Модель Васичека

Математическая модель процентных ставок

Траектория короткой ставки и соответствующие кривые доходности в момент T=0 (фиолетовый) и в два последующих момента времени.

В финансах модель Васичека представляет собой математическую модель , описывающую эволюцию процентных ставок . Это разновидность однофакторной модели краткосрочных ставок , поскольку она описывает изменения процентных ставок как обусловленные только одним источником рыночного риска . Модель может использоваться при оценке процентных деривативов , а также адаптирована для кредитных рынков. Она была представлена ​​в 1977 году Олдржихом Вашичеком [ ^1] и может также рассматриваться как стохастическая инвестиционная модель .

Подробности

Модель указывает, что мгновенная процентная ставка следует стохастическому дифференциальному уравнению :

${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

где W _t — винеровский процесс в рамках нейтральной к риску структуры, моделирующей случайный рыночный фактор риска, поскольку он моделирует непрерывный приток случайности в систему. Параметр стандартного отклонения определяет волатильность процентной ставки и в некотором смысле характеризует амплитуду мгновенного притока случайности. Типичные параметры и вместе с начальным условием полностью характеризуют динамику и могут быть быстро охарактеризованы следующим образом, считая неотрицательными: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle b,a}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle b}$: «долгосрочный средний уровень». В долгосрочной перспективе все будущие траектории будут развиваться вокруг среднего уровня b; ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle a}$: «скорость реверса». характеризует скорость, с которой такие траектории будут перегруппировываться во времени; ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \sigma }$: «мгновенная волатильность», мгновенно измеряет амплитуду случайности, поступающей в систему. Чем выше, тем больше случайности. ${\displaystyle \sigma }$

Также представляет интерес следующая производная величина:

• ${\displaystyle {\sigma ^{2}}/(2a)}$: «долгосрочная дисперсия». Все будущие траектории через долгое время перегруппируются вокруг долгосрочного среднего значения с такой дисперсией. ${\displaystyle r}$

${\displaystyle a}$и имеют тенденцию противодействовать друг другу: увеличение увеличивает количество случайностей, попадающих в систему, но в то же время увеличение означает увеличение скорости, с которой система будет статистически стабилизироваться вокруг долгосрочного среднего значения с коридором отклонения, определяемым также . Это становится очевидным, если посмотреть на долгосрочную дисперсию. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2a}}}$

который увеличивается с ростом, но уменьшается с ростом . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle a}$

Эта модель представляет собой стохастический процесс Орнштейна – Уленбека . Приведение долгосрочного среднего стохастического к другому СДУ — это упрощенная версия СДУ коинтеляции. ^[2]

Обсуждение

Модель Васичека была первой, которая уловила возврат к среднему значению — важную характеристику процентной ставки, которая отличает ее от других финансовых цен. Таким образом, в отличие, например, от цен на акции , процентные ставки не могут расти бесконечно. Это связано с тем, что на очень высоких уровнях они будут препятствовать экономической активности, вызывая снижение процентных ставок. Точно так же процентные ставки обычно не опускаются ниже 0. В результате процентные ставки колеблются в ограниченном диапазоне, демонстрируя тенденцию возвращаться к долгосрочному значению.

Коэффициент дрейфа представляет собой ожидаемое мгновенное изменение процентной ставки в момент времени t . Параметр b представляет собой долгосрочное равновесное значение, к которому возвращается процентная ставка. Действительно, в отсутствие шоков ( ) процентная ставка остается постоянной, когда r _t = b . Параметр a , определяющий скорость регулировки, должен быть положительным, чтобы обеспечить стабильность вокруг долгосрочного значения. Например, когда r _t ниже b , член дрейфа становится положительным при положительном a , создавая тенденцию процентной ставки двигаться вверх (к равновесию). ${\displaystyle a(b-r_{t})}$ ${\displaystyle dW_{t}=0}$ ${\displaystyle a(b-r_{t})}$

Основным недостатком является то, что согласно модели Васичека теоретически возможно, что процентная ставка станет отрицательной, что является нежелательным явлением в докризисных предположениях. Этот недостаток был исправлен в модели Кокса-Ингерсолла-Росса , экспоненциальной модели Васичека, модели Блэка-Дермана-Тоя и модели Блэка-Карасински , среди многих других. Модель Васичека получила дальнейшее развитие в модели Халла-Уайта . Модель Васичека также является каноническим примером модели аффинной временной структуры , наряду с моделью Кокса-Ингерсолла-Росса . В недавних исследованиях обе модели использовались для разделения данных и прогнозирования. ^[3]

Асимптотическое среднее и дисперсия

Решаем стохастическое дифференциальное уравнение и получаем

${\displaystyle r_{t}=r_{0}e^{-at}+b\left(1-e^{-at}\right)+\sigma e^{-at}\int _{0}^{t}e^{as}\,dW_{s}.\,\!}$

Используя аналогичные методы, применимые к стохастическому процессу Орнштейна – Уленбека, мы получаем, что переменная состояния распределяется нормально со средним значением.

${\displaystyle \mathrm {E} [r_{t}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})}$

и дисперсия

${\displaystyle \mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-2at}).}$

Следовательно, мы имеем

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mathrm {E} [r_{t}]=b}$

и

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}.}$

Цены на облигации

При предположении об отсутствии арбитража дисконтная облигация может быть оценена в модели Васичека. Временная стоимость дисконтной облигации со сроком погашения экспоненциально пропорциональна процентной ставке: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle P(t,T)=e^{A(t,T)-B(t,T)r(t)}}$

где

${\displaystyle B(t,T)={\frac {1-e^{-a(T-t)}}{a}}}$

${\displaystyle A(t,T)=\left(b-{\frac {\sigma ^{2}}{2a^{2}}}\right)\left[B(t,T)-(T-t)\right]-{\frac {\sigma ^{2}}{4a}}B^{2}(t,T)}$

Смотрите также

• Процесс Орнштейна-Уленбека .
• Модель Халла – Уайта
• Модель Кокса – Ингерсолла – Росса

Рекомендации

1. Васичек, О. (1977). «Равновесная характеристика временной структуры». Журнал финансовой экономики . 5 (2): 177–188. CiteSeerX  10.1.1.164.447 . дои : 10.1016/0304-405X(77)90016-2.
2. Махдави Дамгани Б. (2013). «Не вводящая в заблуждение ценность предполагаемой корреляции: введение в модель коинтеляции». Журнал Уилмотт . 2013 (67): 50–61. дои : 10.1002/wilm.10252.
3. Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (июль 2020 г.). «Прогнозирование процентных ставок с помощью моделей Васичека и CIR: подход к разделению». Журнал прогнозирования . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . дои : 10.1002/для.2642. ISSN  0277-6693. S2CID  126507446.

• Халл, Джон К. (2003). Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл . ISBN 978-0-13-009056-0.
• Дамиано Бриго, Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок – теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд., 2006 г.). Спрингер Верлаг. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Джессика Джеймс, Ник Уэббер (2000). Моделирование процентных ставок . Уайли. ISBN 978-0-471-97523-6.

Внешние ссылки

• Модель Васичека, Бьёрн Эракер, Школа бизнеса Висконсина
• Оценка и прогнозирование кривой доходности с помощью модели Васичека, Д. Баязит, Ближневосточный технический университет