Лемма Пуанкаре

В математике лемма Пуанкаре дает достаточное условие точности замкнутой дифференциальной формы (при этом точная форма обязательно замкнута). Точнее, он утверждает, что каждая замкнутая ^p - форма на открытом шаре в Rn точна для p с 1 ⩽ p ⩽ n . ^[1] Лемма была введена Анри Пуанкаре в 1886 году. ^{[2] [3]}

Лемма Пуанкаре, особенно в исчислении , также утверждает, что каждая замкнутая 1-форма на односвязном открытом подмножестве точна. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

На языке когомологий лемма Пуанкаре гласит, что k -я группа когомологий де Рама стягиваемого открытого подмножества многообразия M (например, ) обращается в нуль при . В частности, это означает, что комплекс де Рама дает разрешение постоянного пучка на M . Сингулярные когомологии стягиваемого пространства исчезают в положительной степени, но лемма Пуанкаре из этого не следует , поскольку тот факт, что сингулярные когомологии многообразия можно вычислить как его когомологии де Рама, т. е. теорема де Рама , опирается на лемму Пуанкаре. Однако это означает, что достаточно доказать лемму Пуанкаре для открытых шаров; тогда версия для стягиваемых многообразий следует из топологических соображений. ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{M}}$

Лемма Пуанкаре также является частным случаем гомотопической инвариантности когомологий де Рама ; на самом деле лемму обычно устанавливают, показывая гомотопическую инвариантность или, по крайней мере, ее версию.

Доказательства

Прямое доказательство [4]

Мы докажем лемму для открытого подмножества , имеющего форму звезды или конуса над ; т. е. если находится в , то находится в для . Этот случай, в частности, охватывает случай открытого шара, поскольку можно предположить, что открытый шар центрирован в начале координат без потери общности. ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle tx}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$

Хитрость заключается в том, чтобы рассмотреть дифференциальные формы на (мы используем координату на ). Сначала определим оператор (называемый послойным интегрированием ) для k -форм с помощью ${\displaystyle U\times [0,1]\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \pi _{*}}$ ${\displaystyle U\times [0,1]}$

${\displaystyle \pi _{*}\left(\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k-1}}\alpha _{i}dt\wedge dx^{i}+\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}\beta _{j}dx^{j}\right)=\left(\int _{0}^{1}\alpha _{i}(\cdot ,t)\,dt\right)\,dx^{i}}$

где , и аналогично для и . Теперь для , поскольку , используя дифференцирование под знаком интеграла , имеем: ${\displaystyle dx^{i}=dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle dx^{j}}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle \alpha =f\,dt\wedge dx^{i}}$ ${\displaystyle d\alpha =-\sum _{l}{\frac {\partial f}{\partial x_{l}}}dt\wedge dx_{l}\wedge dx^{i}}$

${\displaystyle \pi _{*}(d\alpha )=-d(\pi _{*}\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d(\pi _{*}\alpha )}$

где обозначают ограничения на гиперплоскости и они равны нулю, так как там равен нулю. Если , то аналогичное вычисление дает ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t=0,t=1}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle \alpha =f\,dx^{j}}$

${\displaystyle \pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d(\pi _{*}\alpha )}$.

Таким образом, приведенная выше формула справедлива для любой -формы на . Наконец, позвольте и затем установите . Тогда, используя обозначение , мы получаем: для любой -формы на , ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle U\times [0,1]}$ ${\displaystyle h(x,t)=tx}$ ${\displaystyle J=\pi _{*}\circ h^{*}}$ ${\displaystyle h_{t}=h(\cdot ,t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle h_{1}^{*}\omega -h_{0}^{*}\omega =Jd\omega +dJ\omega ,}$

формула, известная как формула гомотопии. Оператор называется гомотопическим оператором (также называемым цепной гомотопией ). Теперь, если закрыто, . С другой стороны, и . Следовательно, ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle Jd\omega =0}$ ${\displaystyle h_{1}^{*}\omega =\omega }$ ${\displaystyle h_{0}^{*}\omega =0}$

${\displaystyle \omega =dJ\omega ,}$

что доказывает лемму Пуанкаре.

Фактически то же доказательство показывает лемму Пуанкаре для любого стягиваемого открытого подмножества U многообразия. Действительно, при таком U мы имеем гомотопию с единицей и точкой. Аппроксимируя такую ​​, можно считать, что она действительно гладкая. Интеграция волокон также определена для . Следовательно, действует тот же аргумент. ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle h_{1}=}$ ${\displaystyle h_{0}(U)=}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle \pi _{*}}$ ${\displaystyle \pi :U\times [0,1]\to U}$

Доказательство с использованием производных Ли.

Волшебная формула Картана для производных Ли может быть использована для краткого доказательства леммы Пуанкаре. Формула гласит, что производная Ли вдоль векторного поля имеет вид: ^[5] ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle L_{\xi }=d\,i(\xi )+i(\xi )d}$

где обозначает интерьерное изделие ; то есть, . ${\displaystyle i(\xi )}$ ${\displaystyle i(\xi )\omega =\omega (\xi ,\cdot )}$

Пусть — гладкое семейство гладких отображений для некоторого открытого подмножества U такого , которое определено для t в некотором замкнутом интервале I и является диффеоморфизмом для t внутри I . Обозначим через касательные векторы к кривой ; то есть, . Для фиксированного t внутри I пусть . Затем . Таким образом, по определению производной Ли ${\displaystyle f_{t}:U\to U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle \xi _{t}(x)}$ ${\displaystyle f_{t}(x)}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f_{t}(x)=\xi _{t}(f_{t}(x))}$ ${\displaystyle g_{s}=f_{t+s}\circ f_{t}^{-1}}$ ${\displaystyle g_{0}=\operatorname {id} ,\,{\frac {d}{ds}}g_{s}|_{s=0}=\xi _{t}}$

${\displaystyle (L_{\xi _{t}}\omega )(f_{t}(x))={\frac {d}{ds}}g_{s}^{*}\omega (f_{t}(x))|_{s=0}={\frac {d}{ds}}f_{t+s}^{*}\omega (x)|_{s=0}={\frac {d}{dt}}f_{t}^{*}\omega (x)}$.

То есть,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f_{t}^{*}\omega =f_{t}^{*}L_{\xi _{t}}\omega .}$

Предполагать . Тогда, интегрируя обе части вышесказанного, а затем используя формулу Картана и дифференцирование под знаком интеграла , получаем: для , ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle 0<t_{0}<t_{1}<1}$

${\displaystyle f_{t_{1}}^{*}\omega -f_{t_{0}}^{*}\omega =d\int _{t_{0}}^{t_{1}}f_{t}^{*}i(\xi _{t})\omega \,dt+\int _{t_{0}}^{t_{1}}f_{t}^{*}i(\xi _{t})d\omega \,dt}$

где интегрирование означает интегрирование каждого коэффициента в дифференциальной форме. Позволяя , мы имеем: ${\displaystyle t_{0},t_{1}\to 0,1}$

${\displaystyle f_{1}^{*}\omega -f_{0}^{*}\omega =dJ\omega +Jd\omega }$

с обозначением ${\displaystyle J\omega =\int _{0}^{1}f_{t}^{*}i(\xi _{t})\omega \,dt.}$

Теперь предположим, что это открытый шар с центром ; тогда мы сможем взять . Тогда приведенная выше формула принимает вид: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f_{t}(x)=t(x-x_{0})+x_{0}}$

${\displaystyle \omega =dJ\omega +Jd\omega }$,

что доказывает лемму Пуанкаре в закрытом состоянии. ${\displaystyle \omega }$

Стандартное доказательство леммы Пуанкаре использует формулу гомотопической инвариантности, и его можно найти здесь, в приведенном выше разделе (см. Интегрирование по слоям#Пример ), Singer & Thorpe (1976, стр. 128–132) , Lee (2012), Ту (2011) и Ботт и Ту (1982). ^{[6] [7] [8]} Локальная форма гомотопического оператора описана в Edelen (2005), а связь леммы с формой Маурера-Картана объяснена в Sharpe (1997). ^{[9] [10]} harvtxt error: no target: CITEREFSingerThorpe1976 (help)

Доказательство в двумерном случае.

В двух измерениях лемму Пуанкаре можно доказать непосредственно для замкнутых 1-форм и 2-форм следующим образом. ^[11]

Если ω = p dx + q dy — замкнутая 1-форма на ( a , b ) × ( c , d ) , то p _y = q _x . Если ω = df , то p = f _x и q = f _y . Набор

${\displaystyle g(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt,}$

так что g _x = p . Тогда h = f - g должно удовлетворять условиям h _x = 0 и h _y = q - g _y . Правая часть здесь не зависит от x , поскольку ее частная производная по x равна 0. Итак

${\displaystyle h(x,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds-g(a,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds,}$

и поэтому

${\displaystyle f(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt+\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds.}$

Аналогично, если Ω = r dx ∧ dy , то Ω = d ( a dx + b dy ) с b _x − a _y = r . Таким образом, решение дается a = 0 и

${\displaystyle b(x,y)=\int _{a}^{x}r(t,y)\,dt.}$

Импликация к когомологиям де Рама

По определению, k -я группа когомологий де Рама открытого подмножества U многообразия M определяется как фактор-векторное пространство ${\displaystyle \operatorname {H} _{dR}^{k}(U)}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{dR}^{k}(U)=\{{\textrm {closed}}\,k{\text{-forms}}\,{\textrm {on}}\,U\}/\{{\textrm {exact}}\,k{\text{-forms}}\,{\textrm {on}}\,U\}.}$

Следовательно, заключение леммы Пуанкаре таково и для . Теперь дифференциальные формы определяют коцепный комплекс , называемый комплексом де Рама: ${\displaystyle \operatorname {H} _{dR}^{k}(U)=0}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle \Omega ^{*}:0\to \Omega ^{0}{\overset {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}{\overset {d^{1}}{\to }}\cdots \to \Omega ^{n}\to 0}$

где n = размерность M и обозначает пучок дифференциальных k -форм; т. е. состоит из k -форм на U для каждого открытого подмножества U в M . Затем возникает комплекс (дополненный комплекс) ${\displaystyle \Omega ^{k}}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(U)}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} _{M}{\overset {\epsilon }{\to }}\Omega ^{0}{\overset {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}{\overset {d^{1}}{\to }}\cdots \to \Omega ^{n}\to 0}$

где – постоянный пучок со значениями в ; т. е. это пучок локально постоянных вещественных функций и включение. ${\displaystyle \mathbb {R} _{M}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Ядро функции равно , поскольку гладкие функции с нулевыми производными локально постоянны. Кроме того, последовательность пучков точна тогда и только тогда, когда она точна локально. Таким образом, лемма Пуанкаре утверждает, что остальная часть последовательности также точна (поскольку каждая точка имеет в качестве окрестности открытый шар). На языке гомологической алгебры это означает, что комплекс де Рама определяет резольвенту постоянного пучка . Отсюда следует теорема де Рама ; т. е. когомологии де Рама многообразия совпадают с его сингулярными когомологиями (короче, потому что сингулярные когомологии можно рассматривать как пучковые когомологии.) ${\displaystyle d^{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{M}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{M}}$

Зная теорему де Рама, заключение леммы Пуанкаре можно получить чисто топологически. Например, отсюда следует версия леммы Пуанкаре для односвязных открытых множеств (см. §Односвязный случай).

Просто связанный случай

В частности, в математическом анализе лемма Пуанкаре формулируется для односвязного открытого подмножества . В этом случае лемма говорит, что каждая замкнутая 1-форма на U точна. Эту версию можно увидеть с помощью алгебраической топологии следующим образом. Рациональная теорема Гуревича (вернее, ее реальный аналог) утверждает, что поскольку U односвязно. Поскольку — поле, k -я когомология является двойственным векторным пространством k -й гомологии . В частности, по теореме де Рама (которая следует из леммы Пуанкаре для открытых шаров) то же самое, что и первая группа когомологий де Рама (см. § Импликация к когомологиям де Рама). Следовательно, каждая замкнутая 1-форма на U точна. ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(U;\mathbb {R} )=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{k}(U;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(U;\mathbb {R} )=0.}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(U;\mathbb {R} )}$

Аналог сложной геометрии

На комплексных многообразиях использование операторов Дольбо и для комплексных дифференциальных форм , уточняющих внешнюю производную по формуле , приводит к понятию -замкнутых и -точных дифференциальных форм. Результат о локальной точности для таких замкнутых форм известен как лемма Дольбо – Гротендика (или -лемма Пуанкаре). Важно отметить, что геометрия области, в которой -замкнутая дифференциальная форма является -точной, более ограничена, чем для леммы Пуанкаре, поскольку доказательство леммы Дольбо – Гротендика выполняется на полидиске (произведении дисков на комплексной плоскости, на к которой можно применить многомерную интегральную формулу Коши ), и существуют контрпримеры к лемме даже в сжимаемых областях. ^{[Примечание 1]} -Лемма Пуанкаре справедлива в более общем плане для псевдовыпуклых областей . ^[12] ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Используя как лемму Пуанкаре, так и лемму -Пуанкаре, можно доказать уточненную локальную лемму -Пуанкаре , которая справедлива в областях, к которым применимы обе вышеупомянутые леммы. Эта лемма утверждает, что -замкнутые комплексные дифференциальные формы на самом деле локально -точны (а не просто или -точны, как это подразумевается в приведенных выше леммах). ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Относительная лемма Пуанкаре

Относительная лемма Пуанкаре обобщает лемму Пуанкаре от точки до подмногообразия (или некоторого более общего локально замкнутого подмножества ). Он гласит: пусть V — подмногообразие многообразия M , а U — трубчатая окрестность V . Если есть замкнутая k -форма на U , k ≥ 1, обращающаяся в нуль на V , то существует ( k -1)-форма на U такая, что и обращается в нуль на V. ^[13] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle d\eta =\sigma }$ ${\displaystyle \eta }$

Относительная лемма Пуанкаре может быть доказана так же, как доказывается исходная лемма Пуанкаре. Действительно, поскольку U — трубчатая окрестность, существует гладкий ретракт сильной деформации от U к V ; т.е. существует гладкая гомотопия проекции на единицу, такая, что является единицей на V . Тогда мы имеем гомотопическую формулу на U : ${\displaystyle h_{t}:U\to U}$ ${\displaystyle U\to V}$ ${\displaystyle h_{t}}$

${\displaystyle h_{1}^{*}-h_{0}^{*}=dJ+Jd}$

где – гомотопический оператор, заданный либо производными Ли , либо интегрированием по слоям . Сейчас и так . Поскольку и , мы получаем ; брать . Это обращение в нуль на V следует из определения J и того факта , что . (Таким образом, доказательство фактически проходит, если U не является трубчатой ​​окрестностью, но если U деформационно стягивается к V с гомотопией относительно V .) ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle h_{0}(U)\subset V}$ ${\displaystyle h_{0}^{*}\sigma =0}$ ${\displaystyle d\sigma =0}$ ${\displaystyle h_{1}^{*}\sigma =\sigma }$ ${\displaystyle \sigma =dJ\sigma }$ ${\displaystyle \eta =J\sigma }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle h_{t}(V)\subset V}$ ${\displaystyle \square }$

О сингулярных пространствах

Лемма Пуанкаре, вообще говоря, неверна для сингулярных пространств. Например, если рассматривать алгебраические дифференциальные формы на комплексном алгебраическом многообразии (в топологии Зариского), для этих дифференциальных форм лемма неверна. ^[14]

Однако варианты леммы, вероятно, все еще верны для некоторых сингулярных пространств (точная формулировка и доказательство зависят от определений таких пространств и негладких дифференциальных форм на них). Например, Концевич и Сойбельман утверждают, что лемма справедлива для некоторых вариантов различные формы (называемые ПА-формами) на своих кусочно-алгебраических пространствах . ^[15]

Примечания

1. Контрпримеры для сжимаемых доменов, которые имеют неисчезающие первые когомологии Дольбо, см. в сообщении https://mathoverflow.net/a/59554.

1. Warner 1983, стр. 155–156.
2. Силиберто, Чиро (2013). «Анри Пуанкаре и алгебраическая геометрия». Буква Математика . 1 (1–2): 23–31. дои : 10.1007/s40329-013-0003-3 . S2CID  122614329.
3. Пуанкаре, Х. (1886). «Sur les Résidus des Integrales Double». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 102 : 202–204.
4. https://www.math.brown.edu/reschwar/M114/notes7.pdf
5. Warner 1983, стр. 69–72.
6. Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-9982-5. ОКЛК  808682771.
7. Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-7400-6. ОСЛК  682907530.
8. Ботт, Рауль; Ту, Лоринг В. (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии. Тексты для аспирантов по математике. Том. 82. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. дои : 10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3.
9. Эделен, Доминик ГБ (2005). Прикладное внешнее исчисление (ред.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-43871-6. OCLC  56347718.
10. Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9. ОСЛК  34356972.
11. Напье и Рамачандран 2011, стр. 443–444.
12. Эппли, А. (1965). «О когомологической структуре многообразий Штейна». Материалы конференции по комплексному анализу . стр. 58–70. дои : 10.1007/978-3-642-48016-4_7. ISBN 978-3-642-48018-8.
13. Домитж, В.; Янечко, С.; Житомирский, М. (2004). «Относительная лемма Пуанкаре, сжимаемость, квазиоднородность и векторные поля, касающиеся особого многообразия. § 2. Относительная лемма Пуанкаре и сжимаемость». Иллинойсский математический журнал . 48 (3). дои : 10.1215/IJM/1258131054 . S2CID  51762845.
14. Иллюзия 2012, § 1. harvnb error: no target: CITEREFIllusie2012 (help)
15. Концевич, Максим; Сойбельман, Ян (2000). «Деформации алгебр над операдами и гипотеза Делиня». Конференция Моше Флато 1999: Квантование, деформации и симметрии I. стр. 255–307. arXiv : math/0001151 . ISBN 9780792365402.

Рекомендации

• Люк Иллюзи, Вокруг леммы Пуанкаре, по Бейлинсону, конспекты выступления, 2012 г. [1]
• Нэпьер, Терренс; Рамачандран, Мохан (2011), Введение в римановы поверхности , Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-4693-6
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для аспирантов по математике, том. 94, Спрингер, ISBN 0-387-90894-3

дальнейшее чтение

• https://ncatlab.org/nlab/show/Poincaré+lemma
• https://mathoverflow.net/questions/287385/p-adic-poincaré-lemma