В математике Out( F n ) — внешняя группа автоморфизмов свободной группы с n образующими . Эти группы играют важную роль в геометрической теории групп .
Отображение абелианизации индуцирует гомоморфизм из в общую линейную группу , последняя является группой автоморфизмов . Это отображение на , создавая расширение группы ,
Ядром является группа Торелли .
В этом случае отображение является изоморфизмом .
Поскольку является фундаментальной группой букета из n окружностей , топологически может быть описана как группа классов отображений букета из n окружностей (в гомотопической категории ), по аналогии с группой классов отображений замкнутой поверхности , которая изоморфна внешней группе автоморфизмов фундаментальной группы этой поверхности.
Out( F n ) действует геометрически на клеточный комплекс, известный как внешнее пространство Каллера – Фогтмана , которое можно рассматривать как пространство Тейхмюллера для букета окружностей .
Точка внешнего пространства по сути является -графом X, гомотопически эквивалентным букету из n окружностей вместе с определенным выбором свободного гомотопического класса гомотопической эквивалентности из X в букет из n окружностей. -граф - это просто взвешенный граф с весами в . Сумма всех весов должна быть 1, и все веса должны быть положительными. Чтобы избежать неоднозначности (и получить конечномерное пространство), требуется, чтобы валентность каждой вершины была не менее 3.
Более наглядный вид, избегающий гомотопической эквивалентности f , следующий. Мы можем зафиксировать отождествление фундаментальной группы букета из n окружностей со свободной группой в n переменных. Кроме того, мы можем выбрать максимальное дерево в X и выбрать для каждого оставшегося ребра направление. Теперь мы назначим каждому оставшемуся ребру e слово в следующим образом. Рассмотрим замкнутый путь, начинающийся с e и затем возвращающийся к началу координат e в максимальном дереве. Составляя этот путь с f, мы получаем замкнутый путь в букете из n окружностей и, следовательно, элемент в его фундаментальной группе . Этот элемент не является хорошо определенным; если мы заменим f свободной гомотопией, мы получим другой элемент. Оказывается, что эти два элемента сопряжены друг с другом, и, следовательно, мы можем выбрать единственный циклически приведенный элемент в этом классе сопряженности. Из этих данных можно восстановить свободный гомотопический тип f . Преимущество этого представления в том, что оно позволяет избежать дополнительного выбора f , а недостаток в том, что возникает дополнительная неоднозначность, поскольку необходимо выбрать максимальное дерево и ориентацию оставшихся ребер.
Операция Out( F n ) на внешнем пространстве определяется следующим образом. Каждый автоморфизм g из индуцирует самогомотопическую эквивалентность g′ букета из n окружностей. Композиция f с g′ дает желаемое действие. А в другой модели это просто применение g и придание полученному слову циклически сокращенного вида.
Каждая точка во внешнем пространстве определяет уникальную функцию длины . Слово в определяет посредством выбранной гомотопической эквивалентности замкнутый путь в X . Длина слова тогда является минимальной длиной пути в свободном гомотопическом классе этого замкнутого пути. Такая функция длины постоянна на каждом классе сопряженности. Назначение определяет вложение внешнего пространства в некоторое бесконечномерное проективное пространство.
Во второй модели открытый симплекс задается всеми теми -графами, которые имеют комбинаторно тот же базовый граф и те же ребра, помеченные теми же словами (только длина ребер может отличаться). Граничные симплексы такого симплекса состоят из всех графов, которые возникают из этого графа путем схлопывания ребра. Если это ребро является петлей, его нельзя схлопнуть, не изменив гомотопический тип графа. Следовательно, граничного симплекса нет. Поэтому можно рассматривать внешнее пространство как симплициальный комплекс с некоторыми удаленными симплексами. Легко проверить, что действие симплициально и имеет конечные группы изотропии.
