Аффинная алгебра Ли

В математике аффинная алгебра Ли — это бесконечномерная алгебра Ли , построенная каноническим образом из конечномерной простой алгебры Ли . Учитывая аффинную алгебру Ли, можно также сформировать связанную с ней аффинную алгебру Каца-Муди, как описано ниже. С чисто математической точки зрения аффинные алгебры Ли интересны тем, что их теория представлений , как и теория представлений конечномерных полупростых алгебр Ли , гораздо лучше понятна, чем теория общих алгебр Каца – Муди. Как заметил Виктор Кац , формула характера для представлений аффинных алгебр Ли подразумевает определенные комбинаторные тождества, тождества Макдональда .

Аффинные алгебры Ли играют важную роль в теории струн и двумерной конформной теории поля из-за способа их построения: начиная с простой алгебры Ли рассматривается алгебра петель , , образованная -значными функциями на окружности (интерпретируемая как замкнутая струна) с поточечным коммутатором. Аффинная алгебра Ли получается путем добавления к петлевой алгебре одного дополнительного измерения и нетривиальной модификации коммутатора, который физики называют квантовой аномалией (в данном случае аномалией модели WZW ), а математики — центральным расширением . В более общем смысле, если σ является автоморфизмом простой алгебры Ли, ассоциированным с автоморфизмом ее диаграммы Дынкина , алгебра скрученных петель состоит из -значных функций f на вещественной прямой, которые удовлетворяют скрученному условию периодичности f ( x + 2 π ) = σ ж ( Икс ) . Их центральными расширениями являются в точности скрученные аффинные алгебры Ли . Точка зрения теории струн помогает понять многие глубокие свойства аффинных алгебр Ли, такие как тот факт, что характеры их представлений преобразуются между собой под действием модулярной группы . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle L{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle L_{\sigma }{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Аффинные алгебры Ли из простых алгебр Ли

Определение

Если — конечномерная простая алгебра Ли, соответствующая аффинная алгебра Ли строится как центральное расширение алгебры петель с одномерным центром. Как векторное пространство, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } c.}$

${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {g}}}={\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]\oplus \mathbb {\mathbb {C} } c,}$

где – комплексное векторное пространство полиномов Лорана от неопределенного t . Скобка Ли определяется по формуле ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]}$

${\displaystyle [a\otimes t^{n}+\alpha c,b\otimes t^{m}+\beta c]=[a,b]\otimes t^{n+m}+\langle a|b\rangle n\delta _{m+n,0}c}$

для всех и , где – скобка Ли в алгебре Ли и – форма Картана-Киллинга на ${\displaystyle a,b\in {\mathfrak {g}},\alpha ,\beta \in \mathbb {\mathbb {C} } }$ ${\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

Аффинная алгебра Ли, соответствующая конечномерной полупростой алгебре Ли, представляет собой прямую сумму аффинных алгебр Ли, соответствующих ее простым слагаемым. Существует выдающийся вывод аффинной алгебры Ли, определяемой формулой

${\displaystyle \delta (a\otimes t^{m}+\alpha c)=t{d \over dt}(a\otimes t^{m}).}$

Соответствующая аффинная алгебра Каца – Муди определяется как полупрямое произведение путем добавления дополнительного генератора d , который удовлетворяет условию [ d , A ] = δ ( A ).

Построение диаграмм Дынкина

Диаграмма Дынкина каждой аффинной алгебры Ли состоит из диаграммы соответствующей простой алгебры Ли плюс дополнительный узел, который соответствует добавлению мнимого корня. Конечно, такой узел не может быть присоединен к диаграмме Дынкина в любом месте, но для каждой простой алгебры Ли существует число возможных присоединений, равное мощности группы внешних автоморфизмов алгебры Ли. В частности, эта группа всегда содержит единицу, а соответствующая аффинная алгебра Ли называется раскрученной аффинной алгеброй Ли. Когда простая алгебра допускает автоморфизмы, не являющиеся внутренними автоморфизмами, можно получить другие диаграммы Дынкина, соответствующие скрученным аффинным алгебрам Ли.

Классификация центральных расширений

Присоединение дополнительного узла к диаграмме Дынкина соответствующей простой алгебры Ли соответствует следующей конструкции. Аффинную алгебру Ли всегда можно построить как центральное расширение алгебры петель соответствующей простой алгебры Ли. Если вместо этого кто-то хочет начать с полупростой алгебры Ли, то необходимо централизованно расширить его на количество элементов, равное числу простых компонентов полупростой алгебры. В физике вместо этого часто рассматривают прямую сумму полупростой алгебры и абелевой алгебры . В этом случае также необходимо добавить еще n центральных элементов для n абелевых образующих. ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$

Вторая целая когомология группы петель соответствующей простой компактной группы Ли изоморфна целым числам. Центральные расширения аффинной группы Ли с помощью одного образующего представляют собой топологически расслоения окружностей над этой группой свободных петель, которые классифицируются двумя классами, известными как первый класс Черна расслоения . Поэтому центральные расширения аффинной группы Ли классифицируются по одному параметру k , который в физической литературе, где он впервые появился, называется уровнем . Унитарные представления аффинных компактных групп со старшим весом существуют только тогда, когда k — натуральное число. В более общем смысле, если рассматривать полупростую алгебру, у каждого простого компонента есть центральный заряд.

Состав

Базис Картана – Вейля

Как и в конечном случае, определение базиса Картана–Вейля является важным шагом в определении структуры аффинных алгебр Ли.

Зафиксируйте конечномерную простую комплексную алгебру Ли с подалгеброй Картана и определенной системой корней . Вводя обозначение , можно попытаться расширить базис Картана–Вейля для до базиса аффинной алгебры Ли, заданной , с образованием абелевой подалгебры. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle X_{n}=X\otimes t^{n},}$ ${\displaystyle \{H^{i}\}\cup \{E^{\alpha }|\alpha \in \Delta \}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \{H_{n}^{i}\}\cup \{c\}\cup \{E_{n}^{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \{H_{0}^{i}\}\cup \{c\}}$

Собственные значения и on равны и соответственно и независимо от . Поэтому корень бесконечно вырожден относительно этой абелевой подалгебры. Добавление описанного выше вывода к абелевой подалгебре превращает абелеву подалгебру в подалгебру Картана для аффинной алгебры Ли с собственными значениями для ${\displaystyle ad(H_{0}^{i})}$ ${\displaystyle ad(c)}$ ${\displaystyle E_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha ^{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\alpha ^{1},\cdots ,\alpha ^{dim{\mathfrak {h}}},0,n)}$ ${\displaystyle E_{n}^{\alpha }.}$

Убийственная форма

Форму Киллинга можно почти полностью определить, используя ее свойство инвариантности. Используя обозначения формы Киллинга и формы Киллинга на аффинной алгебре Каца – Муди, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle {\hat {B}}(X_{n},Y_{m})=B(X,Y)\delta _{n+m,0},}$$

$${\displaystyle {\hat {B}}(X_{n},c)=0,{\hat {B}}(X_{n},d)=0}$$

$${\displaystyle {\hat {B}}(c,c)=0,{\hat {B}}(c,d)=1,{\hat {B}}(d,d)=0,}$$

${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle c,d}$ ${\displaystyle (+,-)}$

Запишите аффинный корень, связанный с как . Определив , это можно переписать ${\displaystyle E_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}=(\alpha ;0;n)}$ ${\displaystyle \delta =(0,0,1)}$

$${\displaystyle {\hat {\alpha }}=\alpha +n\delta .}$$

Полный набор корней

$${\displaystyle {\hat {\Delta }}=\{\alpha +n\delta |n\in \mathbb {Z} ,\alpha \in \Delta \}\cup \{n\delta |n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\}.}$$

${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (\delta ,\delta )=0}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$

Аффинный простой корень

Чтобы получить основу простых корней для аффинной алгебры, необходимо добавить дополнительный простой корень, который определяется выражением

$${\displaystyle \alpha _{0}=-\theta +\delta }$$

матрицу Картанадиаграммы Дынкина ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Теория представлений

Теория представлений аффинных алгебр Ли обычно разрабатывается с использованием модулей Верма . Как и в случае полупростых алгебр Ли, это модули старшего веса . Конечномерных представлений не существует; это следует из того, что нулевые векторы конечномерного модуля Верма обязательно равны нулю; тогда как для аффинных алгебр Ли это не так. Грубо говоря, это следует из того, что форма Киллинга является лоренцевой по направлениям, поэтому ее иногда называют «координатами светового конуса» на струне. «Радиально упорядоченные» продукты оператора тока можно понимать как времяподобные нормальные упорядоченные, если учитывать времяподобное направление вдоль мирового листа струн и пространственное направление. ${\displaystyle c,\delta }$ ${\displaystyle (z,{\bar {z}})}$ ${\displaystyle z=\exp(\tau +i\sigma )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

Вакуумное представление ранга k

Более детально представления строятся следующим образом. ^[1]

Исправьте алгебру и базис Ли . Тогда — базис соответствующей алгебры петель и базис аффинной алгебры Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \{J^{\rho }\}}$ ${\displaystyle \{J_{n}^{\rho }\}=\{J^{\rho }\otimes t^{n}\}}$ ${\displaystyle \{J_{n}^{\rho }\}\cup \{c\}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$

Вакуумное представление ранга ${\displaystyle k}$ , обозначаемое где – комплексное представление с базисом ${\displaystyle V_{k}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \{v_{n_{1}\cdots n_{m}}^{\rho _{1}\cdots \rho _{m}}:n_{1}\geq \cdots \geq n_{m}\geq 1,\rho _{1}\leq \cdots \leq \rho _{m}\}\cup \{\Omega \}}$$

${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle V=V_{k}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle n>0}$

$${\displaystyle c=k{\text{id}}_{V},\,J_{n}^{\rho }\Omega =0,}$$

$${\displaystyle J_{-n}^{\rho }\Omega =v_{n}^{\rho }\,J_{-n}^{\rho }v_{n_{1}\cdots n_{m}}^{\rho _{1}\cdots \rho _{m}}=v_{nn_{1}\cdots n_{m}}^{\rho \rho _{1}\cdots \rho _{m}}.}$$

Аффинная вершинная алгебра

Вакуумное представление фактически может быть оснащено структурой вершинной алгебры, и в этом случае оно называется аффинной вершинной алгеброй ранга ${\displaystyle k}$ . Аффинная алгебра Ли естественным образом расширяется до алгебры Каца – Муди, дифференциал которой представлен оператором сдвига в вершинной алгебре. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle T}$

Группа Вейля и персонажи

Группу Вейля аффинной алгебры Ли можно записать как полупрямое произведение группы Вейля алгебры нулевой моды (алгебры Ли, используемой для определения алгебры петель ) и решетки кокорней.

Формула характера Вейля алгебраических характеров аффинных алгебр Ли обобщается до формулы характера Вейля-Каца . Из них следует ряд интересных конструкций. Можно построить обобщения тэта -функции Якоби . Эти тэта-функции преобразуются в модульную группу . Обычные тождества знаменателя полупростых алгебр Ли также обобщают; поскольку символы могут быть записаны как «деформации» или q-аналоги высших весов, это привело ко многим новым комбинаторным тождествам, включая многие ранее неизвестные тождества для эта-функции Дедекинда . Эти обобщения можно рассматривать как практический пример программы Ленглендса .

Приложения

Благодаря конструкции Сугавары универсальная обертывающая алгебра любой аффинной алгебры Ли имеет алгебру Вирасоро в качестве подалгебры. Это позволяет аффинным алгебрам Ли служить алгебрами симметрии конформных теорий поля, таких как модели WZW или модели смежных классов. Как следствие, аффинные алгебры Ли также появляются в описании теории струн на мировом листе .

Пример

Алгебра Гейзенберга ^[2], определяемая генераторами, удовлетворяющими коммутационным соотношениям ${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle [a_{m},a_{n}]=m\delta _{m+n,0}c}$$

${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}(1)}$

Рекомендации

1. Шоттенлохер, Мартин (11 сентября 2008 г.). Математическое введение в конформную теорию поля. Конспект лекций по физике. Том. 759 (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. стр. 196–7. дои : 10.1007/978-3-540-68628-6. ISBN 978-3-540-68625-5. Проверено 16 января 2023 г.
2. П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля , 1997, ISBN 0-387-94785-X 

• Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-Х
• Годдард, Питер ; Олив, Дэвид (1988), Алгебры Каца-Муди и Вирасоро: Переиздание для физиков , Расширенная серия по математической физике, том. 3, Всемирный научный, ISBN 9971-5-0419-7
• Кац, Виктор (1990), Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-46693-8
• Коно, Тошитаке (1998), Конформная теория поля и топология , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2130-Х
• Прессли, Эндрю; Сигал, Грэм (1986), Группы циклов , Oxford University Press, ISBN 0-19-853535-Х