Нормальное пространство

В топологии и смежных разделах математики нормальное пространство — это топологическое пространство X , которое удовлетворяет аксиоме T ₄ : каждые два непересекающихся замкнутых множества X имеют непересекающиеся открытые окрестности . Нормальное хаусдорфово пространство также называют пространством Т ₄ . Эти условия являются примерами аксиом отделимости , а их дальнейшее усиление определяет вполне нормальные хаусдорфовы пространства , или пространства Т ₅ , и совершенно нормальные хаусдорфовы пространства , или пространства Т ₆ .

Определения

Топологическое пространство X является нормальным пространством , если для любых непересекающихся замкнутых множеств E и F существуют окрестности U E и V F , которые также не пересекаются. Более интуитивно это условие говорит о том, что E и F могут быть разделены окрестностями .

Замкнутые множества E и F , представленные здесь закрытыми дисками на противоположных сторонах изображения, разделены соответствующими окрестностями U и V , представленными здесь более крупными, но все еще непересекающимися открытыми дисками.

Пространство T ₄ — это пространство X T 1 , которое является нормальным; это эквивалентно тому, что X является нормальным и Хаусдорфом .

Совершенно нормальное пространство , илинаследственно нормальное пространство — это топологическое пространствоXтакое, что каждоеподпространство Xявляетсянормальнымпространством. Оказывается,Xсовершенно нормально тогда и только тогда, когда любые дваразделенных множестваможно разделить окрестностями. Кроме того,Xполностью нормально тогда и только тогда, когда каждое открытое подмножествоXнормально с топологией подпространства.

Пространство T ₅ , или полностью пространство T ₄ , является вполне нормальным пространством T ₁ X , из чего следует, что X хаусдорфово ; эквивалентно, каждое подпространство X должно быть пространством _T4 .

Совершенно нормальное пространство — это топологическое пространство , в котором каждые два непересекающихся замкнутых множества и могут быть точно разделены функцией в том смысле, что существует непрерывная функция от до интервала такого, что и . ^[1] Это более сильное свойство разделения, чем нормальность, поскольку по лемме Урысона непересекающиеся замкнутые множества в нормальном пространстве могут быть разделены функцией в смысле и , но в целом не разделены точно. Оказывается, X совершенно нормально тогда и только тогда, когда X нормально и каждое замкнутое множество является _{множеством} Gδ . Эквивалентно, X совершенно нормально тогда и только тогда, когда каждое замкнутое множество является нулевым множеством непрерывной функции . Эквивалентность между этими тремя характеризациями называется теоремой Веденисова . ^{[2] [3]} Каждое совершенно нормальное пространство является совершенно нормальным, поскольку идеальная нормальность является наследственным свойством . ^{[4] [5]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f^{-1}(0)=E}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)=F}$ ${\displaystyle E\subseteq f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle F\subseteq f^{-1}(1)}$

Пространство Т6 , или совершенно пространство _Т4 , является совершенно нормальным пространством Хаусдорфа _.

Обратите внимание, что термины «нормальное пространство» и «Т ₄ » и производные понятия иногда имеют разное значение. (Тем не менее, «Т ₅ » всегда означает то же самое, что и «полностью Т ₄ », каким бы оно ни было.) Приведенные здесь определения обычно используются сегодня. Подробнее об этом вопросе см. в разделе «История аксиом разделения» .

В литературе также встречаются такие термины, как «нормальное регулярное пространство » и «нормальное пространство Хаусдорфа» — они просто означают, что пространство является нормальным и удовлетворяет другому упомянутому условию. В частности, нормальное Хаусдорфово пространство — это то же самое, что и пространство _Т4 . Учитывая историческую путаницу значений терминов, словесные описания, когда это применимо, полезны, то есть «нормальный Хаусдорф» вместо «Т ₄ » или «совершенно нормальный Хаусдорф» вместо «Т ₅ ».

Полностью нормальные пространства и полностью T ₄ пространства обсуждаются в другом месте; они связаны с паракомпактностью .

Локально нормальное пространство — это топологическое пространство, в котором каждая точка имеет открытую нормальную окрестность. Каждое нормальное пространство локально нормально, но обратное неверно. Классическим примером вполне регулярного локально нормального пространства, не являющегося нормальным, является плоскость Немыцкого .

Примеры нормальных пространств

Большинство пространств, встречающихся в математическом анализе, являются нормальными пространствами Хаусдорфа или, по крайней мере, нормальными регулярными пространствами:

• Все метрические пространства (и, следовательно, все метризуемые пространства ) совершенно нормальны Хаусдорфовы;
• Все псевдометрические пространства (и, следовательно, все псевдометризуемые пространства ) совершенно нормальны и регулярны, хотя, вообще говоря, не по Хаусдорфу;
• Все компакты Хаусдорфа нормальны;
• В частности, компактификация Стоуна-Чеха тихоновского пространства является нормальной Хаусдорфовой;
• Обобщая приведенные выше примеры, все паракомпактные хаусдорфовы пространства нормальны, а все паракомпактные регулярные пространства нормальны;
• Все паракомпактные топологические многообразия совершенно нормальны по Хаусдорфу. Однако существуют непаракомпактные многообразия, которые даже не являются нормальными.
• Все порядковые топологии на полностью упорядоченных множествах наследственно нормальны и хаусдорфовы.
• Каждое регулярное пространство со счетом во второй раз вполне нормально, и каждое регулярное пространство Линделефа нормально.

Кроме того, все полностью нормальные пространства нормальны (даже если и не регулярны). Пространство Серпинского — пример нормального пространства, которое не является регулярным.

Примеры ненормальных пространств

Важным примером ненормальной топологии является топология Зарисского на алгебраическом многообразии или на спектре кольца , которая используется в алгебраической геометрии .

Ненормальное пространство, имеющее некоторое значение для анализа, — это топологическое векторное пространство всех функций от действительной прямой R до самой себя с топологией поточечной сходимости . В более общем смысле, теорема Артура Гарольда Стоуна утверждает, что произведение бесчисленного множества некомпактных метрических пространств никогда не является нормальным.

Характеристики

Каждое замкнутое подмножество нормального пространства нормально. Непрерывный и замкнутый образ нормального пространства нормален. ^[6]

Основное значение нормальных пространств заключается в том, что они допускают «достаточное количество» непрерывных вещественнозначных функций , что выражается следующими теоремами, справедливыми для любого нормального пространства X.

Лемма Урысона : Если A и B — два непересекающихся замкнутых подмножества X , то существует непрерывная функция f от X до вещественной прямой R такая, что f ( x ) = 0 для всех x в A и f ( x ) = 1 для все х в B. _ Фактически, мы можем считать, что значения f полностью находятся в пределах единичного интервала [0,1]. Проще говоря, непересекающиеся замкнутые множества разделены не только окрестностями, но и функцией .

В более общем смысле, теорема о расширении Титце : если A — замкнутое подмножество X , а f — непрерывная функция от A до R , то существует непрерывная функция F : X → R , которая расширяет f в том смысле, что F ( x ) = f ( x ) для всех x в A.

Отображение обладает свойством подъема по отношению к отображению из некоторого конечного топологического пространства с пятью точками (двумя открытыми и тремя замкнутыми) в пространство с одной открытой и двумя замкнутыми точками. ^[7] ${\displaystyle \emptyset \rightarrow X}$

Если U — локально конечное открытое покрытие нормального пространства X , то существует разбиение единицы, точно подчиненное U. Это показывает связь нормальных пространств с паракомпактностью .

Фактически, любое пространство, удовлетворяющее любому из этих трех условий, должно быть нормальным.

Произведение нормальных пространств не обязательно является нормальным . Этот факт впервые доказал Роберт Соргенфри . Примером такого явления является плоскость Соргенфрея . Фактически, поскольку существуют пространства, которые являются Даукером , произведение нормального пространства и [0, 1] не обязательно должно быть нормальным. Кроме того, подмножество нормального пространства не обязательно должно быть нормальным (т.е. не каждое нормальное хаусдорфово пространство является полностью нормальным хаусдорфовым пространством), поскольку каждое тихоновское пространство является подмножеством его компактификации Стоуна-Чеха (которая является нормальным хаусдорфовым пространством). Более явный пример — Тихоновская планка . Единственный большой класс пространств-произведений нормальных пространств, которые, как известно, являются нормальными, — это произведения компактных хаусдорфовых пространств, поскольку и компактность ( теорема Тихонова ), и аксиома Т ₂ сохраняются при произвольных произведениях. ^[8]

Отношения с другими аксиомами разделения

Если нормальное пространство равно R0 , то оно на самом деле совершенно регулярно . Таким образом, все, от «нормального R ₀ » до «нормального, полностью регулярного», — это то же самое, что мы обычно называем нормальным регулярным . Взяв фактор Колмогорова , мы видим , что все нормальные пространства T 1 тихоновы . Это то, что мы обычно называем нормальными пространствами Хаусдорфа.

Топологическое пространство называется псевдонормальным, если в нем имеются два непересекающихся замкнутых множества, одно из которых счетное, и содержат их непересекающиеся открытые множества. Каждое нормальное пространство псевдонормально, но не наоборот.

Контрпримеры к некоторым вариациям этих утверждений можно найти в списках выше. В частности, пространство Серпинского нормально, но не регулярно, а пространство функций из R в себя тихоновское, но ненормальное.

Смотрите также

• Коллекционно нормальное пространство  - свойство топологических пространств, более сильное, чем нормальность.
• Монотонно нормальное пространство  - свойство топологических пространств сильнее нормальности.

Цитаты

1. Уиллард, Упражнение 15C.
2. Энгелькинг, Теорема 1.5.19. Это утверждается в предположении о пространстве T ₁ , но доказательство не использует это предположение.
3. «Почему эти два определения совершенно нормального пространства эквивалентны?».
4. Энгелькинг, Теорема 2.1.6, с. 68
5. Мункрес 2000, с. 213
6. Уиллард 1970, стр. 100–101.
7. «Аксиомы разделения в nLab» . ncatlab.org . Проверено 12 октября 2021 г.
8. Уиллард 1970, раздел 17.

Рекомендации

• Энгелькинг, Рышард , Общая топология , Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4 
• Кемото, Нобуюки (2004). «Аксиомы высшего разделения». В КП Харт; Дж. Нагата; Дж. Э. Воган (ред.). Энциклопедия общей топологии . Амстердам: Elsevier Science . ISBN 978-0-444-50355-8.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис-Холл . ISBN 978-0-13-181629-9.
• Соргенфри, Р.Х. (1947). «О топологическом произведении паракомпактных пространств». Бык. амер. Математика. Соц . 53 (6): 631–632. дои : 10.1090/S0002-9904-1947-08858-3 .
• Стоун, АХ (1948). «Паракомпактность и продуктовые пространства». Бык. амер. Математика. Соц . 54 (10): 977–982. дои : 10.1090/S0002-9904-1948-09118-2 .
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-486-43479-7.