комплекс ХО

Тип топологического пространства

В математике , и в частности в топологии , комплекс CW (также клеточный комплекс или комплекс ячеек ) — это топологическое пространство , которое строится путем склеивания топологических шаров (так называемых ячеек ) различных размерностей определенным образом. Он обобщает как многообразия , так и симплициальные комплексы и имеет особое значение для алгебраической топологии . ^[1] Первоначально он был введен Дж. Х. Уайтхедом для удовлетворения потребностей теории гомотопий . ^[2] Комплексы CW обладают лучшими категориальными свойствами, чем симплициальные комплексы , но все еще сохраняют комбинаторную природу, которая позволяет производить вычисления (часто с гораздо меньшим комплексом).

Буква C в аббревиатуре CW означает «замыкание-конечное», а буква W — «слабую» топологию. ^[2]

Определение

комплекс ХО

Комплекс CW строится путем объединения последовательности топологических пространств , каждое из которых получается из склеиванием копий k-клеток , каждая из которых гомеоморфна открытому шару , с помощью непрерывных склеивающих отображений . Эти отображения также называются прикрепляющими отображениями . Таким образом , как набор, . $${\displaystyle \emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots }$$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k-1}}$ ${\displaystyle (e_{\alpha }^{k})_{\alpha }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B^{k}}$ ${\displaystyle X_{k-1}}$ ${\displaystyle g_{\alpha }^{k}:\partial e_{\alpha }^{k}\to X_{k-1}}$ ${\displaystyle X_{k}=X_{k-1}\sqcup _{\alpha }e_{\alpha }^{k}}$

Каждый из них называется k-скелетом комплекса. ${\displaystyle X_{k}}$

Топология является слабой топологией : подмножество открыто тогда и только тогда, когда оно открыто для каждого k-скелета . ${\displaystyle X=\cup _{k}X_{k}}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle U\cap X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k}}$

На языке теории категорий топология на является прямым пределом диаграммы. Название «CW» означает «замыкание-конечная слабая топология», что объясняется следующей теоремой: ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X_{-1}\hookrightarrow X_{0}\hookrightarrow X_{1}\hookrightarrow \cdots }$$

Теорема  —  Хаусдорфово пространство X гомеоморфно CW-комплексу тогда и только тогда, когда существует разбиение X на «открытые ячейки» , каждая из которых имеет соответствующее замыкание (или «закрытую ячейку»), удовлетворяющее: ${\displaystyle e_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle {\bar {e}}_{\alpha }^{k}:=cl_{X}(e_{\alpha }^{k})}$

• Для каждого существует непрерывная сюръекция из -мерного замкнутого шара такая, что ${\displaystyle e_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle g_{\alpha }^{k}:D^{k}\to {\bar {e}}_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle k}$
  • Ограничение на открытый шар является гомеоморфизмом . ${\displaystyle g_{\alpha }^{k}:B^{k}\to e_{\alpha }^{k}}$
  • (замкнутость-конечность) Изображение границы покрыто конечным числом замкнутых ячеек, каждая из которых имеет размерность ячейки меньше k. ${\displaystyle g_{\alpha }^{k}(\partial D^{k})}$
• ( слабая топология) Подмножество X замкнуто тогда и только тогда, когда оно встречается с каждой замкнутой ячейкой замкнутого множества.

Это разделение X также называется ячейкой .

Конструкция, в словах

Построение комплекса CW представляет собой простое обобщение следующего процесса:

• 0- мерный комплекс CW представляет собой просто набор из нуля или более дискретных точек (с дискретной топологией ).
• 1- мерный комплекс CW строится путем взятия несвязного объединения 0-мерного комплекса CW с одной или несколькими копиями единичного интервала . Для каждой копии существует карта, которая « склеивает » ее границу (ее две конечные точки) с элементами 0-мерного комплекса (точками). Топология комплекса CW — это топология фактор -пространства, определяемого этими картами склеивания.
• В общем случае n-мерный CW-комплекс строится путем взятия несвязного объединения k -мерного CW-комплекса (для некоторых ) с одной или несколькими копиями n -мерного шара . Для каждой копии существует карта, которая «склеивает» ее границу ( -мерную сферу ) с элементами -мерного комплекса. Топология CW-комплекса — это фактор-топология, определяемая этими склеивающими картами. ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle k}$
• Бесконечномерный комплекс CW может быть построен путем повторения вышеописанного процесса счетное количество раз. Поскольку топология объединения неопределенна, берется топология прямого предела, поскольку диаграмма весьма наводит на мысль о прямом пределе. Оказывается, это имеет большие технические преимущества. ${\displaystyle \cup _{k}X_{k}}$

Регулярные комплексы CW

Регулярный комплекс CW — это комплекс CW, склеивающие отображения которого являются гомеоморфизмами. Соответственно, разбиение X также называется регулярной ячейкой .

Граф без петель представлен регулярным 1-мерным CW-комплексом. Замкнутое 2-клеточное вложение графа на поверхности является регулярным 2-мерным CW-комплексом. Наконец, гипотеза о 3-сферной регулярной ячеечной структуре утверждает, что каждый 2-связный граф является 1-скелетом регулярного CW-комплекса на 3-мерной сфере . ^[3]

Относительные комплексы CW

Грубо говоря, относительный комплекс CW отличается от комплекса CW тем, что мы позволяем ему иметь один дополнительный строительный блок, который не обязательно обладает клеточной структурой. Этот дополнительный блок можно рассматривать как (-1)-мерную ячейку в предыдущем определении. ^{[4] [5] [6]}

Примеры

0-мерные комплексы CW

Каждое дискретное топологическое пространство представляет собой 0-мерный CW-комплекс.

1-мерные комплексы CW

Вот некоторые примеры одномерных комплексов CW: ^[7]

• Интервал . Его можно построить из двух точек ( x и y ) и одномерного шара B (интервала), так что одна конечная точка B приклеена к x , а другая — к y . Две точки x и y — это 0-ячейки; внутренняя часть B — это 1-ячейка. В качестве альтернативы его можно построить только из одного интервала без 0-ячеек.
• Окружность . Она может быть построена из одной точки x и одномерного шара B , так что обе конечные точки B будут приклеены к x . В качестве альтернативы, она может быть построена из двух точек x и y и двух одномерных шаров A и B , так что конечные точки A будут приклеены к x и y , а конечные точки B также будут приклеены к x и y .
• Граф. Для заданного графа можно построить 1-мерный комплекс CW, в котором 0-клетки являются вершинами, а 1-клетки — ребрами графа. Конечные точки каждого ребра отождествляются с инцидентными ему вершинами. Эта реализация комбинаторного графа как топологического пространства иногда называется топологическим графом .
  • 3-регулярные графы можно рассматривать как общие 1-мерные комплексы CW. В частности, если X является 1-мерным комплексом CW, то прикрепляющее отображение для 1-клетки является отображением из двухточечного пространства в X , . Это отображение может быть возмущено так, чтобы оно было непересекающимся с 0-скелетом X тогда и только тогда, когда и не являются вершинами 0-валентности X . ${\displaystyle f:\{0,1\}\to X}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f(1)}$
• Стандартная структура CW на действительных числах имеет в качестве 0-скелета целые числа и в качестве 1-ячеек интервалы . Аналогично, стандартная структура CW на имеет кубические ячейки, которые являются произведениями 0- и 1-ячеек из . Это стандартная структура ячеек кубической решетки на . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Конечномерные комплексы CW

Вот некоторые примеры конечномерных комплексов CW: ^[7]

• n -мерная сфера . Она допускает структуру CW с двумя ячейками, одной 0-ячейкой и одной n-ячейкой. Здесь n-ячейка присоединена постоянным отображением от ее границы к единственной 0-ячейке. Альтернативное разложение ячеек имеет одну ( n -1)-мерную сферу (« экватор ») и две n -ячейки, которые присоединены к ней («верхняя полусфера» и «нижняя полусфера»). Индуктивно это дает разложение CW с двумя ячейками в каждом измерении k, такое что . ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$
• n -мерное действительное проективное пространство . Оно допускает структуру CW с одной ячейкой в ​​каждом измерении.
• Терминология для общего двумерного комплекса CW — тень . [ ^8]
• Многогранник по своей природе является комплексом CW.
• Грассмановы многообразия допускают структуру CW, называемую ячейками Шуберта .
• Дифференцируемые многообразия , алгебраические и проективные многообразия имеют гомотопический тип CW-комплексов.
• Компактификация с одной точкой гиперболического многообразия с заостренным краем имеет каноническое разложение CW с единственной 0-ячейкой (точкой компактификации), называемое разложением Эпштейна–Пеннера . Такие разложения на ячейки часто называются идеальными полиэдральными разложениями и используются в популярном компьютерном программном обеспечении, таком как SnapPea .

Бесконечномерные комплексы CW

Не CW-комплексы

• Бесконечномерное гильбертово пространство не является CW-комплексом: это пространство Бэра , и поэтому его нельзя записать как счетное объединение n -скелетов, каждый из которых является замкнутым множеством с пустой внутренностью. Этот аргумент распространяется на многие другие бесконечномерные пространства.
• Пространство -еж гомотопически эквивалентно комплексу CW (точке), но оно не допускает разложения CW, поскольку оно не является локально стягиваемым . ${\displaystyle \{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subseteq \mathbb {C} }$
• Гавайская серьга не имеет разложения CW, поскольку она не является локально стягиваемой в начале координат. Она также не является гомотопически эквивалентной комплексу CW, поскольку у нее нет хорошего открытого покрытия.

Характеристики

• Комплексы CW локально сокращаемы (Хэтчер, предложение A.4).
• Если пространство гомотопически эквивалентно комплексу CW, то оно имеет хорошее открытое покрытие. ^[9] Хорошее открытое покрытие — это открытое покрытие, такое, что каждое непустое конечное пересечение является стягиваемым.
• CW-комплексы паракомпактны . Конечные CW-комплексы компактны . Компактное подпространство CW-комплекса всегда содержится в конечном подкомплексе. ^{[10] [11]}
• CW-комплексы удовлетворяют теореме Уайтхеда : отображение между CW-комплексами является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно индуцирует изоморфизм на всех гомотопических группах.
• Прикрывающее пространство комплекса ХО также является комплексом ХО.
• Произведение двух комплексов CW можно превратить в комплекс CW. В частности, если X и Y являются комплексами CW, то можно образовать комплекс CW X × Y , в котором каждая ячейка является произведением ячейки в X и ячейки в Y , наделенной слабой топологией . Тогда базовый набор X × Y является декартовым произведением X и Y , как и ожидалось. Кроме того, слабая топология на этом наборе часто согласуется с более привычной топологией произведения на X × Y , например, если либо X , либо Y конечны. Однако слабая топология может быть тоньше топологии произведения, например, если ни X , ни Y не являются локально компактными . В этом неблагоприятном случае произведение X × Y в топологии произведения не является комплексом CW. С другой стороны, произведение X и Y в категории компактно порожденных пространств согласуется со слабой топологией и, следовательно, определяет комплекс CW.
• Пусть X и Y — CW-комплексы. Тогда функциональные пространства Hom( X , Y ) (с компактно-открытой топологией ) в общем случае не являются CW-комплексами. Если X конечно, то Hom( X , Y ) гомотопически эквивалентно CW-комплексу по теореме Джона Милнора (1959). ^[12] Обратите внимание, что X и Y — компактно порожденные хаусдорфовы пространства , поэтому Hom( X , Y ) часто берется с компактно порожденным вариантом компактно-открытой топологии; приведенные выше утверждения остаются верными. ^[13]
• Теорема клеточной аппроксимации

Гомологии и когомологии комплексов CW

Сингулярные гомологии и когомологии комплексов CW легко вычисляются через клеточную гомологию . Более того, в категории комплексов CW и клеточных карт клеточная гомология может быть интерпретирована как теория гомологии . Для вычисления необычной теории (ко)гомологии для комплекса CW спектральная последовательность Атьи–Хирцебруха является аналогом клеточной гомологии.

Вот несколько примеров:

• Для сферы возьмем клеточное разложение с двумя ячейками: одна 0-ячейка и одна n -ячейка. Клеточный комплекс гомологии и гомология задаются следующим образом: ${\displaystyle S^{n},}$ ${\displaystyle C_{*}}$

${\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}\quad H_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}}$

так как все дифференциалы равны нулю.

В качестве альтернативы, если мы используем экваториальное разложение с двумя ячейками в каждом измерении

${\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{2}&0\leqslant k\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

и дифференциалы являются матрицами вида Это дает то же самое вычисление гомологии, что и выше, поскольку цепной комплекс точен во всех членах, за исключением и ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&-1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right).}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{n}.}$

• Ибо мы получаем аналогично ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle H^{k}\left(\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &0\leqslant k\leqslant 2n,{\text{ even}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Оба приведенных выше примера особенно просты, поскольку гомология определяется числом клеток, т.е.: клеточные карты прикрепления не играют никакой роли в этих вычислениях. Это очень частное явление, и оно не является показателем общего случая.

Модификация структур CW

Существует метод, разработанный Уайтхедом, для замены комплекса CW гомотопически эквивалентным комплексом CW, который имеет более простое разложение CW.

Рассмотрим, например, произвольный комплекс CW. Его 1-скелет может быть довольно сложным, будучи произвольным графом . Теперь рассмотрим максимальный лес F в этом графе. Поскольку это набор деревьев, а деревья стягиваемы, рассмотрим пространство, в котором отношение эквивалентности генерируется, если они содержатся в общем дереве в максимальном лесу F . Фактор-карта является гомотопической эквивалентностью. Более того, естественным образом наследует структуру CW с ячейками, соответствующими ячейкам , которые не содержатся в F . В частности, 1-скелет является несвязным объединением клиньев окружностей. ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$

Другой способ сформулировать вышесказанное состоит в том, что связный комплекс CW можно заменить гомотопически эквивалентным комплексом CW, 0-скелет которого состоит из одной точки.

Рассмотрим подъем по лестнице связности — предположим, что X — это односвязный комплекс CW, 0-скелет которого состоит из точки. Можем ли мы с помощью подходящих модификаций заменить X гомотопически эквивалентным комплексом CW, где состоит из одной точки? Ответ — да. Первый шаг — заметить, что и прикрепляющие отображения для построения образуют групповое представление . Теорема Титце для групповых представлений утверждает, что существует последовательность ходов, которые мы можем выполнить, чтобы свести это групповое представление к тривиальному представлению тривиальной группы. Существует два хода Титце: ${\displaystyle X^{1}}$ ${\displaystyle X^{1}}$ ${\displaystyle X^{2}}$ ${\displaystyle X^{1}}$

1) Добавление/удаление генератора. Добавление генератора с точки зрения разложения CW состоит из добавления 1-клетки и 2-клетки, чья карта присоединения состоит из новой 1-клетки, а остаток карты присоединения находится в . Если мы допустим, что будет соответствующим комплексом CW , то существует гомотопическая эквивалентность, заданная скольжением новой 2-клетки в X . ${\displaystyle X^{1}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$

2) Добавление/удаление отношения. Действие добавления отношения аналогично, только одно заменяет X на , где новая 3 -ячейка имеет прикрепляющую карту, которая состоит из новой 2-ячейки и остаточного отображения в . Похожий слайд дает гомотопическую эквивалентность . ${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{2}\cup e^{3}}$ ${\displaystyle X^{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$

Если CW-комплекс X является n -связным , можно найти гомотопически эквивалентный CW-комплекс , n -скелет которого состоит из одной точки. Аргумент для аналогичен случаю , только заменяется движение Титце для фундаментального группового представления элементарными матричными операциями для матриц представления для (используя матрицы представления, полученные из клеточной гомологии . т.е. можно аналогично реализовать элементарные матричные операции последовательностью добавления/удаления клеток или подходящих гомотопий прикрепляющих отображений. ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )}$

«Гомотопическая» категория

Гомотопическая категория CW-комплексов, по мнению некоторых экспертов, является наилучшим, если не единственным кандидатом на гомотопическую категорию (по техническим причинам фактически используется версия для выделенных пространств ). ^[14] Вспомогательные конструкции, которые дают пространства, не являющиеся CW-комплексами, должны использоваться время от времени. Один из основных результатов заключается в том, что представимые функторы в гомотопической категории имеют простую характеристику ( теорема Брауна о представимости ).

Смотрите также

• Абстрактный клеточный комплекс
• Понятие комплекса CW имеет адаптацию к гладким многообразиям, называемую разложением на ручки , которая тесно связана с теорией хирургии .

Ссылки

Примечания

1. Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Cambridge University Press . ISBN 0-521-79540-0.Этот учебник определяет комплексы CW в первой главе и использует их на протяжении всего текста; включает приложение по топологии комплексов CW. Бесплатная электронная версия доступна на домашней странице автора.
2. Whitehead, JHC (1949a). "Комбинаторная гомотопия. I." (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 55 (5): 213–245. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09175-9 . MR  0030759.(открытый доступ)
3. Де Агостино, Серджио (2016). Гипотеза о 3-сферной регулярной ячейке (PDF) . Международный семинар по комбинаторным алгоритмам.
4. Дэвис, Джеймс Ф.; Кирк, Пол (2001). Конспект лекций по алгебраической топологии . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
5. "Комплекс CW в nLab".
6. "CW-комплекс - Энциклопедия математики".
7. Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: канал, Animated Math (2020). "1.3 Введение в алгебраическую топологию. Примеры комплексов CW". Youtube .
8. Тураев, В. Г. (1994). Квантовые инварианты узлов и 3-многообразий . De Gruyter Studies in Mathematics. Том 18. Берлин: Walter de Gruyter & Co. ISBN 9783110435221.
9. Милнор, Джон (февраль 1959). «О пространствах, имеющих гомотопический тип CW-комплекса» . Труды Американского математического общества . 90 (2): 272–280. doi :10.2307/1993204. ISSN  0002-9947. JSTOR  1993204.
10. Хэтчер, Аллен , Алгебраическая топология , Cambridge University Press (2002). ISBN 0-521-79540-0 . Бесплатная электронная версия доступна на домашней странице автора 
11. Хэтчер, Аллен , Векторные расслоения и К-теория , предварительная версия доступна на домашней странице автора
12. Милнор, Джон (1959). «О пространствах, имеющих гомотопический тип CW-комплекса». Trans. Amer. Math. Soc . 90 (2): 272–280. doi : 10.1090/s0002-9947-1959-0100267-4 . JSTOR  1993204.
13. "Compactly Generated Spaces" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-03 . Получено 2012-08-26 .
14. Например, мнение «Класс CW-комплексов (или класс пространств того же гомотопического типа, что и CW-комплекс) является наиболее подходящим классом топологических пространств в отношении гомотопической теории» появляется в работе Баладзе, ДО (2001) [1994], «CW-комплекс», Энциклопедия математики , Издательство EMS

Общие ссылки

• Ланделл, AT; Вайнграм, С. (1970). Топология комплексов CW . Серия Университета Ван Ностранда по высшей математике. ISBN 0-442-04910-2.
• Brown, R.; Higgins, PJ; Sivera, R. (2011). Неабелева алгебраическая топология: отфильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды . European Mathematical Society Tracts in Mathematics Vol 15. ISBN 978-3-03719-083-8.Более подробная информация на [1] домашней странице первого автора]