Prüfer домен

В математике домен Прюфера — это тип коммутативного кольца , обобщающего дедекиндовы домены в не- нётеровом контексте. Эти кольца обладают хорошими идеальными и модульно -теоретическими свойствами дедекиндовых доменов, но обычно только для конечно порождённых модулей . Домены Прюфера названы в честь немецкого математика Хайнца Прюфера .

Примеры

Кольцо целых функций на открытой комплексной плоскости образует область Прюфера. Кольцо целочисленных многочленов с рациональными коэффициентами является областью Прюфера, хотя кольцо целочисленных многочленов таковым не является (Narkiewicz 1995, стр. 56). В то время как каждое числовое кольцо является областью Дедекинда , их объединение, кольцо алгебраических целых чисел , является областью Прюфера. Так же, как область Дедекинда локально является дискретным кольцом нормирования , область Прюфера локально является кольцом нормирования , так что области Прюфера действуют как ненётеровы аналоги областей Дедекинда. Действительно, область , которая является прямым пределом подколец , являющихся областями Прюфера, является областью Прюфера (Fuchs & Salce 2001, стр. 93–94). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

Многие области Прюфера также являются областями Безу , то есть не только конечно порождённые идеалы проективны , они даже свободны (то есть являются главными ). Например, кольцо аналитических функций на любой некомпактной римановой поверхности является областью Безу (Helmer 1940), а кольцо алгебраических целых чисел — Безу.

Определения

Область Прюфера — это полунаследственная целостная область . Эквивалентно, область Прюфера может быть определена как коммутативное кольцо без делителей нуля, в котором каждый ненулевой конечно порожденный идеал обратим. Известно много различных характеристик областей Прюфера. Бурбаки перечисляет четырнадцать из них, (Gilmer 1972) насчитывает около сорока, и (Fontana, Huckaba & Papick 1997, стр. 2) открывает девятью.

В качестве примера, следующие условия на область целостности R эквивалентны тому, что R является областью Прюфера, т.е. каждый конечно порожденный идеал R является проективным :

Идеальная арифметика

• Каждый ненулевой конечно порожденный идеал I из R обратим: т. е., где и — поле дробей R. Эквивалентно , каждый ненулевой идеал , порожденный двумя элементами , обратим . ${\displaystyle \ I\cdot I^{-1}=R}$ ${\displaystyle I^{-1}=\{r\in q(R):rI\subseteq R\}}$ ${\displaystyle q(R)}$
• Для любых (конечно порожденных) ненулевых идеалов I , J , K кольца R справедливо следующее свойство дистрибутивности:

${\displaystyle I\cap (J+K)=(I\cap J)+(I\cap K).}$

• Для любых (конечно порожденных) идеалов I , J , K из R справедливо следующее свойство дистрибутивности:

${\displaystyle I(J\cap K)=IJ\cap IK.}$

• Для любых (конечно порожденных) ненулевых идеалов I , J из R справедливо следующее свойство:

${\displaystyle (I+J)(I\cap J)=IJ.}$

• Для любых конечно порожденных идеалов I , J , K кольца R , если IJ = IK, то J = K или I = 0.

Локализации

• Для каждого простого идеала P из R локализация R _P из R в P является областью оценки .
• Для каждого максимального идеала m в R локализация R _m идеала R в точке m является областью оценки.
• R целозамкнуто , и каждое верхнее кольцо R ( то есть кольцо, заключенное между R и его полем дробей) является пересечением локализаций R

Плоскостность

• Каждый свободный от кручения R - модуль является плоским .
• Каждый R -модуль без кручения является плоским.
• Каждый идеал R плоский
• Каждое верхнее кольцо R является R -плоским
• Каждый подмодуль плоского R -модуля является плоским.
• Если M и N — R -модули без кручения , то их тензорное произведение M  ⊗ _RN  не имеет кручения.
• Если I и J — два идеала R , то I  ⊗ _R  J не имеет кручения.
• Подмодуль кручения каждого конечно порождённого модуля является прямым слагаемым (Капланский, 1960).

Интегральное закрытие

• Каждое верхнее кольцо является интегрально замкнутым ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle R}$является целочисленно замкнутым и существует некоторое положительное целое число такое, что для любого , в одном имеет место . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (a,b)^{n}=(a^{n},b^{n})}$
• ${\displaystyle R}$является целочисленно замкнутым, и каждый элемент поля частных является корнем многочлена , коэффициенты которого генерируются как -модуль (Гилмер и Хоффманн, 1975, стр. 81). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Характеристики

• Коммутативное кольцо является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда оно является областью Прюфера и нётеровым .
• Хотя области Прюфера не обязательно должны быть нётеровыми, они должны быть когерентными , поскольку конечно порожденные проективные модули конечно связаны .
• Хотя идеалы доменов Дедекинда могут быть сгенерированы двумя элементами, для каждого положительного целого числа n существуют домены Прюфера с конечно сгенерированными идеалами, которые не могут быть сгенерированы менее чем n элементами (Swan 1984). Однако конечно сгенерированные максимальные идеалы доменов Прюфера являются двухсгенерированными (Fontana, Huckaba & Papick 1997, p. 31).
• Если R — область Прюфера, а K — ее поле дробей , то любое кольцо S, такое что R ⊆ S ⊆ K, является областью Прюфера.
• Если R — область Прюфера, K — ее поле дробей , а L — алгебраическое поле расширения K , то интегральное замыкание R в L является областью Прюфера (Fuchs & Salce 2001, стр. 93 ) .
• Конечно порождённый модуль M над областью Прюфера проективен тогда и только тогда, когда он не имеет кручения. Фактически, это свойство характеризует области Прюфера.
• (Теорема Гилмера–Хоффмана) Предположим, что — область целостности, ее поле дробей, а — интегральное замыкание в . Тогда является областью Прюфера тогда и только тогда, когда каждый элемент является корнем многочлена, по крайней мере один из коэффициентов которого является единицей ( Гилмер и Хоффманн 1975, теорема 2). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R}$
• Коммутативная область является областью Дедекинда тогда и только тогда, когда подмодуль кручения является прямым слагаемым всякий раз, когда он ограничен ( M ограничено, значит rM = 0 для некоторого r из R ), (Чейз 1960). Аналогично, коммутативная область является областью Прюфера тогда и только тогда, когда подмодуль кручения является прямым слагаемым всякий раз, когда он конечно порожден (Капланский 1960).

Обобщения

В более общем смысле кольцо Прюфера — это коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой конечно порождённый идеал, содержащий неделитель нуля, обратим (то есть проективен).

Коммутативное кольцо называется арифметическим, если для любого максимального идеала m в R локализация R _m кольца R в точке m является цепным кольцом . При таком определении область Прюфера является арифметической областью. Фактически, арифметическая область — это то же самое, что и область Прюфера.

Некоммутативные правые или левые полунаследственные домены также можно рассматривать как обобщения доменов Прюфера.

Смотрите также

• Разделенный домен

Ссылки

• Бурбаки, Николас (1998) [1989], Коммутативная алгебра. Главы 1–7 , Элементы математики (Берлин), Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64239-0
• Чейз, Стивен У. (1960), «Прямые произведения модулей», Труды Американского математического общества , 97 (3): 457–473, doi : 10.2307/1993382 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1993382, MR  0120260
• Фонтана, Марко; Хакаба, Джеймс А.; Папик, Айра Дж. (1997), Prüfer domains , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, т. 203, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-9816-1, г-н  1413297
• Фукс, Ласло; Сальче, Луиджи (2001), Модули над не-нётеровыми областями , Математические обзоры и монографии, т. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1963-0, г-н  1794715
• Гилмер, Роберт (1972), Мультипликативная идеальная теория , Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., MR  0427289
• Гилмер, Роберт; Хоффманн, Джозеф Ф. (1975), «Характеристика областей Прюфера в терминах полиномов», Pacific J. Math. , 60 (1): 81–85, doi : 10.2140/pjm.1975.60.81 , ISSN  0030-8730, MR  0412175.
• Хельмер, Олаф (1940), «Свойства делимости интегральных функций», Duke Mathematical Journal , 6 (2): 345–356, doi :10.1215/S0012-7094-40-00626-3, ISSN  0012-7094, MR  0001851
• Капланский, Ирвинг (1960), «Характеристика колец Прюфера», J. Indian Math. Soc. , New Series, 24 : 279–281, MR  0125137
• Лэм, TY (1999), Лекции о модулях и кольцах , Graduate Texts in Mathematics № 189, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98428-3
• Наркевич, Владислав (1995), Полиномиальные отображения , Конспекты лекций по математике, вып. 1600, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-59435-2, ЗБЛ  0829.11002
• Свон, Ричард Г. (1984), «n-генераторные идеалы в областях Прюфера», Pacific Journal of Mathematics , 111 (2): 433–446, doi : 10.2140/pjm.1984.111.433 , ISSN  0030-8730, MR  0734865