Я помню, как Бертран Рассел рассказал мне ужасный сон. Он находился на верхнем этаже университетской библиотеки, около 2100 года нашей эры. Библиотечный ассистент обходил полки, неся огромное ведро, снимая книги, просматривая их, возвращая их на полки или вываливая в ведро. Наконец он дошел до трех больших томов, в которых Рассел узнал последний сохранившийся экземпляр Principia Mathematica . Он снял один из томов, перевернул несколько страниц, на мгновение, казалось, был озадачен странным символизмом, закрыл том, взвесил его в руке и заколебался...
GH Hardy , «Апология математика» (1940) [1]
Однажды он [Рассел] сказал, что после некоторого контакта с китайским языком он был в ужасе, обнаружив, что язык Principia Mathematica является индоевропейским.
Джон Эденсор Литтлвуд , Сборник Литтлвуда (1986) [2]
Principia Mathematica (часто сокращенно PM ) — трёхтомный труд по основаниям математики, написанный математиками-философами Альфредом Нортом Уайтхедом и Бертраном Расселом и опубликованный в 1910, 1912 и 1913 годах. В 1925–1927 годах он вышел во втором издании с важным Введением ко второму изданию , Приложением A , которое заменило ✱9 новым Приложением B и Приложением C. PM был задуман как продолжение книги Рассела 1903 года «Принципы математики» , но, как утверждает PM , это предложение оказалось неосуществимым по практическим и философским причинам: «Изначально мы планировали включить настоящую работу во второй том « Принципов математики» ... Но по мере продвижения вперед становилось все более очевидным, что тема гораздо шире, чем мы предполагали; более того, по многим фундаментальным вопросам, которые в предыдущей работе оставались неясными и сомнительными, теперь мы пришли к тому, что считаем удовлетворительными решениями».
Согласно введению, PM преследовал три цели: (1) максимально возможно проанализировать идеи и методы математической логики и свести к минимуму количество примитивных понятий , аксиом и правил вывода ; (2) точно выразить математические предложения в символической логике, используя наиболее удобные обозначения, которые допускает точное выражение; (3) разрешить парадоксы, преследовавшие логику и теорию множеств на рубеже 20-го века, такие как парадокс Рассела . [3]
Эта третья цель мотивировала принятие теории типов в PM . Теория типов принимает грамматические ограничения на формулы, которые исключают неограниченное понимание классов, свойств и функций. Эффект этого заключается в том, что формулы, которые позволили бы понимать объекты, подобные множеству Рассела, оказываются плохо сформированными: они нарушают грамматические ограничения системы PM .
PM пробудил интерес к символической логике и продвинул этот предмет, популяризировав его и продемонстрировав его силу. [4] Современная библиотека поместила PM на 23-е место в своем списке 100 лучших англоязычных научно-популярных книг двадцатого века. [5]
Principia охватывала только теорию множеств , кардинальные числа , порядковые числа и действительные числа . Более глубокие теоремы из действительного анализа не были включены, но к концу третьего тома экспертам стало ясно, что большой объем известной математики в принципе может быть развит в принятом формализме. Было также ясно, насколько длительным будет такое развитие.
Планировалось написать четвертый том по основам геометрии , но после завершения третьего тома авторы признались в интеллектуальном истощении.
Как отмечено в критике теории Куртом Гёделем (ниже), в отличие от формалистической теории , «логицистическая» теория ПМ не имеет «точного утверждения синтаксиса формализма». Более того, в теории почти сразу же можно заметить, что интерпретации (в смысле теории моделей ) представлены в терминах истинностных значений для поведения символов «⊢» (утверждение истины), «~» (логическое НЕ) и «V» (логическое инклюзивное ИЛИ).
Значения истинности : PM встраивает понятия «истины» и «ложности» в понятие «примитивное суждение». Чистая формалистическая теория не дала бы значения символов, которые образуют «примитивное суждение» — сами символы могли бы быть абсолютно произвольными и незнакомыми. Теория определяла бы только то, как ведут себя символы на основе грамматики теории . Затем, позже, путем назначения «значений», модель определяла бы интерпретацию того, что говорят формулы. Таким образом, в формальном наборе символов Клини ниже «интерпретация» того, что символы обычно означают, и, как подразумевается, как они в конечном итоге используются, дана в скобках, например, «¬ (не)». Но это не чистая формалистическая теория.
Следующая формалистическая теория предлагается как противопоставление логицистской теории PM . Современная формальная система будет построена следующим образом:
Теория ПМ имеет как существенные сходства, так и сходные различия с современной формальной теорией. [ необходимо разъяснение ] Клини утверждает, что «этот вывод математики из логики был предложен как интуитивная аксиоматика. Аксиомы должны были быть приняты или, по крайней мере, приняты в качестве правдоподобных гипотез относительно мира». [10] Действительно, в отличие от формалистской теории, которая манипулирует символами в соответствии с правилами грамматики, ПМ вводит понятие «истинностных значений», т. е. истины и ложности в реальном смысле , и «утверждение истины» почти сразу как пятый и шестой элементы в структуре теории ( ПМ 1962:4–36):
См. PM 1962:90–94, для первого издания:
Первое издание (см. обсуждение относительно второго издания ниже) начинается с определения знака «⊃» .
✱1.01 . p ⊃ q . = . ~ p ∨ q . Df .
✱1.1 . Все, что подразумевается истинным элементарным предложением, является истинным. Pp modus ponens
( ✱1.11 был исключен во втором издании.)
✱1.2 . ⊦ : p ∨ p . ⊃ . p . Pp принцип тавтологии
✱1.3 . ⊦ : q . ⊃ . p ∨ q . Pp принцип сложения
✱1.4 . ⊦ : p ∨ q . ⊃ . q ∨ p . Pp принцип перестановки
✱1.5 . ⊦ : p ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . q ∨ ( p ∨ r ). Pp ассоциативный принцип
✱1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . p ∨ r . Pp принцип суммирования
✱1.7 . Если p — элементарное предложение, то ~ p — элементарное предложение. Pp
✱1.71 . Если p и q — элементарные предложения, то p ∨ q — элементарное предложение. Pp
✱1,72 . Если φ p и ψ p — элементарные пропозициональные функции, принимающие в качестве аргументов элементарные предложения, то φ p ∨ ψ p — элементарное предложение. ПП
Вместе с «Введением ко второму изданию» Приложение А второго издания полностью исключает раздел ✱9 . Он включает шесть примитивных предложений ✱9 по ✱9.15 вместе с аксиомами сводимости.
Пересмотренная теория осложняется введением штриха Шеффера («|») для обозначения «несовместимости» (т. е. если оба элементарных предложения p и q истинны, то их «штрих» p | q ложен), современного логического НЕ-И (не-И). В пересмотренной теории Введение представляет понятие «атомарного предложения», «данного», которое «принадлежит философской части логики». У них нет частей, которые являются предложениями и не содержат понятий «все» или «некоторые». Например: «это красное» или «это раньше того». Такие вещи могут существовать ad finitum , т. е. даже «бесконечное перечисление» их для замены «общности» (т. е. понятия «для всех»). [12] Затем PM «переходит к молекулярным предложениям», которые все связаны «штрихом». Определения дают эквивалентности для «~», «∨», «⊃» и « . ».
Новое введение определяет "элементарные предложения" как атомные и молекулярные позиции вместе. Затем оно заменяет все примитивные предложения ✱1.2 по ✱1.72 одним примитивным предложением, оформленным в терминах штриха:
Новое введение сохраняет обозначения для «существует» (теперь переделанное как «иногда верно») и «для всех» (переделанное как «всегда верно»). Приложение A усиливает понятие «матрицы» или «предикативной функции» («примитивная идея», PM 1962:164) и представляет четыре новых Примитивных предложения как ✱8.1–✱8.13 .
✱88 . Мультипликативная аксиома
✱120 . Аксиома бесконечности
В теории простых типов объекты являются элементами различных непересекающихся «типов». Типы неявно строятся следующим образом. Если τ 1 ,...,τ m являются типами, то существует тип (τ 1 ,...,τ m ), который можно рассматривать как класс пропозициональных функций τ 1 ,...,τ m (который в теории множеств по сути является множеством подмножеств τ 1 ×...×τ m ). В частности, существует тип () предложений, и может быть тип ι (йота) «индивидуумов», из которых строятся другие типы. Нотация Рассела и Уайтхеда для построения типов из других типов довольно громоздка, и эта нотация принадлежит Чёрчу .
В разветвленной теории типов PM все объекты являются элементами различных непересекающихся разветвленных типов. Разветвленные типы неявно строятся следующим образом. Если τ 1 ,...,τ m ,σ 1 ,...,σ n являются разветвленными типами, то, как и в простой теории типов, существует тип (τ 1 ,...,τ m ,σ 1 ,...,σ n ) «предикативных» пропозициональных функций от τ 1 ,...,τ m ,σ 1 ,...,σ n . Однако существуют также разветвленные типы (τ 1 ,...,τ m |σ 1 ,...,σ n ), которые можно рассматривать как классы пропозициональных функций τ 1 ,...τ m , полученных из пропозициональных функций типа (τ 1 ,...,τ m ,σ 1 ,...,σ n ) путем квантификации по σ 1 ,...,σ n . Когда n = 0 (то есть нет σs), эти пропозициональные функции называются предикативными функциями или матрицами. Это может сбивать с толку, поскольку современная математическая практика не различает предикативные и непредикативные функции, и в любом случае PM никогда точно не определяет, что такое «предикативная функция» на самом деле: это принимается как примитивное понятие.
Рассел и Уайтхед обнаружили, что невозможно развивать математику, сохраняя различие между предикативными и непредикативными функциями, поэтому они ввели аксиому сводимости , гласящую, что для каждой непредикативной функции существует предикативная функция, принимающая те же значения. На практике эта аксиома по сути означает, что элементы типа (τ 1 ,...,τ m |σ 1 ,...,σ n ) могут быть отождествлены с элементами типа (τ 1 ,...,τ m ), что приводит к тому, что иерархия разветвленных типов сворачивается до простой теории типов. (Строго говоря, PM допускает, чтобы две пропозициональные функции были разными, даже если они принимают одинаковые значения для всех аргументов; это отличается от современной математической практики, где обычно идентифицируют две такие функции.)
В теории множеств Цермело можно смоделировать разветвленную теорию типов PM следующим образом. Выбирается множество ι в качестве типа индивидов. Например, ι может быть множеством натуральных чисел или множеством атомов (в теории множеств с атомами) или любым другим интересующим множеством. Тогда, если τ 1 ,...,τ m являются типами, тип (τ 1 ,...,τ m ) является множеством мощности произведения τ 1 ×...×τ m , которое также можно неформально рассматривать как множество (пропозициональных предикативных) функций от этого произведения до 2-элементного множества {true,false}. Разветвленный тип (τ 1 ,...,τ m |σ 1 ,...,σ n ) можно смоделировать как произведение типа (τ 1 ,...,τ m ,σ 1 ,...,σ n ) с набором последовательностей из n квантификаторов (∀ или ∃), указывающих, какой квантификатор следует применить к каждой переменной σ i . (Можно немного изменить это, разрешив квантифицировать σ в любом порядке или разрешив им появляться перед некоторыми τ, но это мало что меняет, за исключением бухгалтерского учета.)
В предисловии ко второму изданию содержится предостережение:
Один момент, в отношении которого улучшение, очевидно, желательно, — это аксиома сводимости... Эта аксиома имеет чисто прагматическое обоснование... но это явно не тот вид аксиомы, с которым мы можем успокоиться. Однако по этому вопросу нельзя сказать, что удовлетворительное решение пока еще возможно. Доктор Леон Хвистек [Теория конструктивных типов] предпринял героический путь отказа от аксиомы, не приняв никакой замены; из его работы ясно, что этот курс заставляет нас пожертвовать большой частью обычной математики. Есть другой курс, рекомендованный Витгенштейном† (†Tractatus Logico-Philosophicus, *5.54ff) по философским причинам. Он заключается в предположении, что функции предложений всегда являются истинностными функциями и что функция может встречаться в предложении только через свои значения. (...) [Проработка последствий] ... теория индуктивных кардиналов и ординалов выживает; но кажется, что теория бесконечных дедекиндовых и вполне упорядоченных рядов в значительной степени рушится, так что иррациональные числа и действительные числа вообще больше не могут быть адекватно рассмотрены. Также доказательство Кантора, что 2n > n, не работает, если n не конечно. [13]
Можно было бы пожертвовать бесконечными упорядоченными рядами ради логической строгости, но теория действительных чисел является неотъемлемой частью обычной математики и вряд ли может быть предметом разумных сомнений. Поэтому мы оправданы (sic), предполагая, что некоторые логические аксиомы, которые истинны, оправдают ее. Требуемая аксиома может быть более ограниченной, чем аксиома сводимости, но если это так, то ее еще предстоит открыть. [14]
Один автор [4] замечает, что «обозначения в этой работе были заменены последующим развитием логики в 20 веке до такой степени, что начинающий вообще испытывает трудности с чтением PM»; в то время как большая часть символического содержания может быть преобразована в современные обозначения, само оригинальное обозначение является «предметом научных споров», а некоторые обозначения «воплощают существенные логические доктрины, так что их нельзя просто заменить современной символикой». [15]
Курт Гёдель резко критиковал обозначения: «Прежде всего, не хватает точного изложения синтаксиса формализма. Синтаксические соображения опускаются даже в тех случаях, когда они необходимы для убедительности доказательств». [16] Это отражено в приведенном ниже примере символов « p », « q », « r » и «⊃», которые могут быть сформированы в строку « p ⊃ q ⊃ r ». PM требует определения того, что означает эта символьная строка в терминах других символов; в современных трактовках «правила формирования» (синтаксические правила, приводящие к «правильно сформированным формулам») предотвратили бы формирование этой строки.
Источник обозначений : Глава I «Предварительные пояснения идей и обозначений» начинается с источника элементарных частей обозначений (символов =⊃≡−ΛVε и системы точек):
PM изменил символ Пеано Ɔ на ⊃, а также перенял несколько более поздних символов Пеано, таких как ℩ и ι, а также практику Пеано переворачивать буквы вверх ногами.
Премьер-министр заимствует знак утверждения «⊦» из книги Фреге « Begriffsschrift » 1879 года : [18]
Таким образом, чтобы высказать предложение p, ПМ пишет:
(Обратите внимание, что, как и в оригинале, левая точка квадратная и большего размера, чем точка справа.)
Большая часть остальной нотации в PM была изобретена Уайтхедом. [20]
Точки PM [21] используются аналогично скобкам. Каждая точка (или несколько точек) представляет либо левую, либо правую скобку, либо логический символ ∧. Более одной точки указывают на «глубину» скобок, например, « . » , « : » или « :. », « :: ». Однако положение соответствующей правой или левой скобки явно не указано в нотации, а должно быть выведено из некоторых правил, которые сложны и порой неоднозначны. Более того, когда точки обозначают логический символ ∧, его левый и правый операнды должны быть выведены с использованием аналогичных правил. Сначала нужно решить на основе контекста, обозначают ли точки левую или правую скобку или логический символ. Затем нужно решить, как далеко находится другая соответствующая скобка: здесь нужно продолжать, пока не встретится либо большее количество точек, либо такое же количество точек, которые имеют равную или большую «силу», либо конец строки. Точки рядом со знаками ⊃, ≡,∨, =Df имеют большую силу, чем точки рядом со знаками ( x ), (∃ x ) и т. д., которые имеют большую силу, чем точки, обозначающие логическое произведение ∧.
Пример 1. Линия
соответствует
Две точки, стоящие рядом сразу после знака утверждения, указывают, что утверждается вся строка: поскольку их две, их область действия больше, чем у любой из одиночных точек справа от них. Они заменяются левой скобкой, стоящей там, где находятся точки, и правой скобкой в конце формулы, таким образом:
(На практике эти внешние скобки, которые заключают в себе всю формулу, обычно опускаются.) Первая из одиночных точек, стоящая между двумя пропозициональными переменными, представляет собой конъюнкцию. Она принадлежит к третьей группе и имеет самую узкую область действия. Здесь она заменена современным символом для конъюнкции "∧", таким образом
Две оставшиеся одиночные точки выделяют главную связку всей формулы. Они иллюстрируют полезность точечной нотации в выделении тех связок, которые относительно более важны, чем те, которые их окружают. Та, что слева от "⊃", заменяется парой скобок, правая идет туда, где находится точка, а левая идет так далеко влево, как только может, не пересекая группу точек большей силы, в данном случае две точки, которые следуют за знаком утверждения, таким образом
Точка справа от "⊃" заменяется левой скобкой, которая идет туда, где находится точка, и правой скобкой, которая идет так далеко вправо, как только может, не выходя за рамки, уже установленные группой точек большей силы (в данном случае две точки, которые следовали за знаком утверждения). Таким образом, правая скобка, которая заменяет точку справа от "⊃", помещается перед правой скобкой, которая заменяет две точки, следующие за знаком утверждения, таким образом
Пример 2 с двойными, тройными и четверными точками:
означает
Пример 3, с двойной точкой, обозначающей логический символ (из тома 1, стр. 10):
означает
где двойная точка представляет логический символ ∧ и может рассматриваться как имеющая более высокий приоритет, чем нелогическая одиночная точка.
Далее в разделе ✱14 появляются скобки "[ ]", а в разделах ✱20 и далее появляются фигурные скобки "{ }". Имеют ли эти символы конкретное значение или служат только для визуального пояснения, неясно. К сожалению, одиночная точка (а также " : ", " :. ", " :: " и т. д.) также используется для обозначения "логического произведения" (современное логическое И часто обозначается "&" или "∧").
Логическая импликация представлена символом Пеано "Ɔ", упрощенным до "⊃", логическое отрицание символизируется удлиненной тильдой, т. е. "~" (современные "~" или "¬"), логическое ИЛИ - "v". Символ "=" вместе с "Df" используется для обозначения "определяется как", тогда как в разделах ✱13 и далее "=" определяется как (математически) "идентично", т. е. современное математическое "равенство" (ср. обсуждение в разделе ✱13 ). Логическая эквивалентность представлена символом "≡" (современное "если и только если"); "элементарные" пропозициональные функции записываются обычным способом, например, " f ( p )", но позже знак функции появляется непосредственно перед переменной без скобок, например, "φ x ", "χ x " и т. д.
Например, PM вводит определение «логического произведения» следующим образом:
Перевод формул в современные символы : Различные авторы используют альтернативные символы, поэтому точный перевод невозможен. Однако из-за критики, например, Курта Гёделя, приведенной ниже, лучшие современные трактовки будут очень точными в отношении «правил формирования» (синтаксиса) формул.
Первую формулу можно преобразовать в современную символику следующим образом: [22]
попеременно
попеременно
и т. д.
Вторую формулу можно преобразовать следующим образом:
Но обратите внимание, что это (логически) не эквивалентно ни ( p → ( q → r )) ни (( p → q ) → r ), и эти два выражения также логически не эквивалентны.
Эти разделы посвящены тому, что сейчас известно как логика предикатов и логика предикатов с тождеством (равенством).
Раздел ✱10: Экзистенциальные и универсальные «операторы» : PM добавляет «( x )» для представления современной символики «для всех x », т. е. «∀ x », и использует обратную засечку E для представления «существует x » , т. е. «(Ǝx)», т. е. современного «∃x». Типичная нотация будет похожа на следующую:
Разделы ✱10, ✱11, ✱12: Свойства переменной, распространяющиеся на всех индивидуумов : раздел ✱10 вводит понятие «свойства» «переменной». PM приводит пример: φ — это функция, которая указывает «является греком», ψ указывает «является человеком», а χ указывает «является смертным», эти функции затем применяются к переменной x . Теперь PM может писать и оценивать:
Обозначение выше означает «для всех x , x является человеком». При наличии совокупности индивидов можно оценить приведенную выше формулу на истинность или ложность. Например, при наличии ограниченной совокупности индивидов {Сократ, Платон, Рассел, Зевс} приведенная выше формула оценивается как «истинная», если мы допускаем, что Зевс является человеком. Но она не выполняется для:
потому что Рассел не грек. И это не работает для
потому что Зевс не смертный.
Вооружившись этой нотацией, PM может создавать формулы для выражения следующего: «Если все греки — люди и если все люди смертны, то все греки смертны». ( PM 1962:138)
Другой пример: формула:
означает «Символы, представляющие утверждение «Существует по крайней мере один x , удовлетворяющий функции φ», определяются символами, представляющими утверждение «Неверно, что при всех значениях x не существует значений x , удовлетворяющих φ»».
Символизмы ⊃ x и "≡ x " появляются в ✱10.02 и ✱10.03 . Оба являются сокращениями для универсальности (т.е. для всех), которые связывают переменную x с логическим оператором. Современная нотация просто использовала бы скобки вне знака равенства ("="):
Премьер-министр приписывает первую символику Пеано.
Раздел ✱11 применяет эту символику к двум переменным. Таким образом, следующие обозначения: ⊃ x , ⊃ y , ⊃ x, y могут все появляться в одной формуле.
Раздел ✱12 заново вводит понятие «матрицы» (современная таблица истинности ), понятие логических типов и, в частности, понятия функций и предложений первого и второго порядка .
Новая символика "φ ! x " представляет любое значение функции первого порядка. Если циркумфлекс "^" помещается над переменной, то это "индивидуальное" значение y , что означает, что " ŷ " указывает на "индивидуумов" (например, строку в таблице истинности); это различие необходимо из-за матричной/экстенсиональной природы пропозициональных функций.
Теперь, вооружившись понятием матрицы, PM может утверждать свою противоречивую аксиому сводимости : функция одной или двух переменных (двух достаточно для использования PM ) , где все ее значения заданы (т.е. в ее матрице), (логически) эквивалентна ("≡") некоторой "предикативной" функции тех же переменных. Определение с одной переменной приведено ниже в качестве иллюстрации нотации ( PM 1962 :166–167):
✱12.1 ⊢ : (Ǝ f ) : φ x . ≡ x . f ! x Pp ;
Это означает: «Мы утверждаем истинность следующего: существует функция f со свойством, что: при всех значениях x их оценки в функции φ (т. е. результирующая их матрица) логически эквивалентны некоторой f, оцененной при тех же значениях x (и наоборот, отсюда логическая эквивалентность)». Другими словами: при заданной матрице, определяемой свойством φ, примененным к переменной x , существует функция f , которая при применении к x логически эквивалентна матрице. Или: каждая матрица φ x может быть представлена функцией f, примененной к x , и наоборот.
✱13: Оператор тождества "=" : Это определение, которое использует знак двумя разными способами, как отмечено в цитате из PM :
означает:
Знак неравенства «≠» появляется в качестве определения в ✱13.02 .
✱14: Описания :
Из этого PM использует два новых символа, прямую "E" и перевернутую йоту "℩". Вот пример:
Это имеет следующее значение:
Текст переходит от раздела ✱14 непосредственно к основополагающим разделам ✱20 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ и ✱21 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ . «Отношения» — это то, что известно в современной теории множеств как множества упорядоченных пар . Разделы ✱20 и ✱22 вводят многие символы, которые все еще используются в современном использовании. К ним относятся символы «ε», «⊂», «∩», «∪», «–», «Λ» и «V»: «ε» означает «является элементом» ( PM 1962:188); «⊂» ( ✱22.01 ) означает «содержится в», «является подмножеством»; «∩» ( ✱22.02 ) означает пересечение (логическое произведение) классов (множеств); «∪» ( ✱22.03 ) обозначает объединение (логическую сумму) классов (множеств); «–» ( ✱22.03 ) обозначает отрицание класса (множества); «Λ» обозначает нулевой класс; а «V» обозначает универсальный класс или универсум дискурса.
Маленькие греческие буквы (кроме «ε», «ι», «π», «φ», «ψ», «χ» и «θ») обозначают классы (например, «α», «β», «γ»). ", "δ" и т. д.) ( PM 1962:188):
При применении к отношениям в разделе ✱23 ИСЧИСЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ символы «⊂», «∩», «∪» и «–» приобретают точку: например: «⊍», «∸». [26]
Понятие и обозначение «класса» (множества) : в первом издании PM утверждает, что для определения того, что подразумевается под «классом», не нужны никакие новые примитивные идеи, а нужны только два новых «примитивных предложения», называемых аксиомами сводимости для классов и отношений соответственно ( PM 1962:25). [27] Но прежде чем это понятие может быть определено, PM считает необходимым создать своеобразное обозначение « ẑ (φ z )», которое он называет «фиктивным объектом». ( PM 1962:188)
По крайней мере, PM может рассказать читателю, как ведут себя эти вымышленные объекты, потому что «Класс полностью определен, когда его членство известно, то есть не может быть двух различных классов с одинаковым членством» ( PM 1962:26). Это символизируется следующим равенством (аналогичным ✱13.01 выше):
Возможно, вышеизложенное можно сделать более понятным с помощью обсуждения классов во Введении ко второму изданию , которое избавляется от аксиомы сводимости и заменяет ее понятием: «Все функции функций являются экстенсиональными» ( PM 1962:xxxix), т.е.
Это имеет разумный смысл, что «ЕСЛИ для всех значений x истинностные значения функций φ и ψ от x [логически] эквивалентны, ТО функция ƒ от данного φ ẑ и ƒ от ψ ẑ [логически] эквивалентны». PM утверждает, что это «очевидно»:
Обратите внимание на изменение знака равенства «=» справа. PM продолжает утверждать, что будет продолжать придерживаться обозначения « ẑ (φ z )», но это всего лишь эквивалентно φ ẑ , и это класс. (все цитаты: PM 1962:xxxix).
Согласно «Логистическим основам математики» Карнапа , Рассел хотел теорию, которая могла бы правдоподобно вывести всю математику из чисто логических аксиом. Однако Principia Mathematica требовала, в дополнение к основным аксиомам теории типов, еще три аксиомы, которые, казалось, не были истинными как простые вопросы логики, а именно аксиому бесконечности , аксиому выбора и аксиому сводимости . Поскольку первые две были экзистенциальными аксиомами, Рассел сформулировал математические утверждения, зависящие от них, как условные. Но сводимость требовалась для того, чтобы быть уверенным, что формальные утверждения даже правильно выражают утверждения реального анализа, так что зависящие от нее утверждения не могли быть переформулированы как условные. Фрэнк Рэмси пытался утверждать, что разветвление Рассела теории типов было излишним, так что сводимость можно было бы устранить, но эти аргументы казались неубедительными.
Помимо статуса аксиом как логических истин , можно задать следующие вопросы о любой системе, такой как ПМ:
Известно, что сама пропозициональная логика непротиворечива, но то же самое не было установлено для аксиом теории множеств Principia . (См. вторую проблему Гильберта .) Рассел и Уайтхед подозревали, что система в PM неполна: например, они указали, что она не кажется достаточно мощной, чтобы показать, что кардинал ℵ ω существует. Однако можно спросить, является ли некоторое рекурсивно аксиоматизируемое расширение полным и непротиворечивым.
В 1930 году теорема Гёделя о полноте показала, что сама логика предикатов первого порядка полна в гораздо более слабом смысле, то есть любое предложение, которое недоказуемо из данного набора аксиом, должно быть фактически ложным в некоторой модели аксиом. Однако это не тот более сильный смысл полноты, который требуется для Principia Mathematica, поскольку данная система аксиом (например, Principia Mathematica) может иметь много моделей, в некоторых из которых данное утверждение истинно, а в других — ложно, так что утверждение остается неопределенным аксиомами.
Теоремы Гёделя о неполноте проливают неожиданный свет на эти два взаимосвязанных вопроса.
Первая теорема Гёделя о неполноте показала, что никакое рекурсивное расширение Principia не может быть одновременно непротиворечивым и полным для арифметических утверждений. (Как упоминалось выше, сама Principia уже была известна как неполная для некоторых неарифметических утверждений.) Согласно теореме, внутри каждой достаточно мощной рекурсивной логической системы (такой как Principia ) существует утверждение G , которое по сути гласит: «Утверждение G не может быть доказано». Такое утверждение является своего рода Catch-22 : если G доказуемо, то оно ложно, и система, следовательно, непоследовательна; а если G недоказуемо, то оно истинно, и система, следовательно, неполна.
Вторая теорема Гёделя о неполноте (1931) показывает, что никакая формальная система, расширяющая базовую арифметику, не может быть использована для доказательства своей собственной непротиворечивости. Таким образом, утверждение «в системе Principia нет противоречий » не может быть доказано в системе Principia , если в системе нет противоречий (в этом случае можно доказать, что оно является как истинным, так и ложным).
Во втором издании PM Рассел заменил свою аксиому сводимости на новую аксиому (хотя он не утверждает ее как таковую). Гёдель 1944:126 описывает это следующим образом:
Это изменение связано с новой аксиомой, что функции могут встречаться в предложениях только «через свои значения», т. е. экстенсионально (...) [это] совершенно не вызывает возражений даже с конструктивной точки зрения (...) при условии, что квантификаторы всегда ограничены определенными порядками». Это изменение от квазиинтенсиональной позиции к полностью экстенсиональной позиции также ограничивает предикатную логику вторым порядком, т. е. функциями функций: «Мы можем решить, что математика должна ограничить себя функциями функций, которые подчиняются вышеуказанному предположению».
— ПМ 2-е издание, стр. 401, Приложение C
Это новое предложение привело к плачевному результату. «Экстенсиональная позиция» и ограничение логикой предикатов второго порядка означает, что пропозициональная функция, расширенная на всех индивидов, например, «Все „x“ синие», теперь должна перечислить все „x“, которые удовлетворяют (являются истинными в) пропозиции, перечислив их в возможно бесконечной конъюнкции: например, x 1 ∧ x 2 ∧ . . . ∧ x n ∧ . . .. По иронии судьбы, это изменение произошло в результате критики Людвига Витгенштейна в его «Логико-философском трактате» 1919 года . Как описано Расселом во введении ко второму изданию PM :
Есть другой курс, рекомендованный Витгенштейном† († Tractatus Logico-Philosophicus , *5.54ff) по философским причинам. Он заключается в предположении, что функции предложений всегда являются истинностными функциями, и что функция может встречаться в предложении только через свои значения. (...) [Прорабатывая последствия] оказывается, что все в томе I остается верным (хотя часто требуются новые доказательства); теория индуктивных кардиналов и ординалов выживает; но кажется, что теория бесконечных дедекиндовых и вполне упорядоченных рядов в значительной степени рушится, так что с иррациональными числами и действительными числами вообще больше нельзя адекватно иметь дело. Также доказательство Кантора о том, что 2 n > n , недействительно, если n не конечно.
— PM 2-е издание перепечатано 1962:xiv, также см. новое Приложение C)
Другими словами, тот факт, что бесконечный список не может быть реалистично определен, означает, что понятие «числа» в бесконечном смысле (т. е. континуум) не может быть описано новой теорией, предложенной во втором издании PM .
Витгенштейн в своих «Лекциях по основаниям математики» (Кембридж, 1939) критиковал «Начала» по разным причинам, например:
Однако Витгенштейн признавал, что «Начала» тем не менее могут прояснить некоторые аспекты повседневной арифметики.
Гёдель предложил «критическое, но сочувственное обсуждение логицистского порядка идей» в своей статье 1944 года «Математическая логика Рассела». [28] Он писал:
Приходится сожалеть, что это первое всеобъемлющее и основательное представление математической логики и вывода математики из нее [так сильно лишено формальной точности в основаниях (содержащихся в ✱1–✱21 Principia [т. е. разделах ✱1–✱5 (логика высказываний), ✱8–14 (логика предикатов с тождеством/равенством), ✱20 (введение в теорию множеств) и ✱21 (введение в теорию отношений)]), что оно представляет собой в этом отношении значительный шаг назад по сравнению с Фреге. Чего не хватает, прежде всего, так это точного изложения синтаксиса формализма. Синтаксические соображения опущены даже в тех случаях, когда они необходимы для убедительности доказательств... Особенно сомнительно это касается правила подстановки и замены определенных символов их definiens ... в основном это правило подстановки, которое должно быть доказано. [16]
В этом разделе описывается исчисление высказываний и предикатов, а также приводятся основные свойства классов, отношений и типов.
В этой части рассматриваются различные свойства отношений, особенно те, которые необходимы для кардинальной арифметики.
Это охватывает определение и основные свойства кардиналов. Кардинал определяется как класс эквивалентности подобных классов (в отличие от ZFC , где кардинал — это особый вид ординала фон Неймана). Каждый тип имеет свой собственный набор кардиналов, связанных с ним, и существует значительный объем бухгалтерии, необходимый для сравнения кардиналов разных типов. PM определяет сложение, умножение и возведение в степень кардиналов и сравнивает различные определения конечных и бесконечных кардиналов. ✱120.03 — это аксиома бесконечности.
«Relation-number» — это класс эквивалентности изоморфных отношений. PM определяет аналоги сложения, умножения и возведения в степень для произвольных отношений. Сложение и умножение аналогичны обычному определению сложения и умножения ординалов в ZFC, хотя определение возведения в степень отношений в PM не эквивалентно обычному определению, используемому в ZFC.
Это охватывает ряды, что является термином PM для того, что теперь называется полностью упорядоченным множеством. В частности, это охватывает полные ряды, непрерывные функции между рядами с топологией порядка (хотя, конечно, они не используют эту терминологию), вполне упорядоченные ряды и ряды без "пробелов" (те, у которых элемент строго между любыми двумя заданными элементами).
В этом разделе строится кольцо целых чисел, поля рациональных и действительных чисел, а также «векторные семейства», которые связаны с тем, что сейчас называется торсорами над абелевыми группами.
В этом разделе сравнивается система в PM с обычными математическими основами ZFC. Система PM примерно сопоставима по силе с теорией множеств Цермело (или, точнее, с ее версией, где аксиома разделения имеет все кванторы ограниченными).
За исключением исправлений опечаток, основной текст PM не менялся между первым и вторым изданиями. Основной текст в томах 1 и 2 был сброшен, так что он занимает меньше страниц в каждом. Во втором издании том 3 не был сброшен, будучи фотографически перепечатан с той же нумерацией страниц; исправления все еще были сделаны. Общее количество страниц (исключая форзацы) в первом издании составляет 1996; во втором — 2000. Том 1 имеет пять новых дополнений:
В 1962 году издательство Кембриджского университета опубликовало сокращенное издание в мягкой обложке, содержащее части второго издания тома 1: новое введение (и старое), основной текст до *56 и приложения A и C.
Первое издание было переиздано в 2009 году издательством Merchant Books, ISBN 978-1-60386-182-3 , ISBN 978-1-60386-183-0 , ISBN 978-1-60386-184-7 .
Эндрю Д. Ирвин говорит, что PM вызвал интерес к символической логике и продвинул предмет, популяризировав его; он продемонстрировал силу и возможности символической логики; и он показал, как достижения в философии математики и символической логике могут идти рука об руку с огромной плодотворностью. [4] PM был отчасти вызван интересом к логицизму , взгляду, согласно которому все математические истины являются логическими истинами. Хотя PM и был несовершенен, он оказал влияние на несколько более поздних достижений в металогике, включая теоремы Гёделя о неполноте . [ требуется ссылка ]
Логическая нотация в PM не получила широкого распространения, возможно, потому, что ее основы часто рассматриваются как форма теории множеств Цермело–Френкеля . [ необходима ссылка ]
Научный, исторический и философский интерес к ПМ велик и не прекращается, и математики продолжают работать с ПМ , как по историческим причинам понимания текста или его авторов, так и для дальнейшего понимания формализаций математики и логики. [ необходима ссылка ]
Современная библиотека поместила «ПМ» на 23-е место в своем списке 100 лучших англоязычных научно-популярных книг двадцатого века. [5]
