кривая брахистохроны

Самый быстрый спуск по кривой без трения

Кривая наискорейшего спуска представляет собой не прямую или ломаную линию (синюю), а циклоиду (красную).

В физике и математике кривая брахистохрона (от др.-греч. βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos)  «кратчайшее время»), ^[1] или кривая наискорейшего спуска, — это кривая, лежащая на плоскости между точкой A и более низкой точкой B , где B не находится прямо под A , по которой бусина скользит без трения под действием однородного гравитационного поля к заданной конечной точке за кратчайшее время. Задача была поставлена ​​Иоганном Бернулли в 1696 году.

Кривая брахистохроны имеет ту же форму, что и кривая таутохроны ; обе являются циклоидами . Однако часть циклоиды, используемая для каждой из них, различается. Более конкретно, брахистохрона может использовать до полного оборота циклоиды (в пределе, когда A и B находятся на одном уровне), но всегда начинается с точки возврата . Напротив, задача таутохроны может использовать только до первой половины оборота и всегда заканчивается на горизонтали. ^[2] Задача может быть решена с использованием инструментов из вариационного исчисления ^[3] и оптимального управления . ^[4]

Шары катятся под действием равномерной силы тяжести без трения по циклоиде (черной) и прямым линиям с различными уклонами. Это показывает, что шар на кривой всегда обгоняет шары, движущиеся по прямой линии до точки пересечения кривой и каждой прямой линии.

Кривая не зависит ни от массы тестируемого тела, ни от локальной силы тяжести. Только параметр выбирается так, чтобы кривая соответствовала начальной точке A и конечной точке B. ^[5] Если телу задана начальная скорость в точке A или если учитывается трение, то кривая, минимизирующая время, отличается от кривой таутохроны .

История

Проблема Галилея

Ранее, в 1638 году, Галилео Галилей пытался решить похожую задачу для пути скорейшего спуска из точки на стену в своих «Двух новых науках» . Он приходит к выводу, что дуга окружности быстрее, чем любое количество ее хорд, ^[6]

Из вышесказанного можно сделать вывод, что кратчайший путь из всех [lationem omnium velocissimam] от одной точки до другой — это не кратчайший путь, а именно прямая линия, а дуга окружности.

...

Следовательно, чем ближе вписанный многоугольник приближается к окружности, тем меньше времени требуется для спуска из точки А в точку С. То, что было доказано для квадранта, справедливо и для меньших дуг; рассуждения те же самые.

Сразу после теоремы 6 из «Двух новых наук » Галилей предупреждает о возможных заблуждениях и необходимости «высшей науки». В этом диалоге Галилей анализирует свою собственную работу. Галилей изучал циклоиду и дал ей название, но связь между ней и его проблемой должна была ждать успехов в математике.

Гипотеза Галилея заключается в том, что «наименьшее время [для подвижного тела] будет временем его падения по дуге ADB [четверти окружности], и подобные свойства следует понимать как справедливые для всех меньших дуг, взятых вверх от низшей границы B».

На рис. 1 из «Диалога о двух главнейших системах мира» Галилей утверждает, что тело, скользящее по дуге четверти окружности от А до В, достигнет В за меньшее время, чем если бы оно двигалось по любому другому пути от А до В. Аналогично, на рис. 2 из любой точки D на дуге АВ он утверждает, что время по меньшей дуге DB будет меньше, чем для любого другого пути от D до В. Фактически, самый быстрый путь от А до В или от D до В, брахистохрона, представляет собой циклоидальную дугу, которая показана на рис. 3 для пути от А до В и на рис. 4 для пути от D до В, наложенных на соответствующую дугу окружности. ^[7]

Введение в проблему

Иоганн Бернулли поставил задачу о брахистохроне перед читателями Acta Eruditorum в июне 1696 года. ^{[8] [9]} Он сказал:

Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим математикам мира. Нет ничего более привлекательного для умных людей, чем честная, сложная задача, возможное решение которой принесет славу и останется вечным памятником. Следуя примеру Паскаля, Ферма и т. д., я надеюсь заслужить благодарность всего научного сообщества, предложив лучшим математикам нашего времени задачу, которая проверит их методы и силу их интеллекта. Если кто-то сообщит мне решение предложенной задачи, я публично объявлю его достойным похвалы

Бернулли записал условие задачи следующим образом:

Если взять две точки A и B на вертикальной плоскости, какую кривую описывает точка, на которую действует только сила тяжести, начиная с точки A и достигая точки B за кратчайшее время ?

Иоганн и его брат Якоб Бернулли вывели то же самое решение, но вывод Иоганна был неверным, и он попытался выдать решение Якоба за свое собственное. ^[10] Иоганн опубликовал решение в журнале в мае следующего года и отметил, что решение представляет собой ту же кривую, что и таутохронная кривая Гюйгенса . После вывода дифференциального уравнения для кривой методом, приведенным ниже, он продолжил показывать, что оно действительно дает циклоиду. ^{[11] [12]} Однако его доказательство испорчено использованием им одной константы вместо трех констант, v _m , 2g и D , приведенных ниже.

Бернулли отвел на решение шесть месяцев, но за этот период ничего не было получено. По просьбе Лейбница срок был публично продлен на полтора года. ^[13] В 4 часа дня 29 января 1697 года, когда он вернулся домой из Королевского монетного двора , Исаак Ньютон нашел задачу в письме от Иоганна Бернулли. ^[14] Ньютон не спал всю ночь, чтобы решить ее, и отправил решение анонимно со следующей почтой. Прочитав решение, Бернулли сразу узнал его автора, воскликнув, что он «узнает льва по следу его когтя». Эта история дает некоторое представление о силе Ньютона, поскольку Иоганну Бернулли потребовалось две недели, чтобы решить ее. ^{[5] [15]} Ньютон также писал: «Я не люблю, когда меня оскорбляют [донимают] и дразнят иностранцы по поводу математических вещей...», а Ньютон уже решил задачу Ньютона о минимальном сопротивлении , которая считается первой в своем роде в вариационном исчислении .

В конце концов, пять математиков ответили решениями: Ньютон, Якоб Бернулли, Готфрид Лейбниц , Эренфрид Вальтер фон Чирнгауз и Гийом де Лопиталь . Четыре решения (исключая решение Лопиталя) были опубликованы в том же выпуске журнала, что и решение Иоганна Бернулли. В своей статье Якоб Бернулли дал доказательство условия наименьшего времени, похожее на приведенное ниже, прежде чем показать, что его решение является циклоидой. ^[11] По словам ньютоновского исследователя Тома Уайтсайда , в попытке превзойти своего брата Якоб Бернулли создал более сложную версию задачи о брахистохроне. Решая ее, он разработал новые методы, которые были усовершенствованы Леонардом Эйлером в то, что последний назвал (в 1766 году) вариационным исчислением . Жозеф-Луи Лагранж провел дальнейшую работу, которая привела к современному исчислению бесконечно малых .

Решение Иоганна Бернулли

Введение

В письме Лопиталю (21/12/1696) Бернулли заявил, что при рассмотрении задачи о кривой наискорейшего спуска, всего через 2 дня он заметил любопытное сходство или связь с другой не менее замечательной задачей, ведущей к «косвенному методу» решения. Затем вскоре после этого он открыл «прямой метод». ^[16]

Прямой метод

В письме Анри Баснажу, хранящемся в Публичной библиотеке Базельского университета, от 30 марта 1697 года Иоганн Бернулли заявил, что он нашел два метода (всегда называемых «прямым» и «косвенным»), чтобы показать, что брахистохрона была «общей циклоидой», также называемой «рулеткой». Следуя совету Лейбница, он включил только косвенный метод в Acta Eruditorum Lipsidae от мая 1697 года. Он написал, что это было отчасти потому, что он считал, что этого достаточно, чтобы убедить любого, кто сомневался в выводе, отчасти потому, что это также решило две известные проблемы в оптике, которые «покойный мистер Гюйгенс» поднял в своем трактате о свете. В том же письме он критиковал Ньютона за сокрытие своего метода.

В дополнение к своему косвенному методу он также опубликовал пять других полученных им ответов на задачу.

Прямой метод Иоганна Бернулли имеет историческое значение как доказательство того, что брахистохрона является циклоидой. Метод заключается в определении кривизны кривой в каждой точке. Все остальные доказательства, включая доказательство Ньютона (которое не было раскрыто в то время), основаны на нахождении градиента в каждой точке.

В 1718 году Бернулли объяснил, как он решил задачу брахистохроны своим прямым методом. ^{[17] [18]}

Он объяснил, что не опубликовал его в 1697 году по причинам, которые уже не были актуальны в 1718 году. Эта статья в значительной степени игнорировалась до 1904 года, когда глубина метода была впервые оценена Константином Каратеодори , который заявил, что он показывает, что циклоида является единственной возможной кривой быстрейшего спуска. По его словам, другие решения просто подразумевали, что время спуска является стационарным для циклоиды, но не обязательно минимально возможным.

Аналитическое решение

Тело рассматривается как скользящее по любой малой дуге окружности Ce между радиусами KC и Ke с фиксированным центром K. Первый этап доказательства заключается в нахождении конкретной дуги окружности Mm, которую тело проходит за минимальное время.

Прямая KNC пересекает AL в точке N, а прямая Kne пересекает ее в точке n, и они образуют небольшой угол CKe в точке K. Пусть NK = a, и зададим переменную точку C на продолжении KN. Из всех возможных дуг окружности Ce требуется найти дугу Mm, которая требует минимального времени для скольжения между двумя радиусами KM и Km. Чтобы найти Mm, Бернулли рассуждает следующим образом.

Пусть MN = x. Он определяет m так, что MD = mx, и n так, что Mm = nx + na, и отмечает, что x — единственная переменная, и что m конечно, а n бесконечно мало. Малое время для перемещения по дуге Mm равно , что должно быть минимальным ('un plus petit'). Он не объясняет, что поскольку Mm так мало, скорость на ней можно принять за скорость в точке M, которая равна квадратному корню из MD, вертикального расстояния M ниже горизонтальной линии AL. ${\displaystyle {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}={\frac {n(x+a)}{(mx)^{\frac {1}{2}}}}}$

Из этого следует, что при дифференцировании это должно дать

${\displaystyle {\frac {(x-a)dx}{2x^{\frac {3}{2}}}}=0}$так что х = а.

Это условие определяет кривую, по которой тело скользит за кратчайшее время. Для каждой точки M на кривой радиус кривизны MK делится на 2 равные части своей осью AL. Это свойство, которое, по словам Бернулли, было известно давно, является уникальным для циклоиды.

Наконец, он рассматривает более общий случай, когда скорость является произвольной функцией X(x), поэтому время, которое необходимо минимизировать, равно . Тогда условие минимума становится тем, что он записывает как : и которое дает MN (=x) как функцию NK (= a). Из этого уравнения кривой можно получить из интегрального исчисления, хотя он этого и не демонстрирует. ${\displaystyle {\frac {(x+a)}{X}}}$ ${\displaystyle X={\frac {(x+a)dX}{dx}}}$ ${\displaystyle X=(x+a)\Delta x}$

Синтетический раствор

Затем он приступает к тому, что он назвал своим синтетическим решением, которое представляет собой классическое геометрическое доказательство того, что существует только одна кривая, по которой тело может скользить за минимальное время, и эта кривая — циклоида.

«Цель синтетической демонстрации, в стиле древних, состоит в том, чтобы убедить г-на де ла Гира . У него мало времени на наш новый анализ, он называет его ложным (он утверждает, что нашел 3 способа доказать, что кривая является кубической параболой)» – Письмо Иоганна Бернулли Пьеру Вариньону от 27 июля 1697 г. ^[19]

Предположим, что AMmB — часть циклоиды, соединяющая A с B, по которой тело скользит вниз за минимальное время. Пусть ICcJ — часть другой кривой, соединяющей A с B, которая может быть ближе к AL, чем AMmB. Если дуга Mm стягивает угол MKm в своем центре кривизны K, пусть дуга на IJ, стягивающая тот же угол, будет Cc. Дуга окружности, проходящая через C с центром K, — Ce. Точка D на AL находится вертикально над M. Соединим K с D, и точка H будет там, где CG пересекает KD, продолженную при необходимости.

Пусть и t — время падения тела вдоль Mm и Ce соответственно. ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau \propto {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}}$, , ${\displaystyle t\propto {\frac {Ce}{CG^{\frac {1}{2}}}}}$

Продолжим CG до точки F, где и поскольку , то следует, что ${\displaystyle CF={\frac {CH^{2}}{MD}}}$ ${\displaystyle {\frac {Mm}{Ce}}={\frac {MD}{CH}}}$

${\displaystyle {\frac {\tau }{t}}={\frac {Mm}{Ce}}.\left({\frac {CG}{MD}}\right)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {CG}{CF}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Поскольку MN = NK, для циклоиды:

${\displaystyle GH={\frac {MD.HD}{DK}}={\frac {MD.CM}{MK}}}$, , и ${\displaystyle CH={\frac {MD.CK}{MK}}={\frac {MD.(MK+CM)}{MK}}}$ ${\displaystyle CG=CH+GH={\frac {MD.(MK+2CM)}{MK}}}$

Если Ce ближе к K, чем Mm, то

${\displaystyle CH={\frac {MD.(MK-CM)}{MK}}}$и ${\displaystyle CG=CH-GH={\frac {MD.(MK-2CM)}{MK}}}$

В любом случае,

${\displaystyle CF={\frac {CH^{2}}{MD}}>CG}$, и отсюда следует, что ${\displaystyle \tau <t}$

Если дуга Cc, опирающаяся на бесконечно малый угол MKm на IJ, не является круговой, то она должна быть больше Ce, поскольку Cec в пределе становится прямоугольным треугольником, когда угол MKm стремится к нулю.

Обратите внимание, Бернулли доказывает, что CF > CG, используя похожие, но другие аргументы.

Из этого он делает вывод, что тело проходит циклоиду AMB за меньшее время, чем любую другую кривую ACB.

Косвенный метод

Согласно принципу Ферма , фактический путь между двумя точками, пройденный лучом света (который подчиняется закону преломления Снеллиуса ), занимает наименьшее время. В 1697 году Иоганн Бернулли использовал этот принцип для вывода кривой брахистохроны, рассмотрев траекторию луча света в среде, где скорость света увеличивается вслед за постоянным вертикальным ускорением (ускорением силы тяжести g ). ^[20]

По закону сохранения энергии мгновенная скорость тела v после падения с высоты y в однородном гравитационном поле определяется выражением:

${\displaystyle v={\sqrt {2gy}}}$,

Скорость движения тела по произвольной кривой не зависит от горизонтального перемещения.

Бернулли заметил, что закон преломления Снеллиуса дает постоянную движения для луча света в среде переменной плотности:

${\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m}}}}$,

где v _m — константа, представляющая собой угол траектории относительно вертикали. ${\displaystyle \theta }$

Приведенные выше уравнения приводят к двум выводам:

1. В начале угол должен быть равен нулю, когда скорость частицы равна нулю. Следовательно, кривая брахистохроны касается вертикали в начале координат.
2. Скорость достигает максимального значения, когда траектория становится горизонтальной и угол θ = 90°.

Предположим для простоты, что частица (или луч) с координатами (x,y) вылетает из точки (0,0) и достигает максимальной скорости после падения на вертикальное расстояние D :

${\displaystyle v_{m}={\sqrt {2gD}}}$.

Перестановка членов закона преломления и возведение в квадрат дает:

${\displaystyle v_{m}^{2}dx^{2}=v^{2}ds^{2}=v^{2}(dx^{2}+dy^{2})}$

которое можно решить относительно dx через dy :

${\displaystyle dx={\frac {v\,dy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}}$.

Подстановка из выражений для v и v _m выше дает:

${\displaystyle dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}\,dy\,,}$

которое является дифференциальным уравнением перевернутой циклоиды, образованной окружностью диаметром D=2r , параметрическое уравнение которой имеет вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi -\sin \varphi )\\y&=r(1-\cos \varphi ).\end{aligned}}}$

где φ — действительный параметр , соответствующий углу, на который повернулась катящаяся окружность. Для заданного φ центр окружности лежит в точке ( x , y ) = ( rφ , r ) .

В задаче о брахистохроне движение тела задается временной динамикой параметра:

${\displaystyle \varphi (t)=\omega t\,,\omega ={\sqrt {\frac {g}{r}}}}$

где t — время с момента выхода тела из точки (0,0).

Решение Якоба Бернулли

Брат Иоганна Якоб показал, как можно использовать 2-е дифференциалы для получения условия наименьшего времени. Модернизированная версия доказательства выглядит следующим образом. Если мы сделаем незначительное отклонение от пути наименьшего времени, то для дифференциального треугольника, образованного смещением вдоль пути и горизонтальным и вертикальным смещениями,

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}}$.

При дифференцировании при фиксированном dy получаем,

${\displaystyle 2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x}$.

И наконец, перестановка членов дает,

${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t}$

где последняя часть — это смещение для заданного изменения во времени для 2-х дифференциалов. Теперь рассмотрим изменения вдоль двух соседних путей на рисунке ниже, для которых горизонтальное разделение между путями вдоль центральной линии равно d ² x (одинаковое для обоих верхних и нижних дифференциальных треугольников). Вдоль старых и новых путей различаются следующие части:

${\displaystyle d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x}$

${\displaystyle d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x}$

Для пути наименьшего времени эти времена равны, поэтому для их разности получаем,

${\displaystyle d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x}$

И условие наименьшего времени таково:

${\displaystyle {\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}}$

что согласуется с предположением Иоганна, основанным на законе преломления .

Решение Ньютона

Введение

В июне 1696 года Иоганн Бернулли использовал страницы Acta Eruditorum Lipsidae , чтобы поставить задачу перед международным математическим сообществом: найти форму кривой, соединяющей две неподвижные точки, так, чтобы масса скользила по ней вниз под действием только силы тяжести за минимальное время. Первоначально решение должно было быть представлено в течение шести месяцев. По предложению Лейбница Бернулли продлил задачу до Пасхи 1697 года с помощью печатного текста под названием «Programma», опубликованного в Гронингене , в Нидерландах.

Programma датирована 1 января 1697 года по григорианскому календарю. Это было 22 декабря 1696 года по юлианскому календарю, который использовался в Британии. По словам племянницы Ньютона, Кэтрин Кондуитт, Ньютон узнал о задаче в 4 часа дня 29 января и решил ее к 4 часам утра следующего дня. Его решение, сообщенное Королевскому обществу, датировано 30 января. Это решение, позже опубликованное анонимно в Philosophical Transactions , является правильным, но не указывает на метод, с помощью которого Ньютон пришел к своему выводу. Бернулли, в письме Анри Баснажу в марте 1697 года, указал, что, хотя его автор, «из-за излишней скромности», не раскрыл своего имени, тем не менее, даже по скудным предоставленным деталям, его можно было распознать как работу Ньютона, «как лев по когтю» (на латыни ex ungue Leonem ).

DT Whiteside отмечает, что буква на французском языке имеет ex ungue Leonem, которому предшествует французское слово comme . Часто цитируемая версия tanquam ex ungue Leonem обязана своим происхождением книге Дэвида Брюстера 1855 года о жизни и трудах Ньютона. Намерение Бернулли, утверждает Уайтсайд, было просто указать, что он мог сказать, что анонимное решение было решением Ньютона, так же как можно было сказать, что животное было львом по его когтю; это не означало, что Бернулли считал Ньютона львом среди математиков, как это с тех пор стало интерпретироваться. ^[21]

Джон Уоллис , которому в то время было 80 лет, узнал о задаче в сентябре 1696 года от младшего брата Иоганна Бернулли Иеронима и потратил три месяца на попытки решения, прежде чем передать его в декабре Дэвиду Грегори , который также не смог его решить. После того, как Ньютон представил свое решение, Грегори попросил его рассказать подробности и сделал записи их разговора. Их можно найти в библиотеке Эдинбургского университета, рукопись A от 7 марта 1697 года. Либо Грегори не понял аргумент Ньютона, либо объяснение Ньютона было очень кратким. Однако можно с высокой степенью уверенности построить доказательство Ньютона из заметок Грегори по аналогии с его методом определения тела минимального сопротивления (Principia, Book 2, Proposition 34, Scholium 2). Подробное описание его решения этой последней задачи включено в черновик письма 1694 года, также Дэвиду Грегори. ^[22] В дополнение к проблеме минимальной кривой времени, была вторая проблема, которую Ньютон также решил в то же время. Оба решения появились анонимно в Philosophical Transactions of the Royal Society за январь 1697 года. ${\displaystyle 78^{1}}$

Проблема брахистохроны

На рис. 1 показана диаграмма Грегори (за исключением того, что в ней отсутствует дополнительная линия IF и добавлена ​​начальная точка Z). Кривая ZVA является циклоидой, а CHV — ее образующей окружностью. Поскольку кажется, что тело движется вверх от e к E, следует предположить, что небольшое тело освобождается от Z и скользит по кривой до A без трения под действием силы тяжести.

Рассмотрим небольшую дугу eE, по которой тело поднимается. Предположим, что оно пересекает прямую линию eL до точки L, горизонтально смещенной от E на небольшое расстояние o вместо дуги eE. Обратите внимание, что eL не является касательной в точке e, и что o отрицательно, когда L находится между B и E. Проведите прямую через E параллельно CH, пересекающую eL в точке n. Из свойства циклоиды, En является нормалью к касательной в точке E, и аналогично касательная в точке E параллельна VH.

Поскольку смещение EL мало, оно мало отличается по направлению от касательной в точке E, так что угол EnL близок к прямому. В пределе, когда дуга eE стремится к нулю, eL становится параллельной VH, при условии, что o мало по сравнению с eE, что делает треугольники EnL и CHV подобными.

Также en приближается к длине хорды eE, а увеличение длины , игнорируя члены в и выше, которые представляют собой ошибку из-за приближения, что eL и VH параллельны. ${\displaystyle eL-eE=nL={\frac {o.CH}{CV}}}$ ${\displaystyle o^{2}}$

Скорость вдоль eE или eL можно принять равной скорости в точке E, пропорциональной , которая равна CH, поскольку ${\displaystyle {\sqrt {CB}}}$ ${\displaystyle CH={\sqrt {CB.CV}}}$

Похоже, это все, что содержится в записке Грегори.

Пусть t — дополнительное время достижения L,

${\displaystyle t\propto {\frac {nL}{\sqrt {CB}}}={\frac {o.CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}={\frac {o}{\sqrt {CV}}}}$

Следовательно, увеличение времени для прохождения небольшой дуги, смещенной в одной конечной точке, зависит только от смещения в конечной точке и не зависит от положения дуги. Однако, по методу Ньютона, это как раз то условие, которое требуется для прохождения кривой за минимально возможное время. Поэтому он приходит к выводу, что минимальной кривой должна быть циклоида.

Он рассуждает следующим образом.

Предположим теперь, что рис. 1 — это минимальная кривая, которая еще не определена, с вертикальной осью CV и удаленным кругом CHV, а рис. 2 показывает часть кривой между бесконечно малой дугой eE и еще одной бесконечно малой дугой Ff на конечном расстоянии вдоль кривой. Дополнительное время t для прохождения eL (а не eE) равно nL, деленное на скорость в точке E (пропорциональную ), игнорируя члены в и выше: ${\displaystyle {\sqrt {CB}}}$ ${\displaystyle o^{2}}$

${\displaystyle t\propto {\frac {o.DE}{eE.{\sqrt {CB}}}}}$,

В точке L частица продолжает движение по траектории LM, параллельной исходной EF, до некоторой произвольной точки M. Поскольку в точке L она имеет ту же скорость, что и в точке E, время прохождения LM такое же, как и по исходной кривой EF. В точке M она возвращается на исходную траекторию в точке f. По тем же соображениям сокращение времени T для достижения f из точки M, а не из точки F, равно

${\displaystyle T\propto {\frac {o.FG}{Ff.{\sqrt {CI}}}}}$

Разница (t – T) представляет собой дополнительное время, которое требуется для прохождения пути eLMf по сравнению с исходным eEFf:

${\displaystyle (t-T)\propto \left({\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}-{\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}\right).o}$плюс термины в и выше (1) ${\displaystyle o^{2}}$

Поскольку eEFf является минимальной кривой, (t – T) должно быть больше нуля, независимо от того, положительно или отрицательно o. Из этого следует, что коэффициент o в (1) должен быть равен нулю:

${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}}$ (2) в пределе, когда eE и fF стремятся к нулю. Обратите внимание, что поскольку eEFf является минимальной кривой, следует предположить, что коэффициент больше нуля. ${\displaystyle o^{2}}$

Очевидно, должно быть два равных и противоположных смещения, иначе тело не вернется в конечную точку А кривой.

Если e фиксировано, а f рассматривается как переменная точка выше по кривой, то для всех таких точек f постоянна (равна ). Если f фиксирована, а e переменна, то ясно, что также постоянна. ${\displaystyle {\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}}$ ${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}}$ ${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}}$

Но, поскольку точки e и f произвольны, уравнение (2) может быть верным только если , везде, и это условие характеризует искомую кривую. Это тот же самый прием, который он использует для нахождения формы Тела Наименьшего Сопротивления. ${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\text{constant}}}$

Для циклоиды, , так что , что, как было показано выше, является постоянным, а брахистохрона является циклоидой. ${\displaystyle {\frac {DE}{eE}}={\frac {BH}{VH}}={\frac {CH}{CV}}}$ ${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}}$

Ньютон не дает никаких указаний на то, как он обнаружил, что циклоида удовлетворяет этому последнему соотношению. Это могло произойти путем проб и ошибок, или он мог сразу распознать, что это подразумевает, что кривая является циклоидой.

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Парадокс колеса Аристотеля
• Идентификация Бельтрами
• Вариационное исчисление
• Цепная линия
• Задача Ньютона о минимальном сопротивлении
• Трохоидный
• Равномерно ускоренное движение

Ссылки

1. Чизхолм, Хью , ред. (1911). «Брахистохрона»  . Encyclopaedia Britannica (11-е изд.). Cambridge University Press.
2. Стюарт, Джеймс. «Раздел 10.1 — Кривые, определяемые параметрическими уравнениями». Calculus: Early Transcendentals . 7-е изд. Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2012. 640. Печать.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Проблема брахистохроны». Математический мир .
4. Росс, И. М. Парадигма брахистохроны, в книге «Основы принципа Понтрягина в оптимальном управлении» , Collegiate Publishers, 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9 . 
5. Hand, Louis N., and Janet D. Finch. "Глава 2: Вариационное исчисление и его применение в механике". Аналитическая механика . Кембридж: Cambridge UP, 1998. 45, 70. Печать.
6. Галилео Галилей (1638), «Третий день, теорема 22, предложение 36», Рассуждения о двух новых науках , стр. 239Этот вывод появился шестью годами ранее в «Диалоге о двух главнейших системах мира» Галилея (день 4).
7. Галилей, Галилео (1967). «Диалог о двух главных мировых системах — Птолемеевой и Коперниковой, переведенный Стиллманом Дрейком, предисловие Альберта Эйнштейна» (издание в твердом переплете). Издательство Калифорнийского университета в Беркли и Лос-Анджелесе. стр. 451. ISBN 0520004493.
8. Иоганн Бернулли (июнь 1696 г.) «Problema novum ad cujus Solutionem Mathematici invitantur». (Новая задача, к решению которой приглашены математики.), Acta Eruditorum , 18  : 269. Со стр. 269: «Датис в плоском вертикальном дуобусе точек А и В (см. рис. 5) назначают Mobili M, viam AMB, per quam gravitate sua downcens & moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore perveniat ad alterum punctum B». (Данные в вертикальной плоскости две точки А и В (см. рис. 5), назначить движущемуся [телу] М путь АМВ, посредством которого — опускаясь под действием собственного веса и начиная перемещаться [под действием силы тяжести] от точка А — она прибыла бы в другую точку Б за кратчайшее время.)
9. Решения задачи Иоганна Бернулли 1696 года:
   • Исаак Ньютон (январь 1697 г.) «Deratione temporis quo Grave labitur per rectam data duo puncta conjungentem, ad tempus brevissimum quo, vi gravitatis,transit ab horum uno ad alterum per arcum cycloidis» (О доказательстве того, что время, в течение которого вес скользит по линии, соединяющей две заданные точки, [является] кратчайшим по времени прохождением, через гравитационная сила, от одной из этих [точек] к другой по циклоидальной дуге), Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 19  : 424-425.
   • GGL (Готфрид Вильгельм Лейбниц) (май 1697 г.) «Communicatio suae pariter, duarumque Alinarum ad edendum sibi primum к доктору Джо. Бернуллио, deinde к доктору Джо. Бернуллио, deinde к доктору Маркионе Hospitalio communicatarum Solutionum проблематис Curva celerrimi descensus к доктору Джо. Бернуллио Geometris publice propositi, уна включая решение этой проблемы, альтернативное решение eodem postea propositi». (Его сообщение вместе с [сообщениями] двух других в докладе, поступившем к нему сначала от Иоганна Бернулли, [а] затем от маркиза де Лопиталя, о сообщенных решениях задачи о кривой наискорейшего спуска, [которая была] публично предложенная Иоганном Бернулли, геометром, — вместе с решением его другой проблемы, предложенной впоследствии тем же [человеком].), Acta Eruditorum , 19  : 201–205.
   • Иоганн Бернулли (май 1697 г.) «Радиусы кривизны в диафанисе не единообразных, Решение проблемы в Актисе 1696, стр. 269, предложение, де invenienda Linea Brachystochrona, то есть, in qua Grave a dato puncto ad datum punctum brevissimo tempore decurrit, & de Curva Synchrona — это радиорум и конструкция». (Искривление [световых] лучей в неоднородных средах и решение проблемы, [которое] было предложено мной в Acta Eruditorum 1696 г., стр. 269, из которого следует найти линию брахистохроны [т. е. кривой], то есть такой, по которой груз опускается из данной точки в данную точку за кратчайшее время, и о построении таутохроны или волны [световых] лучей.), Acta Eruditorum , 19  : 206–211.
   • Якоб Бернулли (май 1697 г.) «Solutioproblematum fraternorum,…» (Решение проблем [моего] брата,…), Acta Eruditorum , 19  : 211–214.
   • Маркиз де Л'Опиталь (май 1697 г.) «Domini Marchionis Hospitalii solutio promatis de linea celerrimi descensus» (решение лордом маркизом де л'Опиталем проблемы линии наискорейшего спуска), Acta Eruditorum , 19  : 217-220.
   • перепечатано: Исаак Ньютон (май 1697 г.) «Excerpta ex Transactionibus Philos. Anglic. M. Январь 1697 г.». (Отрывок из «Английских философских трудов» за январь 1697 года), Acta Eruditorum , 19  : 223–224.
10. Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: История Фи, самого удивительного числа в мире (первое коммерческое издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Broadway Books . стр. 116. ISBN 0-7679-0816-3.
11. Struik, JD (1969), Справочник по математике, 1200-1800 , Издательство Гарвардского университета, ISBN 0-691-02397-2
12. Герман Эрлихсон (1999), «Решение брахистохроны Иоганна Бернулли с использованием принципа наименьшего времени Ферма», Eur. J. Phys. , 20 (5): 299–304, Bibcode : 1999EJPh...20..299E, doi : 10.1088/0143-0807/20/5/301, S2CID  250741844
13. Саган, Карл (2011). Космос. Random House Publishing Group. стр. 94. ISBN 9780307800985. Получено 2 июня 2016 г.
14. Кац, Виктор Дж. (1998). История математики: Введение (2-е изд.). Эддисон Уэсли Лонгман. стр. 547. ISBN 978-0-321-01618-8.
15. DT Whiteside , Newton the Mathematician , в Bechler, Contemporary Newtonian Research , стр. 122.
16. Костабель, Пьер; Пайффер, Жанна (1988). Der Briefwechsel von Иоганн I Бернулли", том II: "Der Briefwechsel mit Pierre Varignon, Erster Teil: 1692-1702" (изд. в твердом переплете). Springer Basel Ag. стр. 329. ISBN 978-3-0348-5068-1.
17. Бернулли, Иоганн. Mémoires de l'Académie des Sciences (Французская академия наук) Vol. 3, 1718, стр. 135–138.
18. Ранний период вариационного исчисления , П. Фрегулья и М. Джаквинта, стр. 53–57, ISBN 978-3-319-38945-5 . 
19. Костабель, Пьер; Пайффер, Жанна (1988). "Der Briefwechsel фон Иоганна I Бернулли", Vol. II: «Der Briefwechsel mit Pierre Varignon, Erster Teil: 1692–1702» (изд. В твердом переплете). Шпрингер Базель Акциенгезельшафт. стр. 117–118. ISBN 978-3-0348-5068-1.
20. Бабб, Джефф; Карри, Джеймс (июль 2008 г.), «Проблема брахистохроны: математика для широкой аудитории через большую контекстную проблему» (PDF) , The Montana Mathematics Enthusiast , 5 (2&3): 169–184, doi :10.54870/1551-3440.1099, S2CID  8923709, архивировано из оригинала (PDF) 27 июля 2011 г.
21. Уайтсайд, Дерек Томас (2008). Математические статьи Исаака Ньютона. Том 8 (издание в мягкой обложке). Cambridge University Press. стр. 9–10, примечания (21) и (22). ISBN 978-0-521-20103-2.
22. Дюбуа, Жак (1991). «Chute d'une bille le long d'une gouttière cyclïdale; Tautochrone et brachistochrone; Propriétés et historique» (PDF) . Бюллетень Союза врачей . 85 (737): 1251–1289.

Внешние ссылки

• «Брахистохрона», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Проблема брахистохроны». Математический мир .
• Брахистохрона (на MathCurve, с прекрасными анимированными примерами)
• Брахистохрона , Математика Уистлер-Элли.
• Таблица IV из статьи Бернулли в Acta Eruditorum 1697 г.
• «Брахистохроны » Майкла Тротта и «Проблема брахистохрон» Окая Арика, проект «Демонстрации Вольфрама» .
• Проблема брахистохроны в MacTutor
• Возвращаясь к геодезическим линиям — Введение в геодезические линии, включая два способа вывода уравнения геодезической с брахистохроной как частным случаем геодезической.
• Оптимальное решение задачи брахистохроны на языке Python.
• Прямая линия, цепная линия, брахистохрона, окружность и унифицированный подход Ферма к некоторым геодезическим.