Группа с операторами

Концепция в математике относительно множеств, действующих на группы

В абстрактной алгебре , разделе математики , группа с операторами или Ω- группа — это алгебраическая структура , которую можно рассматривать как группу вместе с множеством Ω, которое действует на элементы группы особым образом.

Группы с операторами были широко изучены Эмми Нётер и ее школой в 1920-х годах. Она использовала эту концепцию в своей оригинальной формулировке трех теорем Нётер об изоморфизме .

Определение

Группу с операторами можно определить ^[1] как группу вместе с действием множества на : ${\displaystyle (G,\Omega )}$ ${\displaystyle G=(G,\cdot )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Omega \times G\rightarrow G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }}$

который является распределительным относительно группового закона:

${\displaystyle (g\cdot h)^{\omega }=g^{\omega }\cdot h^{\omega }.}$

Для каждого приложение тогда является эндоморфизмом G. Из этого следует, что Ω-группу можно также рассматривать как группу G с индексированным семейством эндоморфизмов G. ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle g\mapsto g^{\omega }}$ ${\displaystyle \left(u_{\omega }\right)_{\omega \in \Omega }}$

${\displaystyle \Omega }$называется областью оператора . Ассоциированные эндоморфизмы ^[2] называются гомотетиями G .

Для двух групп G , H с одинаковой областью операторов гомоморфизм групп с операторами из в является гомоморфизмом групп , удовлетворяющим ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (G,\Omega )}$ ${\displaystyle (H,\Omega )}$ ${\displaystyle \phi :G\to H}$

${\displaystyle \phi \left(g^{\omega }\right)=(\phi (g))^{\omega }}$для всех и ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle g\in G.}$

Подгруппа S группы G называется стабильной подгруппой , -подгруппой или -инвариантной подгруппой, если она соблюдает гомотетии, то есть ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle s^{\omega }\in S}$для всех и ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega .}$

Категориально-теоретико-замечания

В теории категорий группа с операторами может быть определена ^[3] как объект функторной категории Grp ^M , где M — моноид (т. е. категория с одним объектом), а Grp обозначает категорию групп . Это определение эквивалентно предыдущему, при условии, что является моноидом (если нет, мы можем расширить его, включив тождество и все композиции ). ${\displaystyle \Omega }$

Морфизм в этой категории — это естественное преобразование между двумя функторами (т. е. двумя группами с операторами, разделяющими одну и ту же область операторов M  ). Снова мы восстанавливаем определение выше гомоморфизма групп с операторами (с f — компонентой естественного преобразования).

Группа с операторами также является отображением

${\displaystyle \Omega \rightarrow \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G),}$

где — множество групповых эндоморфизмов группы G. ${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G)}$

Примеры

• Для любой группы G ( G , ∅) тривиально является группой с операторами
• Для данного модуля M над кольцом R R действует скалярным умножением на базовую абелеву группу M , поэтому ( M , R ) является группой с операторами.
• Как частный случай вышесказанного, каждое векторное пространство над полем K является группой с операторами ( V , K ).

Приложения

Теорема Жордана–Гёльдера также справедлива в контексте групп с операторами. Требование, чтобы группа имела композиционный ряд , аналогично требованию компактности в топологии и иногда может быть слишком сильным требованием. Естественно говорить о «компактности относительно множества», т. е. говорить о композиционных рядах, где каждая ( нормальная ) подгруппа является операторной подгруппой относительно множества операторов X рассматриваемой группы.

Смотрите также

• Групповые действия

Примечания

1. Бурбаки 1974, стр. 31.
2. Бурбаки 1974, стр. 30–31.
3. Мак Лейн 1998, стр. 41.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1974). Элементы математики: Алгебра I Главы 1–3 . Герман. ISBN 2-7056-5675-8.
• Бурбаки, Николас (1998). Элементы математики: Алгебра I Главы 1–3 . Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающего математика . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.