Механика движения плоской частицы [1] представляет собой анализ движения частиц, гравитационно притягиваемых друг к другу, которые наблюдаются из неинерциальных систем отсчета [2] [3] [4], и обобщение этой проблемы на движение планет . [5] Этот тип анализа тесно связан с центробежной силой , задачей двух тел , орбитой и законами Кеплера о движении планет . Механика движения плоской частицы относится к общей области аналитической динамики и помогает определять орбиты из законов сил. [6] В этой статье больше внимания уделяется кинематическим вопросам, связанным с движением плоскости, которые заключаются в определении сил, необходимых для приведения к определенной траектории, заданной траекторией частицы.
Общие результаты, представленные в псевдосилах [7] , которые применяются к наблюдениям за движущейся частицей и видны из нескольких конкретных неинерциальных систем отсчета. Например, локальная система отсчета (связанная с движущейся частицей, так что она кажется неподвижной) и совместно вращающаяся система отсчета (с произвольно расположенной, но фиксированной осью и скоростью вращения, которая заставляет частицу казаться имеющей только радиальное движение и нулевое азимутальное движение). При этом вводится лагранжев подход к фиктивным силам.
В отличие от реальных сил, таких как электромагнитные силы , фиктивные силы (или псевдосилы) не возникают в результате физического взаимодействия между объектами.
Появление фиктивных сил обычно связывают с использованием неинерциальной системы отсчета , а их отсутствие — с использованием инерциальной системы отсчета . Связь между инерциальными системами отсчета и фиктивными силами (их также называют инерционными силами или псевдосилами ) выражена Арнольдом: [8]
Уравнения движения в неинерциальной системе отличаются от уравнений в инерциальной системе дополнительными членами, называемыми инерционными силами. Это позволяет экспериментально обнаружить неинерционность системы.
— В. И. Арнольд: Математические методы классической механики Второе издание, стр. 129
Несколько иной взгляд на эту тему предлагает Иро: [9]
Дополнительная сила, возникающая из-за неравномерного относительного движения двух систем отсчета, называется псевдосилой .
— Х. Иро в книге «Современный подход к классической механике», стр. 180
Фиктивные силы не появляются в уравнениях движения в инерциальной системе отсчета . В инерциальной системе отсчета движение объекта объясняется реальными приложенными силами. Однако в неинерциальной системе отсчета, такой как вращающаяся система отсчета, первый и второй законы Ньютона могут быть использованы для точных физических предсказаний при условии, что фиктивные силы включены вместе с реальными силами. Для решения задач механики в неинерциальных системах отсчета фиктивные силы можно рассматривать как реальные силы, притворяясь, что вы находитесь в инерциальной системе отсчета. [10] [11]
Относитесь к вымышленным силам как к реальным и представьте, что вы находитесь в инерциальной системе отсчета.
— Луис Н. Хэнд, Джанет Д. Финч Аналитическая механика , стр. 267
Следует отметить, что «обращение с фиктивными силами как с реальными силами» означает, что фиктивные силы, рассматриваемые в конкретной неинерциальной системе отсчета, преобразуются как векторы при преобразованиях координат, выполняемых в этой системе отсчета, подобно реальным силам.
Далее следует отметить, что изменяющиеся во времени координаты используются как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчета, поэтому использование изменяющихся во времени координат не следует путать со сменой наблюдателя, поскольку это всего лишь изменение выбора описания наблюдателем.
Термин «система отсчета» часто используется в очень широком смысле, но в рамках настоящего обсуждения его значение ограничено указанием на «состояние движения» наблюдателя , то есть либо на инерциальную систему отсчета, либо на неинерциальную систему отсчета.
Термин «система координат» используется для различения различных возможных выборов для набора переменных для описания движения, причем выбор доступен любому наблюдателю, независимо от состояния его движения. Примерами являются декартовы координаты , полярные координаты и (в более общем смысле) криволинейные координаты .
Вот две цитаты, касающиеся «состояния движения» и «системы координат»: [12] [13]
Сначала мы введем понятие системы отсчета , которая сама по себе связана с идеей наблюдателя : система отсчета — это, в некотором смысле, «евклидово пространство, переносимое наблюдателем». Давайте дадим более математическое определение:… система отсчета — это… множество всех точек в евклидовом пространстве с движением твердого тела наблюдателя. Говорят, что система отсчета, обозначаемая , движется вместе с наблюдателем.… Пространственные положения частиц помечаются относительно системы отсчета путем установления системы координат R с началом O. Соответствующий набор осей, разделяющих движение твердого тела системы , можно считать дающим физическую реализацию . В системе отсчета координаты изменяются с R на R ' [ необходимо разъяснение ] путем выполнения в каждый момент времени одного и того же преобразования координат над компонентами внутренних объектов (векторов и тензоров), введенными для представления физических величин в этой системе отсчета .
— Жан Саленсон, Стивен Лайл. (2001). Справочник по механике сплошных сред: Общие понятия, Термоупругость, стр. 9
В традиционных разработках специальной и общей теории относительности было принято не различать две совершенно разные идеи. Первая — это понятие системы координат, понимаемое просто как гладкое, обратимое присвоение четырех чисел событиям в окрестностях пространства-времени. Вторая, система отсчета, относится к идеализированной системе, используемой для присвоения таких чисел… Чтобы избежать ненужных ограничений, мы можем отделить это расположение от метрических понятий. … Для наших целей особенно важно то, что каждая система отсчета имеет определенное состояние движения при каждом событии пространства-времени. …В контексте специальной теории относительности и до тех пор, пока мы ограничиваемся системами отсчета в инерциальном движении, мало что важного зависит от разницы между инерциальной системой отсчета и инерциальной системой координат, которую она индуцирует. Это удобное обстоятельство немедленно прекращается, как только мы начинаем рассматривать системы отсчета в неравномерном движении даже в рамках специальной теории относительности. …Понятие системы отсчета вновь появилось как структура, отличная от системы координат.
— Джон Д. Нортон: Общая ковариантность и основы общей теории относительности: восемь десятилетий споров , Rep. Prog. Phys. , 56 , стр. 835-7.
В общей системе координат базисные векторы для координат могут меняться во времени в фиксированных положениях, или они могут меняться с положением в фиксированное время, или и то, и другое. Можно отметить, что системы координат, прикрепленные как к инерциальным, так и к неинерциальным системам, могут иметь базисные векторы, которые изменяются во времени, пространстве или и том, и другом. Например, описание траектории в полярных координатах, как она видна из инерциальной системы [14] или как она видна из вращающейся системы. [15] Зависящее от времени описание наблюдений не изменяет систему отсчета, в которой производятся и регистрируются наблюдения.
При обсуждении частицы, движущейся по круговой орбите [16] в инерциальной системе отсчета, можно выделить центробежную и тангенциальную силы. Некоторые фиктивные силы, обычно называемые центробежной и силой Эйлера , подчеркивают этот переход в словаре, и это изменение системы отсчета наблюдения с инерциальной системы, где центростремительные и тангенциальные силы имеют смысл, на вращающуюся систему отсчета, где частица кажется неподвижной и фиктивные центробежные и эйлеровы силы должны быть задействованы.
Вопрос, который обычно задают в учебниках, представляет собой вариацию вопроса: «Если бы кто-то сидел на частице, совершающей общее плоское движение (а не просто по круговой орбите), какой анализ лежит в основе смены позиций для введения фиктивных центробежных и эйлеровых сил?»
Чтобы исследовать этот вопрос, начнем с инерциальной системы отсчета. Используя систему координат, обычно используемую в плоском движении, так называемую локальную систему координат [17] , как показано на рисунке 1, становится легко определить формулы для центростремительной внутренней силы, нормальной к траектории (в направлении, противоположном u n на рисунке 1), и тангенциальной силы, параллельной траектории (в направлении u t ), как показано далее.
Чтобы ввести единичные векторы локальной системы координат, показанной на рисунке 1, подход состоит в том, чтобы начать с декартовых координат в инерциальной системе и описать локальные координаты в терминах этих декартовых координат. На рисунке 1 длина дуги s — это расстояние, которое частица прошла по своему пути за время t . Путь r ( t ) с компонентами x ( t ), y ( t ) в декартовых координатах описывается с использованием длины дуги s ( t ) следующим образом: [18]
Один из способов взглянуть на использование s — это думать о пути частицы как о находящемся в пространстве, подобном следу, оставленному небесным путеводителем , независимо от времени. Любое положение на этом пути описывается указанием его расстояния s от некоторой начальной точки на пути. Тогда инкрементное смещение вдоль пути ds описывается как: где штрихи вводятся для обозначения производных по отношению к s . Величина этого смещения равна ds , показывая, что: [19]
Это смещение обязательно касается кривой в точке s , показывая, что единичный вектор, касательный к кривой, равен: в то время как внешний единичный вектор, нормальный к кривой, равен: Ортогональность можно проверить, показав, что скалярное произведение векторов равно нулю. Единичная величина этих векторов является следствием уравнения 1 .
В качестве отступления, обратите внимание, что использование единичных векторов, которые не выровнены вдоль декартовых осей xy, не означает, что человек больше не находится в инерциальной системе отсчета. Это означает лишь то, что указанный человек использует единичные векторы, которые изменяются с s, чтобы описать путь, но все еще наблюдает движение из инерциальной системы отсчета.
Используя касательный вектор, угол касательной к кривой, скажем θ, задается как: и Радиус кривизны вводится совершенно формально (без необходимости геометрической интерпретации) как: Производную θ можно найти из производной для sin θ: Теперь: в которой знаменатель равен единице согласно уравнению 1. С этой формулой для производной синуса радиус кривизны становится: где эквивалентность форм вытекает из дифференцирования уравнения 1: Задав описание любого положения на пути в терминах его связанного значения для s и найдя свойства пути в терминах этого описания, движение частицы вводится путем указания положения частицы в любой момент времени t как соответствующего значения s ( t ).
Используя приведенные выше результаты для свойств пути в терминах s , ускорение в инерциальной системе отсчета, описанное в терминах компонентов, нормальных и касательных к пути частицы, можно найти в терминах функции s ( t ) и ее различных производных по времени (как и прежде, штрихи указывают на дифференциацию по s ) с помощью: как можно проверить, взяв скалярное произведение с единичными векторами u t ( s ) и u n ( s ) . Этот результат для ускорения такой же, как и для кругового движения на основе радиуса ρ. Используя эту систему координат в инерциальной системе отсчета, легко определить силу, нормальную к траектории, как центростремительную силу, а силу, параллельную траектории, как тангенциальную силу.
Далее необходимо изменить системы отсчета. Сидя на частице, необходимо принять неинерциальную систему отсчета, в которой частица находится в состоянии покоя (нулевая скорость). Эта система отсчета имеет непрерывно меняющееся начало, которое в момент времени t является центром кривизны (центром соприкасающейся окружности на рисунке 1) траектории в момент времени t , и скорость вращения которой является угловой скоростью движения частицы вокруг этого начала в момент времени t . Эта неинерциальная система отсчета также использует единичные векторы, нормальные к траектории и параллельные ей.
Угловая скорость этой системы отсчета — это угловая скорость частицы вокруг центра кривизны в момент времени t . Центростремительная сила инерциальной системы отсчета интерпретируется в неинерциальной системе отсчета, где тело находится в состоянии покоя, как сила, необходимая для преодоления центробежной силы. Аналогично, сила, вызывающая любое ускорение скорости по траектории, наблюдаемой в инерциальной системе отсчета, становится силой, необходимой для преодоления силы Эйлера в неинерциальной системе отсчета, где частица находится в состоянии покоя. В системе отсчета есть нулевая сила Кориолиса, потому что частица имеет нулевую скорость в этой системе отсчета. Например, для пилота самолета эти фиктивные силы являются вопросом непосредственного опыта. [20] Однако эти фиктивные силы не могут быть связаны с простой системой отсчета наблюдения, отличной от самой частицы, если только она не находится на особенно простой траектории, например, по окружности.
Тем не менее, с качественной точки зрения траекторию самолета можно аппроксимировать дугой окружности в течение ограниченного времени, и в течение ограниченного времени применяется определенный радиус кривизны, центробежные и эйлеровы силы можно проанализировать на основе кругового движения с этим радиусом (см. статью, посвященную повороту самолета ).
Далее более подробно рассматриваются системы отсчета, вращающиеся вокруг фиксированной оси.
Описание движения частиц часто проще в недекартовых системах координат, например, полярных координатах. Когда уравнения движения выражаются в терминах любой криволинейной системы координат, появляются дополнительные члены, которые представляют, как базисные векторы изменяются при изменении координат. Эти члены возникают автоматически при преобразовании в полярные (или цилиндрические) координаты и, таким образом, не являются фиктивными силами , а скорее просто добавленными членами в ускорении в полярных координатах. [21]
В чисто математической обработке, независимо от системы отсчета, с которой связана система координат (инерциальная или неинерциальная), дополнительные члены появляются в ускорении наблюдаемой частицы при использовании криволинейных координат. Например, в полярных координатах ускорение задается выражением (подробности см. ниже): которое содержит не только двойные производные координат по времени, но и добавленные члены. В этом примере используются полярные координаты, но в более общем смысле добавленные члены зависят от того, какая система координат выбрана (то есть полярная, эллиптическая или любая другая). Иногда эти зависящие от системы координат члены также называются «фиктивными силами», вводя второе значение для «фиктивных сил», несмотря на то, что эти члены не обладают свойствами векторного преобразования, ожидаемыми от сил. Например, см. Шанкар [22] и Хильдебранд. [23] Согласно этой терминологии, фиктивные силы определяются частично самой системой координат, независимо от того, к какой системе она прикреплена, то есть независимо от того, прикреплена ли система координат к инерциальной или неинерциальной системе отсчета. Напротив, фиктивные силы, определяемые в терминах состояния движения наблюдателя, исчезают в инерциальных системах отсчета. Чтобы различать эти две терминологии, фиктивные силы, которые исчезают в инерциальной системе отсчета, инерционные силы ньютоновской механики, называются в этой статье фиктивными силами «состояния движения», а те, которые возникают при интерпретации производных по времени в конкретных системах координат, называются фиктивными силами «координаты». [24]
Если предположить, что «состояние движения» и «система координат» различны , то зависимость центробежной силы (как в этой статье) от «состояния движения» и ее независимость от «системы координат», которая контрастирует с версией «координат» с прямо противоположными зависимостями, указывает на то, что термин «фиктивная сила» обозначает две разные идеи. В настоящей статье подчеркивается одна из этих двух идей («состояние движения»), хотя другая также описывается.
Ниже вводятся полярные координаты для использования в (сначала) инерциальной системе отсчета, а затем (во-вторых) во вращающейся системе отсчета. Указываются два различных использования термина «фиктивная сила». Однако сначала следует краткое отступление, чтобы подробнее объяснить, как возникла терминология «координата» для фиктивной силы.
Чтобы мотивировать введение «координатных» инерционных сил чем-то большим, чем ссылкой на «математическое удобство», далее следует отступление, чтобы показать, что эти силы соответствуют тому, что некоторые авторы называют «обобщенными» фиктивными силами или «обобщенными силами инерции». [25] [26] [27] [28] Эти силы вводятся посредством подхода механики Лагранжа к механике, основанного на описании системы обобщенными координатами, обычно обозначаемыми как { q k }. Единственное требование к этим координатам заключается в том, что они необходимы и достаточны для уникальной характеристики состояния системы: они не обязательно должны быть (хотя они могут быть) координатами частиц в системе. Вместо этого они могут быть углами и удлинениями звеньев в руке робота, например. Если механическая система состоит из N частиц и наложено m независимых кинематических условий, можно однозначно охарактеризовать систему с помощью n = 3 N - m независимых обобщенных координат { q k }. [29]
В классической механике лагранжиан определяется как кинетическая энергия , , системы за вычетом ее потенциальной энергии , . [30] В символах,
При условиях, заданных в механике Лагранжа , если известен лагранжиан системы, то уравнения движения системы могут быть получены прямой подстановкой выражения для лагранжиана в уравнение Эйлера–Лагранжа , особое семейство уравнений в частных производных .
Вот некоторые определения: [31]
Целью данной статьи не является описание того, как работает механика Лагранжа. Заинтересованный читатель может ознакомиться с другими статьями, объясняющими этот подход. На данный момент цель состоит в том, чтобы просто показать, что подход Лагранжа может привести к «обобщенным фиктивным силам», которые не исчезают в инерциальных системах отсчета . Здесь важно то, что в случае одной частицы подход Лагранжа может быть организован так, чтобы точно захватить «координатные» фиктивные силы, которые только что были введены.
Для продолжения рассмотрим отдельную частицу и введем обобщенные координаты как { q k } = ( r, θ ). Затем Хильдебранд [23] показывает в полярных координатах с q k = (r, θ) «обобщенные импульсы»: приводят, например, к обобщенной силе: с Q r приложенной радиальной силой. Связь между «обобщенными силами» и ньютоновскими силами меняется в зависимости от выбора координат. Эта лагранжева формулировка вводит именно «координатную» форму фиктивных сил, упомянутую выше, которая допускает «фиктивные» (обобщенные) силы в инерциальных системах отсчета, например, термин Внимательное прочтение Хильдебранда показывает, что он не обсуждает роль «инерциальных систем отсчета», и на самом деле говорит: «[Наличие] или отсутствие [сил инерции] зависит не от конкретной рассматриваемой задачи, а от выбранной системы координат ». Под системой координат предположительно подразумевается выбор { q k }. Далее он говорит: «Если ускорения, связанные с обобщенными координатами, должны представлять основной интерес (как это обычно и бывает), [неускорительные] члены могут быть удобно перенесены вправо… и рассмотрены как дополнительные (обобщенные) силы инерции. Такие силы инерции часто называют силами Кориолиса ».
Короче говоря, акцент некоторых авторов на координатах и их производных и введение ими (обобщенных) фиктивных сил, которые не исчезают в инерциальных системах отсчета, является результатом использования обобщенных координат в механике Лагранжа . Например, см. МакКуорри [32] Хильдебранд, [23] и фон Шверин. [33] Ниже приведен пример такого использования, применяемого при проектировании роботизированных манипуляторов: [34] [35] [36]
В приведенных выше уравнениях [Лагранжа-Эйлера] есть три типа членов. Первый включает вторую производную обобщенных координат. Второй является квадратичным в , где коэффициенты могут зависеть от . Они далее классифицируются на два типа. Члены, включающие произведение типа , называются центробежными силами , тогда как те, включающие произведение типа для i ≠ j, называются силами Кориолиса . Третий тип является функциями только и называется гравитационными силами .
— Шужи С. Ге, Тонг Хенг Ли и Кристофер Джон Харрис: Адаптивное нейросетевое управление роботизированными манипуляторами , стр. 47–48
Для робота-манипулятора уравнения можно записать в форме, использующей символы Кристоффеля Γ ijk (обсуждаемые ниже), как: [37] [38]
где M — «матрица инерции манипулятора», а V — потенциальная энергия, обусловленная гравитацией (например), и — обобщенные силы на сочленении i . Таким образом, члены, включающие символы Кристоффеля, определяют «обобщенные центробежные» и «обобщенные кориолисовы» члены.
Введение обобщенных фиктивных сил часто осуществляется без уведомления и без указания слова «обобщенный». Такое использование терминологии может привести к путанице, поскольку обобщенные фиктивные силы, в отличие от стандартных фиктивных сил «состояния движения», не исчезают в инерциальных системах отсчета.
Ниже ускорение частицы выводится, как видно в инерциальной системе отсчета с использованием полярных координат. В инерциальной системе отсчета по определению нет фиктивных сил "состояния движения". После этого представления представлена и подвергнута критике контрастная терминология фиктивных сил "координат" на основе невекторного поведения преобразования этих "сил".
В инерциальной системе отсчета пусть будет радиус-вектором движущейся частицы. Его декартовы компоненты ( x , y ) имеют вид: с полярными координатами r и θ, зависящими от времени t .
Единичные векторы определяются в радиально-внешнем направлении : и в направлении под прямым углом к :
Эти единичные векторы меняют направление со временем: и:
Используя эти производные, первая и вторая производные положения равны: и: где точки над точками указывают на дифференциацию по времени. При такой форме для ускорения в инерциальной системе отсчета второй закон Ньютона, выраженный в полярных координатах, равен: где F — чистая действительная сила, действующая на частицу. Фиктивные силы не появляются, поскольку все фиктивные силы равны нулю по определению в инерциальной системе отсчета.
Однако с математической точки зрения иногда удобно поместить только производные второго порядка в правую часть этого уравнения; то есть мы записываем приведенное выше уравнение путем перестановки членов как: где вводится «координатная» версия «ускорения»: состоящая только из производных второго порядка по времени координат r и θ. Члены, перемещенные в силовую часть уравнения, теперь рассматриваются как дополнительные «фиктивные силы», и, что сбивает с толку, результирующие силы также называются «центробежной» и «кориолисовой» силой.
Эти вновь определенные «силы» не равны нулю в инерциальной системе отсчета , и поэтому, безусловно, не являются тем же самым, что и ранее определенные фиктивные силы, которые равны нулю в инерциальной системе отсчета и не равны нулю только в неинерциальной системе отсчета. [39] В этой статье эти вновь определенные силы называются «координатной» центробежной силой и «координатной» силой Кориолиса, чтобы отделить их от сил «состояния движения».
Рисунок 2 показывает, что «центробежный член» не преобразуется в истинную силу. Предположим, что в системе S частица движется радиально от начала координат с постоянной скоростью. Смотрите рисунок 2. Сила, действующая на частицу, равна нулю по первому закону Ньютона. Теперь посмотрим на то же самое из системы S' , которая является той же самой, но смещена относительно начала координат. В системе S' частица все еще находится в прямолинейном движении с постоянной скоростью, поэтому сила снова равна нулю.
Что, если использовать полярные координаты в двух системах отсчета? В системе S радиальное движение постоянно, а углового движения нет. Следовательно, ускорение равно: и каждый член в отдельности равен нулю, поскольку и . Силы нет, включая «силу» в системе S . Однако в системе S' мы имеем: В этом случае азимутальный член равен нулю, будучи скоростью изменения углового момента. Однако для получения нулевого ускорения в радиальном направлении нам требуется: Правая часть не равна нулю, поскольку ни , ни не равны нулю. То есть мы не можем получить нулевую силу (ноль ), если сохраним только как ускорение; нам нужны оба члена.
Несмотря на вышеизложенные факты, предположим, что кто-то принял полярные координаты и хочет сказать, что это «центробежная сила», и переосмыслить как «ускорение» (не останавливаясь на каком-либо возможном обосновании). Как обстоит дело с этим решением, если учесть, что правильная формулировка физики не зависит от геометрии и координат? См. статью об общей ковариантности . [40] Чтобы попытаться сформировать ковариантное выражение, эту так называемую центробежную «силу» можно представить в векторной нотации как: с: и единичным вектором, нормальным к плоскости движения. К сожалению, хотя это выражение формально выглядит как вектор, когда наблюдатель меняет начало координат, значение изменяется (см. рисунок 2), поэтому наблюдатели в одной и той же системе отсчета, стоящие на разных углах улиц, видят разные «силы», хотя фактические события, свидетелями которых они являются, идентичны.
Как физическая сила (будь то фиктивная или реальная) может быть нулевой в одной системе S , но ненулевой в другой системе S', идентичной, но находящейся в нескольких футах? Даже для совершенно одинакового поведения частицы выражение отличается в каждой системе отсчета, даже для очень тривиальных различий между системами. Короче говоря, если мы принимаем «центробежную силу», она не имеет универсального значения: она нефизична .
За пределами этой проблемы реальная приложенная сила равна нулю. (При прямолинейном движении с постоянной скоростью реальной приложенной силы нет). Если бы кто-то принял полярные координаты и захотел бы сказать, что это «центробежная сила», и переосмыслить это как «ускорение», странность приводит к тому, что в системе отсчета S' прямолинейное движение с постоянной скоростью требует чистой силы в полярных координатах, но не в декартовых координатах. Более того, эта загадка применима к системе отсчета S ' [ необходимо разъяснение ] , но не к системе отсчета S.
Поведение указывает на то, что нужно сказать, что это не центробежная сила , а просто один из двух членов в ускорении. Эта точка зрения, что ускорение состоит из двух членов, не зависит от системы отсчета: в любой и каждой инерциальной системе отсчета центробежная сила равна нулю. Она также не зависит от системы координат, что означает, что можно использовать декартову, полярную или любую другую криволинейную систему, потому что все они дают ноль.
Помимо приведенных выше физических аргументов, конечно, приведенный выше вывод, основанный на применении математических правил дифференциации, показывает, что радиальное ускорение действительно состоит из двух членов .
Тем не менее, в следующем подразделе показано, что существует связь между этими центробежными и кориолисовыми терминами и фиктивными силами , которые относятся к конкретной вращающейся системе отсчета (в отличие от инерциальной системы).
В случае плоского движения частицы можно показать, что «координатные» центробежные и кориолисовы члены ускорения, найденные выше как ненулевые в инерциальной системе отсчета, являются отрицательными значениями центробежных и кориолисовых членов «состояния движения», которые появляются в очень конкретной неинерциальной совместно вращающейся системе отсчета (см. следующий подраздел). [41] См. рисунок 3. Чтобы определить совместно вращающуюся систему отсчета, сначала выбирается начало координат, от которого определяется расстояние r(t) до частицы. Устанавливается ось вращения, перпендикулярная плоскости движения частицы и проходящая через это начало координат. Затем, в выбранный момент t , скорость вращения совместно вращающейся системы отсчета Ω задается так, чтобы соответствовать скорости вращения частицы вокруг этой оси, dθ/dt . Совместно вращающаяся система отсчета применяется только в течение некоторого момента и должна непрерывно перевыбираться по мере движения частицы. Более подробную информацию см. в разделе Полярные координаты, центробежные и кориолисовы члены .
Далее тот же подход используется для нахождения фиктивных сил (неинерциальной) вращающейся системы отсчета. Например, если вращающаяся полярная система координат принимается для использования во вращающейся системе наблюдения, обе вращаются с одинаковой постоянной скоростью против часовой стрелки Ω, можно найти уравнения движения в этой системе следующим образом: радиальная координата во вращающейся системе отсчета берется как r , но угол θ' во вращающейся системе отсчета изменяется со временем: Следовательно, Подставляя этот результат в ускорение с использованием единичных векторов предыдущего раздела: Два ведущих члена имеют ту же форму, что и в инерциальной системе отсчета, и они являются единственными членами, если система отсчета не вращается, то есть если Ω=0. Однако в этой вращающейся системе отсчета у нас есть дополнительные члены: [42]
Радиальный член Ω 2 r — это центробежная сила на единицу массы, возникающая из-за вращения системы со скоростью Ω, а радиальный член — это радиальный компонент силы Кориолиса на единицу массы, где — тангенциальный компонент скорости частицы, как это видно во вращающейся системе отсчета. Этот член — так называемый азимутальный компонент силы Кориолиса на единицу массы. Фактически, эти дополнительные члены могут быть использованы для измерения Ω и предоставления теста, чтобы увидеть, вращается ли система отсчета, как это было объяснено в примере с вращающимися идентичными сферами . Если движение частицы может быть описано наблюдателем с использованием законов движения Ньютона без этих зависящих от Ω членов, наблюдатель находится в инерциальной системе отсчета , где Ω = 0.
Эти «дополнительные члены» в ускорении частицы представляют собой фиктивные силы «состояния движения» для этой вращающейся системы отсчета, силы, возникающие при вращении системы отсчета с угловой скоростью Ω. [43]
В этой вращающейся системе отсчета, каковы «координатные» фиктивные силы? Как и прежде, предположим, что мы решили поместить только производные по времени второго порядка в правую часть закона Ньютона:
Если бы кто-то выбрал, для удобства, трактовать как "ускорение", то члены добавляются к так называемой "фиктивной силе", которая не является фиктивными силами "состояния движения", но на самом деле является компонентами силы, которые сохраняются даже при Ω=0, то есть фиктивные источники сохраняются даже в инерциальной системе отсчета. Поскольку добавляются эти дополнительные члены, фиктивная сила "координаты" не совпадает с фиктивной силой "состояния движения". Из-за этих дополнительных членов фиктивная сила "координаты" не равна нулю даже в инерциальной системе отсчета.
Однако случай вращающейся системы отсчета, которая имеет ту же угловую скорость, что и частица, так что Ω = dθ/dt в некоторый конкретный момент (то есть полярные координаты установлены в мгновенной, неинерциальной совместно вращающейся системе отсчета рисунка 3). В этом случае, в этот момент, dθ'/dt = 0. В этой совместно вращающейся неинерциальной системе отсчета в этот момент «координатные» фиктивные силы являются только теми, которые обусловлены движением системы отсчета, то есть они такие же, как фиктивные силы «состояния движения», как обсуждалось в замечаниях о совместно вращающейся системе отсчета рисунка 3 в предыдущем разделе.
Цитируя Булло и Льюиса: «Только в исключительных обстоятельствах конфигурация лагранжевой системы может быть описана вектором в векторном пространстве. В естественной математической обстановке пространство конфигурации системы описывается приблизительно как искривленное пространство или, точнее, как дифференцируемое многообразие ». [44]
Вместо декартовых координат , когда уравнения движения выражаются в криволинейной системе координат , символы Кристоффеля появляются в ускорении частицы, выраженном в этой системе координат, как описано ниже более подробно. Рассмотрим описание движения частицы с точки зрения инерциальной системы отсчета в криволинейных координатах. Предположим, что положение точки P в декартовых координатах равно ( x , y , z ) , а в криволинейных координатах равно ( q1 , q2 . q3 ). Тогда существуют функции, связывающие эти описания: и так далее. (Число измерений может быть больше трех.) Важным аспектом таких систем координат является элемент длины дуги, позволяющий определять расстояния. Если криволинейные координаты образуют ортогональную систему координат , элемент длины дуги ds выражается как: где величины h k называются масштабными коэффициентами . [45] Изменение dq k в q k вызывает смещение h k dq k вдоль координатной линии для q k . В точке P мы размещаем единичные векторы e k каждый по касательной к координатной линии переменной q k . Тогда любой вектор может быть выражен через эти базисные векторы, например, из инерциальной системы отсчета вектор положения движущейся частицы r, находящейся в момент времени t в положении P, становится: где q k — векторное скалярное произведение r и e k . Скорость v частицы в точке P может быть выражена в точке P как: где v k — векторное скалярное произведение v и e k , а над точками обозначена временная дифференциация. Временные производные базисных векторов могут быть выражены через масштабные множители, введенные выше. например: или , в общем случае: в котором коэффициенты единичных векторов являются символами Кристоффелядля системы координат. Общие обозначения и формулы для символов Кристоффеля следующие: [46] [47] и символ равен нулю, когда все индексы различны. Несмотря на кажущееся обратное, символы Кристоффеля не образуют компоненты тензора . Например, они равны нулю в декартовых координатах, но не в полярных координатах. [48]
Используя соотношения, подобные этому: [49] , которое позволяет оценить все производные по времени. Например, для скорости: с Γ-обозначением для символов Кристоффеля, заменяющим скобочные обозначения. Используя тот же подход, ускорение тогда равно: Рассматривая соотношение для ускорения, первое суммирование содержит производные по времени скорости, которые были бы связаны с ускорением, если бы это были декартовы координаты, а второе суммирование (с символами Кристоффеля) содержит члены, связанные с тем, как единичные векторы изменяются со временем. [50]
Ранее в этой статье было введено различие между двумя терминологиями: фиктивные силы, которые исчезают в инерциальной системе отсчета, называются в этой статье фиктивными силами "состояния движения", а те, которые возникают из-за дифференциации в определенной системе координат, называются фиктивными силами "координаты". Используя выражение для ускорения выше, закон движения Ньютона в инерциальной системе отсчета становится: где F - чистая действительная сила, действующая на частицу. Никаких фиктивных сил "состояния движения" нет, поскольку система инерциальная, а фиктивные силы "состояния движения" равны нулю в инерциальной системе по определению.
«Координатный» подход к закону Ньютона выше заключается в том, чтобы сохранить производные второго порядка по времени координат { q k } как единственные члены в правой части этого уравнения, мотивированные больше математическим удобством, чем физикой. С этой целью закон силы можно переписать, взяв второе суммирование на силовой стороне уравнения как: с соглашением, что «ускорение» теперь равно: В выражении выше суммирование, добавленное к силовой стороне уравнения теперь, рассматривается так, как если бы присутствовали добавленные «силы». Эти члены суммирования обычно называются фиктивными силами в рамках этого «координатного» подхода, хотя в этой инерциальной системе отсчета все фиктивные силы «состояния движения» тождественно равны нулю. Более того, эти «силы» не преобразуются при преобразованиях координат как векторы . Таким образом, обозначение членов суммирования как «фиктивных сил» использует эту терминологию для вкладов, которые полностью отличаются от любой реальной силы и от фиктивных сил «состояния движения». Что добавляет этой путаницы, так это то, что эти «координатные» фиктивные силы делятся на две группы и им даны те же названия , что и фиктивным силам «состояния движения», то есть они делятся на «центробежные» и «кориолисовы» члены, несмотря на включение в них членов, которые не являются центробежными и кориолисовыми членами «состояния движения». Например, эти «координатные» центробежные и кориолисовы члены могут быть ненулевыми даже в инерциальной системе отсчета , где центробежная сила «состояния движения» (предмет этой статьи) и сила Кориолиса всегда равны нулю. [51]
Если система отсчета не инерциальна, например, во вращающейся системе отсчета, фиктивные силы «состояния движения» включены в приведенное выше выражение фиктивной силы «координаты». [52] Кроме того, если «ускорение», выраженное в терминах производных скорости по времени первого порядка, приводит к членам, которые не являются просто производными второго порядка координат { q k } по времени, то эти члены, которые не являются производными второго порядка, также переносятся на силовую сторону уравнения и включаются вместе с фиктивными силами. С точки зрения лагранжевой формулировки их можно назвать обобщенными фиктивными силами. См ., например, Хильдебранд, [23] .
Формулировка динамики в терминах символов Кристоффеля и «координатной» версии фиктивных сил часто используется при проектировании роботов в связи с лагранжевой формулировкой уравнений движения. [36] [53]
инерционные силы., NASA: Ускоренные системы отсчета: Инерционные силы, Science Joy Wagon: Центробежная сила — ложная сила Архивировано 04.08.2018 на Wayback Machine
Кориолис Штоммель.
центробежные полярные координаты.
члены ускорения справа.
В выбранный момент времениt
0
система
S
'
и частица вращаются с одинаковой скоростью... В инерциальной системе силы проще (нет «фиктивных» сил), но ускорения сложнее; во вращающейся системе все наоборот.
дополнительная центробежная сила.
тензорный символ Кристоффеля.
тензорный символ Кристоффеля.
Центробежный Кристоффель.
Christoffel centrifugal.