только продукт 2). ${\displaystyle p_{1}<p_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}<p_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$

Смотрите также

• Функция спроса Хикса
• Задача максимизации полезности
• Уравнение Слуцкого
• Законы Хикса-Маршалла о производном спросе

Ссылки

1. Varian, Hal (1992). Микроэкономический анализ (третье изд.). Нью-Йорк: Norton. ISBN 0-393-95735-7.

• Мас-Колелл, Андре ; Уинстон, Майкл и Грин, Джерри (1995). Микроэкономическая теория . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1.
• Николсон, Уолтер (1978). Микроэкономическая теория (второе издание). Хинсдейл: Dryden Press. стр. 90–93. ISBN 0-03-020831-9.
• Силберберг, Э. (2008). Требования Хикса и Маршалла . Лондон: Palgrave Macmillan, Лондон. ISBN 978-1-349-95121-5.
• Левин, Джонатан; Милгром, Пол (октябрь 2004 г.). "Consumer Theory" (PDF) . Получено 22 апреля 2021 г. .
• Вонг, Стэнли (2006). Основы теории выявленных предпочтений Пола Самуэльсона (PDF) (пересмотренное издание). Routledge. ISBN 0-203-34983-0. Получено 19 апреля 2021 г. .