S-волна

Тип упругой объемной волны

В сейсмологии и других областях, связанных с упругими волнами, поперечные волны , вторичные волны или сдвиговые волны (иногда называемые упругими поперечными волнами ) являются типом упругих волн и одним из двух основных типов упругих объёмных волн , названных так потому, что они движутся через тело объекта, в отличие от поверхностных волн . ^[1]

S-волны являются поперечными волнами , что означает, что направление движения частиц S-волны перпендикулярно направлению распространения волны, а основная восстанавливающая сила исходит от напряжения сдвига . ^[2] Поэтому S-волны не могут распространяться в жидкостях ^[3] с нулевой (или очень низкой) вязкостью ; однако они могут распространяться в жидкостях с высокой вязкостью. ^{[4] [5]}

Название вторичная волна происходит от того факта, что они являются вторым типом волн, которые можно обнаружить с помощью сейсмографа землетрясений , после первичной волны сжатия или P-волны , потому что S-волны распространяются медленнее в твердых телах. В отличие от P-волн, S-волны не могут проходить через расплавленное внешнее ядро ​​Земли, и это вызывает теневую зону для S-волн, противоположную их источнику. Они все еще могут распространяться через твердое внутреннее ядро : когда P-волна ударяется о границу расплавленного и твердого ядер под косым углом, S-волны образуются и распространяются в твердой среде. Когда эти S-волны снова ударяются о границу под косым углом, они, в свою очередь, создают P-волны, которые распространяются через жидкую среду. Это свойство позволяет сейсмологам определять некоторые физические свойства внутреннего ядра Земли. ^[6]

История

В 1830 году математик Симеон Дени Пуассон представил Французской академии наук эссе («мемуары») с теорией распространения упругих волн в твердых телах. В своих мемуарах он утверждает, что землетрясение будет производить две различные волны: одну с определенной скоростью и другую со скоростью . На достаточном расстоянии от источника, когда их можно считать плоскими волнами в интересующей области, первый вид состоит из расширений и сжатий в направлении, перпендикулярном фронту волны (то есть параллельном направлению движения волны); тогда как второй вид состоит из растягивающих движений, происходящих в направлениях, параллельных фронту (перпендикулярных направлению движения). ^[7] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3}}}}$

Теория

Изотропная среда

Скорость сейсмических волн в Земле в зависимости от глубины. Незначительная скорость S-волны во внешнем ядре возникает из-за того, что оно жидкое, тогда как в твердом внутреннем ядре скорость S-волны не равна нулю.

Для целей этого объяснения твердая среда считается изотропной, если ее деформация в ответ на напряжение одинакова во всех направлениях. Пусть будет вектором смещения частицы такой среды из ее "покоящегося" положения вследствие упругих колебаний, понимаемым как функция положения покоя и времени . Деформация среды в этой точке может быть описана тензором деформации , матрицей 3×3, элементами которой являются ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}}$ $${\displaystyle e_{ij}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

где обозначает частную производную по координате положения . Тензор деформации связан с тензором напряжений 3×3 уравнением ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ $${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}e_{kk}+2\mu e_{ij}}$$

Здесь дельта Кронекера ( 1, если , 0 в противном случае), а и — параметры Ламе ( будучи модулем сдвига материала ). Отсюда следует, что ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

Из закона инерции Ньютона также получаем где - плотность (масса на единицу объема) среды в этой точке, а обозначает частную производную по времени. Объединяя последние два уравнения, получаем уравнение сейсмической волны в однородной среде $${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\sum _{j}\partial _{j}\tau _{ij}}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \partial _{t}}$ $${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\lambda \partial _{i}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \sum _{j}{\bigl (}\partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\partial _{j}\partial _{j}u_{i}{\bigr )}}$$

Используя обозначение оператора набла векторного исчисления , с некоторыми приближениями, это уравнение можно записать как ${\displaystyle \nabla =(\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3})}$ $${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}{\boldsymbol {u}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla \left(\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}\right)-\mu \nabla \times \left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

Взяв ротор этого уравнения и применив векторные тождества, получаем $${\displaystyle \partial _{t}^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})={\frac {\mu }{\rho }}\nabla ^{2}\left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

Эта формула представляет собой волновое уравнение, примененное к векторной величине , которая является сдвиговой деформацией материала. Его решения, S-волны, являются линейными комбинациями синусоидальных плоских волн с различными длинами волн и направлениями распространения, но все с одинаковой скоростью . Предполагая, что среда распространения линейна, упруга, изотропна и однородна, это уравнение можно переписать как ^[8] где ω — угловая частота, а k — волновое число. Таким образом, . ${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {u}}}$ ${\textstyle \beta ={\sqrt {\mu /\rho }}}$ ${\displaystyle \mu =\rho \beta ^{2}=\rho \omega ^{2}/k^{2}}$ ${\displaystyle \beta =\omega /k}$

Принимая дивергенцию уравнения сейсмической волны в однородной среде вместо ротора, получаем волновое уравнение, описывающее распространение величины , которая является деформацией сжатия материала. Решения этого уравнения, P-волны, распространяются со скоростью , которая более чем в два раза превышает скорость S-волн. ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {u}}}$ ${\textstyle \alpha ={\sqrt {(\lambda +2\mu )/\rho }}}$ ${\displaystyle \beta }$

Установившиеся волны SH определяются уравнением Гельмгольца ^[9], где k — волновое число. $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right){\boldsymbol {u}}=0}$$

S-волны в вязкоупругих материалах

Подобно упругой среде, в вязкоупругом материале скорость сдвиговой волны описывается аналогичным соотношением , однако здесь — комплексный, зависящий от частоты модуль сдвига, а — зависящая от частоты фазовая скорость. ^[8] Одним из распространенных подходов к описанию модуля сдвига в вязкоупругих материалах является модель Фойгта, которая гласит: , где — жесткость материала, а — вязкость. ^[8] ${\displaystyle c(\omega )=\omega /k(\omega )={\sqrt {\mu (\omega )/\rho }}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c(\omega )}$ ${\displaystyle \mu (\omega )=\mu _{0}+i\omega \eta }$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \eta }$

Технология S-волн

Магнитно-резонансная эластография

Магнитно-резонансная эластография (МРЭ) — это метод изучения свойств биологических материалов в живых организмах путем распространения сдвиговых волн на желаемых частотах по желаемой органической ткани. ^[10] Этот метод использует вибратор для отправки сдвиговых волн в ткань и магнитно-резонансную томографию для просмотра реакции в ткани. ^[11] Измеренная скорость волны и длина волны затем измеряются для определения упругих свойств, таких как модуль сдвига . МРЭ использовалась в исследованиях различных тканей человека, включая ткани печени, мозга и костей. ^[10]

Смотрите также

• Раннее предупреждение о землетрясениях (Япония)
• Волны ягненка
• Продольная волна
• Волна любви
• Зубец P
• Волна Рэлея
• Сейсмическая волна
• Расщепление сдвиговой волны

Ссылки

1. "Сейсмология | UPSeis | Michigan Tech". Мичиганский технологический университет . Получено 2023-10-07 .
2. "S-волна". Геологическая служба США. Архивировано из оригинала 22 июля 2021 г.
3. "Почему S-волны не могут проходить через жидкости?". Earth Observatory of Singapore . Получено 2019-12-06 .
4. Гринвуд, Маргарет Штаутберг; Бамбергер, Джудит Энн (август 2002 г.). «Измерение вязкости и скорости сдвиговой волны жидкости или суспензии для управления процессом в режиме реального времени». Ультразвуковая техника . 39 (9): 623–630. doi :10.1016/s0041-624x(02)00372-4. PMID  12206629.
5. "Поддерживают ли вязкие жидкости распространение сдвиговых волн?". ResearchGate . Получено 2019-12-06 .^{[ ненадежный источник? ]}
6. "Лекция 16 Сейсмографы и недра Земли". Иллинойсский университет в Чикаго. 17 июля 1997 г. Архивировано из оригинала 7 мая 2002 г. Получено 8 июня 2010 г.
7. Пуассон, SD (1831). «Mémoire sur la propagation du mouvement dans les milieux élastiques» [Мемуары о распространении движения в упругих средах]. Мемуары Академии наук Института Франции (на французском языке). 10 : 549–605.Со стр.595: " On verra aisément que cet ébranlement donnera donnera naissance à deux ondes sphériques qui se propageront Uniformément, l'une avec une vitesse a , l'autre avec une vitesse b ou a / √ 3 " ... (Один будет легко увидеть, что это землетрясение породит две сферические волны, которые будут распространяется равномерно, один со скоростью а , другой со скоростью b или а  /√3... ) Со стр.602: ..." à une grande distance de l'ébranlement primitif, et lorsque les ondes mobiles sont devenues чувствительность плоскостей в чаке, часть très-petite par rapport à leurs Surfaces entières, il ne subsiste plus que des vitesses propres des molecules, нормальные или параллельные на этих поверхностях; les vitesses Normal ayant, лежащие на особенных волнах премьеры, или другие сопутствующие расширения, которые пропорциональны, и les vitesses parallèles, принадлежащие к вторым особенным волнам, или же они не сопровождают острую дилатацию или конденсацию объем, большее количество расширений и линейных конденсаций. "(... на большом расстоянии от первоначального землетрясения, и когда движущиеся волны стали приблизительно плоскими в каждой крошечной части по отношению ко всей их поверхности, остаются [в упругом твердом теле Земли] только собственные молекулы скорости, нормальные или параллельные этим поверхностям; нормальные скорости возникают в волнах первого типа, где они сопровождаются пропорциональными им расширениями, а параллельные скорости, принадлежащие волнам второго типа, где они не сопровождаются (любое расширение или сокращение объема, но только за счет линейных растяжений и сжатий.)
8. Rouze; Deng; Trutna; Palmeri; Nightengale (май 2018 г.). «Характеристика вязкоупругих материалов с использованием скоростей групповых сдвиговых волн». Институт инженеров по электротехнике и электронике . 65 (5): 780–794. doi :10.1109/TUFFC.2018.2815505. PMC 5972540. PMID  29733281 . 
9. Графф, Карл Ф. (2012-04-26). Волновое движение в упругих телах. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13957-9.
10. Tweten, Dennis J.; Okamoto, Ruth J.; Schmidt, John L.; Garbow, Joel R.; Bayly, Philip V. (ноябрь 2015 г.). «Оценка параметров материала по медленным и быстрым сдвиговым волнам в несжимаемом, трансверсально-изотропном материале». Journal of Biomechanics . 48 (15): 4002–4009. doi :10.1016/j.jbiomech.2015.09.009. PMC 4663187 . PMID  26476762. 
11. "MR Shear Wave Elastography". University of Utah Health. 10 ноября 2021 г.

Дальнейшее чтение

• Ширер, Питер (1999). Введение в сейсмологию (1-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-66023-8.
• Аки, Кейти ; Ричардс, Пол Г. (2002). Количественная сейсмология (2-е изд.). Университетские научные книги. ISBN 0-935702-96-2.
• Фаулер, CMR (1990). Твердая земля . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38590-3. S-волна.