Проективная линия

В математике проективная прямая — это, грубо говоря, продолжение обычной прямой точкой, называемой бесконечно удаленной . Формулировка и доказательство многих теорем геометрии упрощаются за счет устранения особых случаев; например, две различные проективные прямые в проективной плоскости пересекаются ровно в одной точке (случай «параллельности» отсутствует).

Существует много эквивалентных способов формального определения проективной прямой; один из наиболее распространенных — определение проективной прямой над полем K , обычно обозначаемое P ¹ ( K ), как множества одномерных подпространств двумерного K - векторного пространства . Это определение является частным случаем общего определения проективного пространства .

Проективная прямая над вещественными числами является многообразием ; подробности см. в разделе Вещественная проективная прямая .

Однородные координаты

Произвольная точка на проективной прямой P ¹ ( K ) может быть представлена ​​классом эквивалентности однородных координат , которые принимают форму пары

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]}$

элементов K , которые оба не равны нулю. Две такие пары эквивалентны , если они отличаются общим ненулевым множителем λ :

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\sim [\lambda x_{1}:\lambda x_{2}].}$

Линия, продолженная точкой в ​​бесконечности

Проективную прямую можно отождествить с прямой K, продолженной точкой в ​​бесконечности . Точнее, прямую K можно отождествить с подмножеством P ¹ ( K ), заданным формулой

${\displaystyle \left\{[x:1]\in \mathbf {P} ^{1}(K)\mid x\in K\right\}.}$

Это подмножество охватывает все точки в P ¹ ( K ), за исключением одной, которая называется точкой на бесконечности :

${\displaystyle \infty =[1:0].}$

Это позволяет расширить арифметику на K до P ¹ ( K ) по формулам

${\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty ,\qquad {\frac {1}{\infty }}=0,}$

${\displaystyle x\cdot \infty =\infty \quad {\text{if}}\quad x\not =0}$

${\displaystyle x+\infty =\infty \quad {\text{if}}\quad x\not =\infty }$

Перевод этой арифметики в термины однородных координат дает, когда [0 : 0] не встречается:

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]+[y_{1}:y_{2}]=[(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}):x_{2}y_{2}],}$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\cdot [y_{1}:y_{2}]=[x_{1}y_{1}:x_{2}y_{2}],}$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]^{-1}=[x_{2}:x_{1}].}$

Примеры

Действительная проективная прямая

Проективная прямая над действительными числами называется действительной проективной прямой . Ее также можно рассматривать как линию K вместе с идеализированной точкой на бесконечности ∞; точка соединяется с обоими концами K, создавая замкнутую петлю или топологическую окружность.

Пример получается путем проектирования точек в R ² на единичную окружность и последующего отождествления диаметрально противоположных точек. В терминах теории групп мы можем взять фактор по подгруппе {1, −1} .

Сравните расширенную прямую действительных чисел , которая различает ∞ и −∞.

Комплексная проективная прямая: сфера Римана

Добавление точки на бесконечности к комплексной плоскости приводит к пространству, которое топологически является сферой . Поэтому комплексная проективная прямая также известна как сфера Римана (или иногда сфера Гаусса ). Она постоянно используется в комплексном анализе , алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий как простейший пример компактной римановой поверхности .

Для конечного поля

Проективная прямая над конечным полем F _q из q элементов имеет q + 1 точку. Во всех остальных отношениях она ничем не отличается от проективных прямых, определенных над другими типами полей. В терминах однородных координат [ x :  y ] q этих точек имеют вид:

[ a  : 1] для каждого a в F _q ,

а оставшаяся точка на бесконечности может быть представлена ​​как [1 : 0] .

Группа симметрии

В общем случае группа гомографий с коэффициентами в K действует на проективной прямой P ¹ ( K ). Это групповое действие транзитивно , так что P ¹ ( K ) является однородным пространством для группы, часто записываемым как PGL ₂ ( K ), чтобы подчеркнуть проективную природу этих преобразований. Транзитивность говорит о том, что существует гомография, которая преобразует любую точку Q в любую другую точку R . Точка на бесконечности на P ¹ ( K ) является, таким образом, артефактом выбора координат: однородные координаты

${\displaystyle [X:Y]\sim [\lambda X:\lambda Y]}$

выражают одномерное подпространство единственной ненулевой точкой ( X , Y ), лежащей в нем, но симметрии проективной прямой могут перемещать точку ∞ = [1 : 0] в любую другую, и она ничем не выделяется.

Гораздо больше верно, поскольку некоторое преобразование может перевести любые заданные различные точки Q _i для i = 1, 2, 3 в любой другой набор из 3 различных точек R _i ( тройная транзитивность ). Этот объем спецификации «использует» три измерения PGL ₂ ( K ); другими словами, действие группы является остро 3-транзитивным . Вычислительным аспектом этого является перекрестное отношение . Действительно, обобщенное обратное верно: остро 3-транзитивное действие группы всегда является (изоморфным) обобщенной формой действия PGL ₂ ( K ) на проективной прямой, заменяя «поле» на «KT-поле» (обобщая обратное до более слабого вида инволюции), а «PGL» на соответствующее обобщение проективных линейных отображений. ^[1]

Как алгебраическая кривая

Проективная прямая является фундаментальным примером алгебраической кривой . С точки зрения алгебраической геометрии P ¹ ( K ) является неособой кривой рода 0. Если K алгебраически замкнуто , то это единственная такая кривая над K с точностью до рациональной эквивалентности . В общем случае (неособая) кривая рода 0 рационально эквивалентна над K конике C , которая сама бирационально эквивалентна проективной прямой тогда и только тогда, когда C имеет точку, определенную над K ; геометрически такая точка P может быть использована в качестве начала координат , чтобы сделать явной бирациональную эквивалентность.

Поле функций проективной прямой — это поле K ( T ) рациональных функций над K в одной неопределенной точке T. Автоморфизмы поля K ( T ) над K — это в точности группа PGL ₂ ( K ), обсуждавшаяся выше.

Любое функциональное поле K ( V ) алгебраического многообразия V над K , отличное от одной точки, имеет подполе, изоморфное K ( T ). С точки зрения бирациональной геометрии это означает, что будет существовать рациональное отображение из V в P ¹ ( K ), которое не является константой. Изображение будет опускать только конечное число точек P ¹ ( K ), а прообраз типичной точки P будет иметь размерность dim V − 1 . Это начало методов в алгебраической геометрии, которые являются индуктивными по размерности. Рациональные отображения играют роль, аналогичную мероморфным функциям комплексного анализа , и действительно, в случае компактных римановых поверхностей эти два понятия совпадают.

Если теперь взять V размерностью 1, мы получим картину типичной алгебраической кривой C , представленной «над» P ¹ ( K ). Предполагая, что C невырожденная (что не умаляет общности, начиная с K ( C )), можно показать, что такое рациональное отображение из C в P ¹ ( K ) будет фактически определено везде. (Это не так, если есть вырожденные точки, поскольку, например, двойная точка , где кривая пересекает себя, может дать неопределенный результат после рационального отображения.) Это дает картину, в которой основной геометрической особенностью является ветвление .

Многие кривые, например гиперэллиптические кривые , могут быть представлены абстрактно, как разветвленные покрытия проективной прямой. Согласно формуле Римана–Гурвица , род тогда зависит только от типа ветвления.

Рациональная кривая — это кривая, которая бирационально эквивалентна проективной прямой (см. рациональное многообразие ); ее род равен 0. Рациональная нормальная кривая в проективном пространстве P ⁿ — это рациональная кривая, которая не лежит ни в каком собственном линейном подпространстве; известно, что существует только один пример (с точностью до проективной эквивалентности), ^[2], заданный параметрически в однородных координатах как

[1 : т  : т ²  : ... : т ^н ].

Первый интересный случай см. в разделе «Скрученная кубическая функция» .

Смотрите также

• Алгебраическая кривая
• Кросс-соотношение
• Преобразование Мёбиуса
• Проективная прямая над кольцом
• Проективно расширенная вещественная прямая
• Проекционный диапазон
• Теория колеса

Ссылки

1. Действие PGL(2) в проективном пространстве – см. комментарий и цитируемую статью.
2. Харрис, Джо (1992), Алгебраическая геометрия: Первый курс, Graduate Texts in Mathematics, т. 133, Springer, ISBN 9780387977164.