Выталкивание (теория категорий)

Most general completion of a commutative square given two morphisms with same domain

В теории категорий , разделе математики , pushout (также называемый расслоенным копроизведением или расслоенной суммой или кокартовым квадратом или амальгамированной суммой ) является копределом диаграммы , состоящей из двух морфизмов f  : Z → X и g  : Z → Y с общей областью определения . Pushout состоит из объекта P вместе с двумя морфизмами X → P и Y → P , которые дополняют коммутативный квадрат двумя заданными морфизмами f и g . Фактически, определяющее универсальное свойство pushout (приведенное ниже) по сути говорит о том, что pushout является «наиболее общим» способом дополнить этот коммутативный квадрат. Обычные обозначения для pushout — и . ${\displaystyle P=X\sqcup _{Z}Y}$ ${\displaystyle P=X+_{Z}Y}$

Выталкивание — это категорический аналог отката .

Универсальная собственность

Явно, выталкивание морфизмов f и g состоит из объекта P и двух морфизмов i ₁  : X → P и i ₂  : Y → P таких, что диаграмма

коммутирует и такой, что ( P , i ₁ , i ₂ ) универсален относительно этой диаграммы. То есть, для любой другой такой тройки ( Q , j ₁ , j ₂ ), для которой следующая диаграмма коммутирует, должен существовать единственный u  : P → Q, также делающий диаграмму коммутирующей:

Как и во всех универсальных конструкциях, выталкивание, если оно существует, является единственным с точностью до единственного изоморфизма .

Примеры выталкиваний

Вот несколько примеров pushouts в знакомых категориях . Обратите внимание, что в каждом случае мы только предоставляем конструкцию объекта в классе изоморфизма pushouts; как упоминалось выше, хотя могут быть и другие способы его построения, все они эквивалентны.

• Предположим, что X , Y и Z , как указано выше, являются множествами , а f  :  Z  →  X и g  :  Z  →  Y являются функциями множеств. Выталкивание f и g является несвязным объединением X и Y , где элементы, разделяющие общий прообраз (в Z ), идентифицируются вместе с морфизмами i ₁ , i ₂ из X и Y , т. е. где ~ является наилучшим отношением эквивалентности (ср. также это ) таким, что f ( z ) ~  g ( z ) для всех z в Z . В частности, если X и Y являются подмножествами некоторого большего множества W и Z является их пересечением , причем f и g являются отображениями включения Z в X и Y , то выталкивание может быть канонически отождествлено с объединением . ${\displaystyle P=(X\sqcup Y)/\!\sim }$ ${\displaystyle X\cup Y\subseteq W}$
  • Конкретным случаем этого является кограф функции. Если — функция, то кограф функции — это выталкивание f вдоль тождественной функции X . В элементарных терминах кограф — это частное от отношения эквивалентности, полученного путем идентификации с . Функция может быть восстановлена ​​по ее кографу, поскольку каждый класс эквивалентности в содержит ровно один элемент Y . Кографы являются двойственными к графикам функций, поскольку график может быть определен как выталкивание f вдоль тождественной функции Y . ^{[1] [2]} ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X\sqcup Y}$ ${\displaystyle x\in X\subseteq X\sqcup Y}$ ${\displaystyle f(x)\in Y\subseteq X\sqcup Y}$ ${\displaystyle X\sqcup Y}$
• Построение пространств сопряжения является примером выталкиваний в категории топологических пространств . Точнее, если Z является подпространством Y и g  : Z → Y является отображением включения, мы можем «склеить» Y с другим пространством X вдоль Z, используя «отображение присоединения» f  : Z → X. Результатом является пространство сопряжения , которое является просто выталкиванием f и g . В более общем смысле, все пространства идентификации могут рассматриваться как выталкивания таким образом. ${\displaystyle X\cup _{f}Y}$
• Частным случаем вышеприведенного является клиновидная сумма или одноточечное объединение; здесь мы берем X и Y как точечные пространства , а Z как одноточечное пространство. Тогда выталкивание — это , пространство, полученное путем склеивания базовой точки X с базовой точкой Y . ${\displaystyle X\vee Y}$
• В категории абелевых групп pushouts можно рассматривать как « прямую сумму со склеиванием» таким же образом, как мы рассматриваем пространства сопряжения как « дизъюнктное объединение со склеиванием». Нулевая группа является подгруппой каждой группы , поэтому для любых абелевых групп A и B мы имеем гомоморфизмы и . Pushout этих отображений является прямой суммой A и B . Обобщая на случай, когда f и g — произвольные гомоморфизмы из общей области Z , получаем для pushout факторгруппу прямой суммы; а именно, мы вычитаем по подгруппе, состоящей из пар ( f ( z ), − g ( z )). Таким образом, мы «склеились» по образам Z при f и g . Аналогичный подход дает pushout в категории R -модулей для любого кольца R . ${\displaystyle f:0\to A}$ ${\displaystyle g:0\to B}$
• В категории групп выталкивание называется свободным произведением с объединением . Оно появляется в теореме Зейферта–ван Кампена алгебраической топологии (см. ниже).
• В CRing , категории коммутативных колец ( полная подкатегория категории колец ), pushout задается тензорным произведением колец с морфизмами и , которые удовлетворяют . Фактически, поскольку pushout является копределом охвата , а pullback является пределом косопа , мы можем рассматривать тензорное произведение колец и расслоенное произведение колец (см. раздел примеров) как двойственные друг другу понятия. В частности, пусть A , B , и C являются объектами ( коммутативными кольцами с тождеством) в CRing и пусть f  : C → A и g  : C → B являются морфизмами ( гомоморфизмами колец ) в CRing . Тогда тензорное произведение равно: ${\displaystyle A\otimes _{C}B}$ ${\displaystyle g':A\rightarrow A\otimes _{C}B}$ ${\displaystyle f':B\rightarrow A\otimes _{C}B}$ ${\displaystyle f'\circ g=g'\circ f}$

${\displaystyle A\otimes _{C}B=\left\{\sum _{i\in I}(a_{i},b_{i})\;{\big |}\;a_{i}\in A,b_{i}\in B\right\}{\Bigg /}{\bigg \langle }(f(c)a,b)-(a,g(c)b)\;{\big |}\;a\in A,b\in B,c\in C{\bigg \rangle }}$

• См. Свободное произведение ассоциативных алгебр для случая некоммутативных колец.
• В мультипликативном моноиде положительных целых чисел , рассматриваемом как категория с одним объектом, выталкивание двух положительных целых чисел m и n — это просто пара , где числители — наименьшее общее кратное m и n . Обратите внимание, что эта же пара также является выталкиванием . ${\displaystyle \mathbf {Z} _{+}}$ ${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)}$

Характеристики

• Всякий раз, когда существует выталкивание A  ⊔ _C B , то существует также B  ⊔ _C A и существует естественный изоморфизм A  ⊔ _C B ≅ B  ⊔ _C A .
• В абелевой категории все выталкивания существуют, и они сохраняют коядра в следующем смысле: если ( P , i ₁ , i ₂ ) является выталкиванием f  : Z → X и g  : Z → Y , то естественное отображение coker( f ) → coker( i ₂ ) является изоморфизмом, как и естественное отображение coker( g ) → coker( i ₁ ).
• Существует естественный изоморфизм ( A ⊔ _C B ) ⊔ _B D ≅ A ⊔ _C D . Явно это означает:
  • если даны отображения f  : C → A , g  : C → B и h  : B → D и
  • выталкивание f и g задается как i  : A → P и j  : B → P , и
  • выталкивание j и h задается формулами k  : P → Q и l  : D → Q ,
  • тогда выталкивание f и hg определяется как ki  : A → Q и l  : D → Q .

Графически это означает, что два выталкивающих квадрата, размещенные рядом и имеющие один общий морфизм, образуют больший выталкивающий квадрат, если игнорировать внутренний общий морфизм.

Строительство через сопутствующие продукты и соуравнители

Выталкиватели эквивалентны копроизведениям и коуравнителям (если есть начальный объект ) в том смысле, что:

• Копроизведения являются выталкиванием из исходного объекта, а соуравнитель f , g  : X → Y является выталкиванием [ f , g ] и [1 _X , 1 _X ], поэтому если есть выталкивания (и исходный объект), то есть и соуравнители, и копроизведения;
• Выталкиватели могут быть построены из копроизведений и соуравнителей, как описано ниже (выталкиватель является соуравнителем отображений в копроизведение).

Все вышеприведенные примеры можно рассматривать как частные случаи следующей очень общей конструкции, которая работает в любой категории C, удовлетворяющей:

• Для любых объектов A и B из C их копроизведение существует в C ;
• Для любых морфизмов j и k из C с одной и той же областью определения и одной и той же целью в C существует соуравнитель j и k .

В этой настройке мы получаем выталкивание морфизмов f  : Z → X и g  : Z → Y , сначала формируя копроизведение целей X и Y . Затем у нас есть два морфизма из Z в это копроизведение. Мы можем либо перейти от Z к X через f , а затем включить в копроизведение, либо перейти от Z к Y через g , а затем включить в копроизведение. Выталкивание f и g является коуравнителем этих новых отображений.

Приложение: теорема Зейферта – Ван Кампена.

Теорема Зейферта–ван Кампена отвечает на следующий вопрос. Предположим, что у нас есть линейно связное пространство X , покрытое линейно связными открытыми подпространствами A и B , пересечение которых D также линейно связно. (Предположим также, что базовая точка * лежит в пересечении A и B .) Если мы знаем фундаментальные группы A , B , и их пересечение D , можем ли мы восстановить фундаментальную группу X ? Ответ — да, при условии, что мы также знаем индуцированные гомоморфизмы и Тогда теорема гласит, что фундаментальная группа X является выталкиванием этих двух индуцированных отображений. Конечно, X является выталкиванием двух отображений включения D в A и B . Таким образом, мы можем интерпретировать теорему как подтверждение того, что функтор фундаментальной группы сохраняет выталкивания включений. Мы могли бы ожидать, что это будет проще всего, когда D односвязно , поскольку тогда оба гомоморфизма выше имеют тривиальную область определения. Действительно, это так, поскольку тогда выталкивание (групп) сводится к свободному произведению , которое является копроизведением в категории групп. В самом общем случае мы будем говорить о свободном произведении с объединением . ${\displaystyle \pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(A,*)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(B,*).}$

Подробное изложение этой темы в несколько более общем контексте ( включая группоиды ) содержится в книге Дж. П. Мэя, указанной в списке литературы.

Ссылки

• Мэй, Дж. П. Краткий курс алгебраической топологии. Издательство Чикагского университета, 1999.

  Введение в категориальные подходы к алгебраической топологии: основное внимание уделяется алгебре и предполагается наличие топологической подготовки.

• Рональд Браун «Топология и группоиды» (доступно в формате PDF) Дает отчет о некоторых категориальных методах в топологии, использует фундаментальный группоид на множестве базисных точек, чтобы дать обобщение теоремы Зейферта-ван Кампена.

• Филип Дж. Хиггинс, «Категории и группоиды» (бесплатная загрузка) Объясняет некоторые применения группоидов в теории групп и топологии.

Ссылки

1. Риль, Теория категорий в контексте , стр. xii
2. «Имеет ли понятие «кограф функции» естественные обобщения/расширения?».

Внешние ссылки

• выталкивание в nLab