серия Пюизё

Усеченные разложения Пюизо для кубической кривой в двойной точке . Более темные цвета указывают на большее количество членов. ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$ ${\displaystyle x=y=0}$

Степенной ряд с рациональными показателями

В математике ряды Пюизе являются обобщением степенных рядов , которые допускают отрицательные и дробные показатели неопределенности . Например, ряд

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{-2}&+2x^{-1/2}+x^{1/3}+2x^{11/6}+x^{8/3}+x^{5}+\cdots \\&=x^{-12/6}+2x^{-3/6}+x^{2/6}+2x^{11/6}+x^{16/6}+x^{30/6}+\cdots \end{aligned}}}$

является рядом Пюизё относительно неопределённого  x . Ряды Пюизё были впервые введены Исааком Ньютоном в 1676 году ^[1] и переоткрыты Виктором Пюизё в 1850 году. ^[2]

Определение ряда Пюизо включает в себя то, что знаменатели показателей должны быть ограничены. Таким образом, путем приведения показателей к общему знаменателю n ряд Пюизо становится рядом Лорана по корню n-й степени неопределенности. Например, приведенный выше пример является рядом Лорана по Поскольку комплексное число имеет n корней n-й степени, сходящийся ряд Пюизо обычно определяет n функций в окрестности 0 . ${\displaystyle x^{1/6}.}$

Теорема Пюизё , иногда также называемая теоремой Ньютона–Пюизё , утверждает, что для заданного полиномиального уравнения с комплексными коэффициентами его решения относительно y , рассматриваемые как функции относительно x , могут быть разложены в ряды Пюизё относительно x , которые сходятся _в некоторой окрестности 0. Другими словами, каждая ветвь алгебраической кривой может быть локально описана рядом Пюизё относительно x (или относительно x − x 0 при рассмотрении ветвей выше окрестности x ₀ ≠ 0 ). ${\displaystyle P(x,y)=0}$

Используя современную терминологию, теорема Пюизё утверждает, что множество рядов Пюизё над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 само является алгебраически замкнутым полем, называемым полем рядов Пюизё . Оно является алгебраическим замыканием поля формальных рядов Лорана , которое само является полем дробей кольца формальных степенных рядов .

Определение

Если K — поле (такое как комплексные числа ), то ряд Пюизе с коэффициентами в K — это выражение вида

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

где — положительное целое число, а — целое число. Другими словами, ряды Пюизо отличаются от рядов Лорана тем, что они допускают дробные показатели неопределенности, если только эти дробные показатели имеют ограниченный знаменатель (здесь n ). Так же, как и ряды Лорана, ряды Пюизо допускают отрицательные показатели неопределенности, если только эти отрицательные показатели ограничены снизу (здесь ). Сложение и умножение происходят так, как и ожидалось: например, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0}}$

${\displaystyle (T^{-1}+2T^{-1/2}+T^{1/3}+\cdots )+(T^{-5/4}-T^{-1/2}+2+\cdots )=T^{-5/4}+T^{-1}+T^{-1/2}+2+\cdots }$

и

${\displaystyle (T^{-1}+2T^{-1/2}+T^{1/3}+\cdots )\cdot (T^{-5/4}-T^{-1/2}+2+\cdots )=T^{-9/4}+2T^{-7/4}-T^{-3/2}+T^{-11/12}+4T^{-1/2}+\cdots .}$

Их можно определить, сначала «приведя» знаменатель показателей степеней к некоторому общему знаменателю N , а затем выполнив операцию в соответствующем поле формального ряда Лорана . ${\displaystyle T^{1/N}}$

Ряды Пюизе с коэффициентами в K образуют поле, которое является объединением

${\displaystyle \bigcup _{n>0}K(\!(T^{1/n})\!)}$

полей формальных рядов Лорана в (рассматривается как неопределенность). ${\displaystyle T^{1/n}}$

Это дает альтернативное определение поля рядов Пюизе в терминах прямого предела . Для каждого положительного целого числа n пусть будет неопределенным (предназначенным для представления ), а будет полем формальных рядов Лорана в Если m делит n , отображение индуцирует гомоморфизм поля , и эти гомоморфизмы образуют прямую систему , которая имеет поле рядов Пюизе в качестве прямого предела. Тот факт, что каждый гомоморфизм поля является инъективным, показывает, что этот прямой предел можно отождествить с указанным выше объединением, и что два определения эквивалентны ( с точностью до изоморфизма). ${\displaystyle T_{n}}$ ${\textstyle T^{1/n}}$ ${\displaystyle K(\!(T_{n})\!)}$ ${\displaystyle T_{n}.}$ ${\displaystyle T_{m}\mapsto (T_{n})^{n/m}}$ ${\displaystyle K(\!(T_{m})\!)\to K(\!(T_{n})\!),}$

Оценка

Ненулевой ряд Пюизо может быть однозначно записан как ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

с оценкой​ ${\displaystyle c_{k_{0}}\neq 0.}$

${\displaystyle v(f)={\frac {k_{0}}{n}}}$

из — наименьший показатель степени для натурального порядка рациональных чисел, а соответствующий коэффициент называется начальным коэффициентом или коэффициентом оценки из  . Оценка нулевого ряда равна ${\displaystyle f}$ ${\textstyle c_{k_{0}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle +\infty .}$

Функция v является оценкой и делает ряд Пюизё полем значений , в котором аддитивная группа рациональных чисел выступает в качестве группы оценок . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Как и для каждого оценённого поля, оценка определяет ультраметрическое расстояние по формуле Для этого расстояния поле ряда Пюизо является метрическим пространством . Обозначение ${\displaystyle d(f,g)=\exp(-v(f-g)).}$

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

выражает, что Пюизё является пределом своих частичных сумм. Однако поле рядов Пюизё не является полным ; см. ниже § Поле Леви–Чивиты.

Сходящийся ряд Пюизё

Ряды Пюизе, полученные по теореме Ньютона–Пюизе, сходятся в том смысле, что существует окрестность нуля, в которой они сходятся (0 исключается, если оценка отрицательна). Точнее, пусть

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

быть рядом Пюизё с комплексными коэффициентами. Существует действительное число r , называемое радиусом сходимости , такое, что ряд сходится, если T заменить на ненулевое комплексное число t с абсолютным значением меньше r , и r является наибольшим числом с этим свойством. Ряд Пюизё сходится , если он имеет ненулевой радиус сходимости.

Поскольку ненулевое комплексное число имеет n n -корней , необходимо соблюдать осторожность при замене: необходимо выбрать конкретный n -ный корень из t , скажем, x . Тогда замена состоит в замене на для каждого k . ${\displaystyle T^{k/n}}$ ${\displaystyle x^{k}}$

Существование радиуса сходимости следует из аналогичного существования для степенного ряда , примененного к рассматриваемому как степенной ряд в ${\textstyle T^{-k_{0}/n}f,}$ ${\displaystyle T^{1/n}.}$

Частью теоремы Ньютона–Пюизе является то, что предоставленные ряды Пюизе имеют положительный радиус сходимости и, таким образом, определяют ( многозначную ) аналитическую функцию в некоторой окрестности нуля (сам ноль, возможно, исключен).

Оценка и порядок коэффициентов

Если базовое поле упорядочено , то поле рядов Пюизе над также естественным образом (« лексикографически ») упорядочено следующим образом: ненулевой ряд Пюизе с 0 объявляется положительным всякий раз, когда его коэффициент оценки таков. По сути, это означает, что любая положительная рациональная степень неопределенности делается положительной, но меньшей, чем любой положительный элемент в базовом поле . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$

Если базовое поле наделено оценкой , то мы можем построить другую оценку на поле рядов Пюизо над , приняв оценку за , где — ранее определенная оценка ( — первый ненулевой коэффициент) и бесконечно большая (другими словами, группа значений упорядочена лексикографически, где — группа значений ). По сути, это означает, что ранее определенная оценка корректируется на бесконечно малую величину, чтобы учесть оценку, заданную на базовом поле. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\hat {w}}(f)}$ ${\displaystyle \omega \cdot v+w(c_{k}),}$ ${\displaystyle v=k/n}$ ${\displaystyle c_{k}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\hat {w}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \times \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

Теорема Ньютона–Пюизе

Еще в 1671 году ^[3] Исаак Ньютон неявно использовал ряды Пюизо и доказал следующую теорему для аппроксимации рядами корней алгебраических уравнений , коэффициенты которых являются функциями, которые сами аппроксимируются рядами или многочленами . Для этой цели он ввел многоугольник Ньютона , который остается фундаментальным инструментом в этом контексте. Ньютон работал с усеченными рядами, и только в 1850 году Виктор Пюизо ^[2] ввел понятие (неусеченного) ряда Пюизо и доказал теорему, которая теперь известна как теорема Пюизо или теорема Ньютона–Пюизо . ^[4] Теорема утверждает, что для данного алгебраического уравнения, коэффициенты которого являются многочленами или, в более общем смысле, рядами Пюизо над полем нулевой характеристики , каждое решение уравнения может быть выражено в виде ряда Пюизо. Более того, доказательство предоставляет алгоритм вычисления этих рядов Пюизе, и при работе с комплексными числами полученные ряды являются сходящимися.

В современной терминологии теорему можно переформулировать так: поле рядов Пюизе над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики и поле сходящихся рядов Пюизе над комплексными числами являются алгебраически замкнутыми .

многоугольник Ньютона

Позволять

${\displaystyle P(y)=\sum _{a_{i}\neq 0}a_{i}(x)y^{i}}$

быть многочленом, ненулевые коэффициенты которого являются многочленами, степенными рядами или даже рядами Пюизе по x . В этом разделе оценка является наименьшим показателем степени x в (Большая часть того, что следует далее, применима в более общем смысле к коэффициентам в любом значимом кольце .) ${\displaystyle a_{i}(x)}$ ${\displaystyle v(a_{i})}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}.}$

Для вычисления рядов Пюизё, которые являются корнями P (то есть решениями функционального уравнения ), первое, что нужно сделать , это вычислить оценку корней. В этом и заключается роль многоугольника Ньютона. ${\displaystyle P(y)=0}$

Рассмотрим на декартовой плоскости точки с координатами Многоугольник Ньютона P — это нижняя выпуклая оболочка этих точек. То есть, рёбра многоугольника Ньютона — это отрезки прямых, соединяющие две из этих точек, такие, что все эти точки не находятся ниже линии, поддерживающей отрезок (ниже, как обычно, относительно значения второй координаты). ${\displaystyle (i,v(a_{i})).}$

При наличии ряда оценки Пюизё оценка является по крайней мере минимумом чисел и равна этому минимуму, если этот минимум достигается только для одного i . Таким образом, для того, чтобы быть корнем P , минимум должен быть достигнут по крайней мере дважды. То есть должно быть два значения и i такие, что и для каждого i . ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle P(y_{0})}$ ${\displaystyle iv_{0}+v(a_{i}),}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{2}}$ ${\displaystyle i_{1}v_{0}+v(a_{i_{1}})=i_{2}v_{0}+v(a_{i_{2}}),}$ ${\displaystyle iv_{0}+v(a_{i})\geq i_{1}v_{0}+v(a_{i_{1}})}$

То есть, и должен принадлежать ребру многоугольника Ньютона и должен быть противоположен наклону этого ребра. Это рациональное число, поскольку все оценки являются рациональными числами, и это причина введения рациональных показателей в ряды Пюизе. ${\displaystyle (i_{1},v(a_{i_{1}}))}$ ${\displaystyle (i_{2},v(a_{i_{2}}))}$ $${\displaystyle v_{0}=-{\frac {v(a_{i_{1}})-v(a_{i_{2}})}{i_{1}-i_{2}}}}$$ ${\displaystyle v(a_{i})}$

Подводя итог, можно сказать, что оценка корня P должна быть противоположна наклону ребра многочлена Ньютона.

Начальный коэффициент решения ряда Пюизе можно легко вывести. Пусть будет начальным коэффициентом то есть коэффициентом в Пусть будет наклоном многоугольника Ньютона, а будет начальным членом соответствующего решения ряда Пюизе Если бы не произошло сокращения, то начальный коэффициент был бы где I — это набор индексов i, таких что принадлежит ребру наклона многоугольника Ньютона. Таким образом, для наличия корня начальный коэффициент должен быть ненулевым корнем многочлена (эта запись будет использоваться в следующем разделе). ${\displaystyle P(y)=0}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}(x),}$ ${\displaystyle x^{v(a_{i})}}$ ${\displaystyle a_{i}(x).}$ ${\displaystyle -v_{0}}$ ${\displaystyle \gamma x_{0}^{v_{0}}}$ ${\displaystyle P(y)=0.}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\textstyle \sum _{i\in I}c_{i}\gamma ^{i},}$ ${\displaystyle (i,v(a_{i}))}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \chi (x)=\sum _{i\in I}c_{i}x^{i}}$$

Подводя итог, можно сказать, что многочлен Ньютона позволяет легко вычислить все возможные начальные члены ряда Пюизе, которые являются решениями ${\displaystyle P(y)=0.}$

Доказательство теоремы Ньютона–Пюизе будет состоять в том, чтобы, начиная с этих начальных членов, рекурсивно вычислять следующие члены решений ряда Пюизе.

Конструктивное доказательство

Предположим, что первый член решения ряда Пюизе был вычислен методом предыдущего раздела. Осталось вычислить Для этого положим и запишем разложение Тейлора для P в ${\displaystyle \gamma x^{v_{0}}}$ ${\displaystyle P(y)=0}$ ${\displaystyle z=y-\gamma x^{v_{0}}.}$ ${\displaystyle y_{0}=\gamma x^{v_{0}},}$ ${\displaystyle z=y-y_{0}:}$

${\displaystyle Q(z)=P(y_{0}+z)=P(y_{0})+zP'(y_{0})+\cdots +z^{j}{\frac {P^{(j)}(y_{0})}{j!}}+\cdots }$

Это многочлен по z, коэффициенты которого являются рядами Пюизе по x . К нему можно применить метод многоугольника Ньютона и итерировать для получения членов ряда Пюизе, одного за другим. Но требуется некоторая осторожность, чтобы гарантировать и показать, что получается ряд Пюизе, то есть, что знаменатели показателей степеней x остаются ограниченными. ${\displaystyle v(z)>v_{0},}$

Вывод по y не меняет оценку коэффициентов по x , то есть,

${\displaystyle v\left(P^{(j)}(y_{0})z^{j}\right)\geq \min _{i}(v(a_{i})+iv_{0})+j(v(z)-v_{0}),}$

и равенство имеет место тогда и только тогда, когда где - многочлен из предыдущего раздела. Если m - кратность как корень из этого, то неравенство является равенством для Такие термины, что могут быть забыты, поскольку это касается оценок, так как и подразумевают ${\displaystyle \chi ^{(j)}(\gamma )\neq 0,}$ ${\displaystyle \chi (x)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \chi ,}$ ${\displaystyle j=m.}$ ${\displaystyle j>m}$ ${\displaystyle v(z)>v_{0}}$ ${\displaystyle j>m}$

${\displaystyle v\left(P^{(j)}(y_{0})z^{j}\right)\geq \min _{i}(v(a_{i})+iv_{0})+j(v(z)-v_{0})>v\left(P^{(m)}(y_{0})z^{m}\right).}$

Это означает, что для итерации метода многоугольника Ньютона можно и нужно рассматривать только ту часть многоугольника Ньютона, первые координаты которой принадлежат интервалу Два случая необходимо рассмотреть отдельно и они станут предметом следующих подразделов: так называемый разветвленный случай , когда m > 1 , и регулярный случай , когда m = 1 . ${\displaystyle [0,m].}$

Разветвленный случай

Способ рекурсивного применения метода многоугольника Ньютона был описан ранее. Поскольку каждое применение метода может увеличивать в разветвленном случае знаменатели показателей степеней (оценки), остается доказать, что мы достигаем регулярного случая после конечного числа итераций (иначе знаменатели показателей степеней полученного ряда не были бы ограниченными, и этот ряд не был бы рядом Пюизо. Кстати, будет также доказано, что мы получаем ровно столько решений ряда Пюизо, сколько и ожидалось, то есть степень по y . ${\displaystyle P(y)}$

Без потери общности можно предположить, что это так. Действительно, каждый фактор y из дает решение, которое является нулевым рядом Пюизо, и такие факторы можно вынести за скобки. ${\displaystyle P(0)\neq 0,}$ ${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$ ${\displaystyle P(y)}$

Поскольку предполагается, что характеристика равна нулю, можно также предположить, что является бесквадратным многочленом , то есть, что все решения различны. Действительно, бесквадратная факторизация использует только операции поля коэффициентов для разложения на бесквадратные множители, которые могут быть решены отдельно. (Гипотеза нулевой характеристики необходима, поскольку в характеристике p бесквадратное разложение может предоставить неприводимые множители, такие как имеющие несколько корней над алгебраическим расширением.) ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle P(y)=0}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle y^{p}-x,}$

В этом контексте длина ребра многоугольника Ньютона определяется как разность абсцисс его конечных точек. Длина многоугольника — это сумма длин его ребер. При гипотезе длина многоугольника Ньютона P — это его степень по y , то есть число его корней. Длина ребра многоугольника Ньютона — это число корней данной оценки. Это число равно степени ранее определенного многочлена ${\displaystyle P(0)\neq 0,}$ ${\displaystyle \chi (x).}$

Разветвленный случай соответствует, таким образом, двум (или более) решениям, которые имеют одинаковый начальный член(ы). Поскольку эти решения должны быть различны (гипотеза отсутствия квадратов), они должны быть различимы после конечного числа итераций. То есть, в конечном итоге получается многочлен , который не содержит квадратов, и вычисление может продолжаться, как в обычном случае, для каждого корня ${\displaystyle \chi (x)}$ ${\displaystyle \chi (x).}$

Поскольку итерация регулярного случая не увеличивает знаменатели показателей степеней, это показывает, что метод дает все решения в виде рядов Пюизе, то есть поле рядов Пюизе над комплексными числами является алгебраически замкнутым полем, содержащим кольцо одномерных многочленов с комплексными коэффициентами.

Неудача в положительной характеристике

Теорема Ньютона–Пюизе не верна для полей положительной характеристики. Например, уравнение имеет решения ${\displaystyle X^{2}-X=T^{-1}}$

${\displaystyle X=T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}T^{1/2}-{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots }$

и

${\displaystyle X=-T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}T^{1/2}+{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots }$

(легко проверить по первым нескольким членам, что сумма и произведение этих двух рядов равны 1 и соответственно; это справедливо всякий раз, когда базовое поле K имеет характеристику, отличную от 2). ${\displaystyle -T^{-1}}$

Как можно было бы предположить из степеней 2 в знаменателях коэффициентов предыдущего примера, утверждение теоремы неверно в положительной характеристике. Пример уравнения Артина–Шрайера показывает это: рассуждения с оценками показывают, что X должно иметь оценку , и если мы перепишем его как то ${\displaystyle X^{p}-X=T^{-1}}$ ${\textstyle -{\frac {1}{p}}}$ ${\displaystyle X=T^{-1/p}+X_{1}}$

${\displaystyle X^{p}=T^{-1}+{X_{1}}^{p},{\text{ so }}{X_{1}}^{p}-X_{1}=T^{-1/p}}$

и аналогично показывают, что должно иметь оценку , и, действуя таким образом, получают ряд ${\displaystyle X_{1}}$ ${\textstyle -{\frac {1}{p^{2}}}}$

${\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots ;}$

поскольку этот ряд не имеет смысла как ряд Пюизё — потому что показатели имеют неограниченные знаменатели — исходное уравнение не имеет решения. Однако такие уравнения Эйзенштейна по сути единственные, которые не имеют решения, потому что, если алгебраически замкнуто характеристики , то поле рядов Пюизё над является совершенным замыканием максимального ручно разветвлённого расширения . ^[4] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(\!(T)\!)}$

Аналогично случаю алгебраического замыкания, существует аналогичная теорема для вещественного замыкания : если — вещественное замкнутое поле, то поле рядов Пюизе над является вещественным замыканием поля формальных рядов Лорана над . ^[5] (Это подразумевает предыдущую теорему, поскольку любое алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики является единственным квадратичным расширением некоторого вещественно замкнутого поля.) ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Аналогичный результат имеет место и для p-адического замыкания : если — -адически замкнутое поле относительно оценки , то поле рядов Пюизо над также является -адически замкнутым. ^[6] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$

Расширение Пюизо алгебраических кривых и функций

Алгебраические кривые

Пусть будет алгебраической кривой ^[7], заданной аффинным уравнением над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, и рассмотрим точку, на которой мы можем предположить, что . Мы также предполагаем, что не является координатной осью . Тогда разложение Пюизо ( координаты) в является рядом Пюизо, имеющим положительное значение, таким что . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(x,y)=0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(x,f(x))=0}$

Точнее, давайте определим ветви в как точки нормализации, которые отображаются в . Для каждого такого существует локальная координата в ( которая является гладкой точкой) такая, что координаты и могут быть выражены как формальные степенные ряды , скажем (поскольку является алгебраически замкнутым, мы можем предположить, что коэффициент оценки равен 1) и : тогда существует уникальный ряд Пюизо вида (степенной ряд в ), такой что (последнее выражение имеет смысл, поскольку является хорошо определенным степенным рядом в ). Это разложение Пюизо в , которое , как говорят, связано с ветвью, заданной (или просто разложением Пюизо этой ветви ), и каждое разложение Пюизо в задается таким образом для уникальной ветви в . ^{[8] [9]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x=t^{n}+\cdots }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle y=ct^{k}+\cdots }$ ${\displaystyle f=cT^{k/n}+\cdots }$ ${\displaystyle T^{1/n}}$ ${\displaystyle y(t)=f(x(t))}$ ${\displaystyle x(t)^{1/n}=t+\cdots }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$

Это существование формальной параметризации ветвей алгебраической кривой или функции также называется теоремой Пюизо : она, возможно, имеет то же самое математическое содержание, что и тот факт, что поле рядов Пюизо алгебраически замкнуто, и является исторически более точным описанием первоначального утверждения автора. ^[10]

Например, кривая (нормализация которой представляет собой линию с координатой и картой ) имеет две ветви в двойной точке (0,0), соответствующие точкам и на нормализации, чьи разложения Пюизо равны и соответственно (здесь оба являются степенными рядами, поскольку координата является этальной в соответствующих точках в нормализации). В гладкой точке (которая находится в нормализации) она имеет одну ветвь, заданную разложением Пюизо ( координата разветвляется в этой точке, поэтому она не является степенным рядом). ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$ ${\displaystyle t=+1}$ ${\displaystyle t=-1}$ ${\textstyle y=x+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$ ${\textstyle y=-x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle y=-(x+1)^{1/2}+(x+1)^{3/2}}$ ${\displaystyle x}$

С другой стороны, кривая (нормализация которой снова является линией с координатой и отображением ) имеет одну ветвь в точке возврата , разложение Пюизо которой равно . ${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\mapsto (t^{2},t^{3})}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle y=x^{3/2}}$

Аналитическая сходимость

Когда — поле комплексных чисел, разложение Пюизе алгебраической кривой (определенное выше) сходится в том смысле, что для заданного выбора корня степени - из они сходятся для достаточно малых , следовательно, определяют аналитическую параметризацию каждой ветви в окрестности (точнее, параметризация осуществляется корнем степени - из ). ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

Обобщения

Месторождение Леви-Чивита

Поле рядов Пюизё не является полным как метрическое пространство . Его пополнение, называемое полем Леви-Чивиты , можно описать следующим образом: это поле формальных выражений вида , где носитель коэффициентов (то есть множество e таких, что ) является диапазоном возрастающей последовательности рациональных чисел, которая либо конечна, либо стремится к . Другими словами, такие ряды допускают показатели неограниченных знаменателей, при условии, что существует конечное число членов показателя, меньших, чем для любой заданной границы . Например, не является рядом Пюизё, но является пределом последовательности Коши рядов Пюизё; в частности, это предел при . Однако даже это пополнение всё ещё не является «максимально полным» в том смысле, что оно допускает нетривиальные расширения, которые являются полями значений, имеющими ту же группу значений и поле вычетов, ^{[11] [12]} отсюда возможность его ещё большего пополнения. ${\textstyle f=\sum _{e}c_{e}T^{e},}$ ${\displaystyle c_{e}\neq 0}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{+\infty }T^{k+{\frac {1}{k}}}}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{N}T^{k+{\frac {1}{k}}}}$ ${\displaystyle N\to +\infty }$

Серия Хана

Ряды Хана являются дальнейшим (более крупным) обобщением рядов Пюизё, введенных Гансом Ханом в ходе доказательства его теоремы о вложении в 1907 году и затем изученных им в его подходе к семнадцатой проблеме Гильберта . В рядах Хана вместо требования, чтобы показатели имели ограниченный знаменатель, они должны образовывать вполне упорядоченное подмножество группы значений (обычно или ). Позднее они были дополнительно обобщены Анатолием Мальцевым и Бернхардом Нейманом на некоммутативную установку (поэтому их иногда называют рядами Хана–Мальцева–Неймана ). Используя ряды Хана, можно дать описание алгебраического замыкания поля степенных рядов в положительной характеристике, которое в некоторой степени аналогично полю рядов Пюизё. ^[13] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Примечания

1. Ньютон (1960)
2. Puiseux (1850, 1851)
3. Ньютон (1736)
4. см. Kedlaya (2001), введение
5. Basu &al (2006), глава 2 («Вещественные замкнутые поля»), теорема 2.91 (стр. 75)
6. Cherlin (1976), глава 2 («Принцип переноса Акса–Кохена–Эрсхофа»), §7 («Поля рядов Пюизё»)
7. Мы предполагаем, что является неприводимым или, по крайней мере, что оно приведено и что оно не содержит координатной оси. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$
8. Шафаревич (1994), II.5, стр. 133–135.
9. Катковски (2004), глава 2, стр. 3–11
10. Пюизё (1850), стр. 397
11. Пунен, Бьорн (1993). «Максимально полные поля». Enseign. Math . 39 : 87–106.
12. Капланский, Ирвинг (1942). «Максимальные поля с оценками». Duke Math. J . 9 (2): 303–321. doi :10.1215/s0012-7094-42-00922-0.
13. Кедлая (2001)

Смотрите также

• Серия Лорана
• Серия Мадхава
• Интерполяция разделенной разности Ньютона
• Аппроксимация Паде

Ссылки

• Basu, Saugata; Pollack, Richard; Roy, Marie-Françoise (2006). Алгоритмы в вещественной алгебраической геометрии. Алгоритмы и вычисления в математике 10 (2-е изд.). Springer-Verlag . doi :10.1007/3-540-33099-2. ISBN 978-3-540-33098-1.
• Cherlin, Greg (1976). Model Theoretic Algebra: Selected Topics . Lecture Notes in Mathematics 521. Vol. 521. Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0079565. ISBN 978-3-540-07696-4.
• Катковски, Стивен Дейл (2004). Разрешение особенностей . Аспирантура по математике 63. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3555-6.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с видом на алгебраическую геометрию . Graduate Texts in Mathematics 150. Springer-Verlag . ISBN 3-540-94269-6.
• Кедлая, Киран Шридхара (2001). «Алгебраическое замыкание поля степенного ряда в положительной характеристике». Proc. Amer. Math. Soc . 129 (12): 3461–3470. doi : 10.1090/S0002-9939-01-06001-4 .
• Ньютон, Исаак (1736) [1671]. Метод флюксий и бесконечных рядов; с его применением к геометрии кривых линий. Перевод Колсона, Джона . Лондон: Генри Вудфолл. стр. 378.(Перевод с латыни)
• Ньютон, Исаак (1960). "письмо Ольденбургу от 1676 окт. 24" . Переписка Исаака Ньютона . Том II. Издательство Кембриджского университета. С. 126–127. ISBN 0-521-08722-8.
• Пюизо, Виктор Александр (1850). «Исследования по алгебраическим функциям» (PDF) . Дж. Математика. Приложение Pures . 15 : 365–480.
• Пюизо, Виктор Александр (1851). «Новые исследования алгебраических функций» (PDF) . Дж. Математика. Приложение Pures . 16 : 228–240.
• Шафаревич, Игорь Ростиславович (1994). Основная алгебраическая геометрия (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-54812-2.
• Уокер, Р. Дж. (1978). Алгебраические кривые (PDF) (Переиздание). Springer-Verlag . ISBN 0-387-90361-5.Онлайн книга

Внешние ссылки

• «Точка ветвления». Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
• Ряд Пюизё в MathWorld
• Теорема Пюизё на MathWorld
• Ряд Пюизё на PlanetMath