Площадь треугольника

Площадь треугольника можно показать, например, с помощью равенства треугольников , как половину площади параллелограмма , имеющего ту же длину основания и высоту.

Графический вывод формулы , позволяющий избежать обычной процедуры удвоения площади треугольника и последующего деления ее пополам. ${\displaystyle T={\frac {h}{2}}b}$

В геометрии вычисление площади треугольника является элементарной задачей, часто встречающейся во многих различных ситуациях. Наиболее известная и простая формула: где b — длина основания треугольника, а h — высота или высота треугольника. Термин «основание» обозначает любую сторону, а «высота» обозначает длину перпендикуляра из вершины, противоположной основанию, на линию, содержащую основание. Евклид доказал , что площадь треугольника равна половине площади параллелограмма с тем же основанием и высотой в своей книге « Элементы» в 300 г. до н. э. ^[1] В 499 г. н. э. Арьябхата использовал этот иллюстрированный метод в « Арьябхатии» (раздел 2.6). ^[2] ${\displaystyle T=bh/2,}$

Хотя эта формула проста, она полезна только в том случае, если высоту можно легко найти, что не всегда так. Например, землемер треугольного поля может обнаружить, что относительно легко измерить длину каждой стороны, но относительно сложно построить «высоту». На практике могут использоваться различные методы в зависимости от того, что известно о треугольнике. Другие часто используемые формулы для площади треугольника используют тригонометрию , длины сторон ( формула Герона ), векторы, координаты , линейные интегралы , теорему Пика или другие свойства. ^[3]

История

Герон Александрийский нашел то, что известно как формула Герона для площади треугольника через его стороны, и доказательство можно найти в его книге «Метрика» , написанной около 60 г. н. э. Было высказано предположение, что Архимед знал формулу более двух столетий назад, ^[4] и поскольку «Метрика» представляет собой собрание математических знаний, доступных в древнем мире, возможно, что формула предшествовала ссылке, приведенной в этой работе. ^[5] В 300 г. до н. э. греческий математик Евклид доказал, что площадь треугольника равна половине площади параллелограмма с тем же основанием и высотой в своей книге « Элементы геометрии» . ^[6]

В 499 году Арьябхата , великий математик - астроном классической эпохи индийской математики и индийской астрономии , выразил площадь треугольника как половину основания, умноженного на высоту в « Арьябхатии» . ^[7]

Формула, эквивалентная формуле Герона, была открыта китайцами независимо от греков. Она была опубликована в 1247 году в Шушу Цзючжан (« Математический трактат в девяти разделах »), написанном Цинь Цзюшао . ^[8]

Использование тригонометрии

Применяем тригонометрию для нахождения высоты h .

Высоту треугольника можно найти с помощью тригонометрии .

Знание SAS (сторона-угол-сторона)

Используя метки на изображении справа, высота равна h = a sin ${\displaystyle \gamma }$ . Подставляя это в формулу, полученную выше, площадь треугольника можно выразить как: ${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}bh}$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\tfrac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\tfrac {1}{2}}ca\sin \beta }$

(где α — внутренний угол в точке A , β — внутренний угол в точке B , — внутренний угол в точке C , а c — линия AB ). ${\displaystyle \gamma }$

Кроме того, поскольку sin α = sin ( π − α) = sin (β + ), и аналогично для двух других углов: ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\tfrac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\tfrac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).}$

Знание ААС (угол-угол-сторона)

${\displaystyle T={\frac {b^{2}(\sin \alpha )(\sin(\alpha +\beta ))}{2\sin \beta }},}$

и аналогично, если известная сторона равна a или c .

Знание ASA (угол-сторона-угол)

${\displaystyle T={\frac {a^{2}}{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}={\frac {a^{2}(\sin \beta )(\sin \gamma )}{2\sin(\beta +\gamma )}},}$

и аналогично, если известная сторона равна b или c . ^[9]

Используя длины сторон (формула Герона)

Форма треугольника однозначно определяется длинами сторон, поэтому его метрические свойства, включая площадь, можно описать через эти длины. По формуле Герона ,

${\displaystyle T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

где — полупериметр , или половина периметра треугольника. ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

Три других эквивалентных способа записи формулы Герона:

${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.\end{aligned}}}$

Формулы, напоминающие формулу Герона

Три формулы имеют ту же структуру, что и формула Герона, но выражены через разные переменные. Во-первых, обозначив медианы от сторон a , b , и c соответственно как m _a , m _b , и m _{c ,} а их полусумму ( m _a + m _b + m _c )/2 как σ, имеем ^[10]

${\displaystyle T={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}$

Далее, обозначая высоты сторон a , b и c соответственно как h _a , h _b и h _c , а полусумму обратных величин высот обозначив так, имеем ^[11] ${\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}$

${\displaystyle T^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

И обозначив полусумму синусов углов как S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2 , имеем ^[12]

${\displaystyle T=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}}$

где D — диаметр описанной окружности : ${\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.}$

Использование векторов

Площадь треугольника АВС составляет половину площади параллелограмма :

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\bigl \|}(\mathbf {b} -\mathbf {a} )\wedge (\mathbf {c} -\mathbf {a} ){\bigr \|}={\tfrac {1}{2}}{\bigl \|}\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} +\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} +\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} {\bigr \|},}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ , и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ — векторы к вершинам треугольника из любой произвольной точки начала координат, так что ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {b} -\mathbf {a} }$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {c} -\mathbf {a} }$ — векторы переноса из вершины ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ в каждую из остальных, а ⁠ ⁠ ${\displaystyle \wedge }$ — произведение клиньев . Если вершина ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ принимается за начало координат, это упрощается до . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} \|}$

Ориентированная относительная площадь параллелограмма в любом аффинном пространстве, тип бивектора , определяется как ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }$ где ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — векторы переноса из одной вершины параллелограмма в каждую из двух смежных вершин. В евклидовом пространстве величина этого бивектора — это хорошо определенное скалярное число, представляющее площадь параллелограмма. (Для векторов в трехмерном пространстве бивекторно-значное клиновое произведение имеет ту же величину, что и векторно-значное векторное векторное произведение , но в отличие от перекрестного произведения, которое определено только в трехмерном евклидовом пространстве, клиновое произведение хорошо определено в аффинном пространстве любой размерности.)

Площадь треугольника ABC также может быть выражена через скалярные произведения . Принимая вершину ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ за начало координат и вызывая векторы переноса к другим вершинам ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ,

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\mathbf {b} ^{2}\mathbf {c} ^{2}-(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )^{2}}},}$

где для любого евклидова вектора . ^[13] Эту формулу площади можно вывести из предыдущей с помощью элементарного векторного тождества . ${\displaystyle \mathbf {v} ^{2}=\|\mathbf {v} \|^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{2}\mathbf {v} ^{2}=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}+\|\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \|^{2}}$

В двумерном евклидовом пространстве для вектора ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ с координатами ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$ и вектора ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ с координатами ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$ величина клинового произведения равна

${\displaystyle \|\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} \|=|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}$

(См. следующий раздел.)

Использование координат

Если вершина A расположена в начале координат (0, 0) декартовой системы координат , а координаты двух других вершин заданы как B = ( x _B , y _B ) и C = ( x _C , y _C ) , то площадь можно вычислить как 1 ⁄ 2 , умноженное на абсолютное значение определителя

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\tfrac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}$

Для трех общих вершин уравнение имеет вид:

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\tfrac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}+x_{B}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}{\big |},}$

что можно записать как

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\big |}(x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{A})-(x_{A}-x_{B})(y_{C}-y_{A}){\big |}.}$

Если точки помечены последовательно в направлении против часовой стрелки, то приведенные выше определительные выражения положительны и знаки абсолютных значений можно опустить. ^[14] Приведенная выше формула известна как формула шнурка или формула геодезиста.

Если мы найдем вершины на комплексной плоскости и обозначим их в последовательности против часовой стрелки как a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i , и c = x _C + y _C i , а их комплексно-сопряженные числа обозначим как , , и , то формула ${\displaystyle {\bar {a}}}$ ${\displaystyle {\bar {b}}}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$

${\displaystyle T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c}}&1\end{vmatrix}}}$

эквивалентна формуле шнуровки.

В трех измерениях площадь треугольника общего вида A = ( x _A , y _A , z _A ) , B = ( x _B , y _B , z _B ) и C = ( x _C , y _C , z _C ) представляет собой пифагорейскую сумму площадей соответствующих проекций на три главные плоскости (т. е. x = 0, y = 0 и z = 0):

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}}}.}$

Использование линейных интегралов

Площадь внутри любой замкнутой кривой, такой как треугольник, определяется линейным интегралом вокруг кривой алгебраического или знакового расстояния точки на кривой от произвольно ориентированной прямой линии L. Точки справа от L по ориентации считаются находящимися на отрицательном расстоянии от L , в то время как вес для интеграла принимается равным компоненту длины дуги, параллельной L , а не самой длине дуги.

Этот метод хорошо подходит для вычисления площади произвольного многоугольника . Принимая L за ось x , линейный интеграл между последовательными вершинами ( x _i , y _i ) и ( x _{i +1} , y _{i +1} ) определяется как основание, умноженное на среднюю высоту, а именно ( x _{i +1} − x _i )( y _i + y _{i +1} )/2 . Знак площади является общим индикатором направления обхода, причем отрицательная площадь указывает на обход против часовой стрелки. Площадь треугольника тогда выпадает как случай многоугольника с тремя сторонами.

Хотя метод линейного интеграла имеет общее с другими методами, основанными на координатах, произвольное решение системы координат, в отличие от других он не делает произвольного выбора вершины треугольника в качестве начала или стороны в качестве основания. Более того, выбор системы координат, определяемой L, обязывает только к двум степеням свободы вместо обычных трех, поскольку вес является локальным расстоянием (например, x _{i +1} − x _i в приведенном выше примере), поэтому метод не требует выбора оси, нормальной к L.

При работе в полярных координатах нет необходимости преобразовываться в декартовы координаты для использования линейного интегрирования, поскольку линейное интеграл между последовательными вершинами ( r _i ,θ _i ) и ( r _{i +1} ,θ _{i +1} ) многоугольника напрямую задается как r _i r _{i +1} sin(θ _{i +1} − θ _i )/2 . Это справедливо для всех значений θ, с некоторым уменьшением числовой точности, когда |θ| на много порядков больше π. При такой формулировке отрицательная площадь указывает на обход по часовой стрелке, что следует иметь в виду при смешивании полярных и декартовых координат. Так же, как выбор оси y ( x = 0 ) несущественен для линейного интегрирования в декартовых координатах, так и выбор нулевого направления ( θ = 0 ) здесь несущественен.

Используя теорему Пика

Метод нахождения площади любого произвольного решетчатого многоугольника (нарисованного на сетке с вертикально и горизонтально смежными узлами решетки, находящимися на равном расстоянии, и с вершинами в узлах решетки) см. в теореме Пика .

Теорема гласит:

${\displaystyle T=I+{\tfrac {1}{2}}B-1}$

где — число внутренних точек решетки, а B — число точек решетки, лежащих на границе многоугольника. ${\displaystyle I}$

Другие формулы площади

Существуют и другие многочисленные формулы площади, такие как

${\displaystyle T=r\cdot s,}$

где r — радиус вписанной окружности , а s — полупериметр (на самом деле, эта формула справедлива для всех касательных многоугольников ), и ^{[15] : Лемма 2}

${\displaystyle T=r_{a}(s-a)=r_{b}(s-b)=r_{c}(s-c)}$

где — радиусы вневписанных окружностей , касающихся сторон a, b, c соответственно. ${\displaystyle r_{a},\,r_{b},\,r_{c}}$

У нас также есть

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}D^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )(\sin \gamma )}$

и ^[16]

${\displaystyle T={\frac {abc}{2D}}={\frac {abc}{4R}}}$

для окружности D ; и ^[17]

${\displaystyle T={\tfrac {1}{4}}(\tan \alpha )(b^{2}+c^{2}-a^{2})}$

для угла α ≠ 90°.

Площадь также можно выразить как ^[18]

${\displaystyle T={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$

В 1885 году Бейкер ^[19] дал коллекцию из более чем сотни различных формул площади для треугольника. Они включают:

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c}}},}$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}},}$

${\displaystyle T={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}},}$

${\displaystyle T={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}}$

для радиуса описанной окружности (радиуса описанной окружности) R , и

${\displaystyle T={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin \gamma }}.}$

Верхняя граница области

Площадь T любого треугольника с периметром p удовлетворяет условию

${\displaystyle T\leq {\tfrac {p^{2}}{12{\sqrt {3}}}},}$

причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний. ^{[20] [21] : 657}

Другие верхние границы области T приведены в ^{[22] : стр.290.}

${\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

и

${\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq {\frac {9abc}{a+b+c}},}$

оба условия выполняются тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.

Разделение области пополам

Существует бесконечно много линий, которые делят площадь треугольника пополам . ^[23] Три из них являются медианами, которые являются единственными биссектрисами площади, проходящими через центроид. Три другие биссектрисы площади параллельны сторонам треугольника.

Любая линия, проходящая через треугольник, которая делит пополам и площадь треугольника, и его периметр, проходит через инцентр треугольника. Для любого заданного треугольника их может быть один, два или три.

Смотрите также

• Площадь круга
• Равенство треугольников

Ссылки

1. "Доказательство теоремы Пифагора Евклида | Synaptic". Центральный колледж . Получено 2023-07-12 .
2. «Арьябхатия» Арьябхаты (переведено на английский язык Уолтером Юджином Кларком , 1930 г.), размещено в Интернете в Архиве Интернета .
3. Вайсштейн, Эрик В. "Площадь треугольника". MathWorld .
4. Хит, Томас Л. (1921). История греческой математики (т. II) . Oxford University Press. стр. 321–323.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Формула Герона». MathWorld .
6. "Доказательство теоремы Пифагора Евклида | Synaptic". Центральный колледж . Получено 2023-07-12 .
7. Кларк, Уолтер Юджин (1930). Арьябхатия Арьябхаты: Древний индийский труд по математике и астрономии (PDF) . Издательство Чикагского университета. стр. 26.
8. Сюй, Вэньвэнь; Юй, Нин (май 2013 г.). «Мост назван в честь математика, открывшего китайскую теорему об остатках» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 60 (5): 596–597.
9. Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник». Математический мир .
10. Беньи, Арпад, «Формула типа Герона для треугольника», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., 324–326.
11. Митчелл, Дуглас В., «Формула типа Герона для обратной площади треугольника», Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 494.
12. Митчелл, Дуглас У., «Формула площади типа Герона в терминах синусов», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 108–109.
13. Величина ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{2}}$ представляет собой геометрическое произведение вектора ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ на самого себя.
14. Bart Braden (1986). "The Surveyor's Area Formula" (PDF) . The College Mathematics Journal . 17 (4): 326–337. doi :10.2307/2686282. JSTOR  2686282. Архивировано из оригинала (PDF) 5 ноября 2003 г. . Получено 5 января 2012 г. .
15. «Сандор Надьдобаи Киш, «Расстояние точки Фейербаха и ее расширения», Forum Geometricorum 16, 2016, 283–290» (PDF) .
16. "Circumradius". AoPSWiki . Архивировано из оригинала 20 июня 2013 . Получено 26 июля 2012 .
17. Митчелл, Дуглас У., «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 93, июль 2009 г., 306–309.
18. Патан, Алекс и Тони Колльер, «Повторный взгляд на свойства площади треугольников», Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 495–497.
19. Бейкер, Маркус, «Сборник формул для площади плоского треугольника», Annals of Mathematics , часть 1 в т. 1(6), январь 1885 г., 134–138; часть 2 в т. 2(1), сентябрь 1885 г., 11–18. Формулы, приведенные здесь, — это #9, #39a, #39b, #42 и #49. Читателю следует уведомить, что некоторые формулы в этом источнике неверны.
20. Чакериан, ГД «Искаженный взгляд на геометрию». Гл. 7 в Mathematical Plums (редактор Р. Хонсбергер). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
21. Розенберг, Стивен; Спиллейн, Майкл; и Вульф, Дэниел Б. «Треугольники Герона и пространства модулей», Mathematics Teacher 101, май 2008 г., 656–663.
22. Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар, Секреты треугольников , Prometheus Books, 2012.
23. Данн, JA и Претти, JE, «Деление треугольника пополам», Mathematical Gazette 56, май 1972 г., 105–108.