Скудный набор

«Малое» подмножество топологического пространства

В математической области общей топологии , тощее множество (также называемое тощим множеством или множеством первой категории ) — это подмножество топологического пространства , которое мало или пренебрежимо мало в точном смысле, подробно описанном ниже. Множество, которое не является тощим, называется нетощим , или множеством второй категории . Ниже приведены определения других связанных терминов.

Разреженные подмножества фиксированного пространства образуют σ-идеал подмножеств; то есть любое подмножество разреженного множества является разреженным, а объединение счетного числа разреженных множеств является разреженным.

Разреженные множества играют важную роль в формулировке понятия пространства Бэра и теоремы Бэра о категории , которая используется при доказательстве ряда фундаментальных результатов функционального анализа .

Определения

Всюду будет топологическое пространство . ${\displaystyle X}$

Определение тощего множества использует понятие нигде не плотного подмножества , то есть подмножества, замыкание которого имеет пустую внутренность . Подробнее см. в соответствующей статье. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Подмножество называется ${\displaystyle X}$скудный ${\displaystyle X,}$ в ${\displaystyle X,}$скудное подмножество илипервая категория в , ${\displaystyle X}$если это счетное объединениенигде не плотныхподмножеств.^[1]В противном случае подмножество называется ${\displaystyle X}$нескудный ${\displaystyle X,}$ внескудное ${\displaystyle X,}$ подмножествоиливторая категория в ${\displaystyle X.}$^[1] Квалификатор «в» можно опустить, если окружающее пространство фиксировано и понятно из контекста. ${\displaystyle X}$

Топологическое пространство называетсяскудный (соответственно,нескудный ), если он является скудным (соответственно, нескудным) подмножеством самого себя.

Подмножество называется​ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$входить ${\displaystyle X,}$ или​Остаток в , ${\displaystyle X,}$если егодополнение является тощим в. (Такое использование префикса «ко» согласуется с его использованием в других терминах, таких как «коконечный».) Подмножество является коконечным втогда и только тогда, когда оно равно счетномупересечениюмножеств, каждое из которых является плотным в ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Замечания по терминологии

Понятия неразреженного и комеагре не следует путать. Если пространство разреженное, каждое подмножество является как разреженным, так и комеагре, и неразреженных множеств не существует. Если пространство неразреженное, ни одно множество не является одновременно разреженным и комеагре, каждое комеагре является неразреженным, и могут быть неразреженные множества, которые не являются комеагре, то есть с неразреженным дополнением. См. раздел «Примеры» ниже. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В качестве дополнительного терминологического момента, если подмножество топологического пространства задано топологией подпространства, индуцированной из , можно говорить о том, что оно является разреженным пространством, а именно разреженным подмножеством самого себя (когда рассматривается как топологическое пространство само по себе). В этом случае его также можно назвать разреженным подпространством , имея в виду разреженное пространство при заданной топологии подпространства. Важно отметить, что это не то же самое, что быть разреженным во всем пространстве . (См. разделы Свойства и Примеры ниже для связи между ними.) Аналогично, неразреженное подпространство будет множеством, которое является неразреженным само по себе, что не то же самое, что быть неразреженным во всем пространстве. Однако следует помнить, что в контексте топологических векторных пространств некоторые авторы могут использовать фразу «разреженное/неразреженное подпространство» для обозначения векторного подпространства, которое является разреженным/неразреженным множеством относительно всего пространства. ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Термины «первая категория» и «вторая категория» были первоначально использованы Рене Бэром в его диссертации 1899 года. ^[3] Сокращенная терминология была введена Бурбаки в 1948 году. [ ^{4] [5]}

Примеры

Пустое множество всегда является замкнутым нигде не плотным (и, следовательно, скудным) подмножеством любого топологического пространства.

В неразреженном пространстве множество разрежено. Множество разрежено и разрежено. ${\displaystyle X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle [2,3]\cap \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [0,1]}$

В неразреженном пространстве множество неразреженно. Но оно не является разреженным, так как его дополнение также неразреженно. ${\displaystyle X=[0,2]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (1,2]}$

Счетное пространство T 1 без изолированной точки является тощим. Поэтому оно также является тощим в любом пространстве, которое содержит его как подпространство. Например, является одновременно тощим подпространством (то есть тощим в себе с топологией подпространства, индуцированной из ) и тощим подмножеством ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Множество Кантора нигде не является плотным в и, следовательно, разреженным в Но оно неразреженно само по себе, поскольку является полным метрическим пространством . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Множество не является нигде плотным в , но оно является разреженным в . Оно неразреженно само по себе (поскольку как подпространство оно содержит изолированную точку). ${\displaystyle ([0,1]\cap \mathbb {Q} )\cup \{2\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Линия является тощей в плоскости , но она является нетощим подпространством, то есть она нетощая сама по себе. ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Множество является разреженным подмножеством , хотя его разреженное подмножество является неразреженным подпространством ( то есть не является разреженным топологическим пространством). ^[6] Счетное хаусдорфово пространство без изолированных точек является разреженным, тогда как любое топологическое пространство, содержащее изолированную точку, является неразреженным. ^[6] Поскольку рациональные числа счетны, они являются разреженными как подмножество действительных чисел и как пространство, то есть они не образуют пространство Бэра . ${\displaystyle S=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cup (\mathbb {R} \times \{0\})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Любое топологическое пространство, содержащее изолированную точку, является неразреженным ^[6] (потому что никакое множество, содержащее изолированную точку, не может быть нигде плотным). В частности, каждое непустое дискретное пространство является неразреженным.

Существует подмножество действительных чисел , которое разбивает каждое непустое открытое множество на два неразреженных множества. То есть, для каждого непустого открытого множества множества и оба неразреженные. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\cap H}$ ${\displaystyle U\setminus H}$

В пространстве непрерывных вещественных функций на с топологией равномерной сходимости множество непрерывных вещественных функций на , имеющих производную в некоторой точке, является тощим. ^{[7] [8]} Поскольку является полным метрическим пространством, оно нетощее. Поэтому дополнение к , которое состоит из непрерывных вещественных нигде не дифференцируемых функций на , является и тощим, и нетощим. В частности, это множество не пусто. Это один из способов показать существование непрерывных нигде не дифференцируемых функций. ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [0,1],}$

На бесконечномерном банаховом пространстве существует разрывный линейный функционал , ядро ​​которого не является тощим. ^[9] Также, согласно аксиоме Мартина , на каждом сепарабельном банаховом пространстве существует разрывный линейный функционал, ядро ​​которого является тощим (это утверждение опровергает гипотезу Виланского–Кли ^[10] ). ^[9]

Характеристики и достаточные условия

Каждое непустое пространство Бэра неразреженно. В частности, по теореме Бэра о категории каждое непустое полное метрическое пространство и каждое непустое локально компактное хаусдорфово пространство неразреженно.

Каждое непустое пространство Бэра является неразреженным, но существуют неразреженные пространства, которые не являются пространствами Бэра. ^[6] Поскольку полные (псевдо) метрические пространства , а также хаусдорфовы локально компактные пространства являются пространствами Бэра , они также являются неразреженными пространствами. ^[6]

Любое подмножество разреженного множества является разреженным множеством, как и объединение счетного числа разреженных множеств. ^[11] Если является гомеоморфизмом , то подмножество является разреженным тогда и только тогда, когда является разреженным. ^[11] ${\displaystyle h:X\to X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle h(S)}$

Каждое нигде не плотное подмножество является разреженным множеством. ^[11] Следовательно, любое замкнутое подмножество , внутренность которого в пуста, принадлежит первой категории (то есть является разреженным подмножеством ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

TheТеорема Банаха о категории ^[12]утверждает, что в любом пространствеобъединение любого семейства открытых множеств первой категории имеет первую категорию. ${\displaystyle X,}$

Все подмножества и все счетные объединения разреженных множеств являются разреженными. Таким образом, разреженные подмножества фиксированного пространства образуют σ-идеал подмножеств, подходящее понятие пренебрежимого множества . Двойственно, все надмножества и все счетные пересечения комеагровых множеств являются комеагровыми. Каждое надмножество неразреженного множества является неразреженным.

Предположим, что топология подпространства индуцирована из Множество может быть разреженным в , не будучи разреженным в Однако справедливы следующие результаты: ^[5] ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

• Если скудно, то скудно ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Если открыто в то является скудным в тогда и только тогда является скудным в ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Если плотный в то является скудным в тогда и только тогда является скудным в ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

И соответственно для неразреженных множеств:

• Если нетощий в то нетощий в ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y.}$
• Если открыто в то является неразреженным в тогда и только тогда, когда является неразреженным в ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Если является плотным в , то является неразреженным в , если и только если является неразреженным в ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

В частности, каждое подмножество , которое является скудным в себе, является скудным в Каждое подмножество , которое является нескудным в, является нескудным в себе. И для открытого множества или плотного множества в быть скудным в равносильно быть скудным в себе, и аналогично для свойства нескудности. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Топологическое пространство является неразреженным тогда и только тогда, когда каждое счетное пересечение плотных открытых множеств в непусто. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Каждое нигде не плотное подмножество является тощим. Следовательно, любое замкнутое подмножество с пустой внутренностью является тощим. Таким образом, замкнутое подмножество , которое принадлежит второй категории в , должно иметь непустую внутренность в ^[14] (потому что в противном случае оно было бы нигде не плотным и, следовательно, первой категории). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Если относится ко второй категории в и если являются подмножествами такими, что то по крайней мере один относится ко второй категории в ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle X.}$

Тощие подмножества и мера Лебега

Существуют нигде не плотные подмножества (которые, таким образом, являются тощими подмножествами), которые имеют положительную меру Лебега . ^[6]

Тощее множество в не обязательно должно иметь нулевую меру Лебега , и может даже иметь полную меру. Например, в интервале толстые множества Кантора , такие как множество Смита–Вольтерра–Кантора , являются замкнутыми нигде не плотными и их можно построить с мерой, сколь угодно близкой к Объединение счетного числа таких множеств с мерой, приближающейся к дает тощее подмножество с мерой ^[15] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$

Двойственно, могут быть неразреженные множества с мерой 0. Дополнение любого разреженного множества меры в (например, в предыдущем абзаце) имеет меру и является коагрегатным в и, следовательно, неразреженным в , поскольку является пространством Бэра. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Вот еще один пример нетощего множества с мерой : где — последовательность, которая перечисляет рациональные числа. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(r_{n}-\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m},r_{n}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m}\right)}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$

Связь с иерархией Бореля

Так же, как нигде не плотное подмножество не обязательно должно быть замкнутым, но всегда содержится в замкнутом нигде не плотном подмножестве (а именно, в его замыкании), разреженное множество не обязательно должно быть множеством ( счетным объединением замкнутых множеств), но всегда содержится в множестве, образованном из нигде не плотных множеств (путем взятия замыкания каждого множества). ${\displaystyle F_{\sigma }}$ ${\displaystyle F_{\sigma }}$

Двойственно, так же как дополнение к нигде не плотному множеству не обязательно должно быть открытым, но иметь плотную внутреннюю часть (содержит плотное открытое множество), коагрегатное множество не обязательно должно быть множеством (счетным пересечением открытых множеств), но содержит плотное множество, образованное из плотных открытых множеств. ${\displaystyle G_{\delta }}$ ${\displaystyle G_{\delta }}$

Игра Банаха–Мазура

У тощих множеств есть полезная альтернативная характеристика в терминах игры Банаха–Мазура . Пусть будет топологическим пространством, будет семейством подмножеств , которые имеют непустые внутренности, такие, что каждое непустое открытое множество имеет подмножество, принадлежащее , и будет любым подмножеством Тогда существует игра Банаха–Мазура В игре Банаха–Мазура два игрока и поочередно выбирают последовательно меньшие элементы , чтобы получить последовательность Игрок выигрывает, если пересечение этой последовательности содержит точку в ; в противном случае игрок выигрывает. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle MZ(X,Y,{\mathcal {W}}).}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq W_{3}\supseteq \cdots .}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Q}$

Теорема  —  Для любого игрока, удовлетворяющего вышеуказанным критериям, у него есть выигрышная стратегия тогда и только тогда, когда она скудна. ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle X}$

Двойственность Эрдеша–Серпинского

Многие аргументы о тощих множествах применимы также к нулевым множествам , то есть множествам меры Лебега 0. Теорема двойственности Эрдеша–Серпинского утверждает, что если верна гипотеза континуума , то существует инволюция от вещественных чисел к вещественным числам, где изображение нулевого множества вещественных чисел является тощим множеством, и наоборот. ^[16] Фактически, изображение множества вещественных чисел под отображением является нулевым тогда и только тогда, когда исходное множество было тощим, и наоборот. ^[17]

Смотрите также

• Бочечное пространство  – Тип топологического векторного пространства
• Родовое свойство  – свойство, удерживаемое для типичных примеров, для аналогов остаточного
• Незначительное множество  – Математическое множество, считающееся незначительным, для аналогов – скудным
• Свойство Бэра  – Разность открытого множества с разреженным множеством

Примечания

1. Narici & Beckenstein 2011, стр. 389.
2. Шефер, Хельмут Х. (1966). «Топологические векторные пространства». Macmillan.
3. Бэр, Рене (1899). «О функциях переменных». Аннали ди Мат. Pura ed Appl . 3: 1–123., страница 65
4. Окстоби, Дж. (1961). «Декартовы произведения пространств Бэра» (PDF) . Фундамента Математика . 49 (2): 157–166. дои : 10.4064/fm-49-2-157-166.«Следуя Бурбаки [...], топологическое пространство называется пространством Бэра, если ...»
5. Бурбаки 1989, стр. 192.
6. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 371–423.
7. Банах, С. (1931). «Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen». Студия Матем. 3 (1): 174–179. дои : 10.4064/см-3-1-174-179 .
8. Уиллард 2004, Теорема 25.5.
9. https://mathoverflow.net/questions/3188/are-proper-linear-subspaces-of-banachovy-spaces-always-meager
10. https://www.ams.org/journals/bull/1966-72-04/S0002-9904-1966-11547-1/S0002-9904-1966-11547-1.pdf .
11. Рудин 1991, стр. 43.
12. Окстоби 1980, стр. 62.
13. Уиллард 2004, Теорема 25.2.
14. Рудин 1991, стр. 42–43.
15. "Существует ли множество нулевой меры, которое не является тощим?". MathOverflow .
16. Кинтанилья, М. (2022). «Действительные числа во внутренних моделях теории множеств». arXiv : 2206.10754 .(стр.25)
17. S. Saito, Теорема двойственности Эрдёша-Серпинского, примечания. Доступ 18 января 2023 г.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Окстоби, Джон К. (1980). «Теорема Банаха о категории». Мера и категория (второе изд.). Нью-Йорк: Springer. стр. 62–65. ISBN 0-387-90508-1.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.