Уравнение четвертой степени

Полиномиальное уравнение

В математике уравнение четвертой степени — это уравнение, которое можно выразить как функцию четвертой степени, равную нулю. Общая форма уравнения четвертой степени:

График полиномиальной функции 4-й степени с ее 4 корнями и 3 критическими точками .

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$

где а  ≠ 0.

Квартика — это полиномиальное уравнение наивысшего порядка , которое можно решить с помощью радикалов в общем случае ( т.е. в котором коэффициенты могут принимать любые значения).

История

Лодовико Феррари приписывают открытие решения квартики в 1540 году, но поскольку это решение, как и все алгебраические решения квартики, требует нахождения решения кубической функции , оно не могло быть опубликовано немедленно. ^[1] Решение квартики было опубликовано вместе с решением кубической функции наставником Феррари Джероламо Кардано в книге Ars Magna (1545).

Доказательство того, что это был общий многочлен наивысшего порядка, для которого можно было найти такие решения, было впервые дано в теореме Абеля–Руффини в 1824 году, доказавшей, что все попытки решения многочленов более высокого порядка были бы тщетными. Заметки, оставленные Эваристом Галуа перед его смертью на дуэли в 1832 году, позже привели к элегантной полной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема. ^[2]

Решение уравнения четвертой степени, частные случаи

Рассмотрим уравнение четвертой степени, выраженное в виде : ${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4}=0}$

Существует общая формула для нахождения корней уравнений четвертой степени, при условии, что коэффициент при старшем члене не равен нулю. Однако, поскольку общий метод довольно сложен и подвержен ошибкам в исполнении, лучше применить один из частных случаев, перечисленных ниже, если это возможно.

Вырожденный случай

Если постоянный член a ₄  = 0, то один из корней равен x  = 0, а остальные корни можно найти, разделив на x и решив полученное кубическое уравнение ,

${\displaystyle a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0.\,}$

Очевидные корни: 1 и −1 и −к

Назовем наш многочлен четвертой степени Q ( x ) . Поскольку 1 в любой степени равно 1,

${\displaystyle Q(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\ .}$

Таким образом, если Q (1) = 0 и, следовательно, x = 1, то это корень Q ( x ) . Аналогично можно показать, что если x = −1, то это корень. ${\displaystyle \ a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{0}+a_{2}+a_{4}=a_{1}+a_{3}\ ,}$

В любом случае полную квартику можно разделить на множитель ( x − 1) или ( x + 1) соответственно, получив новый кубический многочлен , который можно решить, чтобы найти другие корни квартики.

Если и то — корень уравнения. Полную квартику можно разложить следующим образом: ${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{2}=0\ }$ ${\displaystyle \ a_{4}=a_{3}k\ ,}$ ${\displaystyle \ x=-k\ }$

${\displaystyle \ a_{0}x^{4}+a_{0}kx^{3}+a_{3}x+a_{3}k=a_{0}x^{3}(x+k)+a_{3}(x+k)=(a_{0}x^{3}+a_{3})(x+k)\ .}$

В качестве альтернативы, если и тогда x = 0 и x = − k становятся двумя известными корнями. Q ( x ) деленное на x ( x + k ) является квадратным многочленом. ${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{3}=a_{2}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{4}=0\ ,}$

Биквадратные уравнения

Уравнение четвертой степени, где _{a3 и a1} равны 0 , принимает _вид

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{4}=0\,\!}$

и, таким образом, является биквадратным уравнением , которое легко решить: пусть , и тогда наше уравнение превращается в ${\displaystyle z=x^{2}}$

${\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{2}z+a_{4}=0\,\!}$

что представляет собой простое квадратное уравнение, решения которого легко находятся с помощью квадратной формулы:

${\displaystyle z={\frac {-a_{2}\pm {\sqrt {a_{2}^{2}-4a_{0}a_{4}}}}{2a_{0}}}\,\!}$

Когда мы решим его (т.е. найдем эти два значения z ), мы можем извлечь из них x

${\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

Если какое-либо из z -решений было отрицательным или комплексным числом, то некоторые из x- решений являются комплексными числами.

Квазисимметричные уравнения

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}=0\,}$

Шаги:

1. Разделите на х  ² .
2. Используйте замену переменной z = x + m / x .
3. Итак, z  ² = x  ² + ( m / x )  ² + 2 m .

Это приводит к:

${\displaystyle a_{0}(x^{2}+m^{2}/x^{2})+a_{1}(x+m/x)+a_{2}=0}$,

${\displaystyle a_{0}(z^{2}-2m)+a_{1}(z)+a_{2}=0}$,

${\displaystyle z^{2}+(a_{1}/a_{0})z+(a_{2}/a_{0}-2m)=0}$(квадратичная функция z = x + m / x )

Множественные корни

Если квартика имеет двойной корень , то его можно найти, взяв наибольший общий делитель многочлена с его производной. Затем их можно разделить и решить полученное квадратное уравнение.

В общем случае существует только четыре возможных случая уравнений четвертой степени с кратными корнями, которые перечислены ниже: ^[3]

1. Кратность-4 (М4): когда общее уравнение четвертой степени можно выразить как , для некоторого действительного числа . Этот случай всегда можно свести к биквадратному уравнению. ${\displaystyle a(x-l)^{4}=0}$ ${\displaystyle l}$
2. Кратность-3 (M3): когда общее уравнение четвертой степени можно выразить как , где  и  — пара двух различных действительных чисел. Это единственный случай, который никогда не может быть сведен к биквадратному уравнению. ${\displaystyle a(x-l)^{3}(x-m)=0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$
3. Двойная кратность-2 (DM2): когда общее уравнение четвертой степени можно выразить как , где  и  — пара двух различных действительных чисел или пара недействительных комплексно-сопряженных чисел. Этот случай также всегда можно свести к биквадратному уравнению. ${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)^{2}=0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$
4. Single Multiplecity-2 (SM2): когда общее уравнение четвертой степени можно выразить как , где ,  , и  — три различных действительных числа или — действительное число, а  и — пара недействительных комплексно-сопряженных чисел. Этот случай делится на два подслучая: те, которые можно свести к биквадратному уравнению, и те, в которых это невозможно. ${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)(x-n)=0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Итак, если три немонических коэффициента подавленного уравнения четвертой степени, , через пять коэффициентов общего уравнения четвертой степени заданы следующим образом: ,  и , то критерии для априорной идентификации каждого случая уравнений четвертой степени с несколькими корнями и их соответствующих решений представлены ниже. ${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$ ${\displaystyle p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$ ${\displaystyle q={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}$ ${\displaystyle r={\frac {16ab^{2}c-64a^{2}bd-3b^{4}+256a^{3}e}{256a^{4}}}}$

• M4. Общее уравнение четвертой степени соответствует этому случаю, когда , поэтому четыре корня этого уравнения задаются следующим образом: . ${\displaystyle p=q=r=0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=-{\frac {b}{4a}}}$
• M3. Общее уравнение четвертой степени соответствует этому случаю, когда и , поэтому четыре корня этого уравнения задаются следующим образом:   и  , если ; в противном случае   и  . ${\displaystyle p^{2}=-12r>0}$ ${\displaystyle 27q^{2}=-8p^{3}>0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{4}={\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$
• DM2. Общее уравнение четвертой степени соответствует этому случаю, когда , поэтому четыре корня этого уравнения задаются следующим образом:  и . ${\displaystyle p^{2}=4r>0=q}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{2}=x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$
• Биквадратное уравнение SM2. Общее уравнение четвертой степени соответствует этому подслучаю уравнений SM2 всякий раз , когда , поэтому четыре корня этого уравнения задаются следующим образом: ,  и . ${\displaystyle p\neq q=r=0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{3}={\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$
• Небиквадратное SM2. Общее уравнение четвертой степени соответствует этому подслучаю уравнений SM2 всякий раз, когда , поэтому четыре корня этого уравнения задаются следующей формулой: ^[4] , где , и . ${\displaystyle (p^{2}+12r)^{3}=[p(p^{2}-36r)+{\frac {27}{2}}q^{2}]^{2}>0\neq {q}}$ ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left[\xi {\sqrt {s_{1}}}\pm {\sqrt {2{\biggl (}s_{2}-{\frac {\xi q}{\sqrt {s_{1}}}}{\biggr )}}}\right]-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle s_{1}={\frac {9q^{2}-32pr}{p^{2}+12r}}>0}$ ${\displaystyle s_{2}=-{\frac {2p(p^{2}-4r)+9q^{2}}{2(p^{2}+12r)}}\neq 0}$ ${\displaystyle \xi =\pm 1}$

Общий случай

Формула четвертой степени.

Для начала квартику необходимо преобразовать в депрессированную квартику .

Преобразование в подавленную квартику

Позволять

будет общим уравнением четвертой степени, которое требуется решить. Разделим обе части на A ,

${\displaystyle \ x^{4}+{B \over A}x^{3}+{C \over A}x^{2}+{D \over A}x+{E \over A}=0\ .}$

Первым шагом, если B еще не равно нулю, должно быть исключение члена x ^3. Для этого замените переменные с x на u , так чтобы

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ .}$

Затем

${\displaystyle \ \left(u-{B \over 4A}\right)^{4}+{B \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{3}+{C \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{2}+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

Расширение степеней биномов дает

${\displaystyle \ \left(u^{4}-{B \over A}u^{3}+{6u^{2}B^{2} \over 16A^{2}}-{4uB^{3} \over 64A^{3}}+{B^{4} \over 256A^{4}}\right)+{B \over A}\left(u^{3}-{3u^{2}B \over 4A}+{3uB^{2} \over 16A^{2}}-{B^{3} \over 64A^{3}}\right)+{C \over A}\left(u^{2}-{uB \over 2A}+{B^{2} \over 16A^{2}}\right)+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

Собирая те же самые степени u, получаем

${\displaystyle \ u^{4}+\left({-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\right)u^{2}+\left({B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\right)u+\left({-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\right)=0\ .}$

Теперь переименуем коэффициенты u . Пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\ ,\\b&={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\ ,\\c&={-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\ .\end{aligned}}}$

Полученное уравнение:

которое является подавленным уравнением четвертой степени .

Если тогда у нас есть частный случай биквадратного уравнения, который легко решается, как объяснено выше. Обратите внимание, что общее решение, приведенное ниже, не будет работать для частного случая Уравнение должно быть решено как биквадратное. ${\displaystyle \ b=0\ }$ ${\displaystyle \ b=0\ .}$

В любом случае, как только подавленная квартика решена для u , подставляя эти значения в

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ }$

выдает значения x , которые решают исходную квартику.

Решение подавленной квартики, когдаб≠ 0

После преобразования в подавленное уравнение четвертой степени

${\displaystyle u^{4}+au^{2}+bu+c=0}$

и исключая особый случай b = 0, который решается как биквадратное уравнение, мы предполагаем в дальнейшем, что b ≠ 0.

Мы разделим термины левый и правый как

${\displaystyle u^{4}=-au^{2}-bu-c}$

и прибавьте к обеим частям числа, которые превратят их в полные квадраты .

Пусть y будет любым решением этого кубического уравнения :

${\displaystyle 2y^{3}-ay^{2}-2cy+(ac-{\tfrac {1}{4}}b^{2})=(2y-a)(y^{2}-c)-{\tfrac {1}{4}}b^{2}=0\ .}$

Тогда (так как b ≠ 0)

${\displaystyle 2y-a\neq 0}$

поэтому мы можем разделить на него, давая

${\displaystyle y^{2}-c={\frac {b^{2}}{4(2y-a)}}\ .}$

Затем

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}=u^{4}+2yu^{2}+y^{2}=(2y-a)u^{2}-bu+(y^{2}-c)=(2y-a)u^{2}-bu+{\frac {b^{2}}{\ 4(2y-a)\ }}=\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}\ .}$

Вычитая, мы получаем разность двух квадратов, которая является произведением суммы и разности их корней.

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}-\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}=\left(u^{2}+y+{\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)\left(u^{2}+y-{\sqrt {2y-a\ }}\,u+{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)=0}$

которое можно решить, применив квадратную формулу к каждому из двух факторов. Таким образом, возможные значения u :

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$или

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ .}$

Использование другого y из трех корней кубического уравнения просто приводит к тому, что эти же четыре значения u появляются в другом порядке. Решения кубического уравнения:

${\displaystyle \ y={\frac {a}{6}}+w-{\frac {p}{3w}}\ }$

${\displaystyle \ w={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\ }}\ }}}$

используя любой из трех возможных кубических корней. Мудрая стратегия — выбрать знак квадратного корня, который делает абсолютное значение w максимально большим.

${\displaystyle \ p=-{\frac {a^{2}}{12}}-c\ ,}$

${\displaystyle \ q=-{\frac {a^{3}}{108}}+{\frac {ac}{3}}-{\frac {b^{2}}{8}}\ .}$

Решение Феррари

В противном случае, подавленная квартика может быть решена с помощью метода, открытого Лодовико Феррари . После того, как подавленная квартика получена, следующим шагом является добавление действительного тождества

${\displaystyle \left(u^{2}+a\right)^{2}-u^{4}-2au^{2}=a^{2}}$

к уравнению ( 1 ), что дает

Эффект состоял в том, что член u ⁴ свернули в полный квадрат : ( u ²  + a) ² . Второй член, au ^{2 ,} не исчез, но его знак изменился, и он был перемещен в правую сторону.

Следующий шаг — вставить переменную y в полный квадрат в левой части уравнения ( 2 ), а соответствующую 2 y — в коэффициент u ^{2 в правой части. Для выполнения этих вставок к уравнению (} 2 ) будут добавлены следующие допустимые формулы :

${\displaystyle {\begin{aligned}(u^{2}+a+y)^{2}-(u^{2}+a)^{2}&=2y(u^{2}+a)+y^{2}\ \ \\&=2yu^{2}+2ya+y^{2},\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle 0=(a+2y)u^{2}-2yu^{2}-au^{2}\,}$

Эти две формулы, сложенные вместе, дают

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}-\left(u^{2}+a\right)^{2}=\left(a+2y\right)u^{2}-au^{2}+2ya+y^{2}\qquad \qquad (y{\hbox{-insertion}})\,}$

что в сочетании с уравнением ( 2 ) дает

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}+bu+c=\left(a+2y\right)u^{2}+\left(2ya+y^{2}+a^{2}\right).\,}$

Это эквивалентно

Теперь цель состоит в том, чтобы выбрать значение для y таким образом, чтобы правая часть уравнения ( 3 ) стала полным квадратом. Это можно сделать, позволив дискриминанту квадратичной функции стать равным нулю. Чтобы объяснить это, сначала разложим полный квадрат так, чтобы он был равен квадратичной функции:

${\displaystyle \left(su+t\right)^{2}=\left(s^{2}\right)u^{2}+\left(2st\right)u+\left(t^{2}\right).\,}$

Квадратичная функция в правой части имеет три коэффициента. Можно проверить, что возведение второго коэффициента в квадрат и последующее вычитание четырехкратного произведения первого и третьего коэффициентов дает ноль:

${\displaystyle \left(2st\right)^{2}-4\left(s^{2}\right)\left(t^{2}\right)=0.\,}$

Поэтому, чтобы превратить правую часть уравнения ( 3 ) в полный квадрат, необходимо решить следующее уравнение:

${\displaystyle (-b)^{2}-4\left(2y+a\right)\left(y^{2}+2ya+a^{2}-c\right)=0.\,}$

Умножьте двучлен на многочлен,

${\displaystyle b^{2}-4\left(2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac\right)\right)=0\,}$

Разделим обе части на −4 и перенесем − b ² /4 вправо,

${\displaystyle 2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac-{\frac {b^{2}}{4}}\right)=0}$

Разделите обе части на 2,

Это кубическое уравнение относительно y . Решите относительно y, используя любой метод решения таких уравнений (например, преобразование в приведенное кубическое и применение формулы Кардано). Подойдет любой из трех возможных корней.

Складываем второй идеальный квадрат

При выбранном значении y теперь известно, что правая часть уравнения ( 3 ) представляет собой полный квадрат вида

${\displaystyle \left(s^{2}\right)u^{2}+(2st)u+\left(t^{2}\right)=\left(\left({\sqrt {s^{2}}}\right)u+{(2st) \over 2{\sqrt {s^{2}}}}\right)^{2}}$

(Это верно для обоих знаков квадратного корня, если для обоих квадратных корней берется один и тот же знак. Знак ± является избыточным, так как он будет поглощен другим знаком ± в нескольких уравнениях ниже на этой странице.)

чтобы его можно было сложить:

${\displaystyle (a+2y)u^{2}+(-b)u+\left(y^{2}+2ya+a^{2}-c\right)=\left(\left({\sqrt {a+2y}}\right)u+{(-b) \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)^{2}.}$

Примечание: Если b ≠ 0, то a + 2 y ≠ 0. Если b = 0, то это будет биквадратное уравнение, которое мы решили ранее.

Поэтому уравнение ( 3 ) становится

Уравнение ( 5 ) имеет пару сложенных полных квадратов, по одному с каждой стороны уравнения. Два полных квадрата уравновешивают друг друга.

Если два квадрата равны, то стороны двух квадратов также равны, как показано на рисунке:

Собирая как силы u производит

Примечание: нижний индекс s у и означает, что они зависимы. ${\displaystyle \pm _{s}}$ ${\displaystyle \mp _{s}}$

Уравнение ( 6 ) является квадратным уравнением относительно u . Его решение:

${\displaystyle u={\frac {\pm _{s}{\sqrt {a+2y}}\pm _{t}{\sqrt {(a+2y)-4\left(a+y\pm _{s}{b \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)}}}{2}}.}$

Упрощая, получаем

${\displaystyle u={\pm _{s}{\sqrt {a+2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3a+2y\pm _{s}{2b \over {\sqrt {a+2y}}}\right)}} \over 2}.}$

Это решение пониженного уравнения четвертой степени, поэтому решения исходного уравнения четвертой степени следующие:

Помните: эти два члена находятся в одном и том же месте уравнения ( 5' ) и должны иметь одинаковый знак, в то время как знак независим. ${\displaystyle \pm _{s}}$ ${\displaystyle \pm _{t}}$

Краткое изложение метода Феррари

Учитывая уравнение четвертой степени

${\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,\,}$

ее решение можно найти с помощью следующих расчетов:

${\displaystyle a=-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},}$

${\displaystyle b={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},}$

${\displaystyle c=-{3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}.}$

Если тогда ${\displaystyle \,b=0,}$

${\displaystyle x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-a\pm _{t}{\sqrt {a^{2}-4c}} \over 2}}\qquad {\mbox{(for }}b=0{\mbox{ only)}}.}$

В противном случае продолжайте

${\displaystyle P=-{a^{2} \over 12}-c,}$

${\displaystyle Q=-{a^{3} \over 108}+{ac \over 3}-{b^{2} \over 8},}$

${\displaystyle R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}},}$

(подойдет любой знак квадратного корня)

${\displaystyle U={\sqrt[{3}]{R}},}$

(есть 3 комплексных корня, подойдет любой из них)

${\displaystyle y=-{5 \over 6}a+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0,&\to U-{P \over 3U},\end{cases}}\quad \quad \quad }$

${\displaystyle W={\sqrt {a+2y}}}$

${\displaystyle x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3a+2y\pm _{s}{2b \over W}\right)}} \over 2}.}$

Два ± _s должны иметь одинаковый знак, ± _t независим. Чтобы получить все корни, вычислите x для ± _s ,± _t = +,+ и для +,−; и для −,+ и для −,−. Эта формула обрабатывает повторяющиеся корни без проблем.

Феррари был первым, кто открыл одно из этих запутанных решений ^{[ требуется ссылка ]} . Уравнение, которое он решил, было

${\displaystyle x^{4}+6x^{2}-60x+36=0}$

которая уже была в подавленной форме. У нее есть пара решений, которые можно найти с помощью набора формул, показанных выше.

Решение Феррари в частном случае действительных коэффициентов

Если коэффициенты уравнения четвертой степени действительны, то вложенное подавленное кубическое уравнение ( 5 ) также имеет действительные коэффициенты, следовательно, оно имеет по крайней мере один действительный корень.

Кроме того, кубическая функция

${\displaystyle C(v)=v^{3}+Pv+Q,}$

где P и Q определяются формулой ( 5 ), имеет свойства, которые

${\displaystyle C\left({a \over 3}\right)={-b^{2} \over 8}<0}$и

${\displaystyle \lim _{v\to \infty }C(v)=\infty ,}$где a и b определяются формулой ( 1 ).

Это означает, что ( 5 ) имеет действительный корень, больший, чем , и, следовательно, ( 4 ) имеет действительный корень, больший, чем . ${\displaystyle a \over 3}$ ${\displaystyle -a \over 2}$

При использовании этого корня член в ( 8 ) всегда является действительным, что гарантирует, что два квадратных уравнения ( 8 ) имеют действительные коэффициенты. ^[5] ${\displaystyle {\sqrt {a+2y}}}$

Получение альтернативных решений трудным путем

Может случиться так, что с помощью приведенных выше формул получено только одно решение, поскольку не все четыре знаковых шаблона были опробованы для четырех решений, и полученное решение является комплексным . Также может быть так, что ищут только действительное решение. Пусть x ₁ обозначает комплексное решение. Если все исходные коэффициенты A , B , C , D и E действительны — что должно быть в случае, когда требуются только действительные решения — то существует еще одно комплексное решение x ₂ , которое является комплексно сопряженным x ₁ . Если два других корня обозначены как x ₃ и x _{4 ,} то уравнение четвертой степени можно выразить как

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0,\,}$

но это уравнение четвертой степени эквивалентно произведению двух квадратных уравнений:

и

С

${\displaystyle x_{2}=x_{1}^{\star }}$

затем

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-x_{1})(x-x_{2})&=x^{2}-(x_{1}+x_{1}^{\star })x+x_{1}x_{1}^{\star }\\&=x^{2}-2\operatorname {Re} (x_{1})x+[\operatorname {Re} (x_{1})]^{2}+[\operatorname {Im} (x_{1})]^{2}.\end{aligned}}}$

Позволять

${\displaystyle a=-2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle b=\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}}$

так что уравнение ( 9 ) становится

Пусть также имеются (неизвестные) переменные w и v, такие, что уравнение ( 10 ) принимает вид

Умножение уравнений ( 11 ) и ( 12 ) дает

Сравнивая уравнение ( 13 ) с исходным уравнением четвертой степени, можно увидеть, что

${\displaystyle a+w={B \over A},}$

${\displaystyle b+wa+v={C \over A},}$

${\displaystyle wb+va={D \over A},}$

и

${\displaystyle vb={E \over A}.}$

Поэтому

${\displaystyle w={B \over A}-a={B \over A}+2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle v={E \over Ab}={\frac {E}{A\left(\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}\right)}}.}$

Уравнение ( 12 ) можно решить относительно x, получив

${\displaystyle x_{3}={-w+{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2},}$

${\displaystyle x_{4}={-w-{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2}.}$

Одно из этих двух решений должно быть желаемым реальным решением.

Альтернативные методы

Быстрое и запоминающееся решение из первых принципов

Большинство учебников по решению уравнения четвертой степени требуют подстановки, которую трудно запомнить. Вот подход, который делает его простым для понимания. Работа сделана, если мы можем разложить уравнение четвертой степени на произведение двух квадратных уравнений . Пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\\&=\left(x^{2}+px+q\right)\left(x^{2}+rx+s\right)\\&=x^{4}+(p+r)x^{3}+(q+s+pr)x^{2}+(ps+qr)x+qs\end{aligned}}}$

Приравнивая коэффициенты, получаем следующий набор одновременных уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=p+r\\c&=q+s+pr\\d&=ps+qr\\e&=qs\end{aligned}}}$

Решить это сложнее, чем кажется, но если мы снова начнем с подавленной квартики, где , которую можно получить заменой , то , и: ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle (x-b/4)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r=-p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c+p^{2}&=s+q\\d/p&=s-q\\e&=sq\end{aligned}}}$

Теперь можно легко устранить обе проблемы , выполнив следующие действия: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(c+p^{2}\right)^{2}-(d/p)^{2}&=(s+q)^{2}-(s-q)^{2}\\&=4sq\\&=4e\end{aligned}}}$

Если положить , то это уравнение превращается в кубическое уравнение : ${\displaystyle P=p^{2}}$

${\displaystyle P^{3}+2cP^{2}+\left(c^{2}-4e\right)P-d^{2}=0}$

которая решается в другом месте. Как только у вас есть , тогда: ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=-p\\2s&=c+p^{2}+d/p\\2q&=c+p^{2}-d/p\end{aligned}}}$

Симметрии в этом решении легко увидеть. Есть три корня кубического уравнения, соответствующие трем способам, которыми квартика может быть разложена на два квадратных уравнения, и выбор положительных или отрицательных значений для квадратного корня просто меняет местами два квадратных уравнения. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$

Теория Галуа и факторизация

Симметрическая группа S ₄ на четырех элементах имеет четверную группу Клейна в качестве нормальной подгруппы . Это предполагает использование резольвенты, корни которой могут быть по-разному описаны как дискретное преобразование Фурье или матричное преобразование Адамара корней. Предположим, что r _i для i от 0 до 3 являются корнями

${\displaystyle x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad (1)}$

Если мы теперь установим

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}+r_{2}+r_{3}),\\s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}+r_{2}-r_{3}),\\s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}-r_{2}-r_{3}),\\s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}-r_{2}+r_{3}),\end{aligned}}}$

тогда, поскольку преобразование является инволюцией , мы можем выразить корни в терминах четырех s _i точно таким же образом. Поскольку мы знаем значение s ₀ = − b /2, нам на самом деле нужны только значения для s ₁ , s ₂ и s ₃ . Их мы можем найти, разложив многочлен

${\displaystyle \left(z^{2}-s_{1}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{2}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{3}^{2}\right)\qquad (2)}$

что, если мы сделаем упрощающее предположение, что b  = 0, равно

${\displaystyle z^{6}+2cz^{4}+\left(c^{2}-4e\right)z^{2}-d^{2}\qquad (3)}$

Этот многочлен имеет шестую степень, но только третью степень по z ² , и поэтому соответствующее уравнение разрешимо. Опытным путем мы можем определить, какие три корня являются правильными, и, следовательно, найти решения квартики.

Мы можем устранить любое требование к испытанию, используя корень того же разрешающего полинома для факторизации; если w является любым корнем (3), и если

${\displaystyle F_{1}=x^{2}+wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}-{\frac {cw^{3}}{d}}+2{\frac {ew}{d}}}$

${\displaystyle F_{2}=x^{2}-wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}+{\frac {cw^{3}}{d}}-2{\frac {ew}{d}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}}$

затем

${\displaystyle F_{1}F_{2}=x^{4}+cx^{2}+dx+e\qquad \qquad (4)}$

Таким образом, мы можем решить уравнение четвертой степени, решив его относительно w, а затем решив корни двух множителей, используя квадратную формулу.

Приблизительные методы

Описанные выше методы, в принципе, являются точными методами поиска корней. Также возможно использовать методы последовательного приближения, которые итеративно сходятся к корням, такие как метод Дюрана–Кернера . Итерационные методы являются единственными доступными для уравнений пятого и более высокого порядка, за пределами тривиальных или специальных случаев.

Смотрите также

• Линейное уравнение
• Квадратное уравнение
• Кубическое уравнение
• Уравнение пятой степени
• Полиномиальный
• Метод Ньютона

Ссылки

• Достижение Феррари
• Формула четвертой степени в виде четырех отдельных уравнений на PlanetMath .

Примечания

1. "Лодовико Феррари".
2. Стюарт, Ян, Теория Галуа, Третье издание (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004)
3. Чавес-Пичардо, Маурисио; Мартинес-Крус, Мигель А.; Трехо-Мартинес, Альфредо; Мартинес-Карбахал, Даниэль; Аренас-Ресендис, Таня (июль 2022 г.). «Полный обзор общего уравнения четвертой степени с действительными коэффициентами и кратными корнями». Математика . 10 (14): 2377. doi : 10.3390/math10142377 . ISSN  2227-7390.
4. Чавес-Пичардо, Маурисио; Мартинес-Крус, Мигель А.; Трехо-Мартинес, Альфредо; Вега-Крус, Ана Беатрис; Аренас-Ресендис, Таня (март 2023 г.). «О практичности аналитических решений для всех алгебраических уравнений третьей и четвертой степени с действительными коэффициентами». Математика . 11 (6): 1447. doi : 10.3390/math11061447 . ISSN  2227-7390.
5. Карстенсен, Йенс, Komplekse tal, First Edition , (Systime 1981), ISBN 87-87454-71-8 . (на датском языке) 

Внешние ссылки

• Калькулятор для решения квартиков