В математике аддитивное обратное число a (иногда называемое противоположностью a ) [ 1] — это число, которое при добавлении к a дает ноль . Операция преобразования числа в его аддитивную инверсию известна как смена знака [2] или отрицание . [3] Для действительного числа оно меняет свой знак : аддитивное обратное (противоположное число) положительному числу является отрицательным, а аддитивное обратное отрицательному числу положительное. Ноль — это аддитивная инверсия самого себя.
Аддитивная обратная величина a обозначается унарным минусом : − a (см. также § Связь с вычитанием ниже). [4] Например, аддитивная обратная 7 равна −7, потому что 7 + (−7) = 0 , а аддитивная обратная к −0,3 равна 0,3, потому что −0,3 + 0,3 = 0 .
Точно так же аддитивным обратным выражением a − b является −( a − b ) , который можно упростить до b − a . Аддитивная обратная 2 x − 3 равна 3 − 2 x , потому что 2 x − 3 + 3 − 2 x = 0 . [5]
Аддитивный обратный элемент определяется как его обратный элемент при двоичной операции сложения (см. Также § Формальное определение ниже), что позволяет широко обобщить математические объекты, отличные от чисел. Как и любая обратная операция, двойная аддитивная обратная операция не имеет итогового эффекта : −(− x ) = x .
Для числа (и вообще в любом кольце ) аддитивную обратную величину можно вычислить путем умножения на −1 ; то есть - n = -1 × n . Примерами колец чисел являются целые числа , рациональные числа , действительные числа и комплексные числа .
Аддитивное обратное тесно связано с вычитанием , которое можно рассматривать как сложение противоположного:
И наоборот, аддитивное обратное можно рассматривать как вычитание из нуля:
Следовательно, унарное обозначение знака минус можно рассматривать как сокращение для вычитания (без символа «0»), хотя в правильной типографике не должно быть пробела после унарного «-».
Помимо перечисленных выше тождеств, отрицание обладает следующими алгебраическими свойствами:
Обозначение + обычно зарезервировано для коммутативных двоичных операций (операций, где x + y = y + x для всех x , y ). Если такая операция допускает единичный элемент o (такой, что x + o ( = o + x ) = x для всех x ), то этот элемент уникален ( o ′ = o ′ + o = o ). Для данного x , если существует x ′ такой, что x + x ′ ( = x ′ + x ) = o , то x ′ называется аддитивным обратным x .
Если + ассоциативно , т. е. ( x + y ) + z = x + ( y + z ) для всех x , y , z , то аддитивное обратное единственное. Чтобы убедиться в этом, пусть x ′ и x″ являются аддитивными инверсиями x ; затем
Например, поскольку сложение действительных чисел ассоциативно, каждое действительное число имеет уникальное аддитивное обратное число.
Все следующие примеры на самом деле являются абелевыми группами :
Натуральные числа , кардинальные числа и порядковые числа не имеют аддитивных обратных значений в своих соответствующих наборах . Таким образом, можно сказать, например, что натуральные числа имеют аддитивные обратные, но поскольку эти аддитивные обратные числа сами по себе не являются натуральными числами, множество натуральных чисел не замкнуто относительно аддитивных обратных.
... чтобы получить аддитивный обратный член, мы меняем знак числа.