Маятник (механика)

Свободно качающееся подвесное тело

Анимация маятника, показывающая векторы скорости и ускорения .

Маятник — это тело, подвешенное к неподвижной опоре таким образом, что оно свободно качается вперед и назад под действием силы тяжести. Когда маятник смещается вбок от своего положения покоя, равновесия, он подвергается воздействию восстанавливающей силы, вызванной силой тяжести, которая ускорит его обратно к положению равновесия. При освобождении восстанавливающая сила, действующая на массу маятника, заставляет его колебаться около положения равновесия, качая его вперед и назад. Математика маятников в целом довольно сложна. Можно сделать упрощающие предположения, которые в случае простого маятника позволяют аналитически решать уравнения движения для колебаний под малым углом.

Простой гравитационный маятник

Простой гравитационный маятник ^[1] ​​— это идеализированная математическая модель реального маятника. ^{[2] [3] [4]} Это груз (или груз ) на конце безмассовой нити, подвешенной к оси без трения . Поскольку в модели нет потерь энергии на трение, при заданном начальном смещении он качается вперед и назад с постоянной амплитудой . Модель основана на предположениях:

• Стержень или шнур невесомы, нерастяжимы и всегда находятся под напряжением.
• Боб — это точечная масса.
• Движение происходит в двух измерениях .
• Движение не теряет энергию из-за внешнего трения или сопротивления воздуха .
• Гравитационное поле однородно.
• Опора неподвижна.

Дифференциальное уравнение , описывающее движение простого маятника, имеет вид

где g — величина гравитационного поля , ℓ — длина стержня или шнура, а θ — угол между вертикалью и маятником.

Вывод «силы» ( Уравнение 1 )

Рисунок 1. Силовая диаграмма простого гравитационного маятника.

Рассмотрим рисунок 1 справа, на котором показаны силы, действующие на простой маятник. Обратите внимание, что траектория маятника описывает дугу окружности . Угол θ измеряется в радианах , и это имеет решающее значение для этой формулы. Синяя стрелка — это сила тяготения, действующая на груз, а фиолетовые стрелки — это та же сила, разложенная на компоненты, параллельные и перпендикулярные мгновенному движению груза. Направление мгновенной скорости груза всегда указывает вдоль красной оси, которая считается тангенциальной осью, поскольку ее направление всегда касается окружности. Рассмотрим второй закон Ньютона , где F — сумма сил на объекте, m — масса, а a — ускорение. Уравнение Ньютона можно применить только к тангенциальной оси. Это связано с тем, что важны только изменения скорости, а груз вынужден оставаться на круговой траектории. Короткая фиолетовая стрелка представляет компонент силы тяжести по касательной оси, и тригонометрию можно использовать для определения ее величины. Таким образом, где g — ускорение силы тяжести вблизи поверхности Земли. Отрицательный знак справа означает, что θ и a всегда направлены в противоположные стороны. Это имеет смысл, поскольку когда маятник качается дальше влево, ожидается, что он ускорится обратно вправо. $${\displaystyle F=ma}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}F&=-mg\sin \theta =ma,\qquad {\text{so}}\\a&=-g\sin \theta ,\end{aligned}}}$$

Это линейное ускорение a вдоль красной оси можно связать с изменением угла θ по формулам длины дуги; s — длина дуги: таким образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\ell \theta ,\\v&={\frac {ds}{dt}}=\ell {\frac {d\theta }{dt}},\\a&={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&=-g\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta &=0.\end{aligned}}}$$

Вывод "крутящего момента" ( Уравнение 1 )

Уравнение (1) можно получить, используя два определения крутящего момента. $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}.}$$

Сначала определим крутящий момент на грузике маятника с помощью силы тяжести, где l — вектор длины маятника, а F _g — сила тяжести. $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {l} \times \mathbf {F} _{\mathrm {g} },}$$

А пока просто рассмотрим величину крутящего момента маятника. где m — масса маятника, g — ускорение свободного падения, l — длина маятника, а θ — угол между вектором длины и силой свободного падения. $${\displaystyle |{\boldsymbol {\tau }}|=-mg\ell \sin \theta ,}$$

Далее перепишите момент импульса. Снова просто рассмотрим величину момента импульса. и его производную по времени $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =m\mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ).}$$ $${\displaystyle |\mathbf {L} |=mr^{2}\omega =m\ell ^{2}{\frac {d\theta }{dt}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}|\mathbf {L} |=m\ell ^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},}$$

Затем величины можно сравнить, используя τ = ⁠д Л/дт⁠

$${\displaystyle -mg\ell \sin \theta =m\ell ^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},}$$таким образом: что является тем же результатом, который получен с помощью силового анализа. $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0,}$$

Вывод "энергии" ( Уравнение 1 )

Рисунок 2. Тригонометрия простого гравитационного маятника.

Его также можно получить с помощью принципа сохранения механической энергии : любой объект, падающий с вертикальной высоты, приобретет кинетическую энергию, равную той, которую он потерял при падении. Другими словами, гравитационная потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию. Изменение потенциальной энергии определяется как ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle \Delta U=mgh.}$$

Изменение кинетической энергии (тело начало находиться в состоянии покоя) определяется по формуле $${\displaystyle \Delta K={\tfrac {1}{2}}mv^{2}.}$$

Поскольку энергия не теряется, выигрыш в одном случае должен быть равен потере в другом. $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}=mgh.}$$

Изменение скорости при заданном изменении высоты можно выразить как $${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}.}$$

Используя приведенную выше формулу длины дуги, это уравнение можно переписать в терминах ⁠dθ/дт⁠ : где h — вертикальное расстояние, на которое упал маятник. Посмотрите на рисунок 2, на котором представлена ​​тригонометрия простого маятника. Если маятник начинает колебание с некоторого начального угла θ ₀ , то y ₀ , вертикальное расстояние от винта, определяется как $${\displaystyle {\begin{aligned}v=\ell {\frac {d\theta }{dt}}&={\sqrt {2gh}},\quad {\text{so}}\\{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {\sqrt {2gh}}{\ell }},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle y_{0}=\ell \cos \theta _{0}.}$$

Аналогично, когда y ₁ , тогда $${\displaystyle y_{1}=\ell \cos \theta .}$$

Тогда h — это разность двух $${\displaystyle h=\ell \left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right).}$$

С точки зрения ⁠dθ/дт⁠ дает

Это уравнение известно как первый интеграл движения , оно дает скорость в терминах местоположения и включает в себя константу интегрирования, связанную с начальным смещением ( θ ₀ ). Затем дифференцируем, применяя цепное правило , по времени, чтобы получить ускорение $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {d}{dt}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}},\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\frac {d\theta }{dt}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0,\end{aligned}}}$$

что является тем же результатом, который получен с помощью силового анализа.

Вывод «Лагранжа» ( Уравнение 1 )

Координаты простого гравитационного маятника.

Уравнение 1 может быть дополнительно получено с помощью механики Лагранжа . Более конкретно, используя уравнения Эйлера–Лагранжа (или уравнения Лагранжа второго рода) путем определения лагранжиана системы ( ), ограничений ( ) и решения следующей системы уравнений ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{j}}}}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}.}$$

Если начало декартовой системы координат определить как точку подвеса (или просто точку опоры), то груз находится в точке

$${\displaystyle x=\ell \sin {\theta },}$$ $${\displaystyle y=-\ell \cos {\theta },}$$

и скорость груза, вычисленная путем дифференцирования координат по времени (с использованием точечной записи для обозначения производных по времени)

$${\displaystyle {\dot {x}}=\ell {\dot {\theta }}\cos {\theta },}$$ $${\displaystyle {\dot {y}}=\ell {\dot {\theta }}\sin {\theta }.}$$

Таким образом, лагранжиан равен

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=E_{k}-E_{p}\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}+mgh\\&={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})-mg\ell (1-\cos {\theta })\\&={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell +mg\ell \cos {\theta }.\end{aligned}}}$$

Уравнение Эйлера-Лагранжа (сингулярное, поскольку имеется только одно ограничение ) имеет вид ${\displaystyle q=\theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\\{\frac {d}{dt}}(m\ell ^{2}{\dot {\theta }})&=-mg\ell \sin {\theta }\\m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}&=-mg\ell \sin {\theta }\\{\ddot {\theta }}&=-{\frac {g}{\ell }}\sin {\theta }.\\\end{aligned}}}$$

Которое затем можно перестроить так, чтобы оно соответствовало уравнению 1 , полученному с помощью анализа сил.

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin {\theta }=0.}$$

Вывод с помощью механики Лагранжа, хотя и избыточен для одного маятника, полезен для более сложных, хаотических систем , таких как двойной маятник .

Малоугловое приближение

Малоугловое приближение для синусоидальной функции: При θ ≈ 0 можно сделать приближение sin θ ≈ θ .

Дифференциальное уравнение, приведенное выше, нелегко решить, и нет решения, которое можно было бы записать в терминах элементарных функций. Однако добавление ограничения к размеру амплитуды колебания дает форму, решение которой можно легко получить. Если предположить, что угол намного меньше 1  радиана (часто упоминается как менее 0,1 радиана, около 6°), или затем подставить sin θ в уравнение 1 , используя приближение малого угла , получим уравнение для гармонического осциллятора , $${\displaystyle \theta \ll 1,}$$ $${\displaystyle \sin \theta \approx \theta ,}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\theta =0.}$$

Ошибка, вызванная приближением, имеет порядок θ ³ (из разложения Тейлора для sin θ ).

Пусть начальный угол равен θ _0. Если предположить, что маятник отпускается с нулевой угловой скоростью , решение становится

${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{\ell }}}\,t\right)\quad \quad \quad \quad \theta _{0}\ll 1.}$

Движение представляет собой простое гармоническое движение , где θ ₀ — амплитуда колебания (то есть максимальный угол между стержнем маятника и вертикалью). Соответствующий приблизительный период движения тогда равен

${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\quad \quad \quad \quad \quad \theta _{0}\ll 1}$

который известен как закон Христиана Гюйгенса для периода. Обратите внимание, что в приближении малых углов период не зависит от амплитуды θ ₀ ; это свойство изохронизма , которое открыл Галилей .

Правило большого пальца для длины маятника

$${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$$дает $${\displaystyle \ell ={\frac {g}{\pi ^{2}}}{\frac {T_{0}^{2}}{4}}.}$$

Если использовать единицы СИ (т.е. измерять в метрах и секундах) и предположить, что измерение происходит на поверхности Земли, то g ≈ 9,81 м/с ² , и ⁠г/π ²⁠ ≈ 1 м/с ² (0,994 — приближение с точностью до 3 знаков после запятой).

Таким образом, относительно разумными приближениями для длины и периода являются: где T ₀ — количество секунд между двумя ударами (один удар для каждой стороны замаха), а l измеряется в метрах. $${\displaystyle {\begin{aligned}\ell &\approx {\frac {T_{0}^{2}}{4}},\\T_{0}&\approx 2{\sqrt {\ell }}\end{aligned}}}$$

Период произвольной амплитуды

Рисунок 3. Отклонение «истинного» периода маятника от малоуглового приближения периода. «Истинное» значение получено численно путем оценки эллиптического интеграла.

Рисунок 4. Относительные погрешности с использованием степенного ряда за период.

Рисунок 5. Потенциальная энергия и фазовый портрет простого маятника. Обратите внимание, что ось x , будучи углом, заворачивается сама на себя через каждые 2 π радиан.

Для амплитуд, выходящих за пределы приближения малого угла , можно вычислить точный период, сначала обратив уравнение для угловой скорости, полученное с помощью энергетического метода ( Уравнение 2 ), а затем проинтегрировав по одному полному циклу или дважды по полуциклу или четырежды по четверти цикла, что приводит к $${\displaystyle {\frac {dt}{d\theta }}={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {1}{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}$$ $${\displaystyle T=t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta _{0}),}$$ $${\displaystyle T=2t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}),}$$ $${\displaystyle T=4t(\theta _{0}\rightarrow 0),}$$ $${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}.}$$

Обратите внимание, что этот интеграл расходится по мере того, как θ ₀ приближается к вертикали, так что маятник с энергией, необходимой для движения в вертикальном направлении, никогда туда не достигнет. (И наоборот, маятнику, близкому к своему максимуму, может потребоваться сколь угодно много времени, чтобы упасть.) $${\displaystyle \lim _{\theta _{0}\to \pi }T=\infty ,}$$

Этот интеграл можно переписать в терминах эллиптических интегралов следующим образом: где F — неполный эллиптический интеграл первого рода, определяемый как $${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}F\left({\frac {\pi }{2}},\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle F(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.}$$

Или, более кратко, с помощью подстановки, выражающей θ через u , $${\displaystyle \sin {u}={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}$$

${\displaystyle T={\frac {2T_{0}}{\pi }}K(k),\qquad {\text{where}}\quad k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.}$ Ур. 3

Здесь K — полный эллиптический интеграл первого рода, определяемый формулой

$${\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.}$$

Для сравнения приближения к полному решению рассмотрим период маятника длиной 1 м на Земле ( g =9,806 65  м/с ² ) при начальном угле 10 градусов. Линейное приближение дает $${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\ K\left(\sin {\frac {10^{\circ }}{2}}\right)\approx 2.0102{\text{ s}}.}$$

$${\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\approx 2.0064{\text{ s}}.}$$

Разница между двумя значениями, менее 0,2%, намного меньше, чем та, которая вызвана изменением g в зависимости от географического положения.

Отсюда есть много способов продолжить вычисление эллиптического интеграла.

Решение полинома Лежандра для эллиптического интеграла

Учитывая уравнение 3 и решение полинома Лежандра для эллиптического интеграла: где n !! обозначает двойной факториал , точное решение для периода простого маятника имеет вид: $${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{n}\right)^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T&=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\cdots \right)\\&=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left(\left({\frac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right)^{2}\cdot \sin ^{2n}{\frac {\theta _{0}}{2}}\right).\end{alignedat}}}$$

На рисунке 4 показаны относительные погрешности с использованием степенного ряда. T ₀ — линейное приближение, а T ₂ — T ₁₀ включают соответственно члены до степеней от 2-й до 10-й.

Решение степенного ряда для эллиптического интеграла

Другая формулировка вышеприведенного решения может быть найдена, если следующий ряд Маклорена: используется в полиномиальном решении Лежандра выше. Результирующий степенной ряд: ^[5] $${\displaystyle \sin {\frac {\theta _{0}}{2}}={\frac {1}{2}}\theta _{0}-{\frac {1}{48}}\theta _{0}^{3}+{\frac {1}{3\,840}}\theta _{0}^{5}-{\frac {1}{645\,120}}\theta _{0}^{7}+\cdots .}$$

$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3\,072}}\theta _{0}^{4}+{\frac {173}{737\,280}}\theta _{0}^{6}+{\frac {22\,931}{1\,321\,205\,760}}\theta _{0}^{8}+{\frac {1\,319\,183}{951\,268\,147\,200}}\theta _{0}^{10}+{\frac {233\,526\,463}{2\,009\,078\,326\,886\,400}}\theta _{0}^{12}+\cdots \right),}$$Дополнительные дроби доступны в Онлайновой энциклопедии целочисленных последовательностей с OEIS : A223067 , имеющими числители, и OEIS : A223068, имеющими знаменатели.

Решение арифметико-геометрического среднего для эллиптического интеграла

Дано уравнение 3 и среднее арифметико-геометрическое решение эллиптического интеграла: где M ( x , y ) — среднее арифметико-геометрическое x и y . $${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2M(1-k,1+k)}},}$$

Это дает альтернативную и более быстро сходящуюся формулу для периода: ^{[6] [7] [8]} $${\displaystyle T={\frac {2\pi }{M\left(1,\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}}{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}$$

Первая итерация этого алгоритма дает $${\displaystyle T_{1}={\frac {2T_{0}}{1+\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}.}$$

Это приближение имеет относительную погрешность менее 1% для углов до 96,11 градусов. ^[6] Поскольку выражение можно записать более кратко как ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$ $${\displaystyle T_{1}=T_{0}\sec ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}}.}$$

Расширение второго порядка сводится к ${\displaystyle \sec ^{2}(\theta _{0}/4)}$ ${\textstyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$

Вторая итерация этого алгоритма дает $${\displaystyle T_{2}={\frac {4T_{0}}{1+\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}+2{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}}={\frac {4T_{0}}{\left(1+{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}\right)^{2}}}.}$$

Это второе приближение имеет относительную погрешность менее 1% для углов до 163,10 градусов. ^[6]

Приближенные формулы для периода нелинейного маятника

Хотя точный период может быть определен для любой конечной амплитуды rad путем оценки соответствующего полного эллиптического интеграла , где , этого часто избегают в приложениях, поскольку невозможно выразить этот интеграл в замкнутой форме в терминах элементарных функций. Это открыло путь для исследования простых приближенных формул для увеличения периода маятника с амплитудой (полезных в лабораторных работах по вводной физике, классической механике, электромагнетизму, акустике, электронике, сверхпроводимости и т. д. ^[9] Приближенные формулы, найденные разными авторами, можно классифицировать следующим образом: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$ ${\displaystyle K(k)}$ ${\displaystyle k\equiv \sin(\theta _{0}/2)}$

• Формулы «не очень большого угла», т. е. те, которые дают хорошие оценки для амплитуд ниже рад (естественный предел для груза на конце гибкой нити), хотя отклонение относительно точного периода монотонно увеличивается с амплитудой, будучи непригодными для амплитуд, близких к рад. Одной из самых простых формул, найденных в литературе, является следующая формула Лимы (2006): , где . ^[10] ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$ ${\displaystyle a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}}$
• Формулы «очень большого угла», т. е. те, которые приближают точный период асимптотически для амплитуд, близких к рад, с ошибкой, которая монотонно увеличивается для меньших амплитуд (т. е. непригодны для малых амплитуд). Одна из лучших таких формул — это формула Кромера, а именно: ^[11] . ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle T\approx {\frac {2}{\pi }}\,T_{0}\,\ln {(4/a)}}$

Конечно, увеличение с амплитудой более очевидно, когда , как это наблюдалось во многих экспериментах с использованием либо жесткого стержня, либо диска. ^[12] Поскольку точные таймеры и датчики в настоящее время доступны даже в вводных физических лабораториях, экспериментальные ошибки, обнаруженные в экспериментах с «очень большим углом», уже достаточно малы для сравнения с точным периодом, и было обнаружено очень хорошее согласие между теорией и экспериментами, в которых трение пренебрежимо мало. Поскольку эта деятельность поощрялась многими преподавателями, была найдена простая приближенная формула для периода маятника, действительная для всех возможных амплитуд, с которой можно было бы сравнивать экспериментальные данные. В 2008 году Лима вывел формулу взвешенного среднего с этой характеристикой: ^[9] где , что представляет максимальную ошибку всего 0,6% (при ). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \pi /2<\theta _{0}<\pi }$ $${\displaystyle T\approx {\frac {r\,a^{2}\,T_{\text{Lima}}+k^{2}\,T_{\text{Cromer}}}{r\,a^{2}+k^{2}}},}$$ ${\displaystyle r=7.17}$ ${\displaystyle \theta _{0}=95^{\circ }}$

Угловое смещение произвольной амплитуды

Разложение в ряд Фурье имеет вид ^{[13] [14]} ${\displaystyle \theta (t)}$

$${\displaystyle \theta (t)=8\sum _{n\geq 1{\text{ odd}}}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {n/2}\right\rfloor }}{n}}{\frac {q^{n/2}}{1+q^{n}}}\cos(n\omega t)}$$

где - эллиптический ном , а - угловая частота. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q=\exp \left({-\pi K{\bigl (}{\sqrt {\textstyle 1-k^{2}}}{\bigr )}{\big /}K(k)}\right),}$ ${\displaystyle k=\sin(\theta _{0}/2),}$ ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$

Если определить можно аппроксимировать с помощью расширения (см. OEIS : A002103 ). Обратите внимание, что для , таким образом, аппроксимация применима даже для больших амплитуд. $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}{1+{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}}}$$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle q=\varepsilon +2\varepsilon ^{5}+15\varepsilon ^{9}+150\varepsilon ^{13}+1707\varepsilon ^{17}+20910\varepsilon ^{21}+\cdots }$$ ${\displaystyle \varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$

Эквивалентно, угол может быть задан через эллиптическую функцию Якоби с модулем ^[15] ${\displaystyle \operatorname {cd} }$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle \theta (t)=2\arcsin \left(k\operatorname {cd} \left({\sqrt {\frac {g}{\ell }}}t;k\right)\right),\quad k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.}$$

При малых , и , поэтому решение хорошо аппроксимируется решением, приведенным в разделе Маятник (механика)#Приближение малых углов . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sin x\approx x}$ ${\displaystyle \arcsin x\approx x}$ ${\displaystyle \operatorname {cd} (t;0)=\cos t}$

Примеры

Анимации ниже показывают движение простого (без трения) маятника с увеличивающимися величинами начального смещения груза или, что эквивалентно, увеличивающейся начальной скоростью. Маленький график над каждым маятником — это соответствующая фазовая плоскость ; горизонтальная ось — смещение, а вертикальная ось — скорость. При достаточно большой начальной скорости маятник не колеблется вперед и назад, а полностью вращается вокруг оси вращения.

• 
  Начальный угол 0°, устойчивое равновесие
• 
  Начальный угол 45°
• 
  Начальный угол 90°
• 
  Начальный угол 135°
• 
  Начальный угол 170°
• 
  Начальный угол 180°, неустойчивое равновесие
• 
  Маятник, у которого едва хватает энергии для полного колебания
• 
  Маятник с достаточной энергией для полного колебания

Составной маятник

Составной маятник (или физический маятник ) — это маятник, стержень которого не является невесомым и может иметь увеличенные размеры; то есть, это произвольно сформированное твердое тело, качающееся на оси вращения . В этом случае период маятника зависит от его момента инерции вокруг точки вращения. ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle I_{O}}$

Уравнение крутящего момента дает: где: - угловое ускорение. - крутящий момент . $${\displaystyle \tau =I\alpha }$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \tau }$

Крутящий момент создается силой тяжести, поэтому: где: ${\displaystyle \tau =-mgr_{\oplus }\sin \theta }$

• ${\displaystyle m}$это общая масса твердого тела (стержня и груза)
• ${\displaystyle r_{\oplus }}$это расстояние от точки опоры до центра масс системы
• ${\displaystyle \theta }$это угол от вертикали

Следовательно, в приближении малых углов (или, что эквивалентно, когда ), где — момент инерции тела относительно точки опоры . ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$ ${\displaystyle \theta _{\mathrm {max} }\ll 1}$ $${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\sin \theta \approx -{\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\theta }$$ ${\displaystyle I_{O}}$ ${\displaystyle O}$

Выражение для имеет ту же форму, что и для обычного простого маятника, и дает период ^[2] ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\oplus }}}}}$$

И частота $${\displaystyle f={\frac {1}{T}}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}}}$$

Если принять во внимание начальный угол (для больших амплитуд), то выражение для становится: и дает период: где — максимальный угол колебания (относительно вертикали), а — полный эллиптический интеграл первого рода . ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}=-{\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\sin \theta }$$ $${\displaystyle T=4\operatorname {K} \left(\sin ^{2}{\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}\right){\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\oplus }}}}}$$ ${\displaystyle \theta _{\mathrm {max} }}$ ${\displaystyle \operatorname {K} (k)}$

Важным понятием является эквивалентная длина , длина простого маятника, имеющего ту же угловую частоту, что и составной маятник: ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {g}{\ell ^{\mathrm {eq} }}}:={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\implies \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{mr_{\oplus }}}}$

Рассмотрим следующие случаи:

• Простой маятник — это частный случай, когда вся масса сосредоточена на качающемся грузике на расстоянии от оси. Таким образом, и , поэтому выражение сводится к: . Обратите внимание , как и ожидалось (определение эквивалентной длины). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle r_{\oplus }=\ell }$ ${\displaystyle I_{O}=m\ell ^{2}}$ ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {mg\ell }{m\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}}$ ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }=\ell }$
• Однородный стержень массой и длиной, качающийся на своем конце, имеет и , поэтому выражение сводится к: . Обратите внимание , однородный стержень колеблется так, как если бы он был простым маятником длиной в две трети от своей длины. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle r_{\oplus }={\frac {1}{2}}\ell }$ ${\displaystyle I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$ ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {mg\,{\frac {1}{2}}\ell }{{\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}}={\frac {g}{{\frac {2}{3}}\ell }}}$ ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {2}{3}}\ell }$
• Тяжелый простой маятник: комбинация однородного стержня массы и длины , качающегося на его конце, и груза на другом конце. Тогда система имеет общую массу , а другие параметры (по определению центра масс) и , поэтому выражение сводится к: ${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}$ ${\displaystyle mr_{\oplus }=m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}}$ ${\displaystyle I_{O}=m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}$

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {\left(m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}\right)g}{m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2}}}{m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3}}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}}$Где . Обратите внимание, что эти формулы можно конкретизировать в двух предыдущих случаях, изученных ранее, просто считая массу стержня или груза равной нулю соответственно. Также обратите внимание, что формула не зависит от массы груза и стержня, а на самом деле от их отношения, . Можно сделать приближение для : ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }=\ell {\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}}}$ ${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}$ ${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\ll 1}$

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}\approx {\frac {g}{\ell }}\left(1+{\frac {1}{6}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}+\cdots \right)}$

Обратите внимание, насколько это похоже на угловую частоту в системе пружина-масса с эффективной массой .

Затухающий, управляемый маятник

Приведенное выше обсуждение фокусируется на маятниковом грузе, на который действует только сила тяжести. Предположим, что на тело действует демпфирующая сила, например, сопротивление воздуха, а также синусоидальная движущая сила. Эта система представляет собой демпфированный, управляемый осциллятор и является хаотичной .

Уравнение (1) можно записать как

$${\displaystyle ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta }$$

(см. вывод крутящего момента из уравнения (1) выше).

К правой части можно добавить демпфирующий и вынуждающий члены, чтобы получить

$${\displaystyle ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta -b{\frac {d\theta }{dt}}+a\cos(\Omega t)}$$

где предполагается, что затухание прямо пропорционально угловой скорости (это справедливо для сопротивления воздуха на малых скоростях, см. также Сопротивление (физика) ). и — константы, определяющие амплитуду силы и степень затухания соответственно. — угловая частота движущих колебаний. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\textstyle \Omega }$

Разделив на : ${\textstyle ml^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {b}{ml^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {g}{l}}{\sin \theta }-{\frac {a}{ml^{2}}}\cos(\Omega t)=0.}$$

Для физического маятника:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {b}{I}}{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {mgr_{\oplus }}{I}}{\sin \theta }-{\frac {a}{I}}\cos(\Omega t)=0.}$$

Это уравнение демонстрирует хаотическое поведение . Точное движение этого маятника может быть найдено только численно и сильно зависит от начальных условий, например, начальной скорости и начальной амплитуды. Однако приближение малого угла, описанное выше, все еще может быть использовано при требуемых условиях, чтобы дать приблизительное аналитическое решение.

Физическая интерпретация мнимого периода

Эллиптическая функция Якоби , выражающая положение маятника как функцию времени, является дважды периодической функцией с действительным периодом и мнимым периодом. Действительный период, конечно, это время, которое требуется маятнику, чтобы пройти один полный цикл. Пол Аппель указал на физическую интерпретацию мнимого периода: ^[16] если θ ₀ — максимальный угол одного маятника, а 180° − θ ₀ — максимальный угол другого, то действительный период каждого из них равен величине мнимого периода другого.

Спаренный маятник

Два одинаковых простых маятника, соединенных пружиной, соединяющей грузики.

Связанные маятники могут влиять на движение друг друга либо через направленную связь (например, пружину, соединяющую грузы), либо через движения в опорной конструкции (например, столешнице). Уравнения движения для двух одинаковых простых маятников, связанных пружиной, соединяющей грузы, можно получить с помощью механики Лагранжа .

Кинетическая энергия системы равна: где — масса грузиков, — длина нитей, а — угловые смещения двух грузиков от положения равновесия. $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

Потенциальная энергия системы равна: $${\displaystyle E_{\text{p}}=mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})+{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$$

где - ускорение свободного падения , а - жесткость пружины . Смещение пружины из положения равновесия принимает приближение малых углов . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L(\theta _{2}-\theta _{1})}$

Тогда лагранжиан имеет вид , что приводит к следующему набору связанных дифференциальных уравнений: $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})-{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{1}+{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{2}-{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$$

Поочередное сложение и вычитание этих двух уравнений и применение приближения малых углов дает два уравнения гармонического осциллятора в переменных и : с соответствующими решениями , где ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}(\theta _{1}+\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{1}-{\ddot {\theta }}_{2}+\left({\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}\right)(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}+\theta _{2}&=A\cos(\omega _{1}t+\alpha )\\\theta _{1}-\theta _{2}&=B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {g}{L}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {{\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}}}\end{aligned}}}$$

и , , , — константы интегрирования . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Выражая решения только с помощью и : ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )+{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\\\theta _{2}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )-{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$$

Если бобам не дан начальный толчок, то условие требует , что дает (после некоторой перестановки): ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\theta _{1}(0)+\theta _{2}(0)\\B&=\theta _{1}(0)-\theta _{2}(0)\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Гармонограф
• Конический маятник
• Циклоидальный маятник
• Двойной маятник
• Перевернутый маятник
• Маятник Капицы
• Маятник Рэлея–Лоренца
• Упругий маятник
• Функция Матье
• Уравнения маятника (программное обеспечение)

Ссылки

1. определено Христианом Гюйгенсом: Гюйгенс, Кристиан (1673). «Horologium Oscillatorium» (PDF) . Математика 17 века . 17th Centurymaths.com . Проверено 1 марта 2009 г., Часть 4, Определение 3, перевод Иена Брюса, июль 2007 г.
2. Nave, Carl R. (2006). "Простой маятник". Hyperphysics . Georgia State Univ . Получено 10.12.2008 .
3. Xue, Linwei (2007). "Маятниковые системы". Видение и осязание структурных концепций . Кафедра гражданского строительства, Манчестерский университет, Великобритания . Получено 10 декабря 2008 г.
4. Weisstein, Eric W. (2007). "Simple Pendulum". Мир науки Эрика Вайсштейна . Wolfram Research . Получено 2009-03-09 .
5. Нельсон, Роберт; Олссон, МГ (февраль 1986). «Маятник — богатая физика из простой системы». American Journal of Physics . 54 (2): 112–121. Bibcode : 1986AmJPh..54..112N. doi : 10.1119/1.14703. S2CID  121907349.
6. Карвальес, Клаудио Г.; Суппес, Патрик (декабрь 2008 г.), «Приближения периода простого маятника на основе арифметико-геометрического среднего» (PDF) , Am. J. Phys. , 76 (12͒): 1150–1154, Bibcode : 2008AmJPh..76.1150C, doi : 10.1119/1.2968864, ISSN  0002-9505 , получено 14 декабря 2013 г.
7. Борвейн, Дж. М .; Борвейн, П. Б. (1987). Pi и годовое общее собрание акционеров . Нью-Йорк: Wiley. С. 1–15. ISBN 0-471-83138-7. МР  0877728.
8. Ван Баак, Том (ноябрь 2013 г.). «Новое и замечательное уравнение периода маятника» (PDF) . Информационный бюллетень Horological Science . 2013 (5): 22–30.
9. Lima, FMS (2008-09-10). «Простые „логарифмические формулы“ для движения маятника, действительные для любой амплитуды». European Journal of Physics . 29 (5): 1091–1098. doi :10.1088/0143-0807/29/5/021. ISSN  0143-0807. S2CID  121743087 – через журналы IoP.
10. Лима, ФМС; Арун, П. (октябрь 2006 г.). «Точная формула для периода простого маятника, колеблющегося за пределами режима малых углов». American Journal of Physics . 74 (10): 892–895. arXiv : physics/0510206 . Bibcode : 2006AmJPh..74..892L. doi : 10.1119/1.2215616. ISSN  0002-9505. S2CID  36304104.
11. Кромер, Алан (февраль 1995 г.). «Множество колебаний жесткого стержня». American Journal of Physics . 63 (2): 112–121. Bibcode : 1995AmJPh..63..112C. doi : 10.1119/1.17966. ISSN  0002-9505.
12. Хиль, Сальвадор; Легаррета, Андрес Э.; Ди Грегорио, Дэниел Э. (сентябрь 2008 г.). «Измерение ангармонизма маятника большой амплитуды». Американский журнал физики . 76 (9): 843–847. Бибкод : 2008AmJPh..76..843G. дои : 10.1119/1.2908184. ISSN  0002-9505.
13. Лоуден, Дерек Ф. (1989). Эллиптические функции и приложения . Springer-Verlag. стр. 40. ISBN 0-387-96965-9.Ур. 2.7.9: ${\textstyle -kk'\int \operatorname {sd} u\,\mathrm {d} u=\arcsin(k\operatorname {cd} u)+C}$
14. Рейнхардт, WP; Уокер, PL (2010), «Эллиптические функции Якоби», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
15. «Полное решение нелинейного маятника». 4 декабря 2021 г.
16. Аппелл, Пол (июль 1878 г.). «Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique» [Об интерпретации значений мнимого времени в механике]. Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 87 (1).

Дальнейшее чтение

• Бейкер, Грегори Л.; Блэкберн, Джеймс А. (2005). Маятник: физическое исследование (PDF) . Oxford University Press.
• Окс, Карлхайнц (2011). «Комплексное аналитическое решение нелинейного маятника». European Journal of Physics . 32 (2): 479–490. Bibcode : 2011EJPh...32..479O. doi : 10.1088/0143-0807/32/2/019. S2CID  53621685.
• Сала, Кеннет Л. (1989). «Преобразования амплитудной функции Якоби и ее вычисление с помощью арифметико-геометрического среднего». SIAM J. Math. Anal . 20 (6): 1514–1528. doi :10.1137/0520100.

Внешние ссылки

• Статья Mathworld о функции Матье