Парадокс распределения — это ситуация, когда распределение (правило деления дискретных объектов в соответствии с некоторым пропорциональным отношением ) приводит к результатам, которые нарушают понятия здравого смысла или справедливости .
Некоторые количества, например, молоко, можно разделить в любой пропорции; другие, например, лошадей, нельзя — подойдут только целые числа. В последнем случае существует внутреннее напряжение между желанием как можно точнее соблюдать правило пропорции и ограничением, ограничивающим размер каждой порции дискретными значениями.
Было выявлено несколько парадоксов, связанных с распределением и справедливым разделом . В некоторых случаях простые корректировки методологии распределения могут разрешить наблюдаемые парадоксы. Однако, как показывает теорема Балински–Янга, не всегда возможно предоставить совершенно справедливое решение, которое удовлетворяет всем конкурирующим критериям справедливости. [1] : 227–235
Пример парадокса распределения, известного как « парадокс Алабамы », был обнаружен в контексте распределения мест в Конгрессе США в 1880 году, [1] : 228–231, когда расчеты переписи населения показали, что если бы общее количество мест в Палате представителей было гипотетически увеличено, это уменьшило бы количество мест Алабамы с 8 до 7. Реальное влияние наблюдалось в 1900 году, когда Вирджиния уступила место Мэну, хотя население Вирджинии росло быстрее: это пример парадокса населения. [1] : 231–232 В 1907 году, когда Оклахома стала штатом, Нью-Йорк уступил место Мэну, отсюда и название «парадокс нового штата». [1] : 232–233 [2]
Метод распределения, использовавшийся в этот период, первоначально предложенный Александром Гамильтоном , но наложенный вето Джорджем Вашингтоном и принятый только в 1852 году, [1] : 228 был следующим:
Метод Гамильтона заменил метод округления, предложенный Томасом Джефферсоном , [1] : 228 , и сам был заменен методом Хантингтона–Хилла в 1941 году. [1]
Парадокс Алабамы был первым из обнаруженных парадоксов распределения. Палата представителей США по конституции обязана распределять места на основе подсчета населения, который требуется проводить каждые 10 лет. Размер Палаты устанавливается законом.
После переписи 1880 года , CW Seaton, главный клерк Бюро переписи населения США , рассчитал распределение для всех размеров Палаты представителей от 275 до 350 и обнаружил, что Алабама получит восемь мест при размере Палаты представителей 299, но только семь при размере Палаты представителей 300. [1] : 228–231 В целом термин «парадокс Алабамы» относится к любому сценарию распределения, при котором увеличение общего числа пунктов приведет к уменьшению одной из долей. Аналогичное упражнение Бюро переписи населения после переписи 1900 года рассчитало распределение для всех размеров Палаты представителей от 350 до 400: Колорадо получило бы три места во всех случаях, за исключением случая с размером Палаты представителей 357, в котором оно получило бы два. [3]
Ниже приведен упрощенный пример (согласно методу наибольшего остатка ) с тремя штатами и 10 местами и 11 местами.
Обратите внимание, что доля государства C уменьшается с 2 до 1 с добавлением места.
В этом примере увеличения числа мест на 10% доля каждого штата увеличивается на 10%. Однако увеличение числа мест на фиксированный % увеличивает справедливую долю больше для больших чисел (т. е. для больших штатов больше, чем для малых). В частности, у больших A и B справедливая доля увеличивалась быстрее, чем у малых C. Поэтому дробные части для A и B увеличивались быстрее, чем для C. Фактически, они обогнали дробную часть C, в результате чего C потерял свое место, поскольку метод Гамильтона распределяет в соответствии с тем, какие штаты имеют наибольший дробный остаток.
Парадокс Алабамы породил аксиому, известную как монотонность домов , которая гласит, что при увеличении размера домов распределения всех штатов должны слабо увеличиваться.
Парадокс населения является контринтуитивным результатом некоторых процедур распределения. Когда в двух штатах население растет с разной скоростью, небольшой штат с быстрым ростом может потерять место в законодательном органе в пользу большого штата с более медленным ростом.
Некоторые из ранних методов распределения Конгресса, такие как Гамильтон, могли бы продемонстрировать парадокс населения. В 1900 году Вирджиния уступила место Мэну, хотя население Вирджинии росло быстрее. [1] : 231–232 Однако методы делителей, такие как текущий метод, этого не делают. [ необходима цитата ]
Учитывая фиксированное количество представителей (определяемое Палатой представителей США), добавление нового штата теоретически сократит количество представителей для существующих штатов, поскольку в соответствии с Конституцией США каждый штат имеет право на по крайней мере одного представителя независимо от его населения. Кроме того, даже если количество членов Палаты представителей увеличится на количество представителей в новом штате, уже существующий штат может потерять место из-за того, как конкретные правила распределения касаются методов округления. В 1907 году, когда Оклахома стала штатом, ей была предоставлена справедливая доля мест, и общее количество мест увеличилось на это число. Палата увеличилась с 386 до 391 члена. Перерасчет распределения повлиял на количество мест из-за других штатов: Нью-Йорк потерял место, а Мэн получил одно. [1] : 232–233 [2]
Парадокс Алабамы породил аксиому, известную как согласованность , которая гласит, что всякий раз, когда правило распределения активируется в подмножестве штатов с подмножеством мест, выделенных им, результат должен быть таким же, как и в великом решении.
В 1983 году два математика, Мишель Балински и Пейтон Янг , доказали, что любой метод распределения, не нарушающий правило квот , приведет к парадоксам, когда есть четыре или более партий (или штатов, регионов и т. д.). [4] [5] Точнее, их теорема утверждает, что не существует системы распределения, которая имеет следующие свойства для более чем трех штатов [1] : 233–234 (в качестве примера мы возьмем разделение мест между партиями в системе пропорционального представительства ):
Следует отметить, что любой метод распределения, свободный от парадокса населения, всегда будет свободен от парадокса Алабамы. Однако обратное неверно. Метод Вебстера может быть свободен от непоследовательности и поддерживать квоту, когда есть три штата. Все разумные методы удовлетворяют обоим критериям в тривиальном случае двух штатов. [4] [5]
Они демонстрируют доказательство невозможности : методы распределения могут обладать подмножеством этих свойств, но не могут обладать всеми из них:
Разделение мест на выборах является важной культурной проблемой. В 1876 году президентские выборы в США стали решающим фактором в методе расчета оставшейся доли. Резерфорд Хейс получил 185 голосов коллегии выборщиков, а Сэмюэл Тилден — 184. Тилден победил по результатам всенародного голосования. При другом методе округления окончательный подсчет голосов коллегии выборщиков был бы обратным. [1] : 228 Однако возникает много математически аналогичных ситуаций, в которых количества должны быть разделены на дискретные равные части. [1] : 233 Теорема Балински–Янга применима в этих ситуациях: она показывает, что, хотя можно сделать очень разумные приближения, не существует математически строгого способа примирить небольшую оставшуюся долю, соблюдая при этом все конкурирующие элементы справедливости. [1] : 233 В целом, ответ математиков состоял в том, чтобы отказаться от правила квот как от менее важного свойства, приняв, что ошибки распределения иногда могут немного превышать одно место.
Метод может следовать квоте и быть свободным от парадокса Алабамы. Балински и Янг сконструировали метод, который делает это, хотя он не является общепринятым политическим использованием. [7]
{{cite journal}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на июль 2024 г. ( ссылка )