Совершенный цифровой инвариант

В теории чисел совершенный цифровой инвариант (PDI) — это число в данной системе счисления ( ), которое представляет собой сумму своих собственных цифр, каждая из которых возведена в заданную степень ( ). ^{[1] [2]} ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$

Определение

Пусть будет натуральным числом . Идеальная цифровая инвариантная функция (также известная как счастливая функция , от happy numbers ) для основания и степени определяется как: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle F_{p,b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{p,b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}^{p}.}$

где - количество цифр в числе в базе , а ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

— значение каждой цифры числа. Натуральное число является совершенным цифровым инвариантом, если оно является неподвижной точкой для , что происходит, если . и являются тривиальными совершенными цифровыми инвариантами для всех и , все остальные совершенные цифровые инварианты являются нетривиальными совершенными цифровыми инвариантами . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{p,b}}$ ${\displaystyle F_{p,b}(n)=n}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$

Например, число 4150 в системе счисления является совершенным цифровым инвариантом с , поскольку . ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 4150=4^{5}+1^{5}+5^{5}+0^{5}}$

Натуральное число является общительным цифровым инвариантом, если оно является периодической точкой для , где для положительного целого числа (здесь - -я итерация ) , и образует цикл периода . Совершенный цифровой инвариант является общительным цифровым инвариантом с , а дружественный цифровой инвариант является общительным цифровым инвариантом с . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{p,b}}$ ${\displaystyle F_{p,b}^{k}(n)=n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{p,b}^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{p,b}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=2}$

Все натуральные числа являются предпериодическими точками для , независимо от основания. Это происходит потому, что если , , то любое будет удовлетворять до тех пор, пока . Существует конечное число натуральных чисел, меньших , поэтому число гарантированно достигнет периодической точки или фиксированной точки, меньшей , что делает его предпериодической точкой. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{p,b}}$ ${\displaystyle k\geq p+2}$ ${\displaystyle n\geq b^{k-1}>b^{p}k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>F_{b,p}(n)}$ ${\displaystyle n<b^{p+1}}$ ${\displaystyle b^{p+1}}$ ${\displaystyle b^{p+1}}$

Числа в базе приводят к фиксированным или периодическим точкам чисел . ${\displaystyle b>p}$ ${\displaystyle n\leq (p-2)^{p}+p(b-1)^{p}}$

Доказательство

Если , то границу можно уменьшить. Пусть будет числом, для которого сумма квадратов цифр наибольшая среди чисел, меньших . ${\displaystyle b>p}$ ${\displaystyle n<b^{p+1}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b^{p}}$

${\displaystyle r=b^{p}-1=\sum _{t=0}^{p}(b-1)b^{t}}$

${\displaystyle F_{p,b}(r)=(p+1)(b-1)^{p}<(p+1)b^{p}\leq b^{p+1}}$потому что ${\displaystyle b\geq (p+1)}$

Пусть — число, для которого сумма квадратов цифр наибольшая среди чисел, меньших . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (p+1)(b-1)^{p}}$

${\displaystyle s=(p+1)b^{p}-1=pb^{p}+\sum _{t=0}^{p-1}(b-1)b^{t}}$

${\displaystyle F_{p,b}(s)=p^{p}+p(b-1)^{p}<pb^{p}}$потому что ${\displaystyle b\geq p}$

Пусть — число, для которого сумма квадратов цифр наибольшая среди чисел, меньших . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle pb^{p}}$

${\displaystyle t=(p-1)b^{p}+\sum _{t=0}^{p-1}(b-1)b^{t}}$

${\displaystyle F_{p,b}(t)=(p-1)^{p}+p(b-1)^{p}}$

Пусть — число, для которого сумма квадратов цифр наибольшая среди чисел, меньших . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle F_{p,b}(t)+1}$

${\displaystyle u=(p-2)b^{p}+\sum _{t=0}^{p-1}(b-1)b^{t}}$

${\displaystyle F_{p,b}(u)=(p-2)^{p}+p(b-1)^{p}<(p-1)^{p}+p(b-1)^{p}=n_{\ell +1}}$

${\displaystyle u\leq F_{p,b}(u)<F_{p,b}(t)}$. Таким образом, числа в базе приводят к циклам или неподвижным точкам чисел . ${\displaystyle b>p}$ ${\displaystyle n\leq F_{p,b}(u)=(p-1)^{p}+p(b-1)^{p}}$

Число итераций, необходимое для достижения фиксированной точки, является персистентностью идеальной цифровой инвариантной функции и не определено, если она никогда не достигает фиксированной точки. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle F_{p,b}^{i}(n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle F_{1,b}}$является суммой цифр . Единственными совершенными цифровыми инвариантами являются однозначные числа в базе , и не существует периодических точек с простым периодом больше 1. ${\displaystyle b}$

${\displaystyle F_{p,2}}$сводится к , как и для любой мощности , и . ${\displaystyle F_{1,2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0^{p}=0}$ ${\displaystyle 1^{p}=1}$

Для каждого натурального числа , если , и , то для каждого натурального числа , если , то , где — функция Эйлера . ${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle p<b}$ ${\displaystyle (b-1)\equiv 0{\bmod {k}}}$ ${\displaystyle (p-1)\equiv 0{\bmod {\phi }}(k)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\equiv m{\bmod {k}}}$ ${\displaystyle F_{p,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}}$ ${\displaystyle \phi (k)}$

Доказательство

Позволять

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{j}d_{i}b^{i}}$

— натуральное число с цифрами, где , и , где — натуральное число, большее 1. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle 0\leq d_{i}<b}$ ${\displaystyle (b-1)\equiv 0{\bmod {k}}}$ ${\displaystyle k}$

Согласно правилам делимости основания , если , то если , то сумма цифр ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b-1\equiv 0{\bmod {k}}}$ ${\displaystyle n\equiv m{\bmod {k}}}$

${\displaystyle F_{1,b}(n)=\sum _{i=0}^{j}d_{i}\equiv m{\bmod {k}}}$

Если цифра , то . Согласно теореме Эйлера , если , . Таким образом, если сумма цифр , то . ${\displaystyle d_{i}\equiv m{\bmod {k}}}$ ${\displaystyle d_{i}^{p}\equiv m^{p}{\bmod {k}}}$ ${\displaystyle (p-1)\equiv 0{\bmod {\phi }}(k)}$ ${\displaystyle m^{p}{\bmod {k}}=m{\bmod {k}}}$ ${\displaystyle F_{1,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}}$ ${\displaystyle F_{p,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}}$

Следовательно, для любого натурального числа , если , и , то для любого натурального числа , если , то . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p<b}$ ${\displaystyle (b-1)\equiv 0{\bmod {k}}}$ ${\displaystyle (p-1)\equiv 0{\bmod {\phi }}(k)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\equiv m{\bmod {k}}}$ ${\displaystyle F_{p,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}}$

Невозможно определить верхнюю границу для размера совершенных цифровых инвариантов в заданной базе и произвольной мощности, и в настоящее время неизвестно, является ли число совершенных цифровых инвариантов для произвольной базы конечным или бесконечным. ^[1]

Ф2, б

По определению, любой трехзначный совершенный цифровой инвариант для с натуральным числом цифр , , должен удовлетворять кубическому диофантову уравнению . должен быть равен 0 или 1 для любого , поскольку максимальное значение, которое может принять, равно . В результате, на самом деле нужно решить два связанных квадратных диофантова уравнения: ${\displaystyle n=d_{2}d_{1}d_{0}}$ ${\displaystyle F_{2,b}}$ ${\displaystyle 0\leq d_{0}<b}$ ${\displaystyle 0\leq d_{1}<b}$ ${\displaystyle 0\leq d_{2}<b}$ ${\displaystyle d_{0}^{2}+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle b>2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=(2-1)^{2}+2(b-1)^{2}=1+2(b-1)^{2}<2b^{2}}$

${\displaystyle d_{0}^{2}+d_{1}^{2}=d_{1}b+d_{0}}$когда , и ${\displaystyle d_{2}=0}$

${\displaystyle d_{0}^{2}+d_{1}^{2}+1=b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$когда . ${\displaystyle d_{2}=1}$

Двузначное натуральное число является совершенным цифровым инвариантом по основанию ${\displaystyle n=d_{1}d_{0}}$

${\displaystyle b=d_{1}+{\frac {d_{0}(d_{0}-1)}{d_{1}}}.}$

Это можно доказать, взяв первый случай, где , и решив для . Это означает, что для некоторых значений и , не является совершенным цифровым инвариантом ни в какой базе, как и не является делителем . Более того, , поскольку если или , то , что противоречит предыдущему утверждению, что . ${\displaystyle d_{2}=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{0}(d_{0}-1)}$ ${\displaystyle d_{0}>1}$ ${\displaystyle d_{0}=0}$ ${\displaystyle d_{0}=1}$ ${\displaystyle b=d_{1}}$ ${\displaystyle 0\leq d_{1}<b}$

Для не существует трехзначных совершенных цифровых инвариантов , что можно доказать, взяв второй случай, где , и положив и . Тогда диофантово уравнение для трехзначного совершенного цифрового инварианта становится ${\displaystyle F_{2,b}}$ ${\displaystyle d_{2}=1}$ ${\displaystyle d_{0}=b-a_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}=b-a_{1}}$

${\displaystyle (b-a_{0})^{2}+(b-a_{1})^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

${\displaystyle b^{2}-2a_{0}b+a_{0}^{2}+b^{2}-2a_{1}b+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

${\displaystyle 2b^{2}-2(a_{0}+a_{1})b+a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

${\displaystyle b^{2}+(b-2(a_{0}+a_{1}))b+a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

${\displaystyle 2(a_{0}+a_{1})>a_{1}}$для всех значений . Таким образом, не существует решений диофантова уравнения, и не существует трехзначных совершенных цифровых инвариантов для . ${\displaystyle 0<a_{1}\leq b}$ ${\displaystyle F_{2,b}}$

Ф3, б

После единицы следует всего четыре числа, которые являются суммами кубов своих цифр:

${\displaystyle 153=1^{3}+5^{3}+3^{3}}$

${\displaystyle 370=3^{3}+7^{3}+0^{3}}$

${\displaystyle 371=3^{3}+7^{3}+1^{3}}$

${\displaystyle 407=4^{3}+0^{3}+7^{3}.}$

Это странные факты, очень подходящие для колонок головоломок и, вероятно, развлекущие любителей, но в них нет ничего, что могло бы привлечь математика. (последовательность A046197 в OEIS )
—  Г. Х. Харди , «Апология математика»

По определению, любой четырехзначный совершенный цифровой инвариант для с натуральным числом цифр , , , должен удовлетворять четверному диофантову уравнению . должен быть равен 0, 1, 2 для любого , поскольку максимальное значение, которое может принять, равно . В результате, на самом деле есть три связанных кубических диофантова уравнения для решения ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{3,b}}$ ${\displaystyle 0\leq d_{0}<b}$ ${\displaystyle 0\leq d_{1}<b}$ ${\displaystyle 0\leq d_{2}<b}$ ${\displaystyle 0\leq d_{3}<b}$ ${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+d_{3}^{3}=d_{3}b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ ${\displaystyle d_{3}}$ ${\displaystyle b>3}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=(3-2)^{3}+3(b-1)^{3}=1+3(b-1)^{3}<3b^{3}}$

${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$когда ${\displaystyle d_{3}=0}$

${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+1=b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$когда ${\displaystyle d_{3}=1}$

${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+8=2b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$когда ${\displaystyle d_{3}=2}$

Возьмем первый случай, когда . ${\displaystyle d_{3}=0}$

б= 3к+ 1

Пусть — положительное целое число и основание системы счисления . Тогда: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b=3k+1}$

• ${\displaystyle n_{1}=kb^{2}+(2k+1)b}$является идеальным цифровым инвариантом для всех . ${\displaystyle F_{3,b}}$ ${\displaystyle k}$

Доказательство

Пусть цифры будут , , и . Тогда ${\displaystyle n_{1}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ ${\displaystyle d_{2}=k}$ ${\displaystyle d_{1}=2k+1}$ ${\displaystyle d_{0}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{3,b}(n_{1})&=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}\\&=k^{3}+(2k+1)^{3}+0^{3}\\&=(k^{2}-k(2k+1)+(2k+1)^{2})(k+(2k+1))\\&=(k^{2}-2k^{2}-k+4k^{2}+4k+1)(3k+1)\\&=(3k^{2}+3k+1)(3k+1)\\&=(3k^{2}+4k+1)(3k+1)-k(3k+1)\\&=(k+1)(3k+1)(3k+1)-k(3k+1)\\&=k(3k+1)(3k+1)+(3k+1)(3k+1)-k(3k+1)\\&=k(3k+1)^{2}+(2k+1)(3k+1)+0\\&=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}\\&=n_{1}\end{aligned}}}$

Таким образом, это идеальный цифровой инвариант для для всех . ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle F_{3,b}}$ ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle n_{2}=kb^{2}+(2k+1)b+1}$является идеальным цифровым инвариантом для всех . ${\displaystyle F_{3,b}}$ ${\displaystyle k}$

Доказательство

Пусть цифры будут , , и . Тогда ${\displaystyle n_{2}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ ${\displaystyle d_{2}=k}$ ${\displaystyle d_{1}=2k+1}$ ${\displaystyle d_{0}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{3,b}(n_{2})&=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}\\&=k^{3}+(2k+1)^{3}+1^{3}\\&=(k^{2}-k(2k+1)+(2k+1)^{2})(k+(2k+1))+1\\&=(k^{2}-2k^{2}-k+4k^{2}+4k+1)(3k+1)+1\\&=(3k^{2}+3k+1)(3k+1)+1\\&=(3k^{2}+4k+1)(3k+1)-k(3k+1)+1\\&=(k+1)(3k+1)(3k+1)-k(3k+1)+1\\&=k(3k+1)(3k+1)+(3k+1)(3k+1)-k(3k+1)+1\\&=k(3k+1)^{2}+(2k+1)(3k+1)+1\\&=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}\\&=n_{2}\end{aligned}}}$

Таким образом, это идеальный цифровой инвариант для для всех . ${\displaystyle n_{2}}$ ${\displaystyle F_{3,b}}$ ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle n_{3}=(k+1)b^{2}+(2k+1)}$является идеальным цифровым инвариантом для всех . ${\displaystyle F_{3,b}}$ ${\displaystyle k}$

Доказательство

Пусть цифры будут , , и . Тогда ${\displaystyle n_{3}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ ${\displaystyle d_{2}=k+1}$ ${\displaystyle d_{1}=0}$ ${\displaystyle d_{0}=2k+1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{3,b}(n_{3})&=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}\\&=(k+1)^{3}+0^{3}+(2k+1)^{3}\\&=((k+1)^{2}-(k+1)(2k+1)+(2k+1)^{2})((k+1)+(2k+1))\\&=((k+1)^{2}+k(2k+1)(3k+2)\\&=(k^{2}+2k+1+2k^{2}+k)(3k+2)\\&=(3k^{2}+3k+1)(3k+2)\\&=(3k^{2}+3k)(3k+2)+(3k+2)\\&=3k(k+1)(3k+2)+(3k+2)\\&=(k+1)((3k+1)^{2}-1)+(3k+2)\\&=(k+1)(3k+1)^{2}-(k+1)+(3k+2)\\&=(k+1)(3k+1)^{2}+0(3k+1)+(2k+1)\\&=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}\\&=n_{3}\end{aligned}}}$

Таким образом, это идеальный цифровой инвариант для для всех . ${\displaystyle n_{3}}$ ${\displaystyle F_{3,b}}$ ${\displaystyle k}$

б= 3к+ 2

Пусть — положительное целое число и основание системы счисления . Тогда: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b=3k+2}$

• ${\displaystyle n_{1}=kb^{2}+(2k+1)}$является идеальным цифровым инвариантом для всех . ${\displaystyle F_{3,b}}$ ${\displaystyle k}$

Доказательство

Пусть цифры будут , , и . Тогда ${\displaystyle n_{1}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ ${\displaystyle d_{2}=k}$ ${\displaystyle d_{1}=2k+1}$ ${\displaystyle d_{0}=0}$

${\displaystyle F_{3,b}(n_{1})=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}}$

${\displaystyle =k^{3}+0^{3}+(2k+1)^{3}}$

${\displaystyle =(k^{2}-k(2k+1)+(2k+1)^{2})(k+(2k+1))}$

${\displaystyle =(k^{2}-2k^{2}-k+4k^{2}+4k+1)(3k+1)}$

${\displaystyle =(3k^{2}+3k+1)(3k+1)}$

${\displaystyle =(3k^{2}+3k+1)(3k+2)-(3k^{2}+3k+1)}$

${\displaystyle =(3k^{2}+3k+1)(3k+2)-(3k^{2}+2k+k+1)}$

${\displaystyle =(3k^{2}+3k+1)(3k+2)-k(3k+2)-(k+1)}$

${\displaystyle =(3k^{2}+2k+1)(3k+2)-(k+1)}$

${\displaystyle =(3k^{2}+2k)(3k+2)+(3k+2)-(k+1)}$

${\displaystyle =k(3k+2)^{2}+(2k+1)}$

${\displaystyle =d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$

${\displaystyle =n_{1}}$

Таким образом, это идеальный цифровой инвариант для для всех . ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle F_{3,b}}$ ${\displaystyle k}$

б= 6к+ 4

Пусть — положительное целое число и основание системы счисления . Тогда: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b=6k+4}$

• ${\displaystyle n_{4}=kb^{2}+(3k+2)b+(2k+1)}$является идеальным цифровым инвариантом для всех . ${\displaystyle F_{3,b}}$ ${\displaystyle k}$

Доказательство

Пусть цифры будут , , и . Тогда ${\displaystyle n_{4}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ ${\displaystyle d_{2}=k+1}$ ${\displaystyle d_{1}=3k+2}$ ${\displaystyle d_{0}=2k+1}$

${\displaystyle F_{3,b}(n_{3})=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}}$

${\displaystyle =(k)^{3}+(3k+2)^{3}+(2k+1)^{3}}$

${\displaystyle =k^{3}+((3k+2)^{2}-(3k+2)(2k+1)+(2k+1)^{2})((3k+2)+(2k+1))}$

${\displaystyle =k^{3}+((3k+2)(k+1)+(2k+1)^{2})(5k+3)}$

${\displaystyle =k^{3}+(3k^{2}+5k+2+4k^{2}+4k+1)(5k+3)}$

${\displaystyle =k^{3}+(7k^{2}+9k+3)(5k+3)}$

${\displaystyle =k^{3}+5k(7k^{2}+9k+3)+3(7k^{2}+9k+3)}$

${\displaystyle =k^{3}+35k^{3}+45k^{2}+15k+21k^{2}+27k+9}$

${\displaystyle =36k^{3}+66k^{2}+42k+9}$

${\displaystyle =(6k+4)(6k^{2})+42k^{2}+42k+9}$

${\displaystyle =(6k+4)(6k^{2})+(6k+4)(4k^{2})+18k^{2}+26k+9}$

${\displaystyle =(6k+4)(6k^{2}+4k)+18k^{2}+26k+9}$

${\displaystyle =k(6k+4)^{2}+(6k+4)(3k)+14k+9}$

${\displaystyle =k(6k+4)^{2}+(3k+2)(6k+4)+2k+1}$

${\displaystyle =d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$

${\displaystyle =n_{4}}$

Таким образом, это идеальный цифровой инвариант для для всех . ${\displaystyle n_{4}}$ ${\displaystyle F_{3,b}}$ ${\displaystyle k}$

Фп , б

Все числа представлены в базе . ${\displaystyle b}$

Расширение на отрицательные целые числа

Совершенные цифровые инварианты можно распространить на отрицательные целые числа, используя знаковое цифровое представление для представления каждого целого числа.

Сбалансированный троичный

В сбалансированной троичной системе цифры равны 1, −1 и 0. Это приводит к следующему:

• При нечетных степенях сводится к итерации суммы цифр , так как , и . ${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {2}}}$ ${\displaystyle F_{p,{\text{bal}}3}}$ ${\displaystyle (-1)^{p}=-1}$ ${\displaystyle 0^{p}=0}$ ${\displaystyle 1^{p}=1}$
• При четных степенях указывает , является ли число четным или нечетным, так как сумма каждой цифры будет указывать на делимость на 2 тогда и только тогда, когда сумма цифр заканчивается на 0. Как и , для каждой пары цифр 1 или −1 их сумма равна 0, а сумма их квадратов равна 2. ${\displaystyle p\equiv 0{\bmod {2}}}$ ${\displaystyle F_{p,{\text{bal}}3}}$ ${\displaystyle 0^{p}=0}$ ${\displaystyle (-1)^{p}=1^{p}=1}$

Отношение к счастливым числам

Счастливым числом для данного основания и данной степени является предпериодическая точка для совершенной цифровой инвариантной функции, такая, что -я итерация равна тривиальному совершенному цифровому инварианту , а несчастливым числом является такое, что такого не существует . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F_{p,b}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle F_{p,b}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m}$

Пример программирования

В примере ниже реализована функция идеального цифрового инварианта, описанная в определении выше, для поиска идеальных цифровых инвариантов и циклов в Python . Это можно использовать для поиска счастливых чисел .

def  pdif ( x :  int ,  p :  int ,  b :  int )  ->  int : """Идеальная цифровая инвариантная функция.""" total = 0 while x > 0 : total = total + pow ( x % b , p ) x = x // b return total                       def  pdif_cycle ( x :  int ,  p :  int ,  b :  int )  ->  list [ int ]:  seen  =  []  пока  x  не  в  seen :  seen . append ( x )  x  =  pdif ( x ,  p ,  b )  cycle  =  []  пока  x  не  в  cycle :  cycle . append ( x )  x  =  pdif ( x ,  p ,  b )  return  cycle

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• Число Дьюдени
• Факторион
• Счастливое число
• постоянная Капрекара
• Число Капрекара
• Число Меертенса
• Нарциссическое число
• Совершенный инвариант от цифры к цифре
• Сумма-произведение числа

Ссылки

1. Perfect и PluPerfect Цифровые инварианты Архивировано 2007-10-10 на Wayback Machine Скоттом Муром
2. PDI Харви Хайнца

Внешние ссылки

• Цифровые инварианты