Теорема трансверсальности

Описывает свойства трансверсального пересечения гладкого семейства гладких отображений.

В дифференциальной топологии теорема трансверсальности , также известная как теорема трансверсальности Тома в честь французского математика Рене Тома , является основным результатом, описывающим свойства трансверсального пересечения гладкого семейства гладких отображений. Она гласит, что трансверсальность является общим свойством : любое гладкое отображение может быть деформировано произвольной малой величиной в отображение, которое трансверсально заданному подмногообразию . Вместе с конструкцией Понтрягина–Тома она является техническим сердцем теории кобордизмов и отправной точкой для теории хирургии . Конечномерная версия теоремы трансверсальности также является очень полезным инструментом для установления общности свойства, которое зависит от конечного числа действительных параметров и которое выражается с помощью системы нелинейных уравнений. Это может быть расширено до бесконечномерной параметризации с использованием бесконечномерной версии теоремы трансверсальности. ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle Z\subseteq Y}$

Конечномерная версия

Предыдущие определения

Пусть будет гладким отображением между гладкими многообразиями, и пусть будет подмногообразием . Мы говорим, что является трансверсальным к , обозначаемым как , тогда и только тогда, когда для каждого мы имеем, что ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f\pitchfork Z}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}\left(Z\right)}$

${\displaystyle \operatorname {im} \left(df_{x}\right)+T_{f\left(x\right)}Z=T_{f\left(x\right)}Y}$.

Важный результат о трансверсальности гласит, что если гладкое отображение трансверсально к , то является регулярным подмногообразием . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$ ${\displaystyle X}$

Если — многообразие с границей , то мы можем определить ограничение отображения на границу, как . Отображение является гладким, и это позволяет нам сформулировать расширение предыдущего результата: если и , то — регулярное подмногообразие с границей, и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial f\colon \partial X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \partial f}$ ${\displaystyle f\pitchfork Z}$ ${\displaystyle \partial f\pitchfork Z}$ ${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \partial f^{-1}\left(Z\right)=f^{-1}\left(Z\right)\cap \partial X}$.

Параметрическая теорема трансверсальности

Рассмотрим отображение и определим . Это порождает семейство отображений . Мы требуем, чтобы семейство изменялось плавно, предполагая, что оно является (гладким) многообразием и является гладким. ${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f_{s}\left(x\right)=F\left(x,s\right)}$ ${\displaystyle f_{s}\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$

Формулировка параметрической теоремы трансверсальности такова:

Предположим, что — гладкое отображение многообразий, где имеет только границу , и пусть — любое подмногообразие без границы. Если и трансверсальны к , то для почти каждого и трансверсальны к . ${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \partial F}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle \partial f_{s}}$ ${\displaystyle Z}$

Более общие теоремы трансверсальности

Параметрическая теорема трансверсальности, приведенная выше, достаточна для многих элементарных приложений (см. книгу Гийемена и Поллака).

Существуют более мощные утверждения (совместно известные как теоремы трансверсальности ), которые подразумевают параметрическую теорему трансверсальности и необходимы для более сложных приложений.

Неформально, «теорема трансверсальности» утверждает, что множество отображений, трансверсальных данному подмногообразию, является плотным открытым (или, в некоторых случаях, только плотным ) подмножеством множества отображений. Чтобы сделать такое утверждение точным, необходимо определить пространство рассматриваемых отображений и какова топология в нем. Существует несколько возможностей; см. книгу Хирша. ${\displaystyle G_{\delta }}$

Под теоремой трансверсальности Тома обычно понимают более сильное утверждение о трансверсальности струй . См. книги Хирша и Голубицкого и Гийемена. Первоначальная ссылка — Том, Бол. Соц. Мат. Мексикана (2) 1 (1956), стр. 59–71.

Джон Мазер доказал в 1970-х годах еще более общий результат, названный теоремой о многоструйной трансверсальности . См. книгу Голубицкого и Гийемена.

Бесконечномерная версия

Бесконечномерная версия теоремы трансверсальности учитывает, что многообразия могут быть смоделированы в банаховых пространствах. ^{[ необходима ссылка ]}

Официальное заявление

Предположим, что есть отображение -банаховых многообразий. Предположим: ${\displaystyle F:X\times S\to Y}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

(i) и являются непустыми, метризуемыми -банаховыми многообразиями с пространствами карт над полем ${\displaystyle X,S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

(ii) -Карта с имеет как обычное значение. ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle F:X\times S\to Y}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle y}$

(iii) Для каждого параметра карта является картой Фредгольма , где для каждого ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f_{s}(x)=F(x,s)}$ ${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)<k}$ ${\displaystyle x\in f_{s}^{-1}(\{y\}).}$

(iv) Сходимость по как и для всех подразумевает существование сходящейся подпоследовательности как с ${\displaystyle s_{n}\to s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle F(x_{n},s_{n})=y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}\to x}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle x\in X.}$

Если (i)-(iv) выполняются, то существует открытое, плотное подмножество, такое что является регулярным значением для каждого параметра ${\displaystyle S_{0}\subset S}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle s\in S_{0}.}$

Теперь зафиксируем элемент Если существует число с для всех решений , то множество решений состоит из -мерного -банахова многообразия или множество решений пусто. ${\displaystyle s\in S_{0}.}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=n}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{s}(x)=y}$ ${\displaystyle f_{s}^{-1}(\{y\})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Обратите внимание, что если для всех решений то существует открытое плотное подмножество такое , что для каждого фиксированного параметра существует не более конечного числа решений. Кроме того, все эти решения являются регулярными. ${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=0}$ ${\displaystyle f_{s}(x)=y,}$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S_{0}.}$

Ссылки

• Арнольд, Владимир И. (1988). Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений . Springer. ISBN 0-387-96649-8.
• Голубицкий, Мартин ; Гийемен, Виктор (1974). Стабильные отображения и их особенности . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90073-X.
• Гийемен, Виктор ; Поллак, Алан (1974). Дифференциальная топология . Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2.
• Хирш, Моррис В. (1976). Дифференциальная топология. Springer. ISBN 0-387-90148-5.
• Том, Рене (1954). «Глобальные собственности дифференцируемых разновидностей». Комментарии по математике Helvetici . 28 (1): 17–86. дои : 10.1007/BF02566923.
• Том, Рене (1956). «Разрешите различимым приложениям». Бол. Соц. Мат. Мексикана . 2 (1): 59–71.
• Zeidler, Eberhard (1997). Нелинейный функциональный анализ и его приложения: Часть 4: Приложения к математической физике . Springer. ISBN 0-387-96499-1.