Откат (теория категорий)

В теории категорий , разделе математики , обратный образ (также называемый расслоенным произведением , расслоенным произведением , расслоенным произведением или декартовым квадратом ) — это предел диаграммы , состоящей из двух морфизмов $f : X \to Z$ и $g : Y \to Z$ с общий кодомен. Откат написан

п знак равно Икс \times ж, Z, грамм Y

Обычно морфизмы $f$ и $g$ в обозначениях опускаются, и тогда обратный образ записывается

п знак равно Икс \times Z Y

Обратный образ снабжен двумя естественными морфизмами $P \to X$ и $P \to Y$ . Обратный образ двух морфизмов $f$ и $g$ не обязательно должен существовать, но если он существует, то он по существу однозначно определяется этими двумя морфизмами. Во многих ситуациях $X \times Z Y$ можно интуитивно представить как состоящее из пар элементов $(x, y)$ с $x$ в $X$ , $y$ в $Y$ и $f (x) = g (y)$ . Для общего определения используется универсальное свойство , которое по сути выражает тот факт, что обратный образ является «наиболее общим» способом завершения двух данных морфизмов до коммутативного квадрата .

Двойная концепция отката – это выталкивание .

Универсальная собственность

Явно, образ морфизмов $f$ и $g$ состоит из объекта $P$ и двух морфизмов $p 1 : P \to X$ и $p 2 : P \to Y$ , для которых диаграмма

ездит на работу . Более того, обратный образ $(P, p 1, p 2)$ должен быть универсальным относительно этой диаграммы. ^[1] То есть для любой другой такой тройки $(Q, q 1, q 2)$ , где $q 1 : Q \to X$ и $q 2 : Q \to Y$ являются морфизмами с $f q 1 = g q 2$ , должен существовать единственный $u : Q \to P$ такой, что

p_{1}\circ u=q_{1},\qquad p_{2}\circ u=q_{2}.

Эту ситуацию иллюстрирует следующая коммутативная диаграмма.

Как и все универсальные конструкции, обратный образ, если он существует, уникален с точностью до изоморфизма . Фактически, для данных двух обратных образов $(A, a 1, a 2)$ и $(B, b 1, b 2)$ одного и того же коспана $X \to Z \leftarrow Y$ существует уникальный изоморфизм между $A$ и $B$ относительно структуры обратного образа.

Откат и продукт

Откат похож на продукт , но не тот же самый. Произведение можно получить, «забыв» о существовании морфизмов $f$ и $g$ и забыв о существовании объекта $Z.$ Тогда остается дискретная категория , содержащая только два объекта $X$ и $Y$ без стрелок между ними. Эту дискретную категорию можно использовать в качестве набора индексов для построения обычного двоичного произведения. Таким образом, откат можно рассматривать как обычное (декартово) произведение, но с дополнительной структурой. Вместо того, чтобы «забывать» $Z$ , $f$ и $g$ , можно также «упрощать» их, сделав Z $терминальным$ объектом (при условии, что он существует). $f$ и $g$ тогда определяются однозначно и, таким образом, не несут никакой информации, и можно увидеть, что обратный отсчет этого коспана является произведением $X$ и $Y$ .

Примеры

Коммутативные кольца

В категории коммутативных колец (с единицей) образ называется расслоенным произведением. Пусть $A$ , $B$ и $C$ — коммутативные кольца (с единицей) и $α : A \to C$ и $β : B \to C$ (сохраняющие тождество) кольцевые гомоморфизмы . Тогда образ этой диаграммы существует и задается подкольцом кольца произведений A $\times B,$ определяемым формулой

A\times _{C}B=\left\{(a,b)\in A\times B\;{\big |}\;\alpha (a)=\beta (b)\right\}

наряду с морфизмами

\beta '\colon A\times _{C}B\to A,\qquad \alpha '\colon A\times _{C}B\to B

данное всем и для всех . Тогда у нас есть $\beta '(a,b)=a$ $\alpha '(a,b)=b$ $(a,b)\in A\times _{C}B$

\alpha \circ \beta '=\beta \circ \alpha '.

Группы и модули

По полной аналогии с приведенным выше примером коммутативных колец можно показать, что все образы существуют в категории групп и в категории модулей над некоторым фиксированным кольцом.

Наборы

В категории множеств обратный образ функций $f : X \to Z$ и $g : Y \to Z$ всегда существует и задается множеством

X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}=\bigcup _{z\in f(X)\cap g(Y)}f^{-1}[\{z\}]\times g^{-1}[\{z\}],

вместе $с$ ограничениями проекций π $1$ и $π$ $2$ на $X$ $\times$ $Z$ $Y$ .

В качестве альтернативы можно рассматривать откат в $Set$ асимметрично:

X\times _{Z}Y\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}]

где - непересекающееся объединение множеств (вовлеченные множества не являются непересекающимися сами по себе, если $f$ , соответственно, $g$ не инъективен ). В первом случае проекция $π$ $1$ извлекает индекс $x$ , а $π$ $2$ забывает индекс, оставляя элементы $Y$ . $\coprod$

Этот пример мотивирует другой способ охарактеризовать обратный образ: как эквалайзер морфизмов f $\circ p 1, g \circ p 2 : X \times Y \to Z,$ где $X \times Y$ — двоичное произведение X и $Y$ $,$ а $p$ $1$ и $p$ $2$ равны естественные проекции. Это показывает, что откаты существуют в любой категории с бинарными продуктами и эквалайзерами. Фактически, по теореме существования пределов все конечные пределы существуют в категории с двоичными произведениями и эквалайзерами; эквивалентно, все конечные пределы существуют в категории с терминальным объектом и откатами (поскольку двоичное произведение = откат конечного объекта и что эквалайзер — это откат, включающий двоичное произведение).

Графики функций

Конкретным примером отката является график функции. Предположим, что это функция. График f представляет $собой$ множество $f\colon X\to Y$

\Gamma _{f}=\{(x,f(x))\colon x\in X\}\subseteq X\times Y.

f

Y

X\times _{f,Y,1_{Y}}Y=\{(x,y)\colon f(x)=1_{Y}(y)\}=\{(x,y)\colon f(x)=y\}\subseteq X\times Y,

\Gamma _{f}

Пучки волокон

Другой пример обратного образа приходит из теории расслоений : для заданного отображения расслоения $π : E \to B$ и непрерывного отображения $f : X \to B$ обратный образ (сформированный в категории топологических пространств с непрерывными отображениями ) $X \times B E$ — расслоение над $X$ , называемое расслоением обратного образа . Соответствующая коммутативная диаграмма является морфизмом расслоений. То же самое относится и к категории дифференцируемых многообразий. Особым случаем является обратный образ двух расслоений $E 1, E 2 \to B$ . В этом случае $E 1 \times E 2$ — расслоение над $B \times B$ , и возврат назад по диагональному отображению $B \to B \times B$ дает пространство, гомеоморфное (диффеоморфное) $E 1 \times B E 2$ , которое является расслоением над $Б.$ Обратный образ двух гладких трансверсальных отображений в одно и то же дифференцируемое многообразие также является дифференцируемым многообразием, а касательное пространство обратного образа - это обратный образ касательных пространств вдоль дифференциальных отображений.

Прообразы и пересечения

Прообразы множеств под функциями можно описать как откаты следующим образом:

Предположим , $f : A \to B$ , $B 0 \subseteq B.$ Пусть $g$ — отображение включения $B 0 ↪ B$ . Тогда обратный образ $f$ и $g$ (в $Set$ ) задается прообразом $f -1 [B 0]$ вместе с включением прообраза в $A$

ж -1 [B 0] ↪ А

и ограничение $f$ на $f -1 [B 0]$

ж -1 [B 0] \to B 0

Благодаря этому примеру в общей категории возврат морфизма $f$ и мономорфизма $g$ можно рассматривать как «прообраз» под $f$ подобъекта , заданного $g$ . Точно так же возвраты двух мономорфизмов можно рассматривать как «пересечение» двух подобъектов.

Наименьший общий множитель

Рассмотрим мультипликативный моноид натуральных чисел $Z +$ как категорию с одним объектом. В этой категории возврат двух положительных целых чисел $m$ и $n$ — это просто пара , где числители являются наименьшим общим кратным $m$ и $n$ . Эта же пара также является пушаутом. $\left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)$

Характеристики

В любой категории с терминальным объектом $T$ обратный образ $X \times TY —$ это просто обычное произведение $X \times Y.$ ^[2]
Мономорфизмы устойчивы относительно образа: если стрелка $f$ на диаграмме является моникической, то такой же является и стрелка $p 2$ . Аналогично, если $g является мотическим, то и$ $p 1$ тоже . ^[3]
Изоморфизмы также стабильны, поэтому, например, $X \times X Y ≅ Y$ для любого отображения $Y \to X$ (где подразумеваемое отображение $X \to X$ является тождественным).
В абелевой категории все образы существуют ^[4] и сохраняют ядра в следующем смысле: если

является диаграммой обратного образа, то индуцированный морфизм

ker(p 2) \to ker(f)

является изоморфизмом, ^[5] и таким же является индуцированный морфизм

ker(p 1) \to ker(g)

. Таким образом, каждая обратная диаграмма порождает коммутативную диаграмму следующей формы, в которой все строки и столбцы точны :

{\begin{array}{ccccccc}&&&&0&&0\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\&&&&L&=&L\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &P&\rightarrow &Y\\&&\parallel &&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &X&\rightarrow &Z\end{array}}

Более того, в абелевой категории, если

X \to Z

является эпиморфизмом, то таким же является и его обратный образ

P \to Y

, и симметрично: если

Y \to Z

является эпиморфизмом, то таким же является и его обратный образ

P \to X.

^[6] В таких ситуациях квадрат отката также является квадратом отката. ^[7]

Существует естественный изоморфизм ( A × _C B )× _B D ≅ A × _C D . Явно это означает:
- если заданы отображения f : A → C , g : B → C и h : D → B и
- обратный образ f и g задается формулами r : P → A и s : P → B , и
- обратный образ s и h определяется формулами t : Q → P и u : Q → D ,
- тогда обратный образ f и gh определяется формулами rt : Q → A и u : Q → D.

Графически это означает, что два обратного квадрата, расположенные рядом и имеющие один и тот же морфизм, образуют более крупный обратный квадрат при игнорировании внутреннего общего морфизма.

{\begin{array}{ccccc}Q&{\xrightarrow {t}}&P&{\xrightarrow {r}}&A\\\downarrow _{u}&&\downarrow _{s}&&\downarrow _{f}\\D&{\xrightarrow {h}}&B&{\xrightarrow {g}}&C\end{array}}

В любой категории с откатами и товарами есть эквалайзеры.

Слабые откаты

Слабый образ коспана X $\to$ $Z$ $\leftarrow$ $Y$ $—$ это конус над коспаном, который является лишь слабо универсальным, то есть опосредующий морфизм $u$ $:$ $Q$ $\to$ $P$ , указанный выше, не обязательно должен быть уникальным.

Смотрите также

Примечания

^ Митчелл, с. 9
^ Адамек, с. 197.
^ Митчелл, с. 9
^ Митчелл, с. 32
^ Митчелл, с. 15
^ Митчелл, с. 34
^ Митчелл, с. 39

Внешние ссылки

Интерактивная веб-страница, генерирующая примеры откатов в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн.
откат в n Lab