В топологии и смежных областях математики фактор -пространство топологического пространства при заданном отношении эквивалентности — это новое топологическое пространство, построенное путем наделения фактор-множества исходного топологического пространства фактор- топологией , то есть тончайшей топологией , которая делает непрерывна каноническая проекция (функция, отображающая точки на их классы эквивалентности ). Другими словами, подмножество факторпространства открыто тогда и только тогда, когда его прообраз при каноническом отображении проекции открыт в исходном топологическом пространстве.
Интуитивно говоря, точки каждого класса эквивалентности идентифицируются или «склеиваются» для формирования нового топологического пространства. Например, идентификация точек сферы , принадлежащих одному и тому же диаметру , создает проективную плоскость как факторпространство.
Конструкция определяет каноническую сюръекцию. Как обсуждается ниже, это фактор-отображение, обычно называемое канонической фактор-картой или канонической картой проекции, связанное с
Факторпространство под ним — это множество , снабженное фактортопологией , открытыми множествами которого являются те подмножества , прообраз которых открыт . Другими словами, подмножество открыто в фактортопологии тогда и только тогда, когда оно открыто в. Аналогично, подмножество закрыто тогда и только тогда, когда оно замкнуто в
Карта является фактор-картой (иногда называемой идентификационной картой [1] ), если она сюръективна и снабжена конечной топологией , индуцированной Последнее условие допускает две более элементарные формулировки: подмножество открыто (закрыто) тогда и только тогда, когда открыт (соответственно закрыт). Всякое фактор-отображение является непрерывным, но не всякое непрерывное отображение является фактор-отображением.
Насыщенные наборы
Подмножество называется насыщенным (относительно ) , если оно имеет форму для некоторого множества , которое истинно тогда и только тогда, когда
Присваивание устанавливает взаимно-однозначное соответствие (обратное ) между подмножествами и насыщенными подмножествами
With В этой терминологии сюръекция является фактор-отображением тогда и только тогда, когда для каждого насыщенного подмножества открыто в тогда и только тогда, когда открыто в.
В частности, открытые подмножества, которые не являются насыщенными , не влияют на то, является ли функция фактор-отображением ( или, действительно, непрерывна: функция непрерывна тогда и только тогда, когда для каждой насыщенной такой, которая открыта в , множество открыто в ).
Действительно, если является топологией на и является любым отображением, то множество всех , которые являются насыщенными подмножествами форм, является топологией на. Если это также топологическое пространство, то является фактор-отображением (соответственно, непрерывным ) тогда и только тогда, когда то же самое верно для
Факторпространство характеристик волокон
Для заданного отношения эквивалентности обозначим класс эквивалентности точки через и через обозначим множество классов эквивалентности. Карта , которая отправляет точки в их классы эквивалентности (то есть определяется для каждого ), называется канонической картой . Это сюръективное отображение и для всех тогда и только тогда, когда , следовательно, для всех . В частности, это показывает, что множество классов эквивалентности является в точности множеством слоев канонического отображения.
Если это топологическое пространство, то дающее фактор-топологию, индуцированную волей. превратить его в факторпространство и превратить в факторкарту. С точностью до гомеоморфизма эта конструкция является представителем всех факторпространств; точный смысл этого теперь объяснен.
Позвольте быть сюръекцией между топологическими пространствами (еще не предполагается, что они непрерывны или фактор-отображения) и объявите для всех, что тогда и только тогда, когда Тогда является отношением эквивалентности на таком, что для каждого , из которого следует, что (определяется ) является одноэлементным множеством ; обозначают уникальный элемент в ( так что по определению ). Задание определяет биекцию между слоями и точками в
Определите карту , как указано выше (с помощью ), и задайте фактор-топологию, индуцированную (которая создает фактор-карту). Эти карты связаны:
Анаследственно факторкарта — это сюръективное отображение,обладающее свойством, что для каждого подмножестваограничениетакже является факторкартой. Существуют фактор-отображения, которые не являются наследственно фактор-отображенными.
Примеры
Склеивание . Топологи говорят о склеивании точек. Если — топологическое пространство, то склейка точек и in означает рассмотрение фактор-пространства, полученного из отношения эквивалентности тогда и только тогда, когда или (или ).
Рассмотрим единичный квадрат и отношение эквивалентности ~, порожденное требованием эквивалентности всех граничных точек, таким образом отождествляя все граничные точки с одним классом эквивалентности. Тогда гомеоморфна сфере _ _
Примыкающее пространство . В более общем смысле, предположим, что это пространство иподпространство . Можно отнести все точкиэквивалентностии оставить точки внеэквивалентными только самим себе. Полученное факторпространство обозначается.Тогда 2-сфера гомеоморфна замкнутому кругу , граница которого отождествляется с одной точкой:
Обобщением предыдущего примера является следующее: Предположим, что топологическая группа действует непрерывно в пространстве. Можно сформировать отношение эквивалентности, утверждая, что точки эквивалентны тогда и только тогда, когда они лежат на одной и той же орбите . Факторпространство по этому отношению называется пространством орбит , обозначаемым в предыдущем примере как воздействующее на сдвиг. Пространство орбит гомеоморфно
Примечание . Обозначения несколько двусмысленны. Если понимать группу, действующую посредством сложения, то частное — это круг. Однако, если рассматривать его как топологическое подпространство (которое идентифицируется как одна точка), то частное (которое можно отождествить с множеством ) представляет собой счетный бесконечный букет кругов , соединенных в одной точке.
Следующий пример показывает, что, вообще говоря, неверно , что если - фактор-отображение, то каждая сходящаяся последовательность (соответственно каждая сходящаяся сеть ) в имеет подъем (с помощью ) до сходящейся последовательности (или сходящейся сети ) в Let и Let и пусть быть фактор-отображением так, что и для каждого Отображение , определенное посредством, корректно определено (потому что ) и является гомеоморфизмом . Пусть и пусть будут любые последовательности (или, в более общем смысле, любые сети) со значением в такие, что в Тогда последовательность
сходится к в , но не существует никакого сходящегося поднятия этой последовательности фактор-отображением (т. е. не существует последовательности , которая одновременно сходится к некоторым и удовлетворяет для каждого ). Этот контрпример можно обобщить на сети , если обозначить любое направленное множество и превратить в сеть, объявив, что для любого выполняется тогда и только тогда, когда и (1) , и (2), если тогда -индексированная сеть определяется равенством и равенством не имеет подъема (по ) до сходящейся -индексированной сети в
Характеристики
Факторотображения среди сюръективных отображений характеризуются следующим свойством: если — любое топологическое пространство и — любая функция, то оно непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно.
Фактор-пространство вместе с фактор-отображением характеризуется следующим универсальным свойством : если это непрерывное отображение такое, что подразумевается для всех , то существует единственное непрерывное отображение такое, что Другими словами, следующая диаграмма коммутирует:
Говорят, что для выражения этого сводится к фактору , то есть факторизуется через факторпространство. Таким образом, непрерывные отображения, определенные на , являются в точности теми отображениями, которые возникают из непрерывных отображений, определенных с учетом отношения эквивалентности (в том смысле, что они отправляют эквивалентные элементы в один и тот же образ). Этот критерий широко используется при изучении факторпространств.
Учитывая непрерывную сюръекцию, полезно иметь критерии, по которым можно определить, является ли она фактор-отображением. Два достаточных критерия – быть открытым или закрытым . Обратите внимание, что эти условия являются лишь достаточными , но не необходимыми . Легко построить примеры фактор-отображений, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Для топологических групп факторкарта открыта.
Совместимость с другими топологическими понятиями.
В общем, факторпространства плохо себя ведут по отношению к аксиомам разделения. Свойства разделения не обязательно должны быть унаследованы и могут иметь свойства разделения, не присущие им.
является пространством T1 тогда и только тогда, когда каждый класс эквивалентности замкнут в
Топологическая размерность факторпространства может быть больше (или меньше), чем размерность исходного пространства; Кривые, заполняющие пространство, служат такими примерами.
Дизъюнктное объединение (топология) - пространство, образованное путем оснащения дизъюнктного объединения основных множеств естественной топологией, называемой топологией непересекающегося объединения.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. ОСЛК 246032063.