Домен Дедекинда

Кольцо с однозначной факторизацией для идеалов (математика)

В абстрактной алгебре , Дедекиндова область или Дедекиндово кольцо , названное в честь Ричарда Дедекинда , является целостной областью , в которой каждый ненулевой собственный идеал разлагается в произведение простых идеалов . Можно показать , что такая факторизация тогда обязательно уникальна с точностью до порядка множителей. Существует по крайней мере три других характеристики Дедекиндовых областей , которые иногда принимаются за определение: см. ниже.

Поле — это коммутативное кольцо , в котором нет нетривиальных собственных идеалов, так что любое поле является областью Дедекинда, однако довольно бессодержательным образом. Некоторые авторы добавляют требование, чтобы область Дедекинда не была полем. Многие другие авторы формулируют теоремы для областей Дедекинда с неявным условием, что они могут потребовать тривиальных модификаций для случая полей.

Непосредственным следствием определения является то, что каждый главный идеальный домен (PID) является доменом Дедекинда. Фактически, домен Дедекинда является уникальным доменом факторизации (UFD) тогда и только тогда, когда он является PID.

Предыстория Дедекиндовых поместий

В 19 веке стало общепринятым методом получить представление о целочисленных решениях полиномиальных уравнений с помощью колец алгебраических чисел более высокой степени. Например, зафиксируем положительное целое число . В попытке определить, какие целые числа представлены квадратичной формой , естественно разложить квадратную форму на , причем факторизация происходит в кольце целых чисел квадратичного поля . Аналогично, для положительного целого числа многочлен (который важен для решения уравнения Ферма ) может быть разложен на множители по кольцу , где — примитивный корень n-й степени из единицы . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x^{2}+my^{2}}$ ${\displaystyle (x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z^{n}-y^{n}}$ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$

Для нескольких малых значений и эти кольца целых алгебраических чисел являются ПИД, и это можно рассматривать как объяснение классических успехов Ферма ( ) и Эйлера ( ). К этому времени процедура определения того, является ли кольцо всех целых алгебраических чисел заданного квадратичного поля ПИД, была хорошо известна теоретикам квадратичных форм. В частности, Гаусс рассмотрел случай мнимых квадратичных полей: он нашел ровно девять значений , для которых кольцо целых чисел является ПИД, и предположил, что других значений нет. (Гипотеза Гаусса была доказана более чем сто лет спустя Куртом Хегнером , Аланом Бейкером и Гарольдом Старком .) Однако это было понято (только) на языке классов эквивалентности квадратичных форм, так что, в частности, аналогия между квадратичными формами и уравнением Ферма, по-видимому, не была воспринята. В 1847 году Габриэль Ламе объявил о решении Великой теоремы Ферма для всех ; то есть, что уравнение Ферма не имеет решений в ненулевых целых числах, но оказалось, что его решение основывалось на предположении, что циклотомическое кольцо является UFD. Эрнст Куммер тремя годами ранее показал, что это не так уже для (теперь известен полный, конечный список значений, для которых является UFD). В то же время Куммер разработал новые мощные методы доказательства Великой теоремы Ферма по крайней мере для большого класса простых показателей, используя то, что мы теперь признаем как тот факт, что кольцо является областью Дедекинда. Фактически Куммер работал не с идеалами, а с « идеальными числами », и современное определение идеала было дано Дедекиндом. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=1,n=4}$ ${\displaystyle m=2,3,n=3}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ ${\displaystyle D<0}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle n=23}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$

К 20 веку алгебраисты и специалисты по теории чисел пришли к пониманию того, что условие быть PID является довольно деликатным, в то время как условие быть доменом Дедекинда является довольно надежным. Например, кольцо обычных целых чисел является PID, но, как показано выше, кольцо алгебраических целых чисел в числовом поле не обязательно должно быть PID. Фактически, хотя Гаусс также предположил, что существует бесконечно много простых чисел, таких что кольцо целых чисел является PID, пока неизвестно, существует ли бесконечно много числовых полей (произвольной степени), таких что является PID. С другой стороны, кольцо целых чисел в числовом поле всегда является доменом Дедекинда. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Другой иллюстрацией деликатной/жесткой дихотомии является тот факт, что быть доменом Дедекинда является, среди доменов Нётера , локальным свойством : домен Нётера является Дедекиндовым тогда и только тогда, когда каждый максимальный идеал локализации является кольцом Дедекинда. Но локальный домен является кольцом Дедекинда тогда и только тогда, когда он является PID, тогда и только тогда, когда он является кольцом дискретного оценивания (DVR), поэтому та же локальная характеристика не может быть применима к PID: скорее, можно сказать, что концепция кольца Дедекинда является глобализацией концепции DVR. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{M}}$

Альтернативные определения

Для области целостности , которая не является полем, все следующие условия эквивалентны: ^[1] ${\displaystyle R}$

(DD1) Каждый ненулевой собственный идеал разлагается на простые числа.

(DD2) является нётеровым, а локализация в каждом максимальном идеале представляет собой дискретное кольцо оценок. ${\displaystyle R}$

(DD3) Каждый ненулевой дробный идеал обратим . ${\displaystyle R}$

(DD4) — целозамкнутая нётерова область с размерностью Крулля один (то есть каждый ненулевой простой идеал является максимальным). ${\displaystyle R}$

(DD5) Для любых двух идеалов и в содержится в тогда и только тогда, когда делится как идеалы. То есть существует идеал такой, что . Коммутативное кольцо (не обязательно домен ) с единицей, удовлетворяющее этому условию, называется кольцом содержания-деления (CDR). ^[2] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I=JH}$

Таким образом, домен Дедекинда — это домен, который либо является полем, либо удовлетворяет любому одному, а значит, всем пяти, из (DD1) — (DD5). Какое из этих условий взять в качестве определения, является, таким образом, просто делом вкуса. На практике часто проще всего проверить (DD4).

Область Крулля — это более многомерный аналог области Дедекинда: область Дедекинда, которая не является полем, является областью Крулля размерности 1. Это понятие можно использовать для изучения различных характеристик области Дедекинда. Фактически, это определение области Дедекинда, используемое в «Коммутативной алгебре» Бурбаки .

Дедекиндова область также может быть охарактеризована в терминах гомологической алгебры : целостная область является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда она является наследственным кольцом ; то есть каждый подмодуль проективного модуля над ней является проективным. Аналогично, целостная область является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда каждый делимый модуль над ней является инъективным . ^[3]

Некоторые примеры доменов Дедекинда

Все главные идеальные области и, следовательно, все кольца дискретного нормирования являются дедекиндовыми областями.

Кольцо алгебраических целых чисел в числовом поле K является нётеровым, целозамкнутым и имеет размерность один: чтобы увидеть последнее свойство, заметьте, что для любого ненулевого простого идеала I поля R , R / I является конечным множеством, и вспомните, что конечная область целостности является полем; поэтому по (DD4) R является областью Дедекинда. Как и выше, это включает все примеры, рассмотренные Куммером и Дедекиндом, и было мотивирующим случаем для общего определения, и они остаются среди наиболее изученных примеров. ${\displaystyle R={\mathcal {O}}_{K}}$

Другой класс колец Дедекинда, который, как утверждают, имеет такую ​​же важность, происходит из геометрии: пусть C — неособая геометрически целая аффинная алгебраическая кривая над полем k . Тогда координатное кольцо k [ C ] регулярных функций на C является областью Дедекинда. Это в значительной степени ясно из простого перевода геометрических терминов в алгебру: координатное кольцо любого аффинного многообразия по определению является конечно порожденной k -алгеброй, следовательно, нётеровой; более того, кривая означает размерность один , а неособая подразумевает (и в размерности один эквивалентна) нормальная , что по определению означает целозамкнутая .

Обе эти конструкции можно рассматривать как частные случаи следующего основного результата:

Теорема : Пусть R — дедекиндова область с полем дробей K. Пусть L — конечное расширение поля степеней K и обозначим через S интегральное замыкание R в L. Тогда S само является дедекиндовой областью. ^[4 ]

Применение этой теоремы, когда R само является PID, дает нам способ построения дедекиндовых областей из PID. Принимая R = Z , эта конструкция точно утверждает, что кольца целых чисел числовых полей являются дедекиндовыми областями. Принимая R = k [ t ], получаем указанный выше случай неособых аффинных кривых как разветвленных покрытий аффинной прямой.

Зарисский и Сэмюэл были настолько увлечены этой конструкцией, что задались вопросом, возникает ли из нее каждая область Дедекинда; то есть, начиная с PID и беря интегральное замыкание в расширении поля конечной степени. ^[5] Удивительно простой отрицательный ответ дал Л. Клэборн. ^[6]

Если ситуация такая же, как и выше, но расширение L множества K является алгебраическим бесконечной степени, то все еще возможно, что интегральное замыкание S множества R в L будет областью Дедекинда, но это не гарантировано. Например, снова возьмем R = Z , K = Q и теперь возьмем L как поле всех алгебраических чисел. Интегральное замыкание есть не что иное, как кольцо всех целых алгебраических чисел. Поскольку квадратный корень из целого алгебраического числа снова является целым алгебраическим числом, невозможно разложить любое ненулевое неединичное алгебраическое целое число на конечное произведение неприводимых элементов, что подразумевает, что оно даже не является нётеровым! В общем случае интегральное замыкание области Дедекинда в бесконечном алгебраическом расширении есть область Прюфера ; оказывается, что кольцо целых алгебраических чисел немного более специально, чем это: это область Безу . ${\displaystyle {\overline {\textbf {Q}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$

Дробные идеалы и классовая группа

Пусть R — область целостности с полем дробей K. Дробный идеал — это ненулевой R -подмодуль I модуля K , для которого существует ненулевой x в K такой, что ${\displaystyle xI\subset R.}$

Если даны два дробных идеала I и J , то определяется их произведение IJ как множество всех конечных сумм : произведение IJ снова является дробным идеалом. Множество Frac( R ) всех дробных идеалов, снабженных указанным выше произведением, является коммутативной полугруппой и фактически моноидом : единичный элемент является дробным идеалом R . ${\displaystyle \sum _{n}i_{n}j_{n},\,i_{n}\in I,\,j_{n}\in J}$

Для любого дробного идеала I можно определить дробный идеал

${\displaystyle I^{*}=(R:I)=\{x\in K\mid xI\subset R\}.}$

Тогда тавтологически получается . Фактически равенство имеет место тогда и только тогда, когда I , как элемент моноида Frac( R ), обратим. Другими словами, если I имеет какой-либо обратный элемент, то обратный элемент должен быть . ${\displaystyle I^{*}I\subset R}$ ${\displaystyle I^{*}}$

Главный дробный идеал — это один из видов для некоторого ненулевого x в K . Обратите внимание, что каждый главный дробный идеал обратим, обратный к просто . Обозначим подгруппу главных дробных идеалов через Prin( R ). ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}R}$

Область R является PID тогда и только тогда, когда каждый дробный идеал является главным. В этом случае мы имеем Frac( R ) = Prin( R ) = , поскольку два главных дробных идеала и равны тогда и только тогда, когда является единицей в R . ${\displaystyle K^{\times }/R^{\times }}$ ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle yR}$ ${\displaystyle xy^{-1}}$

Для общей области R имеет смысл взять фактор моноида Frac( R ) всех дробных идеалов по подмоноиду Prin( R ) главных дробных идеалов. Однако сам этот фактор, как правило, является только моноидом. На самом деле, легко видеть, что класс дробного идеала I в Frac( R )/Prin( R ) обратим тогда и только тогда, когда сам I обратим.

Теперь мы можем оценить (DD3): в дедекиндовой области (и только в дедекиндовой области) каждый дробный идеал обратим. Таким образом, это в точности класс областей, для которых Frac( R )/Prin( R ) образует группу , идеальную группу класса Cl( R ) для R . Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда R является PID, поэтому ее можно рассматривать как квантификацию препятствия к тому, чтобы общая дедекиндова область была PID.

Отметим, что для произвольной области можно определить группу Пикара Pic( R ) как группу обратимых дробных идеалов Inv( R ) по модулю подгруппы главных дробных идеалов. Для дедекиндовой области это, конечно, то же самое, что и группа классов идеалов. Однако на более общем классе областей, включая нётеровы области и области Крулля, группа классов идеалов строится по-другому, и существует канонический гомоморфизм

Пик( Р ) → Кл( Р )

который, однако, в общем случае не является ни инъективным , ни сюръективным . Это аффинный аналог различия между дивизорами Картье и дивизорами Вейля на сингулярном алгебраическом многообразии.

Замечательная теорема Л. Клэборна (Claborn 1966) утверждает, что для любой абелевой группы G существует дедекиндова область R, идеальная группа классов которой изоморфна G. Позднее CR Leedham-Green показал, что такая R может быть построена как целое замыкание PID в квадратичном расширении поля (Leedham-Green 1972). В 1976 году М. Розен показал, как реализовать любую счетную абелеву группу как группу классов дедекиндовой области, которая является подкольцом рационального функционального поля эллиптической кривой, и предположил, что такая «эллиптическая» конструкция должна быть возможна для общей абелевой группы (Rosen 1976). Гипотеза Розена была доказана в 2008 году PL Clark (Clark 2009).

Напротив, одна из основных теорем алгебраической теории чисел утверждает, что группа классов кольца целых чисел числового поля конечна; ее мощность называется числом классов , и это важный и довольно загадочный инвариант, несмотря на упорный труд многих ведущих математиков от Гаусса до наших дней.

Конечно-генерируемые модули над доменом Дедекинда

Ввиду хорошо известной и чрезвычайно полезной структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов (PID) естественно задаться вопросом о соответствующей теории для конечно порожденных модулей над областью Дедекинда.

Напомним кратко теорию структур в случае конечно порождённого модуля над PID . Определим подмодуль кручения как множество элементов из , таких что для некоторого ненулевого в . Тогда: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle rm=0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$

(M1) можно разложить в прямую сумму циклических модулей кручения, каждый из которых имеет вид для некоторого ненулевого идеала . По китайской теореме об остатках каждый может быть далее разложен в прямую сумму подмодулей вида , где — степень простого идеала. Это разложение не обязательно должно быть единственным, но любые два разложения ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R/P^{i}}$ ${\displaystyle P^{i}}$

${\displaystyle T\cong R/P_{1}^{a_{1}}\oplus \cdots \oplus R/P_{r}^{a_{r}}\cong R/Q_{1}^{b_{1}}\oplus \cdots \oplus R/Q_{s}^{b_{s}}}$

отличаются только порядком факторов.

(M2) Подмодуль кручения является прямым слагаемым. То есть существует дополнительный подмодуль такой , что . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=T\oplus P}$

(M3PID) изоморфен для однозначно определенного неотрицательного целого числа . В частности, является конечно порожденным свободным модулем. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P}$

Теперь пусть будет конечно порождённым модулем над произвольной областью Дедекинда . Тогда (M1) и (M2) выполняются дословно. Однако из (M3PID) следует, что конечно порождённый модуль без кручения над PID свободен. В частности, он утверждает, что все дробные идеалы являются главными, утверждение, которое ложно, если не является PID. Другими словами, нетривиальность группы классов приводит к тому, что (M3PID) терпит неудачу. Примечательно, что дополнительная структура в конечно порождённых модулях без кручения над произвольной областью Дедекинда точно контролируется группой классов, как мы сейчас объясним. Над произвольной областью Дедекинда можно иметь ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Cl(R)}$

(M3DD) изоморфен прямой сумме проективных модулей ранга один: . Более того, для любых проективных модулей ранга один , имеем ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}}$ ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}}$

${\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s}}$

если и только если

${\displaystyle r=s}$

и

${\displaystyle I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.\,}$

Проективные модули ранга один можно отождествить с дробными идеалами, а последнее условие можно перефразировать как

${\displaystyle [I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).}$

Таким образом, конечно порождённый модуль без кручения ранга может быть выражен как , где — проективный модуль ранга один. Класс Штейница для над — это класс в : он определён однозначно. ^[7] Следствием этого является: ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle R^{n-1}\oplus I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [I]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle Cl(R)}$

Теорема: Пусть — дедекиндова область. Тогда , где — группа Гротендика коммутативного моноида конечно порождённых проективных модулей. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)}$ ${\displaystyle K_{0}(R)}$ ${\displaystyle R}$

Эти результаты были установлены Эрнстом Штайницем в 1912 году.

Дополнительным следствием этой структуры, которое не подразумевается в предыдущей теореме, является то, что если два проективных модуля над областью Дедекинда имеют один и тот же класс в группе Гротендика, то они фактически абстрактно изоморфны.

Локально кольца Дедекинда

Существуют области целостности, которые локально, но не глобально дедекиндовы: локализация в каждом максимальном идеале является дедекиндовым кольцом (эквивалентно, DVR), но сама не является дедекиндовой. Как упоминалось выше, такое кольцо не может быть нётеровым. Кажется, первые примеры таких колец были построены Н. Накано в 1953 году. В литературе такие кольца иногда называют «собственными почти дедекиндовыми кольцами». ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Смотрите также

• постоянная Дэвенпорта

Примечания

1. Милн 2008, Примечание 3.25
2. Красула 2022, Теорема 12
3. Кон 2003, 2.4. Упражнение 9.
4. Теорема следует, например, из теоремы Крулла–Акидзуки .
5. Зариски и Сэмюэл, стр. 284
6. Клэборн 1965, Пример 1-9
7. Фрелих и Тейлор (1991) стр.95

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1972), Коммутативная алгебра , Аддисон-Уэсли
• Claborn, Luther (1965), «Дедекиндовы области и кольца частных», Pacific J. Math. , 15 : 59–64, doi : 10.2140/pjm.1965.15.59
• Claborn, Luther (1966), «Каждая абелева группа является группой классов», Pacific J. Math. , 18 (2): 219–222, doi : 10.2140/pjm.1966.18.219
• Кларк, Пит Л. (2009), «Возвращение к эллиптическим доменам Дедекинда» (PDF) , L'Enseignement Mathématique , 55 (3): 213–225, arXiv : math/0612469 , doi : 10.4171/lem/55-3-1 , S2CID  7461271
• Кон, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения . Springer. ISBN 1-85233-667-6.
• Фрёлих, А .; Тейлор, М.Дж. (1991), "II. Дедекиндовы области", Алгебраическая теория чисел , Кембриджские исследования по высшей математике, т. 27, Cambridge University Press , стр. 35–101, ISBN 0-521-36664-X, ЗБЛ  0744.11001
• Гомес-Рамирес, Дэнни (2015), «Концептуальное смешивание как творческий метагенератор математических концепций: простые идеалы и дедекиндовы области как смесь», в: TR Besold, KU Kühnberger, M. Schorlemmer, A. Smaill (ред.) Труды 4-го Международного семинара по вычислительному творчеству, изобретению концепций и общему интеллекту (C3GI) PICS , 2[1]
• Красула, Доминик (2022), «Ограниченное условие минимума в редуцированных коммутативных кольцах», The Mediterranean Journal of Mathematics , 19 (6), arXiv : 2201.03921 , doi : 10.1007/s00009-022-02190-4, S2CID  245853674[2]
• Leedham-Green, CR (1972), "Группа классов дедекиндовых областей", Trans. Amer. Math. Soc. , 163 : 493–500, doi : 10.2307/1995734 , JSTOR  1995734
• Милн, Дж. С. (2008), Алгебраическая теория чисел (v3.00)
• Накано, Нобуру (1953), «Идеальная теория в einem speziellen unendlichen алгебраишен Zahlkörper», J. Sci. Хиросимский университет. Сер. А , 16 : 425–439
• Розен, Майкл (1976), «Эллиптические кривые и области Дедекинда», Proc. Amer. Math. Soc. , 57 (2): 197–201, doi : 10.2307/2041187 , JSTOR  2041187
• Стейниц, Э. (1912), "Rechteckige Systeme und Moduln в алгебраическом Zahlkörpern", Math. Энн. , 71 (3): 328–354, номер документа : 10.1007/BF01456849, S2CID  179177736 .
• Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1958), Коммутативная алгебра, том I , D. Van Nostrand Company

Дальнейшее чтение

• Эдвардс, Гарольд М. (1990), Теория делителей , Бостон: Birkhäuser Verlag, ISBN 0-8176-3448-7, ЗБЛ  0689.12001

Внешние ссылки

• «Кольцо Дедекинда», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]