Теорема вложения Уитни

Любое гладкое вещественное m-мерное многообразие может быть гладко вложено в вещественное 2m-пространство

В математике , в частности в дифференциальной топологии , существуют две теоремы вложения Уитни, названные в честь Хасслера Уитни :

• Сильная теорема Уитни о вложении утверждает, что любое гладкое вещественное m - мерное многообразие (которое также должно быть хаусдорфовым и счетно-второстепенным ) может быть гладко вложено в вещественное 2 m -пространство , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m},}$ если m > 0. Это наилучшая линейная граница для наименьшей размерности евклидова пространства, в которое вложены все m -мерные многообразия, поскольку вещественные проективные пространства размерности m не могут быть вложены в вещественное (2 m − 1) -пространство, если m является степенью двойки (как можно видеть из характеристического аргумента класса , также принадлежащего Уитни).
• Слабая теорема Уитни о вложении утверждает, что любая непрерывная функция из n -мерного многообразия в m -мерное многообразие может быть аппроксимирована гладким вложением при условии m > 2 n . Уитни аналогичным образом доказал, что такое отображение может быть аппроксимировано погружением при условии m > 2 n − 1 . Этот последний результат иногда называют теоремой Уитни о погружении .

О доказательстве

Теорема слабого вложения

Слабое вложение Уитни доказывается с помощью проекционного аргумента.

Когда многообразие компактно , можно сначала использовать покрытие конечным числом локальных карт, а затем уменьшить размерность с помощью подходящих проекций. ^{[1] : Гл. 1 §3  [2] : Гл. 6  [3] : Гл. 5 §3}

Теорема сильного вложения

Общая схема доказательства заключается в том, чтобы начать с погружения ⁠ ⁠ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} ^{2m}}$ с трансверсальными самопересечениями. Известно, что они существуют из более ранней работы Уитни о теореме о слабом погружении . Трансверсальность двойных точек следует из аргумента общего положения. Идея состоит в том, чтобы затем каким-то образом удалить все самопересечения. Если M имеет границу, можно удалить самопересечения, просто изотопируя M в себя (изотопия находится в области f ), в подмногообразие M , которое не содержит двойных точек. Таким образом, мы быстро приходим к случаю, когда M не имеет границы. Иногда невозможно удалить двойные точки с помощью изотопии — рассмотрим, например, погружение в восьмерку окружности в плоскость. В этом случае нужно ввести локальную двойную точку.

Представляем двойную точку.

Как только у вас есть две противоположные двойные точки, вы строите замкнутую петлю, соединяющую их, давая замкнутый путь в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}.}$ Поскольку ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$ односвязно , можно предположить, что этот путь ограничивает диск, и при условии 2 m > 4 можно далее предположить (по слабой теореме Уитни о вложении ), что диск вложен в ⁠ ⁠ таким образом, что он пересекает образ M только по его границе. Затем Уитни использует диск для создания 1-параметрического семейства погружений, фактически проталкивая M через диск, удаляя две двойные точки в процессе. В случае погружения в виде восьмерки с введенной им двойной точкой движение проталкивания через довольно простое (на фото). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$

Отмена противоположных двойных точек.

Этот процесс устранения двойных точек противоположных знаков путем перемещения многообразия вдоль диска называется трюком Уитни .

Чтобы ввести локальную двойную точку, Уитни создал погружения ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha _{m}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{2m}}$ которые приблизительно линейны вне единичного шара, но содержат одну двойную точку. Для m = 1 такое погружение задается как

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha :\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{2}\\\alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)\end{cases}}}$

Обратите внимание, что если α рассматривать как отображение в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ следующим образом:

${\displaystyle \alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}},0\right)}$

тогда двойную точку можно разрешить до вложения:

${\displaystyle \beta (t,a)=\left({\frac {1}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ t-{\frac {2t}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ {\frac {ta}{(1+t^{2})(1+a^{2})}}\right).}$

Обратите внимание, что β( t , 0) = α( t ) и для a ≠ 0 , тогда как функция t , β( t ,  a ) является вложением.

Для более высоких размерностей m существуют α _m , которые можно аналогичным образом разрешить в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m+1}.}$ Для вложения в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{5},}$ например, определим

${\displaystyle \alpha _{2}(t_{1},t_{2})=\left(\beta (t_{1},t_{2}),\ t_{2}\right)=\left({\frac {1}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{1}-{\frac {2t_{1}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ {\frac {t_{1}t_{2}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{2}\right).}$

Этот процесс в конечном итоге приводит к определению:

${\displaystyle \alpha _{m}(t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m})=\left({\frac {1}{u}},t_{1}-{\frac {2t_{1}}{u}},{\frac {t_{1}t_{2}}{u}},t_{2},{\frac {t_{1}t_{3}}{u}},t_{3},\cdots ,{\frac {t_{1}t_{m}}{u}},t_{m}\right),}$

где

${\displaystyle u=(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})\cdots (1+t_{m}^{2}).}$

Ключевым свойством α _m является то, что это вложение, за исключением двойной точки α _m (1, 0, ... , 0) = α _m (−1, 0, ... , 0) . Более того, для больших |( t ₁ , ... ,  t _m ​​)| это приблизительно линейное вложение (0,  t ₁ , 0,  t ₂ , ... , 0,  t _m ​​) .

Возможные последствия трюка Уитни

Трюк Уитни был использован Стивеном Смейлом для доказательства теоремы о h -кобордизме ; из которой следует гипотеза Пуанкаре в размерностях m ≥ 5 и классификация гладких структур на дисках (также в размерностях 5 и выше). Это дает основу для теории хирургии , которая классифицирует многообразия в размерности 5 и выше.

Для двух ориентированных подмногообразий дополнительных размерностей в односвязном многообразии размерности ≥ 5 можно применить изотопию к одному из подмногообразий так, чтобы все точки пересечения имели одинаковый знак.

История

Говорят , что доказательство Хасслером Уитни теоремы вложения для гладких многообразий (что довольно удивительно) стало первым полным изложением концепции многообразия именно потому, что оно объединило и унифицировало различные концепции многообразий того времени: больше не было никакой путаницы относительно того, являются ли абстрактные многообразия, внутренне определяемые через карты, более или менее общими, чем многообразия, внешне определяемые как подмногообразия евклидова пространства. См. также историю многообразий и многообразий для контекста.

Более четкие результаты

Хотя каждое n -многообразие вкладывается в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$ часто можно добиться большего. Пусть e ( n ) обозначает наименьшее целое число, так что все компактные связные n -многообразия вкладывают в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{e(n)}.}$ Теорема сильного вложения Уитни утверждает, что e ( n ) ≤ 2 n . Для n = 1, 2 мы имеем e ( n ) = 2 n , как показывают окружность и бутылка Клейна . В более общем случае, для n = 2 ^k мы имеем e ( n ) = 2 n , как показывают 2 ^k -мерное вещественное проективное пространство . Результат Уитни можно улучшить до e ( n ) ≤ 2 n − 1 , если только n не является степенью 2. Это результат Андре Хефлигера и Морриса Хирша (для n > 4 ) и CTC Уолла (для n = 3 ); Эти авторы использовали важные предварительные результаты и частные случаи, доказанные Хиршем, Уильямом С. Мэсси , Сергеем Новиковым и Владимиром Рохлиным . ^[4] В настоящее время функция e не известна в замкнутом виде для всех целых чисел (сравните с теоремой Уитни о погружении , где аналогичное число известно).

Ограничения на коллекторы

Можно усилить результаты, наложив дополнительные ограничения на многообразие. Например, n -сфера всегда вкладывается в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$  – что является наилучшим возможным (замкнутые n -многообразия не могут вкладываться в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ). Любая компактная ориентируемая поверхность и любая компактная поверхность с непустым краем вкладывается в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ хотя любая замкнутая неориентируемая поверхность нуждается в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Если N — компактное ориентируемое n -мерное многообразие, то N вкладывается в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-1}}$ (для n, не являющегося степенью 2, условие ориентируемости излишне). Для n, являющегося степенью 2, это результат Андре Хефлигера и Морриса Хирша (для n > 4 ), а также Фуцюаня Фана (для n = 4 ); эти авторы использовали важные предварительные результаты, доказанные Жаком Боша и Хефлигером, Саймоном Дональдсоном , Хиршем и Уильямом С. Мэсси . ^[4] Хефлигер доказал, что если N — компактное n -мерное k -связное многообразие, то N вкладывается в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-k}}$ при условии, что 2 k + 3 ≤ n . ^[4]

Изотопные версии

Относительно «легкий» результат — доказать, что любые два вложения 1-многообразия в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ изотопны (см. Теория узлов#Высшие размерности ). Это доказывается с использованием общего положения, которое также позволяет показать, что любые два вложения n -многообразия в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+2}}$ изотопны. Этот результат является изотопической версией слабой теоремы Уитни о вложении.

Ву доказал, что для n ≥ 2 любые два вложения n -многообразия в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$ изотопны. Этот результат является изотопической версией сильной теоремы Уитни о вложении.

В качестве изотопической версии своего результата о вложении Хефлигер доказал, что если N — компактное n -мерное k -связное многообразие, то любые два вложения N в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-k+1}}$ изотопны при условии 2 k + 2 ≤ n . Ограничение размерности 2 k + 2 ≤ n является точным: Хефлигер продолжил приводить примеры нетривиально вложенных 3-сфер в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$ (и, в более общем смысле, (2 d − 1) -сфер в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3d}}$ ). См. дальнейшие обобщения.

Смотрите также

• Теорема о представлении
• Теорема погружения Уитни
• Теорема вложения Нэша
• Теорема Такенса
• Нелинейное уменьшение размерности
• Универсальное пространство

Примечания

1. Хирш, Моррис В. (1976). Дифференциальная топология . Выпускные тексты по математике. Нью-Йорк Гейдельберг Берлин: Springer . ISBN 978-1-4684-9449-5.
2. Ли, Джон М. (2013). Введение в гладкие многообразия. Graduate texts in Mathematics (2nd ed.). Нью-Йорк; Лондон: Springer. ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC  800646950.
3. Прасолов, Виктор В. (2006). Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии . Провиденс: Американское математическое общество . ISBN 978-1-4704-1153-4.
4. См. раздел 2 Скопенкова (2008)

Ссылки

• Уитни, Хасслер (1992), Иллс, Джеймс ; Толедо, Доминго (ред.), Сборник статей , Бостон: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3560-2
• Милнор, Джон (1965), Лекции по теореме о h -кобордизме , Princeton University Press
• Адачи, Масахиса (1993), Вложения и погружения, перевод Хадсон, Кики, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-4612-4
• Скопенков, Аркадий (2008), "Вложение и заузливание многообразий в евклидовых пространствах", в книге Николаса Янга; Йемон Чой (ред.), Обзоры современной математики , London Math. Soc. Lect. Notes., т. 347, Кембридж: Cambridge University Press , стр. 248–342, arXiv : math/0604045 , Bibcode : 2006math......4045S, MR  2388495

Внешние ссылки

• Классификация вложений